ما معنى عائلة متعامدة ممنظمة؟

مثال 23.7 (الإحداثيات المتعامدة الممنظمة، مع تحقق بارسيفال)

انشر $x = (1, 2, 3)$ في الأساس المتعامد الممنظم للمقدار التمرين 23.3،

فلا جملة تُحلّ — بل ثلاثة جداءات سلّمية:

والمصادقة بصيغة المعيار في القضية:

وتحقق مجموع مربعات الإحداثيات هذا (وهو متطابقة بارسيفال منتهية) يكلّف ثوانيَ ويمسك أخطاء الإشارة والتنظيم بيقين شبه تامّ — فاجعله عادة كلما حُسب نشر متعامد ممنظم؛ وصيغته غير المنتهية البُعد، من أجل معاملات فورييه في المثال 23.14، مبرهنةٌ في مجلّد السنة الثالثة.

مثال 23.9 (غرام–شميت على كثيرات الحدود، كاملًا)

عمّد $(1, X, X^2)$ في $\R_2[X]$ بالجداء $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$. الخطوة 1: $\norm{1}^2 = 1$، ومنه $e_1 = 1$. والخطوة 2: $w_2 = X - \langle X, 1\rangle\,1 = X - \frac12$، و $\norm{w_2}^2 = \int_0^1\bigl(x - \frac12\bigr)^2 \dd x = \frac1{12}$: ومنه $e_2 = \sqrt{12}\,\bigl(X - \frac12\bigr)$. والخطوة 3: $\langle X^2, e_1\rangle = \frac13$ و

ومعياره محسوب في التمرين 23.9: $\norm{w_3}^2 = \frac1{180}$، ومنه $e_3 = \sqrt{180}\,\bigl(X^2 - X + \frac16\bigr)$. وكثيرات الحدود $1$ و $X - \frac12$ و $X^2 - X + \frac16$ هي، بغضّ النظر عن السلّم، أوائل كثيرات حدود لوجاندر للفترة $\intcc{0}{1}$؛ ويستمر البناء درجةً درجة، وكل كثير حدود جديد متعامد مع كل سابقيه. ولاحظ كيف تعيد الخوارزمية تدوير العمل السابق: فالإسقاط المطروح في الخطوة 3 هو بالضبط أفضل تقريب أفيني للمقدار $X^2$ الموجود في المثال 23.12 — فغرام–شميت هو إسقاط متعامد مكرَّر.

مثال 23.11 (الإسقاطات لا تطيل أبدًا)

بتطبيق فيثاغورس على الانقسام $x = p_F(x) + (x - p_F(x))$:

مع المساواة إذا وفقط إذا كان $x \in F$. وفي أساس متعامد ممنظم $(e_1, \dots, e_k)$ للمقدار $F$ يُقرأ هذا $\sum_{i \leq k}\langle x, e_i\rangle^2 \leq \norm x^2$ (وهي متراجحة بسّل): فمهما بلغ عدد الاتجاهات المتعامدة الممنظمة التي يقيسها المرء، لا تتجاوز مربعات الإحداثيات مربعَ الطول — وقارن المساواة المضبوطة في المثال 23.7 عندما تكون العائلة أساسًا كاملًا. وهذه المتراجحة ذات السطر الواحد هي ما يجعل معاملات فورييه قابلة للجمع في مجلّد السنة الثالثة؛ وهي هنا تفسّر أصلًا لماذا لا تستطيع إضافة دوال أساس أخرى إلى مقايسة بالمربعات الصغرى إلا أن تنقص الباقي.