Matemática do ensino médio · Grades 10–12

20Sequências

Uma sequência é uma lista de números reais indexada pelos naturais. As sequências modelam evoluções discretas — populações contadas ano a ano, saldos de uma conta bancária, aproximações sucessivas de um número — e seus limites são o primeiro encontro sério com o infinito. Este capítulo monta o vocabulário, o princípio da indução e os teoremas fundamentais de convergência.

20.1 Raciocínio por indução

Teorema 20.1 (Princípio da indução)

Seja $P(n)$ uma afirmação que depende de um inteiro $n$ , e seja $n_0 \in \N$ . Se

(caso base) $P(n_0)$ é verdadeira e
(passo indutivo) para todo $n \geq n_0$ , $P(n)$ implica $P(n+1)$ ,

então $P(n)$ é verdadeira para todo $n \geq n_0$ .

Demonstração. Suponha, por absurdo, que o conjunto $A$ dos inteiros $n \geq n_0$ para os quais $P(n)$ é falsa seja não vazio. Então $A$ tem um menor elemento $m$ .¹ Como $P(n_0)$ é verdadeira, $m > n_0$ , logo $m - 1 \geq n_0$ e $m-1 \notin A$ , isto é, $P(m-1)$ é verdadeira. O passo indutivo aplicado a $n = m-1$ mostra então que $P(m)$ é verdadeira, contradizendo $m \in A$ . ∎

Exemplo 20.2

Vamos demonstrar a desigualdade de Bernoulli: para todo real $a > 0$ e todo $n \in \N$ ,

(1+a)^n \geq 1 + na.

Caso base. Para $n = 0$ , os dois lados valem $1$ . Passo indutivo. Suponha $(1+a)^n \geq 1+na$ para algum $n \in \N$ . Como $1 + a > 0$ , multiplicar os dois lados por $1+a$ preserva a desigualdade:

(1+a)^{n+1} \geq (1+na)(1+a) = 1 + (n+1)a + na^2 \geq 1 + (n+1)a .

Por indução, a desigualdade vale para todo $n \in \N$ .

Método 20.3 (Escrever uma demonstração por indução)

Deixe sempre a afirmação $P(n)$ explícita antes de começar. Uma demonstração completa tem três partes visíveis: o caso base, o passo indutivo (“suponha $P(n)$ ; demonstramos $P(n+1)$ ”) e a conclusão invocando o princípio da indução. O erro mais comum é demonstrar o passo indutivo sem nunca usar a hipótese $P(n)$ : se isso acontecer, ou a demonstração está errada, ou a indução não era necessária.

20.2 Vocabulário das sequências

Definição 20.4 (Sequência)

Uma sequência é uma função $u \colon \N \to \R$ (ou de $\{n \in \N : n \geq n_0\}$ em $\R$ ). A imagem de $n$ escreve-se $u_n$ , e a própria sequência, $(u_n)_{n\in\N}$ ou simplesmente $(u_n)$ .

Uma sequência pode ser definida de forma explícita, por uma fórmula $u_n = f(n)$ , ou por recorrência, pelo seu primeiro termo e uma relação $u_{n+1} = f(u_n)$ .

Definição 20.5 (Monotonicidade)

Uma sequência $(u_n)$ é crescente se $u_{n+1} \geq u_n$ para todo $n$ , decrescente se $u_{n+1} \leq u_n$ para todo $n$ , e monótona se for crescente ou decrescente. Ela é estritamente crescente (resp. decrescente) quando as desigualdades são estritas.

Método 20.6 (Estudar a monotonicidade de uma sequência)

Três técnicas padrão:

estudar o sinal de $u_{n+1} - u_n$ ;
se todos os termos são positivos, comparar $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ com $1$ ;
se $u_n = f(n)$ com $f$ definida em $\intco{0}{+\infty}$ , usar a variação de $f$ .

Definição 20.7 (Sequência limitada)

Uma sequência $(u_n)$ é limitada superiormente se existe $M \in \R$ com $u_n \leq M$ para todo $n$ ; limitada inferiormente se existe $m \in \R$ com $u_n \geq m$ para todo $n$ ; e limitada se as duas coisas valem.

20.2.1 Progressões aritméticas e geométricas

Definição 20.8 (Progressões aritméticas e geométricas)

Uma sequência $(u_n)$ é uma progressão aritmética de razão $r$ se $u_{n+1} = u_n + r$ para todo $n$ , e uma progressão geométrica de razão $q$ se $u_{n+1} = q\,u_n$ para todo $n$ .

Proposição 20.9 (Forma explícita e somas)

Seja $n \in \N$ .

