32Cartographier la Terre entière

Sur bien des cartes murales de salle de classe, le Groenland paraît à peu près aussi grand que l’Afrique. Sur un globe, l’Afrique est environ quatorze fois plus grande : environ 29 millions de kilomètres carrés pour l’Afrique continentale, contre environ 2.1 millions pour le Groenland. Ce sont pourtant deux images fidèles de la Terre, faites avec soin. Laquelle ment, alors, et pourquoi ?

Tu sais déjà

Une carte est un dessin d’un lieu vu d’en haut, plus petit que le lieu, avec une légende et une échelle (Chapitre 4). Un globe est une petite maquette de la Terre ronde ; un planisphère montre toute la Terre à plat, en une seule image (Chapitre 6). Les parallèles et les méridiens donnent à chaque lieu sa latitude et sa longitude (Chapitre 14). L’altitude est la hauteur au-dessus du niveau de la mer, et une carte physique montre le relief en couleurs (Chapitre 9). En physique, on apprend que la lumière se propage à environ $300\,000\,\mathrm{km}$ par seconde.

32.1 Pourquoi une carte plane doit déformer

Essaie d’aplatir la peau d’une orange sur une table : elle se déchire ou elle s’étire. La surface d’une sphère ne peut pas être mise à plat sans changer certaines longueurs. Pour dessiner la Terre entière sur une feuille, le cartographe choisit une règle qui envoie chaque point du globe en un point de la feuille, et choisit ce que la carte gardera exact, et ce à quoi elle renoncera.

Définition 32.1 (Projection cartographique)

Une projection cartographique est une règle qui envoie chaque point du globe, repéré par sa latitude et sa longitude, en un point d’une carte plane. Sur une projection de Mercator, les parallèles et les méridiens sont des droites qui se coupent à angle droit, et la forme de chaque petite région est conservée, mais les surfaces sont agrandies de plus en plus vers les pôles. Sur une projection équivalente, chaque région garde sa vraie surface par rapport aux autres, mais les formes sont déformées, de plus en plus vers les bords de la carte.

La figure ci-dessous reporte sur les deux cartes les mêmes cercles égaux du globe, tous de la même taille. Sur la carte de Mercator, les cercles restent ronds mais grossissent vers les pôles : à la latitude $60{}^{\circ}$, leur surface est quatre fois celle qu’ils ont à l’équateur, et vers le milieu du Groenland, à environ $72{}^{\circ}$, environ dix fois. Sur la carte équivalente, les cercles gardent tous la même surface, mais ceux qui sont loin du centre sont écrasés en ovales.

Aucune projection n’est la meilleure pour tout. La projection de Mercator a été conçue pour les marins : une route qui garde le même cap à la boussole y est une droite. Pour comparer la taille des pays, des forêts ou des déserts, une carte équivalente dit la vérité. Avant de se fier à un planisphère, il vaut la peine de se demander quelle projection il utilise.

Exemple 32.2 (Le Groenland et l’Afrique)

L’Afrique continentale couvre environ 29 millions de $\mathrm{km}^{2}$, le Groenland environ 2.1 millions de $\mathrm{km}^{2}$ : $29 \div 2.1 \approx 14$. L’Afrique est à cheval sur l’équateur, où la projection de Mercator n’agrandit presque rien, tandis que la plus grande partie du Groenland se trouve entre environ $60{}^{\circ}$ et $84{}^{\circ}$ nord, où les surfaces sont agrandies de 4 à plus de 10 fois. Sur la carte de Mercator, les deux paraissent à peu près de même taille.

32.2 L’échelle

Une carte d’une vallée ou d’une ville représente un si petit morceau de la Terre que la projection n’a presque pas d’importance. Ce qui compte, c’est de combien la carte est plus petite que le terrain.

Définition 32.3 (Échelle numérique et échelle graphique)

L’échelle numérique d’une carte est un rapport comme $1 : 25\,000$ : un centimètre sur la carte représente $25\,000$ centimètres sur le terrain, et de même pour n’importe quelle unité. Une échelle graphique est une règle dessinée sur la carte, graduée avec les distances sur le terrain.

Méthode 32.4 (Utiliser une échelle numérique)

1. Mesure la distance sur la carte, en centimètres.
2. Multiplie-la par le nombre placé après les deux-points : le résultat est la distance sur le terrain, en centimètres.
3. Convertis : divise par 100 pour obtenir des mètres, par $100\,000$ pour obtenir des kilomètres.

