विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · Bachelor Year 2

23प्रायिकता जनक फलन

अध्याय 11 की घात श्रेणियाँ किसी प्रायिकतात्मक मिशन के साथ लौटती हैं: किसी $\N$ -मान वाले यादृच्छिक चर से हम गुणांकों $\P(X = n)$ वाली घात श्रेणी जोड़ देते हैं। यह जनक फलन स्वतंत्र चरों के योगों को गुणनफलों में, आघूर्णों को $1$ पर अवकलजों में, और कठिन साहचर्यिक सर्वसमिकाओं को एक-पंक्ति के गुणनों में बदल देता है। अध्याय पुस्तक को दो प्रदर्शनों के साथ बंद करता है: विरल घटनाओं का प्वासों सन्निकटन, और शाखन प्रक्रमों की विलोपन कसौटी — सचमुच अपरिमित एक प्रायिकतात्मक परिकलन, जो पूरी तरह किसी उत्तल वक्र की ज्यामिति से हल हो जाता है।

23.1 परिभाषा और मूल गुणधर्म

परिभाषा 23.1 (प्रायिकता जनक फलन)

मान लीजिए $X$ कोई $\N$ -मान वाला यादृच्छिक चर है, $p_n = \P(X = n)$ । $X$ का प्रायिकता जनक फलन घात श्रेणी

G_X(t) = \E\bigl(t^X\bigr) = \sum_{n=0}^{\infty} p_n\,t^n .

का योग है।

उदाहरण 23.2 (पहले प्रतिवर्त)

किसी अचर चर $X = c$ का $G_X(t) = t^c$ होता है; किसी खिसकाव के लिए $G_{X+c}(t) = t^c\,G_X(t)$ ; और विशेष बिंदुओं पर मूल्यांकन बिना किसी प्रसार के सूचना पढ़ लेता है: $G_X(0) = \P(X = 0)$ , $G_X(1) = 1$ , तथा $G_X(-1) = \P(X\text{ सम}) - \P(X\text{ विषम})$ , अर्थात् वही सम-विषमता संतुलन जिसका अभ्यास 23.10 में उपयोग हुआ। ये एक-पंक्ति वाले तथ्य नीचे सर्वत्र चुपचाप बरते जाते हैं — और मूल्यांकन $G_X(0)$ ठीक वही है जिससे अध्याय के अंत में पुनरावृत्त जनक फलनों से विलोपन प्रायिकताएँ निकाली जाएँगी।

प्रतिज्ञप्ति 23.3 (त्रिज्या और पहले गुणधर्म)

$G_X$ को परिभाषित करने वाली श्रेणी की अभिसरण त्रिज्या $\geq 1$ है; $G_X$ $\intcc{-1}{1}$ पर परिभाषित तथा संतत है, $\intoo{-1}{1}$ पर $\mathcal{C}^\infty$ है, जहाँ $G_X(1) = 1$ तथा $\abs{G_X(t)} \leq 1$ । इसके अतिरिक्त $G_X$ $X$ का नियम निर्धारित कर देता है:

p_n = \frac{G_X^{(n)}(0)}{n!} .

उपपत्ति. चूँकि $\sum p_n = 1$ अभिसरित होता है, पद $p_n\,1^n$ परिबद्ध हैं, अतः त्रिज्या $\geq 1$ है (आबेल की प्रमेयिका, अध्याय 11); $t = \pm1$ पर श्रेणी निरपेक्षतः अभिसरित होती है ( $\sum p_n = 1$ प्रभुत्व करता है); और इससे भी बेहतर, पूरे अंतराल $\intcc{-1}1$ पर

\sup_{\abs t\leq1}\,\abs{p_nt^n} = p_n \quad\text{जहाँ}\quad \sum_np_n < \infty :

अर्थात् श्रेणी $\intcc{-1}1$ पर प्रसामान्य रूप से अभिसरित होती है, इसलिए उसका योग वहाँ संतत है (प्रमेय 10.16 और 10.4)। भीतर की चिकनाई तथा गुणांक सूत्र घात श्रेणियों का सामान्य सिद्धांत है; और गुणांक पुनः प्राप्य होने के कारण एक ही जनक फलन वाले दो चरों का नियम एक ही होता है। ∎

उदाहरण 23.4 (शास्त्रीय नियम)

बर्नूली $\mathcal{B}(p)$ : $G(t) = 1 - p + pt$ ।
द्विपद $\mathcal{B}(n, p)$ : $G(t) = \sum_k \binom nk (pt)^k(1-p)^{n-k} = (1 - p + pt)^n$ (द्विपद प्रमेय)।
ज्यामितीय $\mathcal{G}(p)$ : $G(t) = \sum_{k\geq1}(1-p)^{k-1}p\,t^k = \dfrac{pt}{1 - (1-p)t}$ (त्रिज्या $\frac{1}{1-p} > 1$ )।
प्वासों $\mathcal{P}(\lambda)$ : $G(t) = \sum_k e^{-\lambda}\frac{(\lambda t)^k}{k!} = e^{\lambda(t - 1)}$ (त्रिज्या $\infty$ )।

उदाहरण 23.5 (जनक फलन का समाकलन)

$1$ पर $G_X$ के अवकलज धनात्मक आघूर्ण देते हैं; समाकल कोई ऋणात्मक आघूर्ण देता है। $\int_0^1t^k\dd t = \frac1{k+1}$ तथा पद-दर-पद समाकलन ( $\intcc01$ पर प्रसामान्य अभिसरण) से:

\int_0^1G_X(t)\,\dd t = \sum_{k\geq0}\frac{\P(X = k)}{k+1} = \E\Bigl(\frac1{1+X}\Bigr).

$X \sim \mathcal P(\lambda)$ के लिए:

\E\Bigl(\frac1{1+X}\Bigr) = \int_0^1\eu^{\lambda(t-1)}\,\dd t = \frac{1 - \eu^{-\lambda}}{\lambda},

जिससे उदाहरण 22.10 का श्रेणी-परिकलन एक पंक्ति में पुनः मिल जाता है। जनक फलन दोतरफ़ा यंत्र है: आघूर्णों $\E(X)$ , $\E(X(X-1))$ के लिए $1$ पर अवकलन कीजिए, $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$ के लिए $\intcc01$ पर समाकलन — एक ही वैश्लेषिक वस्तु, जिससे उसी दिशा में पूछा जाता है जिसमें समस्या को चाहिए।

उदाहरण 23.6 (ठीक एक त्रिज्या वाला कोई नियम)

मान लीजिए $k \geq 1$ के लिए $\P(X = k) = \dfrac{6}{\pi^2k^2}$ — जो बासेल सर्वसमिका (उदाहरण 14.12) से कोई प्रायिकता नियम है। उसके जनक फलन $G(t) = \frac6{\pi^2}\sum_{k\geq1}\frac{t^k}{k^2}$ की अभिसरण त्रिज्या ठीक $1$ है: अर्थात् प्रतिज्ञप्ति 23.3 का व्यापक परिबंध “त्रिज्या $\geq 1$ ” सुधारा नहीं जा सकता। और माध्य

\sum_{k\geq1}k\,\P(X = k) = \frac6{\pi^2}\sum_{k\geq1}\frac1k = \infty :

है। $G$ $\intcc{-1}1$ पर संतत है, भीतर चिकना, पर उसका अवकलज $1^-$ पर फट पड़ता है — ग्राफ़ बिंदु $(1, 1)$ पर किसी ऊर्ध्वाधर स्पर्शी के साथ पहुँचता है। भारी पुच्छ जनक फलन पर, अकेले बिंदु $t = 1$ पर, ज्यामितीय रूप से दिख जाती हैं; और नीचे दी आघूर्ण प्रमेय इस संगति को ठीक-ठीक बना देती है।

प्रमेय 23.7 (जनक फलन से आघूर्ण)

$X$ की प्रत्याशा विद्यमान है तभी जब $G_X$ $1^-$ पर अवकलनीय हो (बायाँ अवकलज, परिमित), और तब $\E(X) = G_X'(1)$ । इसी प्रकार $X$ द्वितीय आघूर्ण रखता है तभी जब $G_X$ $1^-$ पर दो बार अवकलनीय हो, और तब

\E\bigl(X(X - 1)\bigr) = G_X''(1), \qquad V(X) = G_X''(1) + G_X'(1) - G_X'(1)^2 .