Se $(u_n)$ é uma progressão aritmética de razão $r$ , então $u_n = u_0 + nr$ e

$u_0 + u_1 + \dots + u_n = (n+1)\,\frac{u_0 + u_n}{2}.$
Se $(u_n)$ é uma progressão geométrica de razão $q \neq 1$ , então $u_n = u_0\, q^n$ e

$u_0 + u_1 + \dots + u_n = u_0\,\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.$

Demonstração. As formas explícitas seguem de induções imediatas. Para a soma aritmética, escreva $S = u_0 + \dots + u_n$ e some a mesma soma escrita em ordem inversa: cada uma das $n+1$ somas de coluna vale $u_0 + u_n$ , logo $2S = (n+1)(u_0+u_n)$ . Para a soma geométrica, calcule $S - qS$ : todos os termos se cancelam aos pares, exceto o primeiro e o último, de modo que $(1-q)S = u_0(1 - q^{n+1})$ . ∎

20.3 Limite de uma sequência

Definição 20.10 (Sequência convergente)

Uma sequência $(u_n)$ converge para o número real $\ell$ se todo intervalo aberto que contém $\ell$ contém todos os termos $u_n$ a partir de um certo índice. Escrevemos então $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = \ell$ .

Equivalentemente: para todo $\varepsilon > 0$ , existe $N \in \N$ tal que, para todo $n \geq N$ , $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon$ .

Convergência de u_n = 2 + (-1)n/n para = 2: dado > 0, todos os termos a partir do índice N ficam na faixa [ - , + ]. — Convergência de $u_n = 2 + \frac{(-1)^n}{n}$ para $\ell = 2$ : dado $\varepsilon > 0$ , todos os termos a partir do índice $N$ ficam na faixa $\intcc{\ell-\varepsilon}{\ell+\varepsilon}$ .

Definição 20.11 (Divergência para o infinito)

A sequência $(u_n)$ tende a $+\infty$ se, para todo $A \in \R$ , existe $N \in \N$ tal que $u_n \geq A$ para todo $n \geq N$ . Escrevemos $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = +\infty$ ; a definição de $\lim u_n = -\infty$ é análoga. Uma sequência que não converge é dita divergente.

Observação 20.12

Uma sequência pode divergir sem tender a $\pm\infty$ : a sequência $u_n = (-1)^n$ só assume os valores $1$ e $-1$ e não tem limite.

Proposição 20.13 (Unicidade do limite)

Se $(u_n)$ converge, seu limite é único.

Demonstração. Suponha $u_n \to \ell$ e $u_n \to \ell'$ com $\ell \neq \ell'$ , digamos $\ell < \ell'$ . Ponha $\varepsilon = \frac{\ell' - \ell}{3} > 0$ . A partir de um certo índice, $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon$ e $\abs{u_n - \ell'} \leq \varepsilon$ , logo

\ell' - \ell \leq \abs{\ell' - u_n} + \abs{u_n - \ell} \leq 2\varepsilon = \tfrac{2}{3}(\ell' - \ell) < \ell' - \ell,

uma contradição. ∎

Proposição 20.14 (Operações com limites)

Sejam $(u_n)$ e $(v_n)$ sequências de limites $\ell$ e $\ell'$ (finitos ou infinitos). Então, sempre que o lado direito não for uma forma indeterminada,

\lim (u_n + v_n) = \ell + \ell', \qquad \lim (u_n v_n) = \ell\,\ell', \qquad \lim \frac{u_n}{v_n} = \frac{\ell}{\ell'}.

As formas indeterminadas são $(+\infty) + (-\infty)$ , $0 \times \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ e $\frac{0}{0}$ .

Demonstração. Demonstramos a regra da soma para limites finitos; os demais casos são análogos e ficam como exercício. Seja $\varepsilon > 0$ . Existem $N_1, N_2$ tais que $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon/2$ para $n \geq N_1$ e $\abs{v_n - \ell'} \leq \varepsilon/2$ para $n \geq N_2$ . Para $n \geq \max(N_1, N_2)$ , a desigualdade triangular dá

\abs{(u_n + v_n) - (\ell + \ell')} \leq \abs{u_n - \ell} + \abs{v_n - \ell'} \leq \varepsilon. \qedhere

∎

Método 20.15 (Levantar uma forma indeterminada)

Diante de uma forma indeterminada, coloque o termo dominante em evidência. Por exemplo,

n^2 - n = n^2\left(1 - \tfrac{1}{n}\right) \xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty, \qquad \frac{2n^2+1}{n^2 - n} = \frac{2 + 1/n^2}{1 - 1/n} \xrightarrow[n\to+\infty]{} 2 .

20.4 Teoremas de convergência

Teorema 20.16 (Teoremas de comparação e do confronto)

Sejam $(u_n)$ , $(v_n)$ , $(w_n)$ sequências.

Se $u_n \leq v_n$ a partir de certo índice e $u_n \to +\infty$ , então $v_n \to +\infty$ .
(Teorema do confronto) Se $u_n \leq v_n \leq w_n$ a partir de certo índice e $(u_n)$ e $(w_n)$ convergem ambas para o mesmo limite $\ell$ , então $(v_n)$ converge para $\ell$ .

Demonstração. 1. Seja $A \in \R$ . Como $u_n \to +\infty$ , existe $N$ com $u_n \geq A$ para $n \geq N$ ; aumentando $N$ se preciso, $v_n \geq u_n \geq A$ para $n \geq N$ .

2. Seja $\varepsilon > 0$ . A partir de um certo índice valem $\ell - \varepsilon \leq u_n$ e $w_n \leq \ell + \varepsilon$ , logo $\ell - \varepsilon \leq u_n \leq v_n \leq w_n \leq \ell + \varepsilon$ , isto é, $\abs{v_n - \ell} \leq \varepsilon$ . ∎

Exemplo 20.17

Para todo $n \geq 1$ , $-\frac{1}{n} \leq \frac{(-1)^n}{n} \leq \frac{1}{n}$ , e as duas cotas tendem a $0$ ; logo $\frac{(-1)^n}{n} \to 0$ .