Exemple 32.5 (Une promenade sur une carte au $1 : 25\,000$)

Sur une carte au $1 : 25\,000$, un sentier mesure $6\,\mathrm{cm}$. Sur le terrain, cela fait $6 \times 25\,000 = 150\,000$ cm, soit $1500\,\mathrm{m}$ ou $1.5\,\mathrm{km}$. Chaque centimètre de la carte représente $250\,\mathrm{m}$.

L’échelle graphique a un avantage sur l’échelle numérique : quand une carte est agrandie ou réduite sur un écran ou une photocopieuse, la règle est agrandie ou réduite avec elle et reste juste, tandis que le rapport imprimé dans le coin devient faux.

32.3 La carte topographique

Une carte physique montre le relief par des couleurs. Une carte d’une petite région le montre bien plus précisément, par des lignes.

Définition 32.6 (Carte topographique)

Une carte topographique est une carte détaillée d’une petite région, à une échelle comme $1 : 25\,000$ ou $1 : 50\,000$, qui montre la forme et l’altitude du terrain, avec les rivières, les routes, les sentiers, les bâtiments et les bois.

Définition 32.7 (Courbe de niveau et équidistance)

Une courbe de niveau est une ligne qui relie, sur une carte, des points du terrain situés à la même altitude. L’équidistance est la différence d’altitude entre deux courbes de niveau voisines ; elle est la même sur toute la carte.

Imagine une colline découpée par des plans horizontaux, un tous les $100\,\mathrm{m}$. Chaque plan coupe la colline selon une ligne fermée ; vues d’en haut, ces lignes sont les courbes de niveau.

Une carte topographique se lit avec quelques règles.

• Les courbes de niveau ne se croisent jamais : un point n’a qu’une seule altitude.
• Plus les courbes sont serrées, plus la pente est raide ; espacées, le terrain est en pente douce ; sans aucune courbe, il est presque plat.
• Des courbes fermées emboîtées les unes dans les autres, de plus en plus hautes vers l’intérieur, indiquent une colline ; son sommet est souvent marqué d’un point accompagné de son altitude, un point coté.
• Là où une courbe de niveau traverse une vallée, elle remonte vers l’amont, en un V qui pointe vers le haut de la vallée.
• Une courbe sur cinq, la courbe maîtresse, est tracée plus épaisse et porte son altitude.

La pente du terrain entre deux points est la dénivelée divisée par la distance horizontale, souvent écrite en pourcentage. Sur la carte ci-dessous, en allant vers le nord depuis la rivière, les courbes de $200\,\mathrm{m}$ et de $400\,\mathrm{m}$ sont distantes d’environ $0.75\,\mathrm{km}$ sur la ligne C–D : la pente est d’environ $200 \div 750 \approx 0.27$, soit $27\,\%$.

Méthode 32.8 (Tracer un profil topographique)

1. Trace sur la carte la ligne du profil, d’une extrémité (C) à l’autre (D).
2. Pose le bord droit d’une bande de papier le long de la ligne ; marque C, D, et chaque point où la ligne coupe une courbe de niveau, avec son altitude.
3. Trace un axe horizontal aussi long que C–D (les distances) et un axe vertical des altitudes.
4. Reporte chaque marque sur le graphique, à sa distance de C et à son altitude, et relie les points par une courbe régulière : arrondie au sommet des collines, plate le long d’un fond de vallée.

32.4 Les images satellites de la Terre

Le 23 juillet 1972, une fusée lança le premier satellite conçu pour étudier la surface de la Terre, appelé plus tard Landsat 1. Faisant le tour de la Terre 14 fois par jour à $917\,\mathrm{km}$ d’altitude, d’un pôle à l’autre, il repassait au-dessus du même lieu tous les 18 jours et, en six ans, photographia environ les trois quarts de la surface de la Terre. Depuis, les satellites Landsat n’ont jamais cessé de photographier les terres.

Définition 32.9 (Télédétection et image satellite)

La télédétection est l’observation de la Terre à distance, depuis des avions ou des satellites, en mesurant la lumière et les autres rayonnements que la surface renvoie. Une image satellite est une image d’une partie de la Terre construite à partir de ces mesures.

La caméra d’un satellite voit plus que nos yeux : elle mesure aussi la lumière infrarouge, qui est invisible. Représenté en couleurs sur l’image (une image en fausses couleurs), l’infrarouge révèle les plantes, les sols humides ou la roche nue. Des images d’un même lieu prises à des années d’intervalle montrent comment changent une côte, une forêt, un glacier ou une ville (Chapitre 27).