उपपत्ति. $t \in \intoo{0}{1}$ के लिए चक्रिका के भीतर पद-दर-पद अवकलन $G_X'(t) = \sum_{n\geq1} np_n t^{n-1}$ देता है, जो अऋणात्मक गुणांकों वाली कोई श्रेणी है: अतः $t \mapsto G_X'(t)$ $\intoo{0}{1}$ पर अनह्रासमान है, और आंशिक योगों के एकदिष्ट अभिसरण से (या अऋणात्मक गुणांकों के लिए आबेल की प्रमेय, अध्याय 11),

\lim_{t \to 1^-} G_X'(t) = \sum_{n\geq1} n\,p_n \in \intcc{0}{+\infty} ,

जहाँ हर पक्ष ठीक तभी परिमित है जब दूसरा परिमित हो। परिमित होने पर माध्यमान प्रमेय अंतर-भागफलों $\frac{G_X(1) - G_X(t)}{1 - t}$ को $G_X'$ के मानों के बीच दबा देती है, अतः $G_X$ $1^-$ पर अवकलनीय है और $G_X'(1) = \sum np_n = \E(X)$ (अंतरण से)। द्वितीय-कोटि का कथन उसी तर्क को एक स्तर ऊपर दोहराता है: $G''_X(t) = \sum_{n\geq2}n(n-1)p_nt^{n-2}$ $\intoo01$ पर अनह्रासमान है और उसकी एकदिष्ट सीमा $\sum_nn(n-1)p_n = \E(X(X-1))$ है, जो ठीक तभी परिमित है जब $X$ द्वितीय आघूर्ण रखता हो। प्रसरण सूत्र फिर कोनिग–हाइगेंस से निकलता है:

V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2 = \E\bigl(X(X-1)\bigr) + \E(X) - \E(X)^2 = G''_X(1) + G'_X(1) - G'_X(1)^2 .

∎

उदाहरण 23.8

प्वासों: $G'(t) = \lambda e^{\lambda(t-1)}$ , अतः $\E(X) = \lambda$ ; $G''(1) = \lambda^2$ , अतः $V(X) = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda$ — अर्थात् अध्याय 22 के परिकलन, हर एक एक पंक्ति में।

उदाहरण 23.9 (किसी प्वासों नियम का बहुलक)

$X \sim \mathcal P(\lambda)$ के लिए $\P(X = k)$ कहाँ सबसे बड़ा है? क्रमागत भार अनुपात

\frac{\P(X = k+1)}{\P(X = k)} = \frac{\lambda}{k + 1} ,

के द्वारा तुलनीय हैं, जो $k < \lambda - 1$ रहने तक $1$ से अधिक है और $k > \lambda - 1$ होते ही $1$ से नीचे गिर जाता है: अर्थात् भार पहले चढ़ते हैं फिर गिरते हैं, और बहुलक $\floor\lambda$ है ( $\lambda$ पूर्णांक होने पर $\lambda - 1$ तथा $\lambda$ के बीच बराबरी: $\lambda = 3$ के लिए $\P(X = 2) = \P(X = 3) = \frac92\eu^{-3} \approx 0.224$ )। गुणांकों पर अनुपात परीक्षण प्रायः किसी विविक्त नियम के गुणात्मक तथ्यों तक पहुँचने का सबसे तेज़ रास्ता होते हैं — किसी जनक फलन की ज़रूरत नहीं, पर गुणांक तो जनक फलन ही हैं, पद-दर-पद पढ़े हुए।

23.2 स्वतंत्र चरों के योग

प्रमेय 23.10 (गुणनात्मकता)

यदि $X$ तथा $Y$ स्वतंत्र $\N$ -मान वाले यादृच्छिक चर हों, तो

G_{X + Y}(t) = G_X(t)\,G_Y(t) \qquad (\abs t \leq 1),

और आगमन से स्वतंत्र $X_1, \dots, X_n$ के लिए $G_{X_1 + \dots + X_n} = \prod_i G_{X_i}$ ।

उपपत्ति. दो उपपत्तियाँ, दोनों शिक्षाप्रद। प्रत्याशाओं के द्वारा: $t^X$ तथा $t^Y$ स्वतंत्र परिबद्ध चर हैं, अतः (प्रमेय 22.11)

G_{X+Y}(t) = \E\bigl(t^{X+Y}\bigr) = \E\bigl(t^X t^Y\bigr) = \E\bigl(t^X\bigr)\E\bigl(t^Y\bigr) .

कोशी गुणनफलों के द्वारा: $X + Y$ का नियम संवलन $\P(X + Y = n) = \sum_{k=0}^n \P(X = k)\P(Y = n - k)$ है, और निरपेक्षतः अभिसारी श्रेणियों के लिए कोशी गुणनफल प्रमेय (अध्याय 7) दोनों घात श्रेणियों को ठीक इसी संवलन के अनुदिश गुणा कर देती है। ∎

उदाहरण 23.11 (शास्त्रीय नियमों की स्थिरता)

एक ही $p$ वाले स्वतंत्र द्विपद जुड़ जाते हैं: $(1 - p + pt)^m(1 - p + pt)^n = (1 - p + pt)^{m+n}$ , अतः $\mathcal{B}(m, p) + \mathcal{B}(n, p) = \mathcal{B}(m + n, p)$ — विशेष रूप से $n$ स्वतंत्र बर्नूली चरों का योग द्विपद है, जिससे सफलताओं की संख्या का नियम फिर सिद्ध हो जाता है। स्वतंत्र प्वासों भी जुड़ जाते हैं: $e^{\lambda(t-1)}e^{\mu(t-1)} = e^{(\lambda + \mu)(t-1)}$ , अतः $\mathcal{P}(\lambda) + \mathcal{P}(\mu) = \mathcal{P}(\lambda + \mu)$ — यानी अभ्यास 22.2 का संवलन-परिकलन, अब बिना किसी परिकलन के।

उदाहरण 23.12 (दो पासे, एक बहुपद का वर्ग)

एक निष्पक्ष पासे के लिए $G(t) = \frac{t + t^2 + \dots + t^6}{6}$ ; और दोनों के योग के लिए

G(t)^2 = \frac{1}{36}\bigl(t^2 + 2t^3 + 3t^4 + 4t^5 + 5t^6 + 6t^7 + 5t^8 + 4t^9 + 3t^{10} + 2t^{11} + t^{12}\bigr) :

अर्थात् पासा-योगों का त्रिभुजीय नियम ( $7$ बहुलक है, प्रायिकता $\frac6{36} = \frac16$ के साथ), जो किसी बहुपद के वर्ग से पढ़ लिया जाता है — और उस वर्ग को जीवन में एक ही बार खोलना पड़ता है। संवलन सूत्र से ग्यारह अलग-अलग गणना-तर्क चाहिए होते; जनक फलन उन्हें एक साथ कर देता है, क्योंकि बहुपदों को गुणा करना गुणांकों का संवलन ही है। यह यांत्रिक अनुवाद — नियमों से गुणांक, योगों से गुणनफल — इस अध्याय का पूरा व्यापार-प्रतिरूप है, और अभ्यास 23.11 उसे चौंकाने वाले सिशरमान पासों तक धकेल देता है।

उदाहरण 23.13 (तीन पासे और एक गुणांक निष्कर्षण)

तीन निष्पक्ष पासों के योग $S$ के लिए $\P(S = 10)$ $\bigl(\frac{t + \dots + t^6}6\bigr)^3$ में $t^{10}$ का गुणांक है। गुणनखंडन कीजिए और द्विपद तथा ज्यामितीय श्रेणी से प्रसार कीजिए:

\Bigl(\frac{t(1 - t^6)}{6(1 - t)}\Bigr)^{\!3} = \frac{t^3}{216}\,\bigl(1 - 3t^6 + 3t^{12} - t^{18}\bigr)\sum_{j\geq0}\binom{j+2}2t^j .

$t^{10}$ के गुणांक के लिए गुणनफल से $t^7$ चाहिए: पद $1$ के साथ $j = 7$ , और पद $-3t^6$ के साथ $j = 1$ :

\P(S = 10) = \frac{1}{216}\Bigl(\binom92 - 3\binom32\Bigr) = \frac{36 - 9}{216} = \frac{27}{216} = \frac18 .