Teorema 20.18 (Teorema da convergência monótona)

Uma sequência crescente e limitada superiormente converge. Uma sequência decrescente e limitada inferiormente converge. Uma sequência crescente que não é limitada superiormente tende a $+\infty$ .

Demonstração parcial. Demonstramos a terceira afirmação. Seja $(u_n)$ crescente e não limitada superiormente, e seja $A \in \R$ . Como $A$ não é cota superior, existe $N$ com $u_N \geq A$ ; pela monotonicidade, $u_n \geq u_N \geq A$ para todo $n \geq N$ . Logo $u_n \to +\infty$ .

As duas afirmações de convergência apoiam-se na propriedade do supremo de $\R$ ; elas são admitidas neste nível (e demonstradas no primeiro ano de graduação). ∎

Observação 20.19

O teorema garante a existência do limite, mas não fornece seu valor. Uma sequência crescente e limitada superiormente por $M$ converge para algum $\ell \leq M$ , não necessariamente para $M$ .

Teorema 20.20 (Limite de progressões geométricas)

Seja $q \in \R$ .

Se $q > 1$ , então $q^n \to +\infty$ .
Se $q = 1$ , então $q^n \to 1$ .
Se $\abs{q} < 1$ , então $q^n \to 0$ .
Se $q \leq -1$ , então $(q^n)$ diverge e não tem limite.

Demonstração. 1. Escreva $q = 1 + a$ com $a > 0$ . A desigualdade de Bernoulli (Exemplo 20.2) dá $q^n \geq 1 + na \to +\infty$ , e concluímos por comparação (Teorema 20.16).

2. Imediato.

3. Se $q = 0$ a afirmação é clara. Caso contrário, $\abs{q} < 1$ dá $1/\abs{q} > 1$ , logo $(1/\abs{q})^n \to +\infty$ pelo item 1, portanto $\abs{q}^n \to 0$ , e $-\abs{q}^n \leq q^n \leq \abs{q}^n$ permite concluir pelo teorema do confronto.

4. Para $q \leq -1$ , $(q^{2n})$ assume valores $\geq 1$ , enquanto $(q^{2n+1})$ assume valores $\leq -1$ : nenhum limite único pode atrair as duas subsequências. ∎

Os três comportamentos de (qn): divergência para +∈fty quando q > 1 (vermelho), convergência para 0 quando q < 1 (azul) e oscilação amortecida — ainda convergência para 0 — quando -1 < q < 0 (laranja). — Os três comportamentos de $(q^n)$ : divergência para $+\infty$ quando $q > 1$ (vermelho), convergência para $0$ quando $\abs q < 1$ (azul) e oscilação amortecida — ainda convergência para $0$ — quando $-1 < q < 0$ (laranja).

Método 20.21 (Sequências recorrentes $u_{n+1} = f(u_n)$ )

Para estudar uma sequência definida por $u_{n+1} = f(u_n)$ :

demonstre por indução que $(u_n)$ permanece em um intervalo $I$ no qual $f$ se comporta bem (e, muitas vezes, que $(u_n)$ é monótona);
deduza a convergência do teorema da convergência monótona;
passe ao limite na relação $u_{n+1} = f(u_n)$ : se $f$ é contínua e $u_n \to \ell \in I$ , então $\ell$ satisfaz $f(\ell) = \ell$ (veja o Capítulo 21); resolva essa equação e escolha a raiz certa.

Construção em escada para u_n+1 = √u_n + 2, u_0 = 0 (): cada passo vertical lê f(u_n) na curva e cada passo horizontal o traz de volta pela reta y = x. A sequência sobe até o ponto fixo = 2, onde a curva encontra a reta. — Construção em escada para $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ , $u_0 = 0$ (Exercício 20.6): cada passo vertical lê $f(u_n)$ na curva e cada passo horizontal o traz de volta pela reta $y = x$ . A sequência sobe até o ponto fixo $\ell = 2$ , onde a curva encontra a reta.

Exemplo 20.22

Sejam $u_0 = 2$ e $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right)$ . Verifica-se por indução que $u_n \geq \sqrt{2}$ para todo $n$ (a desigualdade $\frac{1}{2}(x + 2/x) \geq \sqrt{2}$ para $x>0$ equivale a $(x - \sqrt2)^2 \geq 0$ ) e, em seguida, que $(u_n)$ é decrescente, pois

u_{n+1}-u_n=\frac{2-u_n^2}{2u_n}\leq 0 .

Decrescente e limitada inferiormente, $(u_n)$ converge para algum $\ell \geq \sqrt{2}$ , que deve satisfazer $\ell = \frac{1}{2}(\ell + 2/\ell)$ , isto é, $\ell^2 = 2$ . Logo $u_n \to \sqrt{2}$ . Esse é o algoritmo de Heron, já usado pelos babilônios; sua convergência é extremamente rápida ( $u_3$ já dá $\sqrt 2$ com oito casas decimais corretas).