32.5 Le positionnement par satellite

Un téléphone ou une voiture peut savoir où il se trouve à quelques mètres près, presque partout sur la Terre. Il ne voit pas les satellites : il les écoute.

Définition 32.10 (Positionnement par satellite)

Le positionnement par satellite consiste à trouver une position sur la Terre à partir des distances à plusieurs satellites dont les positions sont connues. Un récepteur calcule chaque distance à partir du temps que met un signal du satellite pour lui parvenir.

Le système américain, le GPS, maintient au moins 24 satellites en service à une altitude d’environ $20\,200\,\mathrm{km}$. Chacun fait le tour de la Terre deux fois par jour, sur six orbites réparties autour de la planète, de sorte que depuis presque n’importe quel point de la Terre, au moins quatre satellites sont visibles. Un signal parti de $20\,200\,\mathrm{km}$, voyageant à la vitesse de la lumière, arrive au bout de $20\,200 \div 300\,000 \approx 0.067$ s : le récepteur mesure ce temps et le convertit en distance.

Comment des distances donnent-elles une position ? Représentons-nous l’idée sur une carte plane. Si le récepteur est à $5\,\mathrm{km}$ de la balise A, il se trouve quelque part sur un cercle de rayon $5\,\mathrm{km}$ autour de A. S’il est aussi à $10\,\mathrm{km}$ de B, il se trouve sur les deux cercles : en l’un des deux points où ils se coupent. Une troisième distance, $5\,\mathrm{km}$ de C, désigne le bon. Dans l’espace, les cercles deviennent des sphères, et il faut un satellite de plus pour la même raison.

32.6 Exercices

Exercice 32.1 ★

Donne le mot qui correspond à chaque description. (a) Une règle qui envoie chaque point du globe en un point d’une carte plane. (b) Une ligne qui relie des points situés à la même altitude. (c) Un rapport comme $1 : 50\,000$. (d) La différence d’altitude entre deux courbes de niveau voisines. (e) L’observation de la Terre à distance, par exemple depuis un satellite.

Solution

Solution de Exercice 32.1.

(a) Une projection cartographique. (b) Une courbe de niveau. (c) Une échelle numérique. (d) L’équidistance. (e) La télédétection.

Exercice 32.2 ★

Convertis chaque distance sur la carte en distance sur le terrain, en mètres ou en kilomètres. (a) $4\,\mathrm{cm}$ sur une carte au $1 : 25\,000$. (b) $3\,\mathrm{cm}$ sur une carte au $1 : 50\,000$. (c) $2.5\,\mathrm{cm}$ sur une carte au $1 : 1\,000\,000$. (d) Sur une carte au $1 : 25\,000$, combien de centimètres représentent $1\,\mathrm{km}$ ?

Solution

Solution de Exercice 32.2.

(a) $4 \times 25\,000 = 100\,000$ cm $= 1\,\mathrm{km}$. (b) $3 \times 50\,000 = 150\,000$ cm $= 1.5\,\mathrm{km}$. (c) $2.5 \times 1\,000\,000 = 2\,500\,000$ cm $= 25\,\mathrm{km}$. (d) $1\,\mathrm{km} = 100\,000$ cm ; $100\,000 \div 25\,000 = 4\,\mathrm{cm}$.

Exercice 32.3 ★

Vrai ou faux ? Corrige les phrases fausses. (a) Un planisphère peut montrer toute la Terre sans rien déformer. (b) Sur une carte de Mercator, le Groenland paraît plus grand qu’il n’est. (c) Sur une carte équivalente, les formes sont conservées partout. (d) Une échelle graphique reste juste quand une carte est agrandie à la photocopieuse.

Solution

Solution de Exercice 32.3.

(a) Faux : une sphère ne peut pas être mise à plat sans déformer les longueurs, si bien que tout planisphère déforme quelque chose. (b) Vrai. (c) Faux : une carte équivalente conserve les surfaces, mais déforme les formes, surtout près de ses bords. (d) Vrai.

Exercice 32.4 ★

Sur une carte topographique, (a) que signifient des courbes de niveau très serrées ? (b) très espacées ? (c) Que montrent des courbes de niveau fermées de plus en plus hautes vers l’intérieur ? (d) Pourquoi deux courbes de niveau ne peuvent-elles jamais se croiser ?

