ما معنى جداء سلّمي؟ — الرياضيات

تعريف 23.1 الرياضيات الجامعية — السنة 1 · الفصل 23 — الفضاءات الإقليدية

الجداء السلّمي على $E$ تطبيق $\langle\cdot,\cdot\rangle \colon E \times E \to \R$ ثنائي الخطية، ومتماثل، ومعيَّن موجب ( $\langle x, x\rangle > 0$ من أجل $x \neq 0$ ). والفضاء ذو البُعد المنتهي المزوَّد به فضاء إقليدي. ومعيار $x$ هو $\norm{x} = \sqrt{\langle x, x\rangle}$ ، و $d(x, y) = \norm{x - y}$ .

أمثلة

مثال 23.2

على $\R^n$ : الجداء القانوني $\langle x, y\rangle = \sum x_i y_i$ . وعلى $C(\intcc{a}{b})$ : $\langle f, g \rangle = \int_a^b fg$ (والتعيين الموجب هو المبرهنة 15.7 (4)). وعلى $\R_n[X]$ : $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$ ، أو $\sum_{i} P(x_i)Q(x_i)$ على $n+1$ نقطة متمايزة.

مثال 23.3 (الزاوية بين كثيرَي حدود)

ما إن يُختار جداء سلّمي، تكتسب أيّ متجهتين غير معدومتين زاويةً، عبر $\cos\theta = \frac{\langle x, y\rangle}{\norm x\,\norm y}$ (وهو جيب تمام مشروع بكوشي–شوارتز). ومن أجل $X$ و $X^2$ في $\int_0^1$ :

\langle X, X^2\rangle = \frac14, \qquad \norm X = \frac1{\sqrt3}, \qquad \norm{X^2} = \frac1{\sqrt5}, \qquad \cos\theta = \frac{1/4}{1/\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \approx 0.968 :

أي زاوية نحو $14.5$ درجة — فعلى $\intcc{0}{1}$ ، يكون منحنيا $x$ و $x^2$ «شبه متوازيين» بمعنى المتوسط التربيعي، ولهذا لا تترك إزالة ذلك الاتجاه المشترك (غرام–شميت أدناه) إلا التصحيح الصغير $X^2 - X + \frac16$ .

مثال 23.7 (الإحداثيات المتعامدة الممنظمة، مع تحقق بارسيفال)

انشر $x = (1, 2, 3)$ في الأساس المتعامد الممنظم للمقدار التمرين 23.3،

e_1 = \tfrac{1}{\sqrt2}(1,1,0), \quad e_2 = \tfrac{1}{\sqrt6}(1,-1,2), \quad e_3 = \tfrac{1}{\sqrt3}(-1,1,1).

فلا جملة تُحلّ — بل ثلاثة جداءات سلّمية:

\langle x, e_1\rangle = \frac{3}{\sqrt2}, \qquad \langle x, e_2\rangle = \frac{1 - 2 + 6}{\sqrt6} = \frac{5}{\sqrt6}, \qquad \langle x, e_3\rangle = \frac{-1 + 2 + 3}{\sqrt3} = \frac{4}{\sqrt3}.

والمصادقة بصيغة المعيار في القضية:

\frac{9}{2} + \frac{25}{6} + \frac{16}{3} = \frac{27 + 25 + 32}{6} = 14 = \norm{x}^2 = 1 + 4 + 9 .

وتحقق مجموع مربعات الإحداثيات هذا (وهو متطابقة بارسيفال منتهية) يكلّف ثوانيَ ويمسك أخطاء الإشارة والتنظيم بيقين شبه تامّ — فاجعله عادة كلما حُسب نشر متعامد ممنظم؛ وصيغته غير المنتهية البُعد، من أجل معاملات فورييه في المثال 23.14، مبرهنةٌ في مجلّد السنة الثالثة.

اقرأ في الفصل ←

تعريف 13.1 الرياضيات الجامعية — السنة 3 · الفصل 13 — فضاءات هيلبرت

الجداء السلّمي هو تطبيق $\langle \cdot,\cdot\rangle \colon H\times H \to K$ ، خطي في المتغيّر الثاني، يحقق $\langle y, x\rangle = \overline{\langle x, y\rangle}$ و $\langle x, x\rangle > 0$ من أجل $x \neq 0$ . وهو يستحث المعيار $\norm x = \langle x, x\rangle^{1/2}$ ، ومتراجحة كوشي–شوارتز $\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x\norm y$ (وبرهانها — بالمميِّز — في السنة الجامعية 2 لم يتغيّر)، وقاعدة متوازي الأضلاع

\norm{x + y}^2 + \norm{x - y}^2 = 2\norm x^2 + 2\norm y^2 .

وفضاء هيلبرت هو فضاءٌ ذو جداء سلّمي تامٌّ بالنسبة إلى هذا المعيار. أمثلة: $\ell^2$ (المسألة 8.1)، والمثال الأساسي $L^2(\mu)$ مع $\langle f, g\rangle = \int\bar fg\,\dd\mu$ — وهو تام بريس–فيشر (المبرهنة 12.4)؛ والجداء السلّمي منتهٍ بكوشي–شوارتز (أي هولدر عند $p = q = 2$ ).

أمثلة

مثال 13.5 (إسقاط، محسوبٌ حتى النهاية)

في $H = L^2(\intcc01)$ ، ما أفضل تقريب للدالة $f(x) = x^2$ بدالة تآلفية؟ الفضاء الجزئي $F = \operatorname{Vect}(1, x)$ مغلق (لأنه منتهي البُعد)، وتميّز $p_F(f) = a + bx$ بتعامد الباقي مع $1$ ومع $x$ :

\int_0^1(x^2 - a - bx)\,\dd x = 0, \qquad \int_0^1x\,(x^2 - a - bx)\,\dd x = 0,

أي $\frac13 = a + \frac b2$ و $\frac14 = \frac a2 + \frac b3$ : ومنه $a = -\frac16$ و $b = 1$ . فيكون $p_F(x^2) = x - \frac16$ ، ويكون الخطأ

d(f, F)^2 = \int_0^1\Bigl(x^2 - x + \frac16\Bigr)^2\dd x = \frac1{180}, \qquad d(f, F) = \frac1{6\sqrt5} .

وملاحظتان جديرتان بالاستيعاب. أولًا، ليس الحساب سوى جملة خطية من الرتبة $2\times2$ — أي المعادلات الناظمية؛ ومن أجل أساس الوحيدات الحدّية تكون مصفوفتها $\bigl(\frac1{i+j+1}\bigr)$ هي مصفوفة هيلبرت السيّئة التكييف بشهرتها، والعلاج هو التعامد أولًا (كثيرات حدود لوجاندر، المسألة 13.1). وثانيًا، أفضل تقريب منتظم للمقدار $x^2$ بالدوال التآلفية مختلفٌ ( $x - \frac18$ ، بالتذبذب المتساوي): فلكل معيار هندسته، ولا يجيب بجملة خطية إلا المعيار الهيلبرتي.

اقرأ في الفصل ←

أمثلة

أمثلة

مصطلحات ذات صلة