20.5 Exercícios

Exercício 20.1 ★

Demonstre por indução que, para todo $n \in \N$ ,

1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

Solução

Solução de Exercício 20.1.

Seja $P(n)$ a afirmação $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ . Caso base: para $n = 0$ os dois lados valem $0$ (soma vazia). Passo indutivo: suponha $P(n)$ . Então

\sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = \frac{(n+1)\bigl(n(2n+1) + 6(n+1)\bigr)}{6} = \frac{(n+1)(2n^2 + 7n + 6)}{6}.

Como $2n^2 + 7n + 6 = (n+2)(2n+3)$ , isso é $\frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}$ , que é $P(n+1)$ . Por indução, $P(n)$ vale para todo $n$ .

Exercício 20.2 ★

Estude a monotonicidade das sequências definidas, para $n \geq 1$ , por

a_n = \frac{n+1}{n}, \qquad b_n = \frac{2^n}{n}, \qquad c_n = n^2 - 10n .

Solução

Solução de Exercício 20.2.

$a_{n+1} - a_n = \frac{n+2}{n+1} - \frac{n+1}{n} = \frac{n(n+2) - (n+1)^2}{n(n+1)} = \frac{-1}{n(n+1)} < 0$ : $(a_n)$ é estritamente decrescente.

$(b_n)$ tem termos positivos e $\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{2^n} = \frac{2n}{n+1} \geq 1 \iff 2n \geq n+1 \iff n \geq 1$ : $(b_n)$ é crescente (estritamente para $n \geq 2$ ).

$c_{n+1} - c_n = (n+1)^2 - 10(n+1) - n^2 + 10n = 2n - 9$ , negativo para $n \leq 4$ e positivo para $n \geq 5$ : $(c_n)$ decresce até $c_5 = -25$ , seu mínimo, e depois cresce. Não é monótona.

Exercício 20.3 ★

Calcule os limites das sequências de termos gerais

u_n = \frac{3n^2 - n + 1}{2n^2 + 5}, \qquad v_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}, \qquad w_n = \frac{2^n - 3^n}{3^n + 1}.

Solução

Solução de Exercício 20.3.

Coloque os termos dominantes em evidência:

u_n = \frac{n^2(3 - 1/n + 1/n^2)}{n^2(2 + 5/n^2)} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{3}{2}.

Multiplique pelo conjugado:

v_n = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0.

Divida numerador e denominador por $3^n$ :

w_n = \frac{(2/3)^n - 1}{1 + (1/3)^n} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{0-1}{1+0} = -1,

usando $\lim q^n = 0$ para $\abs{q} < 1$ .

Exercício 20.4 ★

Seja $(u_n)$ a progressão aritmética com $u_0 = 5$ e razão $r = 3$ , e $(v_n)$ a progressão geométrica com $v_0 = 8$ e razão $q = \frac{1}{2}$ . Calcule $u_n$ , $v_n$ , $\sum_{k=0}^{n} u_k$ e $\sum_{k=0}^{n} v_k$ , e os limites das quatro expressões quando $n \to +\infty$ .

Solução

Solução de Exercício 20.4.

$u_n = 5 + 3n \to +\infty$ e $v_n = 8 \cdot (1/2)^n = 2^{3-n} \to 0$ . As somas são

\sum_{k=0}^{n} u_k = (n+1)\,\frac{5 + (5+3n)}{2} = \frac{(n+1)(10+3n)}{2} \xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty,

\sum_{k=0}^{n} v_k = 8\,\frac{1 - (1/2)^{n+1}}{1 - 1/2} = 16\left(1 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right) \xrightarrow[n\to+\infty]{} 16 .

Exercício 20.5 ★★

Usando o teorema do confronto, calcule

\lim_{n\to+\infty} \frac{n + \cos n}{n + 1} \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty} \frac{n!}{n^n},

em que $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$ . Para o segundo limite, limite $\frac{n!}{n^n}$ por um termo de uma progressão geométrica.

Solução

Solução de Exercício 20.5.

Como $-1 \leq \cos n \leq 1$ ,

\frac{n-1}{n+1} \leq \frac{n + \cos n}{n+1} \leq 1,

e $\frac{n-1}{n+1} \to 1$ , de modo que o limite é $1$ pelo teorema do confronto.

Para o segundo limite, escreva

0 \leq \frac{n!}{n^n} = \frac{1}{n}\cdot\frac{2}{n}\cdots\frac{n}{n} \leq \frac{1}{n},

porque todo fator $\frac{k}{n}$ com $2 \leq k \leq n$ é no máximo $1$ . Como $\frac1n \to 0$ , o teorema do confronto dá $\frac{n!}{n^n} \to 0$ . (A cota geométrica sugerida também funciona: cada fator com $k \leq n/2$ é no máximo $\frac12$ , o que dá a cota mais forte $(1/2)^{\floor{n/2}}$ .)

Exercício 20.6 ★★

Sejam $u_0 = 0$ e $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ para todo $n \in \N$ .

Demonstre por indução que $0 \leq u_n \leq 2$ para todo $n$ .
Mostre que $(u_n)$ é crescente.
Deduza que $(u_n)$ converge e determine seu limite.

Solução

Solução de Exercício 20.6.