$27$ त्रिकों की सीधी गणना भूल-भरी है; बीजगणित यांत्रिक है और किसी भी संख्या के पासों तक फैल जाता है — $(1 - t^6)^3$ में दिखता समावेश–अपवर्जन स्थिति-विश्लेषण अपने आप कर रहा है।

उदाहरण 23.14 (किसी नियम को उसके जनक फलन से पढ़ना)

किस नियम का $G(t) = \dfrac1{2 - t}$ है? घात श्रेणी में प्रसार कीजिए:

\frac{1}{2 - t} = \frac12\cdot\frac1{1 - t/2} = \sum_{k\geq0}\frac{t^k}{2^{k+1}} :

अऋणात्मक गुणांक $G(1) = 1$ तक जुड़ते हैं, अतः यह सचमुच कोई नियम है, $\N$ पर $\P(X = k) = 2^{-(k+1)}$ — यानी $0$ से शुरू होने वाला कोई ज्यामितीय नियम। अद्वितीयता (प्रतिज्ञप्ति 23.3) से कोई दूसरा नियम यह $G$ साझा नहीं करता। जनक फलनों से नियम पहचानना अभ्यास योग्य कौशल है: सप्ताहांत समस्या का क्रांतिक शाखन पुनरावर्त $G_n(t) = \frac{n - (n-1)t}{n+1 - nt}$ इसी तरह उत्तरजीविता पर प्रतिबंधित किसी ज्यामितीय नियम के रूप में उघड़ता है।

टिप्पणी 23.15

स्थिरता एक ही दिशा में चलती है: स्वतंत्र प्वासों के योग प्वासों होते हैं, पर अंतर नहीं — $X - Y$ ऋणात्मक मान लेता है, अतः उसका कोई जनक फलन है ही नहीं, और उसका नियम (स्केलम बंटन) इस अध्याय की औज़ार-पेटी से बाहर पड़ता है। इसी प्रकार $p \neq p'$ वाला $\mathcal B(m, p) + \mathcal B(n, p')$ द्विपद नहीं है: गुणनफल $(1 - p + pt)^m(1 - p' + p't)^n$ के मूलों के दो भिन्न स्थान हैं, जबकि हर द्विपद जनक फलन का एक ही पुनरावृत्त मूल होता है। मूल-प्रतिरूपों से स्थिरता पढ़ लेना इस बात की छोटी-सी झलक है कि बहुपद कितनी संरचना समेटे रहता है।

टिप्पणी 23.16 (एकत्व-मूल छननी)

$-1$ पर मूल्यांकन सम को विषम से अलग करता है; सारे $m$ -वें एकत्व-मूलों पर मूल्यांकन हर अवशेष वर्ग को अलग कर देता है: $\omega = \eu^{2\iu\pi/m}$ के साथ

\P(X \equiv r \bmod m) = \frac1m\sum_{j=0}^{m-1}\omega^{-jr}\,G_X(\omega^j),

क्योंकि $j$ पर $\omega^{j(k-r)}$ का औसत लेने पर $k \equiv r$ होने पर $1$ मिलता है और अन्यथा $0$ । नमूना लाभांश: दो निष्पक्ष पासों के योग $S$ के लिए $j \neq 0$ हेतु हर $G(\omega^j) = \frac16\sum_{k=1}^6 \omega^{jk} = -\frac16$ (सातों सातवें एकत्व-मूलों का योग शून्य है), अतः

\P(7 \mid S) = \frac17\Bigl(1 + 6\cdot\frac1{36}\Bigr) = \frac16 ,

जो उदाहरण 23.12 की गिनती की पुष्टि करता है — और यह विधि उन प्रश्नों तक भी फैलती है जहाँ सीधी गणना नहीं फैलती।

प्रमेय 23.17 (यादृच्छिक योग: जनक फलनों के लिए वाल्ड की सर्वसमिका)

मान लीजिए $(X_k)_{k\geq1}$ एक ही नियम तथा जनक फलन $G_X$ वाले स्वतंत्र $\N$ -मान चर हैं, और $N$ कोई $\N$ -मान वाला चर है जो $X_k$ से स्वतंत्र है, जिसका जनक फलन $G_N$ है। तब यादृच्छिक योग $S = X_1 + \dots + X_N$ ( $N = 0$ होने पर $S = 0$ ) का जनक फलन

G_S = G_N \circ G_X .

है। विशेष रूप से, यदि $N$ तथा $X_1$ की प्रत्याशाएँ विद्यमान हों, तो $\E(S) = \E(N)\,\E(X_1)$ ।

उपपत्ति. $N$ पर प्रतिबंधित कीजिए (पूर्ण प्रायिकता, प्रमेय 21.14): $\abs t \leq 1$ के लिए

G_S(t) = \sum_{n=0}^\infty \P(N = n)\, \E\bigl(t^{X_1 + \dots + X_n}\bigr) = \sum_{n=0}^\infty \P(N = n)\,G_X(t)^n = G_N\bigl(G_X(t)\bigr),

जहाँ हर नियत $n$ के लिए गुणनात्मकता तथा पूरे द्विक कुल की योग्यता ( $\abs{G_X(t)} \leq 1$ ) का उपयोग हुआ। योगों की अदला-बदली योग्य कुलों के लिए फ़ूबिनी (अध्याय 7) है। शृंखला नियम तथा प्रमेय 23.7 से $1^-$ पर अवकलन करने पर: $\E(S) = G_N'(G_X(1))\,G_X'(1) = G_N'(1)G_X'(1) = \E(N)\E(X_1)$ । ∎

उदाहरण 23.18 (संयुक्त प्वासों: वार्षिक बीमा-हानियाँ)

कोई बीमाकर्ता वर्ष भर में $N \sim \mathcal P(\lambda)$ दावे पाता है, और हर दावे की क़ीमत $X_k$ है (पूर्णांक इकाइयाँ, स्वतंत्र समरूप बँटे, जनक फलन $G_X$ , माध्य $\mu$ , $N$ से स्वतंत्र)। प्रमेय 23.17 से कुल हानि $S$ का

G_S(t) = \eu^{\lambda(G_X(t) - 1)}, \qquad \E(S) = \lambda\mu ,

है, और $1^-$ पर दो बार अवकलन करने पर:

V(S) = \lambda\,G_X''(1) + \lambda^2\mu^2 + \lambda\mu - (\lambda\mu)^2 = \lambda\,\E(X^2) .

प्रसरण में किसी अकेले दावे का द्वितीय आघूर्ण आता है, उसका प्रसरण नहीं: कोई संयुक्त प्वासों योग कभी-कभार आने वाले बड़े दावे को दो बार महसूस करता है — एक बार कितने के द्वारा, एक बार कितने बड़े के द्वारा। माध्य $2$ ( $\E X^2 = 6$ ) वाले ज्यामितीय नियम के $\lambda = 10$ दावों के लिए: $\E S = 20$ , $V(S) = 60$ , और चेबिशेव (अध्याय 22) पहले ही काम लायक़ शोधन-क्षमता सीमांत दे देती है। यह “यादृच्छिक रूप से रोका गया योग” प्रतिरूप वही है जो प्रतिज्ञप्ति 23.23 की शाखन-पुनरावृत्ति चलाएगा: जनक फलनों का संयोजन यादृच्छिक जनसंख्याओं का बीजगणित है।

टिप्पणी 23.19

$N$ का पदों से स्वतंत्र होना सजावट नहीं है। बराबर प्रायिकताओं के साथ $X_k \in \{0, 2\}$ लीजिए और $N = X_1$ रखिए (जो खुलेआम परतंत्र है): तब $S = X_1 + \dots + X_N$ $X_1 = 0$ होने पर $0$ है, और $X_1 = 2$ होने पर $2 + X_2$ , अतः $\E(S) = \frac12(2 + 1) = \frac32$ , जबकि $\E(N)\E(X_1) = 1\cdot1 = 1$ : यानी वाल्ड की सर्वसमिका विफल हो जाती है। जब पदों की संख्या को स्वयं पदों पर प्रतिक्रिया करने की छूट मिल जाती है, तब स्वच्छ गुणनफल संरचना ढह जाती है — ऐसे “रोकन” नियमों का पूरा सिद्धांत वर्ष 3 के खंड का मार्टिंगेल अध्याय है।

23.3 प्वासों सन्निकटन

प्रमेय 23.20 (विरल घटनाओं का नियम)

मान लीजिए $n\,p_n \to \lambda > 0$ वाला $X_n \sim \mathcal{B}(n, p_n)$ है। तब हर $k \in \N$ के लिए:

\P(X_n = k) \xrightarrow[n\to\infty]{} e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} :

अर्थात् बहुत-सी विरल स्वतंत्र घटनाओं का द्विपद नियम प्राचल $\lambda$ के प्वासों नियम तक अभिसरित होता है।

उपपत्ति. $p_n = \frac{\lambda_n}{n}$ , $\lambda_n \to \lambda$ के साथ सीधा परिकलन:

\P(X_n = k) = \binom nk p_n^k(1 - p_n)^{n-k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}\cdot \frac{\lambda_n^k}{k!}\, \bigl(1 - \tfrac{\lambda_n}{n}\bigr)^{n-k} .

