O que é integral imprópria? — Matemática

Definição 9.1 Matemática universitária — Graduação 2 · 第 9 章 — Integração

Seja $f$ contínua por partes em $\intco{a}{b}$ ( $b \in \R$ ou $+\infty$ ), com continuidade por partes. A integral converge quando $\lim_{x \to b^-} \int_a^x f$ existe; escreve-se então $\int_a^b f$ para o limite. (Analogamente em $\intoc{a}{b}$ , e em $\intoo{a}{b}$ separando num ponto interior — a escolha não importa, por Chasles.) A integral converge absolutamente quando $\int_a^b \abs f$ converge; a convergência absoluta implica a convergência, pelo critério de Cauchy:

\Bigl| \int_x^{y} f \Bigr| \leq \int_x^{y} \abs f

e pela completude de $\R$ (a primitiva tem a propriedade de Cauchy). Em detalhe: sejam $F(x) = \int_a^x f$ e $G(x) = \int_a^x \abs f$ . Se $\int^b\abs f$ converge, $G$ tem limite em $b^-$ , de modo que, para todo $\varepsilon > 0$ , existe $c < b$ com $G(y) - G(x) \leq \varepsilon$ sempre que $c \leq x \leq y < b$ ; a fórmula exibida transfere essa propriedade de Cauchy a $F$ . Para qualquer sequência $x_n \to b^-$ , os valores $F(x_n)$ formam então uma sequência de Cauchy de reais, convergente pela completude, e intercalar duas dessas sequências mostra que o limite é o mesmo para todas: $F$ tem limite em $b^-$ .

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Exemplo 9.3 (Dois aquecimentos, levados até o fim)

(a) $\displaystyle\int_0^1 \ln t\,\dd t$ : o integrando explode em $0^+$ , mas $\abs{\ln t} = o\bigl(t^{-1/2}\bigr)$ aí (os logaritmos perdem para as potências), e $\int_0 t^{-1/2}$ converge: convergência absoluta. O valor, por partes em $\intcc{\varepsilon}{1}$ :

\int_\varepsilon^1 \ln t\,\dd t = \bigl[t\ln t - t\bigr]_\varepsilon^1 = -1 - \varepsilon\ln\varepsilon + \varepsilon \xrightarrow[\varepsilon\to0^+]{} -1 .

(b) $\displaystyle\int_0^\infty \frac{\ln t}{1 + t^2}\,\dd t$ : problema nas duas pontas, logo separe em $1$ . Perto de $0$ : $\abs{\ln t}$ , integrável como em (a); perto de $\infty$ : $\frac{\ln t}{1+t^2} = o(t^{-3/2})$ : absolutamente convergente. A substituição $t = \frac1u$ leva $\intoo{0}{1}$ em $\intoo{1}{\infty}$ e

\int_0^1 \frac{\ln t}{1+t^2}\,\dd t = \int_1^{\infty} \frac{-\ln u}{1 + u^{-2}}\cdot \frac{\dd u}{u^2} = -\int_1^\infty \frac{\ln u}{1+u^2}\,\dd u :

as duas metades se cancelam, e a integral vale $0$ . Lição final: a simetria sob $t \mapsto \frac1t$ vale uma página de cálculo — o mesmo truque já movia o Exercício 9.3.

Exemplo 9.4 (Um valor, três integrais)

Estude $I = \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1 - \cos t}{t^2}\,\dd t$ . Em $0$ : $1 - \cos t \sim \frac{t^2}2$ , de modo que o integrando se estende continuamente pelo valor $\frac12$ — não há singularidade alguma. Em $\infty$ : $0 \leq \frac{1 - \cos t}{t^2} \leq \frac{2}{t^2}$ : convergência absoluta (Teorema 9.2). Valor: integre por partes em $\intcc{\varepsilon}{M}$ com $u = 1 - \cos t$ , $v' = t^{-2}$ :

\int_\varepsilon^M \frac{1 - \cos t}{t^2}\,\dd t = \Bigl[-\frac{1 - \cos t}{t}\Bigr]_\varepsilon^M + \int_\varepsilon^M \frac{\sin t}{t}\,\dd t .

O colchete se anula nas duas pontas ( $\frac{1 - \cos\varepsilon}{\varepsilon} \sim \frac\varepsilon2$ ; numerador limitado em $M$ ), e a integral tende ao valor de Dirichlet $\frac\pi2$ (Exercício 9.10): $I = \frac\pi2$ . Lição final: com $1 - \cos t = 2\sin^2\frac t2$ e $u = \frac t2$ ,

I = \int_0^\infty \frac{2\sin^2 u}{(2u)^2}\;2\,\dd u = \int_0^\infty \Bigl(\frac{\sin u}{u}\Bigr)^{\!2}\dd u :

os três clássicos $\int_0^\infty\frac{\sin t}{t}\dd t$ , $\int_0^\infty\bigl(\frac{\sin t}{t}\bigr)^2\dd t$ (Exercício 9.11) e $I$ compartilham o valor $\frac\pi2$ , passado adiante por partes e substituição — e só o primeiro é semiconvergente: a integração por partes trocou a convergência absoluta por um integrando mais simples.

Exemplo 9.5 (Uma integral semiconvergente)

$\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{\sin t}{t}\,\dd t$ converge: integre por partes,

\int_1^x \frac{\sin t}{t}\dd t = \Bigl[\frac{-\cos t}{t}\Bigr]_1^x - \int_1^x \frac{\cos t}{t^2}\dd t ,

em que o colchete tem limite e a última integral converge absolutamente ( $\abs{\cos t}/t^2 \leq t^{-2}$ ). Mas não absolutamente: de $\abs{\sin t} \geq \sin^2 t$ ,

\int_1^x \frac{\abs{\sin t}}{t}\,\dd t \;\geq\; \int_1^x \frac{\sin^2t}{t}\,\dd t = \underbrace{\int_1^x \frac{\dd t}{2t}}_{=\ \frac12\ln x \ \to\ \infty} \;-\; \underbrace{\int_1^x \frac{\cos 2t}{2t}\,\dd t}_{\text{convergente}} ,

em que a última integral converge pela mesma integração por partes acima (com $\sin 2t$ no colchete): uma peça divergente menos uma convergente diverge. Assim $\int_1^\infty\frac{\sin t}{t}\dd t$ converge sem convergir absolutamente — o análogo integral das séries alternadas, com a integração por partes fazendo o papel do critério das alternadas.

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