1. $u_0 = 0 \in \intcc{0}{2}$ . Se $0 \leq u_n \leq 2$ , então $2 \leq u_n + 2 \leq 4$ , logo $\sqrt{2} \leq u_{n+1} \leq 2$ ; em particular, $0 \leq u_{n+1} \leq 2$ . Por indução, a propriedade vale para todo $n$ .

2. $u_{n+1} - u_n = \sqrt{u_n + 2} - u_n$ . Para $x \in \intcc{0}{2}$ , $\sqrt{x+2} \geq x \iff x + 2 \geq x^2 \iff (2-x)(x+1) \geq 0$ , o que é verdadeiro. Logo $(u_n)$ é crescente.

3. Crescente e limitada superiormente por $2$ , $(u_n)$ converge para algum $\ell \in \intcc{0}{2}$ . Passando ao limite em $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ (a aplicação $x \mapsto \sqrt{x+2}$ é contínua), vem $\ell = \sqrt{\ell + 2}$ , logo $\ell^2 - \ell - 2 = 0$ , isto é, $\ell \in \{-1, 2\}$ . Como $\ell \geq 0$ , $\lim u_n = 2$ .

Exercício 20.7 ★★

Um paciente toma uma dose de $1$ unidade de um medicamento toda manhã. A cada período de 24 horas, o organismo elimina $40\%$ do medicamento presente. Seja $u_n$ a quantidade de medicamento no organismo logo após a dose do dia $n$ , de modo que $u_0 = 1$ .

Justifique que $u_{n+1} = 0.6\,u_n + 1$ .
Seja $v_n = u_n - 2.5$ . Mostre que $(v_n)$ é uma progressão geométrica e deduza uma fórmula explícita para $u_n$ .
Determine a quantidade de medicamento no organismo a longo prazo.

Solução

Solução de Exercício 20.7.

1. Entre duas doses, $40\%$ do medicamento é eliminado, de modo que a quantidade $u_n$ vira $0.6\,u_n$ ; a dose seguinte acrescenta $1$ unidade: $u_{n+1} = 0.6\,u_n + 1$ .

2. $v_{n+1} = u_{n+1} - 2.5 = 0.6\,u_n + 1 - 2.5 = 0.6(u_n - 2.5) = 0.6\,v_n$ : $(v_n)$ é uma progressão geométrica de razão $0.6$ e primeiro termo $v_0 = 1 - 2.5 = -1.5$ . Logo $v_n = -1.5 \times 0.6^n$ e

u_n = 2.5 - 1.5 \times 0.6^n .

3. Como $0.6^n \to 0$ , $u_n \to 2.5$ : a quantidade de medicamento se estabiliza em $2.5$ unidades.

Exercício 20.8 ★★

Seja $(u_n)$ definida por $u_0 = 3$ e $u_{n+1} = \frac{4u_n - 1}{u_n + 2}$ .

Mostre por indução que $u_n > 1$ para todo $n \in \N$ .
Mostre que $v_n = \dfrac{1}{u_n - 1}$ define uma progressão aritmética.
Deduza fórmulas explícitas para $v_n$ e $u_n$ , e o limite de $(u_n)$ .

Solução

Solução de Exercício 20.8.

1. $u_0 = 3 > 1$ . Se $u_n > 1$ , então $u_n + 2 > 0$ e

u_{n+1} - 1 = \frac{4u_n - 1 - u_n - 2}{u_n + 2} = \frac{3(u_n - 1)}{u_n + 2} > 0 .

Por indução, $u_n > 1$ para todo $n$ (e, em particular, $u_n + 2 \neq 0$ , de modo que a sequência está bem definida).

2. Usando a identidade acima,

v_{n+1} = \frac{1}{u_{n+1} - 1} = \frac{u_n + 2}{3(u_n - 1)} = \frac{(u_n - 1) + 3}{3(u_n - 1)} = \frac{1}{3} + v_n .

Logo $(v_n)$ é uma progressão aritmética de razão $\frac13$ com $v_0 = \frac{1}{u_0 - 1} = \frac12$ .

3. $v_n = \frac12 + \frac{n}{3}$ , portanto $u_n = 1 + \frac{1}{v_n} = 1 + \frac{6}{3 + 2n}$ . Como $v_n \to +\infty$ , $u_n \to 1$ .

Exercício 20.9 ★★★

Para $n \geq 1$ , seja $H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$ .

Mostre que, para todo $n \geq 1$ , $H_{2n} - H_n \geq \frac{1}{2}$ .
Deduza que $H_{2^k} \geq 1 + \frac{k}{2}$ para todo $k \in \N$ e conclua que $H_n \to +\infty$ .

Solução

Solução de Exercício 20.9.

1. $H_{2n} - H_n = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}$ é uma soma de $n$ termos, cada um pelo menos $\frac{1}{2n}$ ; logo $H_{2n} - H_n \geq n \cdot \frac{1}{2n} = \frac12$ .

2. Por indução em $k$ : $H_{2^0} = H_1 = 1 \geq 1$ . Se $H_{2^k} \geq 1 + \frac{k}{2}$ , então, aplicando o item 1 com $n = 2^k$ ,

H_{2^{k+1}} \geq H_{2^k} + \frac12 \geq 1 + \frac{k+1}{2}.

