Mudança de parâmetro কী?

Exemplo 18.4 (A velocidade nada muda de geométrico)

Parametrize o círculo unitário por

A velocidade escalar $\norm{\gamma'(t)} = 2t$ cresce linearmente, e no entanto

o mesmo comprimento que a velocidade constante — como o Teorema 18.7 promete, via a mudança de parâmetro $t \mapsto t^2$. A reta tangente, a curvatura calculada a partir de Proposição 18.17 e toda outra quantidade geométrica também coincidem; só $t = 0$ merece um olhar, onde $\gamma'(0) = 0$ torna esta parametrização irregular embora a trajetória seja um círculo perfeito. Os enunciados geométricos toleram mal as más parametrizações: reparametrize primeiro, conclua depois.

Exemplo 18.5

O arco $\gamma(t) = (t^2, t^3)$ é $\mathcal{C}^\infty$ mas não é regular: $\gamma'(0) = (0, 0)$. Sua trajetória, a parábola semicúbica $y^2 = x^3$, tem uma cúspide na origem: a suavidade da parametrização não impede uma singularidade geométrica onde a velocidade se anula. É por isso que a hipótese de regularidade $\gamma' \neq 0$ não é cosmética.