Solution

Solution de Exercice 32.4.

(a) La pente est raide. (b) Le terrain est en pente douce. (c) Une colline, dont le sommet se trouve à l’intérieur de la plus petite courbe. (d) Un point du terrain n’a qu’une seule altitude, il ne peut donc pas se trouver sur deux courbes d’altitudes différentes.

Exercice 32.5 ★★

Sur une carte de Mercator, les surfaces à la latitude $60{}^{\circ}$ sont agrandies 4 fois, et à la latitude $30{}^{\circ}$ environ 1.33 fois, par rapport à l’équateur. (a) Un lac de $1000\,\mathrm{km}^{2}$ situé à $60{}^{\circ}$ N est dessiné sur la carte. Un lac de l’équateur dessiné avec la même taille a quelle surface réelle ? (b) Deux îles de même surface réelle se trouvent à $30{}^{\circ}$ et à $60{}^{\circ}$. Combien de fois la seconde paraît-elle plus grande que la première ? (c) Pourquoi la carte de Mercator ne peut-elle jamais montrer les pôles ?

Solution

Solution de Exercice 32.5.

(a) À $60{}^{\circ}$ N, le lac est dessiné 4 fois trop grand : il paraît aussi grand que $4 \times 1000 = 4000\,\mathrm{km}^{2}$. À l’équateur, les surfaces ne sont pas agrandies, donc le lac dessiné avec la même taille a une surface réelle de $4000\,\mathrm{km}^{2}$. (b) $4 \div 1.33 \approx 3$ fois plus grande. (c) Les surfaces, et les distances du nord au sud, grandissent sans limite vers les pôles : les pôles seraient infiniment loin de l’équateur.

Exercice 32.6 ★★

Utilise la carte topographique des collines de Varden de ce chapitre. (a) Quelle est l’équidistance ? (b) Quelle est l’altitude du sommet marqué par son point coté, et celle de la courbe maîtresse qui l’entoure ? (c) La rivière coule vers l’est. Le fond de la vallée est-il plus haut à l’ouest ou à l’est de la carte ? (d) Le long de C–D, au nord de la rivière, entre quelles courbes de niveau les lignes sont-elles le plus serrées ? Qu’est-ce que cela t’apprend sur la pente à cet endroit ?

Solution

Solution de Exercice 32.6.

(a) $50\,\mathrm{m}$. (b) Le sommet est à $544\,\mathrm{m}$ ; la courbe maîtresse qui l’entoure est celle de $500\,\mathrm{m}$. (c) À l’ouest : une rivière descend la pente, donc son fond est plus bas vers l’aval, à l’est. (d) Entre les courbes d’environ 300 et $400\,\mathrm{m}$ : c’est là que la pente est la plus raide, plus douce à la fois près du fond de la vallée et près du sommet.

Exercice 32.7 ★★

Utilise le profil C–D de ce chapitre. (a) À peu près à quelle altitude se trouvent C et D ? (b) Quelle est l’altitude la plus basse le long du profil, et à quelle distance de C se trouve-t-elle ? (c) Quelle est la longueur du fond de vallée plat le long de C–D ? (d) Le profil est tracé avec une échelle verticale exagérée trois fois. Pourquoi les cartographes le font-ils souvent ?

Solution

Solution de Exercice 32.7.

(a) C à environ $400\,\mathrm{m}$, D à environ $530\,\mathrm{m}$. (b) Environ $135\,\mathrm{m}$, à environ $1.3\,\mathrm{km}$ de C, au fond de la vallée. (c) Environ 0.3 à $0.4\,\mathrm{km}$. (d) Les dénivelées sont faibles par rapport aux distances : sans exagération, les collines paraîtraient presque plates.

Exercice 32.8 ★★

Sur une carte au $1 : 25\,000$, un sentier coupe la courbe de $200\,\mathrm{m}$ puis celle de $300\,\mathrm{m}$, $2\,\mathrm{cm}$ plus loin. (a) Quelle est la distance horizontale entre les deux points sur le terrain ? (b) De combien le sentier monte-t-il ? (c) Quelle est la pente, en pourcentage ? (d) Plus loin, deux courbes distantes de $100\,\mathrm{m}$ en altitude sont séparées de $4\,\mathrm{cm}$ sur la carte. Le sentier y est-il plus raide ou moins raide ? De combien ?

Solution

Solution de Exercice 32.8.