A sequência $(H_n)$ é crescente (cada passo soma $\frac{1}{n+1} > 0$ ) e a subsequência $H_{2^k}$ é ilimitada, de modo que $(H_n)$ não é limitada superiormente. Crescente e ilimitada, ela tende a $+\infty$ (Teorema 20.18).

Exercício 20.10 ★★★

(Sequências adjacentes.) Duas sequências $(a_n)$ e $(b_n)$ são adjacentes se $(a_n)$ é crescente, $(b_n)$ é decrescente e $b_n - a_n \to 0$ .

Mostre que, para todo $n$ , $a_n \leq b_n$ . (Sugestão: estude a monotonicidade de $(b_n - a_n)$ .)
Mostre que sequências adjacentes convergem ambas para o mesmo limite.
Aplicação: mostre que as sequências $a_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$ e $b_n = a_n + \frac{1}{n \cdot n!}$ ( $n \geq 1$ ) são adjacentes. (Seu limite comum é o número $\eu$ , estudado no Capítulo 23.)

Solução

Solução de Exercício 20.10.

1. A sequência $d_n = b_n - a_n$ satisfaz $d_{n+1} - d_n = (b_{n+1} - b_n) - (a_{n+1} - a_n) \leq 0$ , de modo que $(d_n)$ é decrescente; como $d_n \to 0$ , obtemos $d_n \geq 0$ para todo $n$ (uma sequência decrescente com um termo negativo permaneceria abaixo dele para sempre, impedindo o limite $0$ ). Logo $a_n \leq b_n$ .

2. De $a_n \leq b_n \leq b_0$ , a sequência crescente $(a_n)$ é limitada superiormente e, portanto, converge para algum $\ell$ . Do mesmo modo, $(b_n)$ , decrescente e limitada inferiormente por $a_0$ , converge para algum $\ell'$ . Então $\ell' - \ell = \lim (b_n - a_n) = 0$ , logo $\ell = \ell'$ .

3. $(a_n)$ é (estritamente) crescente, pois $a_{n+1} - a_n = \frac{1}{(n+1)!} > 0$ . Para $(b_n)$ ,

b_{n+1} - b_n = \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)(n+1)!} - \frac{1}{n\,n!} = \frac{n(n+1) + n - (n+1)^2}{n(n+1)(n+1)!} = \frac{-1}{n(n+1)(n+1)!} < 0 ,

de modo que $(b_n)$ é decrescente. Por fim, $b_n - a_n = \frac{1}{n\,n!} \to 0$ . As duas sequências são adjacentes e, portanto, convergem para um limite comum.

20.6 Problema: A sequência de Heron, enfim julgada

Problema 20.1

Problema de fim de semana — a indução certifica, a convergência monótona sentencia, e a receita de dois mil anos para $\sqrt2$ finalmente ganha sua demonstração (com a maravilhosa média de Gauss de sobremesa)

Três vezes esta série encontrou a receita de Heron — tire a média entre o palpite e $2/\text{palpite}$ — e três vezes só pôde observar que a receita funciona. Este capítulo enfim possui os instrumentos do julgamento: a indução (Teorema 20.1), o teorema da convergência monótona (Teorema 20.18) e os limites de recorrências. O veredicto, e a velocidade certificada, ocupam o coração deste problema; em volta dele, as armadilhas clássicas da indução, a divergência mais lenta da matemática e a convergência mais rápida que Gauss encontrou.

Parte I — Aquecimentos de indução.

Demonstre por indução: $1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$ (a escada dos números ímpares, desenhada no volume do ensino fundamental, agora certificada).
Demonstre por indução que $2^n > n$ para todo $n \in \N$ .
Demonstre a desigualdade de Bernoulli por indução: para $x \geq 0$ e $n \in \N$ , $(1 + x)^n \geq 1 + nx$ .
A armadilha clássica: “todas as bolinhas de gude têm a mesma cor — verdade para uma bolinha; e, se quaisquer $n$ bolinhas são sempre monocromáticas, então entre $n + 1$ bolinhas as $n$ primeiras partilham uma cor, as $n$ últimas partilham uma cor, logo todas as $n + 1$ partilham”. Toda criança sabe que a conclusão é absurda: encontre o passo exato em que a indução quebra.
Demonstre por indução que $4^n - 1$ é divisível por $3$ para todo $n \in \N$ .

Parte II — O julgamento de Heron. Sejam $x_0 = 2$ e $x_{n+1} = \dfrac12\left(x_n + \dfrac{2}{x_n}\right)$ .

