Momentos, variância কী?

Exemplo 22.16 (Não correlacionadas mas grudadas uma na outra)

Lance dois dados honestos, $X$ e $Y$ independentes, e ponha $S = X + Y$, $D = X - Y$. Pela bilinearidade da covariância,

soma e diferença são não correlacionadas. Independentes? Certamente não: $S = 12$ força $D = 0$, enquanto $\P(D = 0) = \frac16$ incondicionalmente. A correlação só testa a parte linear de uma dependência; aqui a dependência é carregada pela restrição de que $S$ e $D$ tenham a mesma paridade, invisível à covariância. (Para esse par, a covariância nula precisou de $V(X) = V(Y)$: distribuições idênticas, e não independência, é que fizeram o trabalho.)

Exemplo 22.17 (Quando Markov é exata)

A desigualdade de Markov é uma igualdade precisamente quando nada se desperdiça na majoração $a\,\mathbf 1_{X\geq a} \leq X$: a variável deve assumir apenas os valores $0$ e $a$. Concretamente, se $\P(X = a) = \pi$ e $\P(X = 0) = 1 - \pi$, então $\E(X) = a\pi$ e

Uma leitura realista: numa população em que a riqueza média é $100$ e a riqueza é $0$ ou $10^6$, a proporção de milionários é exatamente $10^{-4}$ — a cota de Markov, atingida exatamente por desigualdade maximal. Sempre que $X$ se espalha por valores intermediários a cota é estrita, muitas vezes escandalosamente; mas, como mostra o caso extremo, nenhuma desigualdade melhor pode ser extraída apenas da média.

Exemplo 22.18 (Chebyshev é ótima — sem hipóteses adicionais)

Fixe $\varepsilon > 0$, $q \in \intoc01$, e deixe $X$ assumir os valores $\pm\varepsilon$ com probabilidade $\frac q2$ cada e $0$ com probabilidade $1 - q$. Então $\E(X) = 0$, $V(X) = q\varepsilon^2$, e

igualdade em Chebyshev. Assim, a desigualdade não pode ser melhorada usando apenas a variância — o decaimento em $1/\varepsilon^2$ é o preço exato da informação de segundo momento. Um decaimento mais rápido exige hipóteses mais fortes: a limitação da variável compra concentração exponencial, como o Exercício 22.7 antecipa e o problema de fim de semana deste capítulo desenvolve sistematicamente.