$k$ नियत रखकर $n \to \infty$ होने पर: पहला गुणक $1$ की ओर जाता है ( $\to 1$ वाले $k$ गुणकों का गुणनफल); $\lambda_n^k \to \lambda^k$ ; और $\bigl(1 - \frac{\lambda_n}{n}\bigr)^{n-k} = \exp\bigl((n-k)\ln(1 - \frac{\lambda_n}{n})\bigr) \to e^{-\lambda}$ , क्योंकि $(n - k)\ln\bigl(1 - \frac{\lambda_n}{n}\bigr) \sim -\lambda_n \to -\lambda$ (अध्याय 6)। वैकल्पिक रूप से, जनक फलनों के स्तर पर: हर नियत $t \in [0, 1]$ के लिए $G_{X_n}(t) = \bigl(1 + \frac{\lambda_n(t-1)}{n}\bigr)^n \to e^{\lambda(t - 1)} = G_{\mathcal{P}(\lambda)}(t)$ — अर्थात् जनक फलनों का अभिसरण, जो ( $\N$ -मान वाले चरों के लिए) हर $\P(X_n = k)$ के अभिसरण के तुल्य है; देखिए अभ्यास 23.9। ∎

टिप्पणी 23.21

इसीलिए प्वासों नियम विरल घटनाओं की गिनतियों का प्रतिरूप बनते हैं — प्रति पृष्ठ मुद्रण-दोष, प्रति सेकंड रेडियोसक्रिय क्षय, किसी चौराहे पर प्रति दिन दुर्घटनाएँ: हर अवसर लगभग नगण्य है, अवसर बहुत हैं, और सीमा में केवल माध्य दर $\lambda$ बची रहती है।

उदाहरण 23.22 (प्वासों सीमा को अभिसरित होते देखना)

$\lambda = 2$ स्थिर कीजिए और $X_n \sim \mathcal B(n, 2/n)$ लीजिए। किसी घटना के न होने की प्रायिकता ठीक $\P(X_n = 0) = (1 - 2/n)^n$ है:

n = 10:\ 0.107, \qquad n = 20:\ 0.122, \qquad n = 50:\ 0.130, \qquad n = 100:\ 0.133,

सीमा $\eu^{-2} \approx 0.135$ के सामने। अभिसरण एकदिष्ट है और चाल $O(1/n)$ की — प्रसार करने पर $(1 - 2/n)^n = \eu^{-2}\bigl(1 - \tfrac2n + O(n^{-2})\bigr)$ — अतः सैकड़ों में $n$ के लिए प्वासों प्रतिरूप पहले ही तीसरे अंक तक सटीक है। विरल घटनाओं के नियम का व्यावहारिक सार यही है: प्रतिरूपकार $n$ तथा $p$ को अलग-अलग कभी नहीं जानता (किसी पृष्ठ में मुद्रण-दोष के कितने सूक्ष्म अवसर होते हैं?), केवल उनका गुणनफल $\lambda$ जानता है, और सीमा नियम कृपापूर्वक और किसी चीज़ पर निर्भर नहीं करता।

23.4 शाखन प्रक्रम

एक पूर्वज से शुरू होने वाली किसी जनसंख्या पर विचार कीजिए; हर व्यक्ति के, स्वतंत्र रूप से, नियम $(p_k)_{k \in \N}$ तथा जनक फलन $G$ (संतति बंटन) वाली यादृच्छिक संख्या में बच्चे होते हैं। मान लीजिए $Z_n$ पीढ़ी $n$ का आकार है ( $Z_0 = 1$ ), और $m = G'(1) = \E(Z_1)$ माध्य संतति-संख्या।

प्रतिज्ञप्ति 23.23

$Z_n$ का जनक फलन $n$ -वाँ पुनरावर्त $G_{Z_n} = G \circ G \circ \dots \circ G$ है ( $n$ बार), और विलोपन प्रायिकताएँ $q_n = \P(Z_n = 0)$ पूरा करती हैं

q_0 = 0, \qquad q_{n+1} = G(q_n),

तथा बढ़कर अंततः विलोपन की प्रायिकता $q$ तक जाती हैं, जो $G$ का कोई अचल बिंदु है।

उपपत्ति. पीढ़ी $n + 1$ पीढ़ी $n$ के $Z_n$ सदस्यों की संतति का यादृच्छिक योग है, जहाँ गिनतियाँ एक-दूसरे से तथा $Z_n$ से स्वतंत्र हैं: प्रमेय 23.17 $G_{Z_{n+1}} = G_{Z_n} \circ G$ देता है, और $G_{Z_0}(t) = t$ से आगमन $n$ -गुना पुनरावर्त दे देता है — जिसे, संयोजन की साहचर्यता से, समान रूप से $G_{Z_{n+1}} = G \circ G_{Z_n}$ भी पढ़ा जा सकता है। इस दूसरे रूप का $0$ पर मूल्यांकन: $q_{n+1} = G_{Z_{n+1}}(0) = G\bigl(G_{Z_n}(0)\bigr) = G(q_n)$ । घटनाएँ $\{Z_n = 0\}$ बढ़ती हैं (विलुप्त जनसंख्या विलुप्त ही रहती है), अतः एकदिष्ट संततता (प्रमेय 21.6) से $q_n \uparrow q = \P\bigl(\bigcup_n\{Z_n = 0\}\bigr)$ , और $[0, 1]$ पर $G$ की संततता सीमा में $q_{n+1} = G(q_n)$ को $q = G(q)$ में बदल देती है। ∎

उदाहरण 23.24 (विलोपन को अभिसरित होते देखना)

उदाहरण 23.27 के संतति नियम $(p_0, p_1, p_2) = (\tfrac14, \tfrac14, \tfrac12)$ के लिए $G(t) = \tfrac14 + \tfrac14t + \tfrac12t^2$ , और पुनरावृत्ति $q_{n+1} = G(q_n)$ देती है

q_1 = 0.25, \quad q_2 = 0.34375, \quad q_3 \approx 0.39502, \quad q_4 \approx 0.42678, \quad q_5 \approx 0.44776,

जो विलोपन प्रायिकता $q = \tfrac12$ की ओर चढ़ता है। अंतराल $q - q_n$ ये हैं: $0.25$ , $0.156$ , $0.105$ , $0.073$ , $0.052$ : हर एक पिछले का लगभग $\tfrac34$ है, और वस्तुतः माध्यमान प्रमेय $G'(q) = \tfrac14 + q = \tfrac34$ के साथ $q - q_{n+1} = G'(c_n)(q - q_n)$ दे देती है। दो सीख: पीढ़ी $n$ पर अब भी जीवित किसी वंश की, उसी परिकलन में अंतर्निहित, बाद में मरने की प्रायिकता $q - q_n$ है; और नीचे के चित्र में सीढ़ी की अभिसरण दर अचल बिंदु पर अवकलज है — सप्ताहांत समस्या दोनों प्रेक्षणों को प्रमेयों में बदल देती है।

प्रमेय 23.25 (विलोपन कसौटी)

मान लीजिए $p_1 \neq 1$ । विलोपन प्रायिकता $q$ $\intcc{0}{1}$ में $G$ का सबसे छोटा अचल बिंदु है, और:

यदि $m \leq 1$ (अवक्रांतिक या क्रांतिक), तो $q = 1$ : विलोपन निश्चित है;
यदि $m > 1$ (अधिक्रांतिक), तो $q < 1$ : जनसंख्या धनात्मक प्रायिकता $1 - q$ के साथ सदा जीवित रहती है।

उपपत्ति. $G$ $\intcc{0}{1}$ पर उत्तल है (अऋणात्मक गुणांकों वाली घात श्रेणी: $G'' \geq 0$ ), अनह्रासमान है, और $G(1) = 1$ ।

सबसे छोटा अचल बिंदु: मान लीजिए $r \in \intcc{0}{1}$ कोई अचल बिंदु है। तब $q_0 = 0 \leq r$ , और आगमन से (एकदिष्टता से) $q_{n+1} = G(q_n) \leq G(r) = r$ : अतः $q = \lim q_n \leq r$ ।

