ما معنى شكل خطي؟

مثال 20.18 (شكل تقويم ومستويه الفائق)

على $\R_2[X]$، يكون التقويم $\varphi(P) = P(2)$ شكلًا خطيًا غير معدوم ($\varphi(1) = 1$). ونواته هي المستوي الفائق لكثيرات الحدود المنعدمة عند $2$، أي (بمبرهنة العامل، المبرهنة 8.7) مضاعفات $X - 2$ داخل $\R_2[X]$:

وبالإحداثيات على $(1, X, X^2)$، $\varphi(a + bX + cX^2) = a + 2b + 4c$: فكل شكل خطي على فضاء ذي بُعد منته هو، ما إن يُثبَّت أساس، عبارةٌ خطية مثبَّتة في الإحداثيات — فالأشكال «متجهات سطرية»، كما سيجعله الفصل 21 حرفيًا، وسطر المعاملات هنا، $(1, 2, 4)$، سطرُ فاندرموند: فأشكال التقويم هي كيف تدخل نظرية المقايسة في مسألة نهاية الأسبوع في الفصل 22 إلى الجبر الخطي.

مثال 20.20

في $K^n$، يكون المستوي الفائق مجموعة حلول $\{a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = 0\}$ مع عدم انعدام كل $a_i$ — أي المعادلة المألوفة لمستوٍ مارّ بالمبدأ في $\R^3$. وفي فضاءات الدوال، تعرّف أشكال التقويم $P \mapsto P(1)$ أو $f \mapsto \int_0^1 f$ مستويات فائقة في $\R_n[X]$ وفي $C(\intcc{0}{1})$ (قارن التمرين 19.6).

مثال 20.21 (مستوٍ فائق واحد، معالَجًا بثلاث كيفيات)

خذ $\varphi(x, y, z) = x - 2y + 3z$ على $\R^3$ و $H = \ker\varphi$. الأساس: حُلَّ $x = 2y - 3z$:

ومتجهتان حرتان: ومنه $\dim H = 2$، أي مستوٍ فائق، كما يتنبّأ المبرهنة 20.19 من $\varphi \neq 0$. ومستقيم متتامّ: أيّ متجهة خارج $H$ تولّد واحدًا، مثلًا $a = (1, 0, 0)$ ($\varphi(a) = 1 \neq 0$)؛ و تفكيك $v$ كيفية صريح:

لأن $\varphi\bigl(v - \varphi(v)a\bigr) = \varphi(v) - \varphi(v)\varphi(a) = 0$. والتناسب: إذا كان $\psi(x,y,z) = -2x + 4y - 6z$، فإن $\psi = -2\varphi$ ولكليهما النواة $H$؛ وبالعكس، فأيّ شكل ينعدم على $H$ هو مضاعف للمقدار $\varphi$ (التمرين 20.8) — فمعادلة مستوٍ فائق وحيدة بغضّ النظر عن السلّم، وهي واقعة تُستعمل باستمرار من أجل المستويات في الهندسة.