(a) $2 \times 25\,000 = 50\,000$ cm $= 500\,\mathrm{m}$. (b) $300 - 200 = 100\,\mathrm{m}$. (c) $100 \div 500 = 0.2$, une pente de $20\,\%$. (d) Moins raide : $4\,\mathrm{cm}$ représentent $1000\,\mathrm{m}$, donc la pente est de $100 \div 1000 = 10\,\%$, deux fois moins forte.

Exercice 32.9 ★★

Landsat 1 faisait le tour de la Terre 14 fois par jour et repassait au-dessus du même lieu tous les 18 jours. (a) Combien d’orbites faisait-il entre deux passages au-dessus du même lieu ? (b) Chaque orbite durait 103 minutes. Combien d’heures durent 14 orbites ? (c) Conçu pour fonctionner un an, il fut éteint le 6 janvier 1978, cinq ans et demi après son lancement. Combien de fois sa durée de vie prévue a-t-il fonctionné ? (d) Donne un changement de la surface de la Terre que peuvent montrer des images d’un même lieu prises à des années d’intervalle.

Solution

Solution de Exercice 32.9.

(a) $14 \times 18 = 252$ orbites. (b) $14 \times 103 = 1442$ minutes, environ $24\,\mathrm{h}$ : une journée. (c) $5.5 \div 1 = 5.5$ fois. (d) Par exemple : un glacier qui recule, une forêt abattue, une ville qui s’étend, une côte ou une rivière qui se déplace.

Exercice 32.10 ★★

Un satellite GPS se trouve à environ $20\,200\,\mathrm{km}$ ; son signal se propage à environ $300\,000\,\mathrm{km}$ par seconde. (a) Combien de temps le signal met-il à arriver ? Écris la réponse en notation scientifique. (b) Si l’horloge d’un récepteur se trompait de $1 \times 10^{-3}$ s, quelle erreur sur la distance cela produirait-il ? (c) Qu’est-ce que cela t’apprend sur les horloges utilisées pour le positionnement par satellite ?

Solution

Solution de Exercice 32.10.

(a) $20\,200 \div 300\,000 \approx 0.067$ s $= 6.7 \times 10^{-2}$ s. (b) $300\,000 \times 10^{-3} = 300\,\mathrm{km}$. (c) Une infime erreur de temps produit une énorme erreur de distance : les horloges doivent être extrêmement précises.

Exercice 32.11 ★★★

Sur une carte plane quadrillée en kilomètres, la balise A est en $(0, 0)$ et la balise B en $(10, 0)$. Un récepteur est à $6\,\mathrm{km}$ de A et à $8\,\mathrm{km}$ de B. (a) Montre que le point $(3.6, 4.8)$ est à $6\,\mathrm{km}$ de A et à $8\,\mathrm{km}$ de B. (b) Donne un autre point situé aux mêmes distances de A et de B. (c) Une troisième balise C est en $(0, 10)$, et le récepteur en est à environ $6.3\,\mathrm{km}$. Lequel des deux points est le récepteur ? (d) Pourquoi le positionnement par satellite a-t-il besoin de plusieurs satellites ?

Solution

Solution de Exercice 32.11.

(a) Distance à A : $\sqrt{3.6^2 + 4.8^2} = \sqrt{12.96 + 23.04} = \sqrt{36} = 6$ ; distance à B : $\sqrt{6.4^2 + 4.8^2} = \sqrt{40.96 + 23.04} = \sqrt{64} = 8$. (b) $(3.6, -4.8)$, le symétrique par rapport à la droite AB. (c) Distance de C à $(3.6, 4.8)$ : $\sqrt{3.6^2 + 5.2^2} = \sqrt{40} \approx 6.3$ ; à $(3.6, -4.8)$ : $\sqrt{3.6^2 + 14.8^2} = \sqrt{232} \approx 15.2$. Le récepteur est en $(3.6, 4.8)$. (d) Une distance donne un cercle (une sphère dans l’espace), deux donnent deux points possibles ; il faut une autre distance pour choisir.

Exercice 32.12 ★★★

L’Afrique continentale couvre environ 29 millions de $\mathrm{km}^{2}$ et le Groenland environ 2.1 millions de $\mathrm{km}^{2}$. (a) Combien de fois l’Afrique est-elle plus grande ? (b) Sur une carte de Mercator, les surfaces proches du milieu du Groenland, à environ $72{}^{\circ}$ N, sont agrandies environ 10.5 fois. Estime la surface que le Groenland semble avoir. (c) L’Afrique s’étend de part et d’autre de l’équateur, où les surfaces sont peu agrandies. Compare ta réponse à (b) avec la surface de l’Afrique, et explique la carte murale du début du chapitre. (d) Quelle projection choisirais-tu pour montrer équitablement la taille des continents ?