स्थिति $m \leq 1$ : मान लीजिए $r < 1$ कोई अचल बिंदु है। $[r, 1]$ पर माध्यमान प्रमेय से ऐसा $c \in \intoo{r}{1}$ है कि $G'(c) = \frac{G(1) - G(r)}{1 - r} = \frac{1 - r}{1 - r} = 1$ । पर $G'$ अनह्रासमान है (उत्तलता), जहाँ $\lim_{t\to1^-}G'(t) = m \leq 1$ , अतः $\intoo{0}{1}$ पर $G' \leq 1$ ; और तब समता $G'(c) = 1$ $G'$ को $\intco{c}{1}$ पर $1$ के बराबर अचर होने पर बाध्य कर देती है, इसलिए वहाँ $G'' = \sum n(n-1)p_nt^{n-2} \equiv 0$ । जिस अऋणात्मक-गुणांक घात श्रेणी के सारे गुणांक किसी अंतराल पर लुप्त हों उसके ये सारे गुणांक शून्य होते हैं: $n \geq 2$ के लिए $p_n = 0$ , अतः $G(t) = p_0 + p_1t$ तथा $1 = G'(c) = p_1$ — जो परिकल्पना $p_1 \neq 1$ के विरुद्ध है। अतः $1$ अकेला अचल बिंदु है: $q = 1$ ।

स्थिति $m > 1$ : $1$ के निकट $G(t) - t$ का अवकलज $t \to 1^-$ होने पर $G'(t) - 1 \to m - 1 > 0$ है, अतः किसी अंतराल $\intoo{1 - \delta}{1}$ पर $G(t) - t < G(1) - 1 = 0$ : संतत फलन $G(t) - t$ $t = 0$ पर $\geq 0$ है ( $G(0) = p_0 \geq 0$ ) और $1$ से ठीक नीचे $< 0$ , अतः वह किसी $r < 1$ पर लुप्त हो जाता है (मध्यमान प्रमेय)। तब सबसे छोटा अचल बिंदु $q \leq r < 1$ है। ∎

q_0 = 0 से शुरू होने वाली अचल-बिंदु पुनरावृत्ति q_n+1 = G(q_n) के रूप में विलोपन प्रायिकताएँ (लाल सीढ़ी)। बाएँ: कोई अवक्रांतिक संतति नियम — उत्तल वक्र विकर्ण के ऊपर बना रहता है, और पुनरावृत्ति चढ़कर अद्वितीय अचल बिंदु 1 तक जाती है। दाएँ: कोई अधिक्रांतिक नियम — वक्र विकर्ण को q < 1 पर काटता है, जहाँ पुनरावृत्ति रुक जाती है: उत्तरजीविता की प्रायिकता 1 - q > 0 है। — **आकृति 23.1.** $q_0 = 0$ से शुरू होने वाली अचल-बिंदु पुनरावृत्ति $q_{n+1} = G(q_n)$ के रूप में विलोपन प्रायिकताएँ (लाल सीढ़ी)। बाएँ: कोई अवक्रांतिक संतति नियम — उत्तल वक्र विकर्ण के ऊपर बना रहता है, और पुनरावृत्ति चढ़कर अद्वितीय अचल बिंदु $1$ तक जाती है। दाएँ: कोई अधिक्रांतिक नियम — वक्र विकर्ण को $q < 1$ पर काटता है, जहाँ पुनरावृत्ति रुक जाती है: उत्तरजीविता की प्रायिकता $1 - q > 0$ है।

टिप्पणी 23.26 (मकड़जाल कैसे पढ़ें)

चित्र में कोई ऊर्ध्वाधर चाल $G$ लगाती है ( $(q_n, q_n)$ से ऊपर $(q_n, G(q_n))$ तक), और विकर्ण तक कोई क्षैतिज चाल निर्गत को निवेश में बदल देती है: सीढ़ी पुनरावृत्ति $q_{n+1} = G(q_n)$ ही है। $G$ की उत्तलता तथा $G(1) = 1$ केवल दो ज्यामितियाँ छोड़ते हैं। या तो वक्र $\intco01$ पर विकर्ण के ऊपर बना रहता है (माध्य $m \leq 1$ ): तब सीढ़ी को $1$ से पहले कहीं रुकने की जगह नहीं। या वक्र किसी $q < 1$ पर काटता है ( $m > 1$ ): तब सीढ़ी उस कटान के नीचे फँस जाती है और उसी तक अभिसरित होती है, गुणोत्तर दर $G'(q) < 1$ से, जिसे उदाहरण 23.24 में परिमाणित किया गया है। विलोपन प्रमेय का सारा विश्लेषण इसी एक चित्र में दिख जाता है — और इसीलिए परिकलन से पहले उसे खींच लेना सार्थक है।

उदाहरण 23.27

संतति नियम: प्रायिकताओं $\frac14, \frac14, \frac12$ के साथ कोई बच्चा नहीं, एक बच्चा, दो बच्चे। तब $m = \frac14 + 1 = \frac54 > 1$ और $G(t) = \frac14 + \frac14 t + \frac12 t^2$ । अचल बिंदु: $\frac12 t^2 - \frac34 t + \frac14 = 0$ , अर्थात् $2t^2 - 3t + 1 = (2t - 1)(t - 1) = 0$ : $q = \frac12$ । वंश प्रायिकता $\frac12$ के साथ मिट जाता है — और प्रायिकता $\frac12$ के साथ वह सदा जीवित रहता है।

टिप्पणी 23.28 (इस खंड के भीतर के परिप्रेक्ष्य)

यह अध्याय पुस्तक का चौराहा है, और हर सामग्री किसी नामित जगह से आई है: श्रेणी-बीजगणित अध्याय 7 तथा अध्याय 11 से, प्रायिकता अध्याय 21 से (एकदिष्ट संततता $q_n \uparrow q$ सिद्ध करती है) तथा अध्याय 22 से ( $G_X = \E(t^X)$ कोई प्रत्याशा है, और गुणनात्मकता गुणनफल प्रमेय है), उत्तलता अध्याय 17 के द्वारा अध्याय 8 से। भारी पुच्छ वाली विसंगतियाँ भी जुड़ती हैं: पिछले अध्याय के सेंट पीटर्सबर्ग चर का $G(t) = \sum_k2^{-k}t^{2^k}$ है, जो $\intcc01$ पर पूरी तरह अभिसारी कोई श्रेणी है पर जिसका $1^-$ पर अवकलज अपसरित हो जाता है — अपरिमित माध्य, एक ही नज़र में दिखता हुआ। एक वस्तु, और वर्ष भर का हर औज़ार: अंतिम अध्याय के लिए उपयुक्त।

टिप्पणी 23.29 (सामान्य चूकें)

(क) जनक फलन केवल $\N$ -मान वाले चरों पर लागू होते हैं: चिह्नित या अपूर्णांक चरों के लिए वस्तु $\E(t^X)$ अपनी घात-श्रेणी संरचना खो देती है (वर्ष 3 उसकी जगह $\R$ के अनुकूल रूपांतरण रख देता है)। (ख) किसी भी परिकलित $G$ की पहली विश्वसनीयता जाँच $G(1) = 1$ है; दूसरी यह कि गुणांक अऋणात्मक हों — कोई ऋणात्मक गुणांक बीजगणित की फिसलन का अर्थ रखता है, किसी नए नियम का नहीं। (ग) यादृच्छिक योगों में संयोजन का क्रम मायने रखता है: $G_S = G_N \circ G_X$ , जहाँ बाहरी फलन पदों की गिनती करता है; दूसरी तरह संयोजन करना निरर्थक है ( $G_X \circ G_N$ वस्तुओं की वस्तुएँ गिनता)। (घ) गुणनात्मकता को स्वतंत्रता तथा यादृच्छिकता के भिन्न स्रोत चाहिए: $G_{2X}(t) = G_X(t^2)$ , $G_X(t)^2$ नहीं। (ङ) $1$ पर अवकलन कोई सीमांत संक्रिया है: जब त्रिज्या ठीक $1$ हो, जैसा उदाहरण 23.6 में, तब $G'(1^-)$ अपरिमित हो सकता है, और आघूर्ण प्रमेय का एकदिष्ट-सीमा वाला सूत्रीकरण कोई पंडिताऊ नफ़ासत नहीं, बल्कि ईमानदार कथन है।