Calcule $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ como frações exatas (velhos conhecidos).
Demonstre a identidade-chave

$x_{n+1}^2 - 2 = \left(\frac{x_n^2 - 2}{2x_n}\right)^{\!2} \geq 0,$

e deduza por indução que $x_n > 0$ e $x_n^2 > 2$ para todo $n$ .
Mostre que $(x_n)$ é estritamente decrescente (calcule $x_{n+1} - x_n$ e use a questão 7).
Invoque o teorema da convergência monótona: por que $(x_n)$ converge para algum limite $L \geq 1$ ?
Identifique o limite: passe a recorrência ao limite (Proposição 20.14) e conclua que $L = \sqrt2$ . Enuncie o veredicto histórico: depois de dois mil anos de serviço fiel, está demonstrado que a receita de Heron converge.
A velocidade certificada: com $e_n = x_n - \sqrt2$ , demonstre que

$e_{n+1} = \frac{e_n^2}{2 x_n} ,$

e deduza $e_{n+1} \leq \frac{e_n^2}{2\sqrt2}$ : o erro é elevado ao quadrado a cada passo — a duplicação de dígitos observada desde o volume do ensino fundamental, agora um teorema.
Confirme numericamente: calcule $e_0, e_1, e_2, e_3$ (a partir da questão 6) e verifique que cada $\frac{e_{n+1}}{e_n^2}$ está próximo de $\frac{1}{2x_n}$ .

Parte III — A divergência mais lenta.

O Exercício 20.9 demonstrou $H_{2^k} \geq 1 + \frac k2$ para as somas harmônicas. Quantos termos garantem $H_n > 10$ ? (Uma potência de dois resolve; espante-se com o tamanho dela.)
Em contraste, as somas geométricas $1 + \frac12 + \frac14 + \dots + \frac{1}{2^n} = 2 - \frac{1}{2^n}$ convergem para $2$ (Teorema 20.20): a intuição da barra de chocolate do volume do ensino fundamental, enfim como afirmação sobre limites. Escreva a demonstração de duas linhas.
Entre as duas: mostre que as somas $S_n = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{n^2}$ convergem, limitando $\frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$ (para $k \geq 2$ ), telescopando e aplicando a convergência monótona. (O limite, $\frac{\pi^2}{6}$ , é um dos milagres de Euler, demonstrado nos volumes de graduação.)
Enuncie em duas frases a moral das questões 13–15: o que “os termos tendem a $0$ ” decide sobre a convergência das somas — e o que não decide?

Parte IV — A média aritmético-geométrica de Gauss. Sejam $a_0 = 1$ , $b_0 = 2$ e

a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}, \qquad b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2} .

Calcule $a_1, b_1, a_2, b_2$ (cinco casas decimais). O que você observa quanto à velocidade?
Mostre que $a_n \leq b_n$ para todo $n$ (a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica, encontrada ao longo de toda esta série), que $(a_n)$ cresce e que $(b_n)$ decresce.
Mostre que $b_{n+1} - a_{n+1} \leq \frac{b_n - a_n}{2}$ (fatore $b_{n+1} - a_{n+1} = \frac{(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})^2}{2}$ e compare) e conclua, com o Exercício 20.10, que as duas sequências são adjacentes: elas partilham um limite comum $M(1, 2)$ , a média aritmético-geométrica.
Calcule $M(1, 2)$ com seis casas decimais (de quantas iterações você precisou?). Em 30 de maio de 1799, Gauss calculou $M(1, \sqrt2)$ com onze casas decimais, reconheceu $\frac{\pi}{M(1,\sqrt2)}$ como uma integral conhecida e escreveu que se abrira um “novo campo da análise” — e de fato se abrira: as integrais elípticas, contadas nos volumes de graduação. Encerre com as velocidades de convergência observadas neste problema, da mais lenta à mais rápida.

Solução

Solução de Problema 20.1.

1. Verdadeiro para $n = 1$ ( $1 = 1^2$ ). Se $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$ , então, somando o ímpar seguinte: $n^2 + (2n + 1) = (n + 1)^2$ : hereditariedade. Por indução, vale para todo $n \geq 1$ .

2. $2^0 = 1 > 0$ . Se $2^n > n$ , então $2^{n+1} = 2 \cdot 2^n > 2n \geq n + 1$ para $n \geq 1$ (e $n = 0$ se verifica diretamente): hereditariedade, pronto.

3. $n = 0$ : $1 \geq 1$ . Se $(1 + x)^n \geq 1 + nx$ , multiplique por $1 + x \geq 1 > 0$ : $(1 + x)^{n+1} \geq (1 + nx)(1 + x) = 1 + (n + 1)x + nx^2 \geq 1 + (n + 1)x$ .

4. O passo de $n = 1$ para $n = 2$ : entre duas bolinhas, “as $n$ primeiras” e “as $n$ últimas” são duas bolinhas isoladas e disjuntas — nenhuma bolinha comum faz a ponte entre os dois grupos, de modo que nada obriga as cores a coincidirem. O argumento de hereditariedade exige em silêncio que os dois grupos se sobreponham, o que só é verdade a partir de $n \geq 2$ ; com o caso base $n = 1$ , a corrente nunca começa.

5. $4^0 - 1 = 0 = 3 \times 0$ . Se $4^n - 1 = 3k$ , então $4^{n+1} - 1 = 4(4^n - 1) + 3 = 3(4k + 1)$ : hereditariedade.

6. $x_1 = \frac32$ , $x_2 = \frac{17}{12}$ , $x_3 = \frac{577}{408}$ .