Solution

Solution de Exercice 32.12.

(a) $29 \div 2.1 \approx 14$ fois. (b) $2.1 \times 10.5 \approx 22$ millions de $\mathrm{km}^{2}$. (c) Le Groenland semble couvrir environ 22 millions de $\mathrm{km}^{2}$, proche des 29 millions de l’Afrique : sur la carte murale de Mercator, les deux paraissent à peu près de même taille, alors que l’Afrique est 14 fois plus grande. (d) Une projection équivalente.

32.7 Problème : un sentier à travers les collines de Varden

Problème 32.1

Problème du week-end — des aménageurs ont tracé un sentier à travers les collines de Varden sur la carte topographique ; la réponse finale est la longueur du sentier en kilomètres et sa dénivelée positive totale en mètres

Le sentier part d’une ferme S, descend jusqu’à un pont B sur la rivière, puis monte jusqu’à un abri W et continue jusqu’au sommet T. Chaque tronçon est rectiligne et ne fait que descendre ou que monter. La carte est au $1 : 50\,000$ ; les altitudes de S, B, W et T sont écrites à côté d’eux.

Partie I — L’itinéraire sur la carte.

1. Au $1 : 50\,000$, combien de mètres sur le terrain représente $1\,\mathrm{cm}$ de la carte ?
2. Sur la carte originale, le tronçon S–B mesure $3.6\,\mathrm{cm}$. Quelle est sa longueur sur le terrain, en kilomètres ?
3. Les tronçons B–W et W–T mesurent $2.5\,\mathrm{cm}$ et $2.35\,\mathrm{cm}$. Quelle est leur longueur sur le terrain ?
4. Dans quelle direction générale le sentier va-t-il de B à T ?

Partie II — La montée.

5. Quelle est l’équidistance de la carte ?
6. Quel tronçon descend ? De combien de mètres ?
7. De combien de mètres le sentier monte-t-il sur B–W, et sur W–T ?
8. Quelle est la pente moyenne du tronçon W–T, en pourcentage ?
9. Pourquoi les aménageurs n’ont-ils pas tracé le sentier en ligne droite de S à T ?

Partie III — La marche.

10. Suppose qu’un randonneur parcoure $4\,\mathrm{km}$ par heure sur le plat et ait besoin d’une minute de plus pour chaque $10\,\mathrm{m}$ de montée. Combien de temps dure toute la marche ?
11. Une autre randonneuse suit le sentier dans l’autre sens, de T à S. De combien de mètres monte-t-elle ?
12. Quelle est la longueur totale du sentier, en kilomètres, et sa dénivelée positive totale, en mètres ?

Solution

Solution de Problème 32.1.

1. $50\,000$ cm $= 500\,\mathrm{m}$.

2. $3.6 \times 500 = 1800\,\mathrm{m} = 1.8\,\mathrm{km}$.

3. B–W : $2.5 \times 500 = 1250\,\mathrm{m}$ ; W–T : $2.35 \times 500 \approx 1180\,\mathrm{m}$.

4. Vers le nord-est.

5. $50\,\mathrm{m}$.

6. S–B descend : $296 - 143 = 153\,\mathrm{m}$.

7. B–W : $335 - 143 = 192\,\mathrm{m}$ ; W–T : $544 - 335 = 209\,\mathrm{m}$.

8. $209 \div 1180 \approx 0.18$, environ $18\,\%$.

9. Une ligne droite de S à T traverserait la rivière là où il n’y a pas de pont ; le sentier descend jusqu’au pont, en B.

10. $1.8 + 1.25 + 1.18 \approx 4.2\,\mathrm{km}$ à $4\,\mathrm{km}$ par heure : environ 63 minutes ; montée $192 + 209 = 401\,\mathrm{m}$ : environ 40 minutes de plus. Au total, environ 1 h 43 min.

11. Depuis T, elle descend jusqu’à B, puis monte de B jusqu’à S : $296 - 143 = 153\,\mathrm{m}$.

12. Longueur : $1.8 + 1.25 + 1.18 \approx \textbf{4.2 km}$ ; dénivelée positive totale : $192 + 209 = \textbf{401 m}$.