खंड का समापन

जनक फलन इस पुस्तक की अंतिम वस्तु के रूप में उपयुक्त है: वह एक साथ कोई घात श्रेणी है (अध्याय 11), योग्य कुलों का कोई औज़ार (अध्याय 7), कोई प्रत्याशा (अध्याय 22), कोई उत्तल फलन जिसकी ज्यामिति विलोपन तय करती है (अध्याय 8), और कोई अचल-बिंदु पुनरावृत्ति (अध्याय 4)। वर्ष 2 का गणित एक ही विषय है। वर्ष 3 का खंड वे दरवाज़े खोलेगा जो यहाँ जान-बूझकर बंद छोड़े गए हैं: लेबेग समाकलन (अध्याय 9 की प्रभावी अभिसरण प्रमेय चुकाते हुए), अगणनीय समष्टियों पर माप-सैद्धांतिक प्रायिकता, और अवकल ज्यामिति के परिवेश में प्रतिलोम फलन प्रमेय की पूरी उपपत्ति (अध्याय 15)।

23.5 अभ्यास

अभ्यास 23.1 ★

$\{1, 2, \dots, 6\}$ पर एकसमान नियम (किसी निष्पक्ष पासे) का जनक फलन परिकलित कीजिए। दिखाइए कि दो निष्पक्ष पासों का योग $\{2, \dots, 12\}$ पर एकसमान नहीं हो सकता: $G_{X+Y}$ का गुणनखंडन कीजिए और मूल गिनिए। (एकसमान योग $G_X(t)G_Y(t) = \frac{t^2}{11}\sum_{k=0}^{10}t^k$ को बाध्य कर देता, जिसके अशून्य मूल $1$ के अतिरिक्त $11$ -वें एकत्व-मूल हैं — और उनमें से कोई वास्तविक नहीं — जबकि $G_X/t$ तथा $G_Y/t$ घात $5$ के वास्तविक बहुपद हैं, और हर एक के पास कम से कम एक वास्तविक मूल है।)

हल

हल — अभ्यास 23.1.

निष्पक्ष पासा: $G(t) = \frac16(t + t^2 + \dots + t^6) = \frac t6(1 + t + \dots + t^5)$ । यदि दो निष्पक्ष पासों का योग $\{2, \dots, 12\}$ पर एकसमान होता, तो

G(t)^2 = \frac{t^2}{36}\,h(t)^2 = \frac{t^2}{11}\sum_{k=0}^{10}t^k , \qquad h(t) = 1 + t + \dots + t^5 .

अब $h$ विषम घात $5$ का वास्तविक बहुपद है, अतः उसका कोई वास्तविक मूल है (मध्यमान प्रमेय; मूर्त रूप में $h(-1) = 0$ ), इसलिए $h^2$ का कोई वास्तविक मूल है। पर $\sum_{k=0}^{10}t^k$ का कोई नहीं है: वह $t \geq 0$ के लिए धनात्मक है, और $t < 0$ के लिए वह $\frac{t^{11} - 1}{t - 1}$ के बराबर है, जो दो ऋणात्मक संख्याओं का विभाग है। विरोधाभास — अर्थात् दो निष्पक्ष पासों का योग कभी एकसमान नहीं होता (जैसा पासा-योगों का जाना-पहचाना त्रिभुजीय बंटन पुष्ट करता है)।

अभ्यास 23.2 ★

जनक फलनों का उपयोग करते हुए द्विपद तथा ज्यामितीय नियमों के लिए $\E$ तथा $V$ पुनः प्राप्त कीजिए (प्रमेय 23.7)।

हल

हल — अभ्यास 23.2.

द्विपद: $G(t) = (1 - p + pt)^n$ , $G'(t) = np(1 - p + pt)^{n-1}$ , $G''(t) = n(n-1)p^2(1 - p + pt)^{n-2}$ , अतः

\E(X) = G'(1) = np, \qquad V(X) = G''(1) + G'(1) - G'(1)^2 = n(n-1)p^2 + np - n^2p^2 = np(1-p).

ज्यामितीय ( $q = 1 - p$ ): $G(t) = \frac{pt}{1 - qt}$ , अतः $G'(t) = \frac{p}{(1 - qt)^2}$ तथा $G''(t) = \frac{2pq}{(1 - qt)^3}$ ; $t = 1$ पर ( $1 - q = p$ बरतकर):

\E(X) = \frac{p}{p^2} = \frac1p, \qquad V(X) = \frac{2q}{p^2} + \frac1p - \frac{1}{p^2} = \frac{2q + p - 1}{p^2} = \frac{q}{p^2} ,

जो कम मेहनत के साथ अभ्यास 22.1 से मेल खाता है।

अभ्यास 23.3 ★

दो भारित पासे: क्या दो पासों को इस तरह भारित करना (स्वतंत्र रूप से, समान रूप से या नहीं) संभव है कि उनका योग $\{2, \dots, 12\}$ पर एकसमान हो? (वही गुणनखंडन-अवरोध जो अभ्यास 23.1 में है: उत्तर नहीं है, भिन्न भारण के साथ भी, क्योंकि हर गुणनखंड $G_X(t)/t$ की घात $5$ विषम है, अतः उसका कोई वास्तविक मूल है, जबकि लक्ष्य के पास कोई नहीं।)

हल

हल — अभ्यास 23.3.

नहीं, भिन्न भारण के साथ भी नहीं। मान लीजिए $X, Y$ $\{1, \dots, 6\}$ पर ऐसे नियम हैं जिनका योग एकसमान है। तब $G_X(t) = t\,a(t)$ तथा $G_Y(t) = t\,b(t)$ , जहाँ $a, b$ अधिक से अधिक घात $5$ के वास्तविक बहुपद हैं — और उनकी घातें जुड़कर $10$ बननी ही चाहिए (योग $12$ तक धनात्मक प्रायिकता के साथ पहुँचता है), अतः $\deg a = \deg b = 5$ , और दोनों विषम। अभ्यास 23.1 की तरह,

a(t)\,b(t) = \frac{1}{11}\sum_{k=0}^{10}t^k

बाएँ पक्ष पर कोई वास्तविक मूल बाध्य कर देता (हर विषम-घात वास्तविक बहुपद के पास एक होता है) और दाएँ पक्ष पर कोई नहीं। अतः दो स्वतंत्र पासों का कोई भी भारण — बराबर हो या न हो — एकसमान योग उत्पन्न नहीं करता।

अभ्यास 23.4 ★★

मान लीजिए $X_1, X_2, \dots$ स्वतंत्र बर्नूली $\mathcal{B}(p)$ हैं और $N \sim \mathcal{P}(\lambda)$ उनसे स्वतंत्र है। प्रमेय 23.17 के द्वारा दिखाइए कि $S = X_1 + \dots + X_N \sim \mathcal{P}(\lambda p)$ : अर्थात् वस्तुओं की कोई प्वासों संख्या, जिनमें से हर एक प्रायिकता $p$ के साथ रखी जाए, कोई प्वासों संख्या ही छोड़ती है — यानी विरलन। छोड़ी गई गिनती का नियम भी परिकलित कीजिए और सराहिए: वह $\mathcal{P}(\lambda(1-p))$ है, और दिखाया जा सकता है कि वह $S$ से स्वतंत्र है।

हल

हल — अभ्यास 23.4.