7. $x_{n+1}^2 - 2 = \frac{(x_n^2 + 2)^2 - 8x_n^2} {4x_n^2} = \frac{(x_n^2 - 2)^2}{4 x_n^2}$ : um quadrado dividido por um positivo, logo $\geq 0$ , e $> 0$ sempre que $x_n^2 \neq 2$ . Indução: $x_0 = 2 > 0$ com $x_0^2 = 4 > 2$ ; se $x_n > 0$ e $x_n^2 > 2$ , então $x_{n+1}$ (uma média de positivos) é positivo e $x_{n+1}^2 - 2 > 0$ .

8. $x_{n+1} - x_n = \frac{2 - x_n^2}{2x_n} < 0$ pela questão 7: estritamente decrescente.

9. Decrescente e limitada inferiormente (por $1$ , já que $x_n^2 > 2 > 1$ e $x_n > 0$ ): pelo teorema da convergência monótona, $(x_n)$ converge para algum $L \geq 1$ .

10. Os limites respeitam a álgebra: de $x_{n+1} = \frac12\left(x_n + \frac{2}{x_n}\right)$ e $x_n \to L \geq 1 > 0$ vem $L = \frac12\left(L + \frac2L\right)$ , logo $L^2 = 2$ e, sendo $L$ positivo, $L = \sqrt2$ . Veredicto: convergência demonstrada, limite identificado — Heron absolvido com honras.

11. $x_{n+1} - \sqrt2 = \frac{x_n^2 - 2\sqrt2\,x_n + 2}{2x_n} = \frac{(x_n - \sqrt2)^2}{2x_n}$ : exatamente $e_{n+1} = \frac{e_n^2}{2x_n}$ , e $x_n > \sqrt2$ dá $e_{n+1} \leq \frac{e_n^2}{2\sqrt2}$ . Erro elevado ao quadrado: cada passo dobra o número de casas decimais corretas, como se observava desde o ano 9.

12. $e_0 \approx 0.5858$ , $e_1 \approx 0.0858$ , $e_2 \approx 0.00245$ , $e_3 \approx 2.1 \times 10^{-6}$ . Razões: $\frac{e_1}{e_0^2} \approx 0.25 = \frac{1}{2x_0}$ ; $\frac{e_2}{e_1^2} \approx 0.333 = \frac{1}{2x_1}$ ; $\frac{e_3}{e_2^2} \approx 0.353 \approx \frac{1}{2x_2}$ : o teorema em ação.

13. $H_{2^{18}} \geq 1 + 9 = 10$ : cerca de $260\,000$ termos ( $2^{18} = 262\,144$ ) apenas para passar de $10$ — divergência a passo de tartaruga (e $H_n > 100$ exigiria mais termos do que átomos em qualquer biblioteca).

14. $S_n = 2 - \frac{1}{2^n}$ (soma geométrica), e $\frac{1}{2^n} \to 0$ (Teorema 20.20), logo $S_n \to 2$ : a barra de chocolate mordida sem fim tende ao inteiro sem nunca alcançá-lo — agora na linguagem oficial dos limites.

15. Para $k \geq 2$ : $\frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac1k$ , de modo que $S_n \leq 1 + \left(1 - \frac1n\right) < 2$ : crescente e limitada superiormente, logo convergente (convergência monótona). Euler mais tarde nomeou o limite: $\frac{\pi^2}{6}$ .

16. Os termos tenderem a $0$ é necessário para que as somas se acomodem, mas não decide nada: os termos harmônicos $\frac1n \to 0$ e, ainda assim, as somas explodem; os termos $\frac{1}{n^2} \to 0$ e as somas convergem. A questão toda é o quão depressa os termos morrem — a teoria das séries, construída nos volumes de graduação.

17. $a_1 = \sqrt2 \approx 1.41421$ , $b_1 = 1.5$ ; $a_2 \approx 1.45648$ , $b_2 \approx 1.45711$ : duas iterações já concordam em três casas decimais — velocidade impressionante.

18. $b_{n+1} - a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2} - \sqrt{a_n b_n} = \frac{(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})^2}{2} \geq 0$ : as médias mantêm a ordem. $(a_n)$ cresce: $a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n} \geq \sqrt{a_n \cdot a_n} = a_n$ ; e $(b_n)$ decresce de modo simétrico.

19. $\frac{b_{n+1} - a_{n+1}}{b_n - a_n} = \frac{(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})^2} {2(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})(\sqrt{b_n} + \sqrt{a_n})} = \frac{\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n}}{2(\sqrt{b_n} + \sqrt{a_n})} \leq \frac12$ : a diferença pelo menos se reduz à metade, logo $b_n - a_n \to 0$ ; com a questão 18, as sequências são adjacentes e partilham um limite $M(1, 2)$ .

20. A terceira iteração dá $a_3 \approx b_3 \approx 1.456791$ : $M(1, 2) \approx 1.456791$ em três voltas de manivela (a diferença praticamente se eleva ao quadrado, como em Heron). Ranking de velocidade das sequências deste problema, da mais lenta à mais rápida: as somas harmônicas (divergência glacial), as somas geométricas (erro reduzido à metade a cada passo), Heron e a média aritmético-geométrica (erro elevado ao quadrado a cada passo) — e foi a velocidade sobrenatural dessa média que disse a Gauss que ele havia encontrado um novo veio da análise.

Todo subconjunto não vazio de $\N$ tem um menor elemento; essa propriedade de $\N$ é tomada como axioma. ↩