$G_N(s) = e^{\lambda(s-1)}$ तथा $G_X(t) = 1 - p + pt$ के साथ प्रमेय 23.17 से:

G_S(t) = e^{\lambda(1 - p + pt - 1)} = e^{\lambda p(t - 1)} :

$S \sim \mathcal{P}(\lambda p)$ । छोड़ी गई गिनती $D = N - S$ उन्हीं वस्तुओं को गिनती है जो प्रायिकता $1 - p$ के साथ रखी गईं, अतः उसी परिकलन से $D \sim \mathcal{P}(\lambda(1 - p))$ । स्वतंत्रता, सीधे: $j, k \in \N$ के लिए

\begin{align*} \P(S = j,\ D = k) &= \P(N = j + k)\,\binom{j+k}{j}p^jq^k = e^{-\lambda}\frac{\lambda^{j+k}}{(j+k)!}\, \frac{(j+k)!}{j!\,k!}\,p^jq^k\\ &= \Bigl(e^{-\lambda p}\frac{(\lambda p)^j}{j!}\Bigr) \Bigl(e^{-\lambda q}\frac{(\lambda q)^k}{k!}\Bigr) \end{align*}

जहाँ $q = 1 - p$ : अर्थात् संयुक्त नियम $\mathcal{P}(\lambda p) \otimes \mathcal{P}(\lambda q)$ के रूप में गुणनखंडित हो जाता है। यादृच्छिक रूप से बाँटा गया कोई प्वासों प्रवाह स्वतंत्र प्वासों प्रवाह देता है — एक छोटा चमत्कार, जिसका क़तार-सिद्धांत में लगातार उपयोग होता है।

अभ्यास 23.5 ★★

(ऋणात्मक द्विपद) मान लीजिए $T_r$ $r$ चित्त पाने के लिए आवश्यक उछालों की संख्या है (चित्त की प्रायिकता $p$ )। $T_r$ को $r$ स्वतंत्र ज्यामितीय चरों के योग के रूप में लिखिए, निकालिए

G_{T_r}(t) = \Bigl(\frac{pt}{1 - (1-p)t}\Bigr)^{r}, \qquad \E(T_r) = \frac rp, \qquad V(T_r) = \frac{r(1-p)}{p^2},

और $\P(T_r = n) = \binom{n-1}{r-1} p^r(1-p)^{n-r}$ ढूँढ़ने के लिए $G_{T_r}$ का प्रसार कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 23.5.

क्रमागत चित्तों के बीच प्रतीक्षा-समय स्वतंत्र ज्यामितीय $\mathcal{G}(p)$ चर हैं (स्मृतिहीनता: हर चित्त के बाद खेल फिर से शुरू हो जाता है), अतः $T_r = W_1 + \dots + W_r$ , और गुणनात्मकता (प्रमेय 23.10) देती है

G_{T_r}(t) = \Bigl(\frac{pt}{1 - qt}\Bigr)^{r}, \qquad \E(T_r) = r\,\E(W_1) = \frac rp, \qquad V(T_r) = r\,V(W_1) = \frac{rq}{p^2}

( $q = 1 - p$ ; प्रसरण स्वतंत्रता से जुड़ जाते हैं)। प्रसार: व्यापकीकृत द्विपद श्रेणी (अध्याय 11) से $(1 - qt)^{-r} = \sum_{m\geq0} \binom{m + r - 1}{r - 1}q^mt^m$ , अतः $p^rt^r(1 - qt)^{-r}$ में $t^n$ का गुणांक ( $m = n - r$ के साथ)

\P(T_r = n) = \binom{n-1}{r-1}p^r(1-p)^{n-r}, \qquad n \geq r ,

है — अर्थात् ऋणात्मक द्विपद नियम; और साहचर्यिक रूप से: $r$ -वाँ चित्त उछाल $n$ पर तभी गिरता है जब पिछले $r - 1$ चित्त अपने स्थान पहले $n - 1$ उछालों में चुनें।

अभ्यास 23.6 ★★

संतति नियम $p_0 = \frac18$ , $p_1 = \frac38$ , $p_2 = \frac38$ , $p_3 = \frac18$ के लिए: $m$ परिकलित कीजिए, अधिक्रांतिकता तय कीजिए, और विलोपन प्रायिकता $q$ ठीक-ठीक परिकलित कीजिए। ( $G(t) - t$ का मूल $t = 1$ बाहर निकाल लीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 23.6.

$m = 1\cdot\frac38 + 2\cdot\frac38 + 3\cdot\frac18 = \frac{3 + 6 + 3}{8} = \frac32 > 1$ : अधिक्रांतिक। जनक फलन

G(t) = \frac{1 + 3t + 3t^2 + t^3}{8} = \frac{(1 + t)^3}{8} ,

है, अतः अचल बिंदु $(1 + t)^3 = 8t$ हल करते हैं, अर्थात् $t^3 + 3t^2 - 5t + 1 = 0$ । आश्वस्त मूल $t = 1$ बाहर निकालने पर:

t^3 + 3t^2 - 5t + 1 = (t - 1)\bigl(t^2 + 4t - 1\bigr),

और $t^2 + 4t - 1 = 0$ $t = -2 \pm \sqrt5$ देता है। $\intco{0}{1}$ में मूल $\sqrt5 - 2 \approx 0.236$ है: प्रमेय 23.25 से,

q = \sqrt 5 - 2 .

(एक सुखद जाँच: संतति नियम $3$ स्वतंत्र निष्पक्ष सिक्कों का नियम है, $Z_1 \sim \mathcal{B}(3, \frac12)$ ।)

अभ्यास 23.7 ★★★

(कुल संतति) किसी अवक्रांतिक शाखन प्रक्रम ( $m < 1$ ) में मान लीजिए $Y = \sum_{n\geq0} Z_n$ अब तक जन्मे कुल व्यक्तियों की संख्या है। दिखाइए $\E(Y) = \sum_n m^n = \frac{1}{1 - m}$ (योगों की अदला-बदली न्यायसंगत ठहराइए), और सिद्ध कीजिए कि जनक फलन $H = G_Y$ फलनिक समीकरण $H(t) = t\,G(H(t))$ पूरा करता है। (पूर्वज, साथ में उसके हर बच्चे की कुल संतति, जो $Y$ की स्वतंत्र प्रतिलिपियाँ हैं।)

हल

हल — अभ्यास 23.7.

प्रत्याशा। पहले $\E(Z_n) = m^n$ : प्रमेय 23.17 से $\E(Z_{n+1}) = \E(Z_n)\,m$ , और $\E(Z_0) = 1$ । कुल $\bigl(Z_n(\omega)\P(\{\omega\}) \bigr)_{n, \omega}$ अऋणात्मक है, अतः कुलों के लिए फ़ूबिनी बिना किसी शर्त के लागू होती है:

\E(Y) = \sum_{n=0}^{\infty}\E(Z_n) = \sum_{n=0}^\infty m^n = \frac{1}{1 - m} < \infty

(विशेष रूप से $Y$ लगभग निश्चित रूप से परिमित है: जो अवक्रांतिक स्थिति में निश्चित विलोपन से संगत है)।

फलनिक समीकरण। जनसंख्या को पूर्वज के बच्चों के अनुसार अपघटित कीजिए: यदि पूर्वज के $Z_1 = k$ बच्चे हों, तो कुल संतति $Y = 1 + Y_1 + \dots + Y_k$ है, जहाँ $Y_i$ $i$ -वें बच्चे के वंश की कुल संतति है — और $Y_i$ $Y$ की स्वतंत्र प्रतिलिपियाँ हैं, जो $Z_1$ से स्वतंत्र हैं (भिन्न वंश असंयुक्त, स्वतंत्र प्रजनन-घटनाएँ बरतते हैं)। प्रमेय 23.17 की तरह $Z_1$ पर प्रतिबंधित करने पर:

H(t) = \E\bigl(t^Y\bigr) = t\sum_{k=0}^\infty \P(Z_1 = k)\,H(t)^k = t\,G\bigl(H(t)\bigr),

जहाँ गुणक $t$ स्वयं पूर्वज का लेखा रखता है। (द्विआधारी शाखन के नियम $p_0 = 1 - p$ , $p_2 = p$ के लिए $H$ में यह द्विघात समीकरण स्पष्ट रूप से हल और प्रसारित किया जा सकता है — अध्याय 11 की कातालान संख्याएँ कुल-वृक्ष गिनती हैं।)

अभ्यास 23.8 ★★★

मान लीजिए $X$ का जनक फलन $G$ है, जिसकी अभिसरण त्रिज्या $> 1$ है। चरघातांकी पुच्छ परिबंध सिद्ध कीजिए: ऐसे $C > 0$ तथा $\rho \in \intoo{0}{1}$ हैं कि $\P(X \geq n) \leq C\rho^n$ । (चक्रिका के भीतर किसी नियत $t > 1$ के लिए $t^X$ पर लगाई गई मार्कोव।) विलोमतः दिखाइए कि यदि $\rho < 1$ के साथ $\P(X \geq n) \leq C\rho^n$ , तो $G$ की त्रिज्या $\geq 1/\rho > 1$ है।

हल

हल — अभ्यास 23.8.

मान लीजिए $R > 1$ त्रिज्या है और $t \in \intoo{1}{R}$ स्थिर कीजिए। तब $\E(t^X) = G(t) < \infty$ , और अऋणात्मक चर $t^X$ पर स्तर $t^n$ पर लगाई गई मार्कोव असमिका (प्रमेय 22.15):

\P(X \geq n) = \P\bigl(t^X \geq t^n\bigr) \leq \frac{G(t)}{t^n} = C\rho^n, \qquad C = G(t),\quad \rho = \frac1t \in \intoo{0}{1}.

विलोम: यदि $\P(X \geq n) \leq C\rho^n$ , तो $p_n \leq \P(X \geq n) \leq C\rho^n$ , अतः $\abs t < \frac1\rho$ के लिए श्रेणी $\sum p_n\abs t^n$ अभिसारी गुणोत्तर श्रेणी $C\sum(\rho\abs t)^n$ से प्रभावित है: त्रिज्या कम से कम $\frac1\rho > 1$ है। जनक फलन की त्रिज्या और पुच्छ का गुणोत्तर क्षय एक ही गुणधर्म के दो चेहरे हैं।

अभ्यास 23.9 ★★★

(संततता प्रमेय, प्रारंभिक स्थिति) मान लीजिए $X, X_1, X_2, \dots$ $\N$ -मान वाले हैं और हर $t \in \intco{0}{1}$ के लिए $G_{X_n}(t) \to G_X(t)$ । दिखाइए कि हर $k$ के लिए $\P(X_n = k) \to \P(X = k)$ । ( $k$ पर आगमन: $k = 0$ के लिए $t \to 0$ लीजिए — ध्यान से: छोटा $t$ स्थिर कीजिए, $\abs{\P(X_n = 0) - G_{X_n}(t)} \leq \frac{t}{1-t}$ बरतिए, जो वैध है क्योंकि पुच्छ $\sum_{j \geq 1}p_jt^j \leq \frac{t}{1 - t}$ ; फिर विकर्णन कीजिए। आगमन-चरण के लिए $\frac{G(t) - \P(X = 0)}{t}$ पर विचार कीजिए, जो किसी खिसके हुए नियम का जनक फलन है।)

हल

हल — अभ्यास 23.9.

$p_k^{(n)} = \P(X_n = k)$ , $p_k = \P(X = k)$ लिखिए।

स्थिति $k = 0$ । $t \in \intoo{0}{1}$ तथा $\sum_j q_j \leq 1$ वाले किसी भी नियम $(q_j)$ के लिए:

\Bigl|\,q_0 - \sum_j q_jt^j\Bigr| = \sum_{j \geq 1} q_j t^j \leq \sum_{j\geq1}t^j = \frac{t}{1 - t} .

इसलिए

\abs{p_0^{(n)} - p_0} \leq \frac{2t}{1 - t} + \abs{G_{X_n}(t) - G_X(t)} .

$\varepsilon > 0$ दिया हो, तो $\frac{2t}{1-t} < \frac\varepsilon2$ वाला $t$ चुनिए, फिर ऐसा $n_0$ कि अंतिम पद $n \geq n_0$ के लिए $< \frac\varepsilon2$ हो: अतः $p_0^{(n)} \to p_0$ ।

आगमन-चरण। मान लीजिए $j < k$ के लिए $p_j^{(n)} \to p_j$ । खिसके हुए फलनों

g_n(t) = \frac{G_{X_n}(t) - p^{(n)}_0}{t} = \sum_{j\geq0} p^{(n)}_{j+1}t^j, \qquad g(t) = \frac{G_X(t) - p_0}{t} ,

पर विचार कीजिए, जो उप-प्रायिकता अनुक्रमों $(p^{(n)}_{j+1})_j$ के जनक फलन हैं (कुल द्रव्यमान $\leq 1$ , और $k = 0$ वाले तर्क ने इतना ही बरता था)। नियत $t \in \intoo{0}{1}$ के लिए परिकल्पना तथा स्थिति $k = 0$ से $g_n(t) \to g(t)$ । $g_n$ पर $k = 0$ वाला तर्क लगाने पर $p_1^{(n)} \to p_1$ मिलता है; और खिसकाव को $k$ बार दोहराने पर हर $k$ के लिए $p_k^{(n)} \to p_k$ मिल जाता है। (यह लेवी की संततता प्रमेय का विविक्त, प्रारंभिक उदाहरण है, जिसका व्यापक रूप — अभिलक्षणिक फलनों के लिए — वर्ष 3 का मील का पत्थर है।)

अभ्यास 23.10 ★

(सम-विषमता की युक्ति) दिखाइए कि किसी $\N$ -मान वाले चर $X$ के लिए

\P(X \text{ सम}) = \frac{1 + G_X(-1)}{2} ,

और यह प्रायिकता $X \sim \mathcal P(\lambda)$ तथा $X \sim \mathcal B(n, p)$ के लिए परिकलित कीजिए। $G_X(-1) \to 0$ का प्रायिकतात्मक अर्थ क्या है?

हल

हल — अभ्यास 23.10.

बिंदुवार, $\frac{1 + (-1)^X}{2}$ $X$ के सम होने पर $1$ के बराबर है और विषम होने पर $0$ , अतः प्रत्याशा लेने पर (अंतरण),

\P(X \text{ सम}) = \frac{1 + \E\bigl((-1)^X\bigr)}2 = \frac{1 + G_X(-1)}2 .

प्वासों: $\lambda$ के बढ़ने के साथ $\frac{1 + \eu^{-2\lambda}}2 \to \frac12$ । द्विपद: $\frac{1 + (1 - 2p)^n}2$ । दोनों स्थितियों में $G_X(-1) \to 0$ कहता है कि $X$ की सम-विषमता कोई निष्पक्ष सिक्का बन जाती है: नियम बहुत-से पूर्णांकों पर फैल जाता है और अपनी सम-विषमता भूल जाता है।

अभ्यास 23.11 ★★

(सिशरमान पासे) निष्पक्ष पासे के जनक फलन का गुणनखंडन

\frac{t + t^2 + \dots + t^6}{6} = \frac{t\,(1 + t)(1 + t + t^2)(1 - t + t^2)}{6},

सत्यापित कीजिए और दिखाइए कि फलकों $\{1, 2, 2, 3, 3, 4\}$ तथा $\{1, 3, 4, 5, 6, 8\}$ वाले दोनों पासों के जनक फलन $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)}6$ तथा $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)(1-t+t^2)^2}6$ हैं, जिनका गुणनफल दो मानक पासों के जनक फलन के बराबर है: अर्थात् ये विचित्र पासे हर योग $2, \dots, 12$ ठीक मानक प्रायिकताओं के साथ उत्पन्न करते हैं।

हल

हल — अभ्यास 23.11.

$t + \dots + t^6 = t\,\frac{1 - t^6}{1 - t}$ तथा $1 - t^6 = (1 - t)(1 + t)(1 + t + t^2)(1 - t + t^2)$ , जिससे बताया गया गुणनखंडन मिल जाता है। पहले पासे के लिए $(1 + t)(1 + t + t^2) = 1 + 2t + 2t^2 + t^3$ , अतः $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)}6 = \frac{t + 2t^2 + 2t^3 + t^4}6$ : फलक $\{1, 2, 2, 3, 3, 4\}$ । दूसरे के लिए प्रसार करने पर

(1 + 2t + 2t^2 + t^3)(1 - t + t^2)^2 = 1 + t^2 + t^3 + t^4 + t^5 + t^7,

अतः $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)(1-t+t^2)^2}6 = \frac{t + t^3 + t^4 + t^5 + t^6 + t^8}6$ : फलक $\{1, 3, 4, 5, 6, 8\}$ । दोनों जनक फलनों का गुणनफल छहों गुणनखंडों को $\bigl(\frac{t(1+t)(1+t+t^2)(1-t+t^2)}6 \bigr)^2$ में फिर समूहित कर देता है, जो मानक पासे के फलन का वर्ग है: अर्थात् सिशरमान युग्म का कुल नियम ठीक मानक है — और जनक फलन ऐसे सारे पुनःसमूहन वर्गीकृत कर देते हैं।

अभ्यास 23.12 ★★★

(लगातार दो चित्तों की प्रतीक्षा) चित्त की प्रायिकता $p$ वाला कोई सिक्का तब तक उछाला जाता है जब तक लगातार दो चित्त न आ जाएँ; मान लीजिए $T$ उछालों की संख्या है (अभ्यास 21.6 का खेल)। पहले उछालों पर प्रतिबंधित करके “कोई चालू चित्त नहीं” तथा “एक चालू चित्त” अवस्थाओं से जनक फलनों के लिए कोई रैखिक निकाय व्युत्पन्न कीजिए, और निष्कर्ष निकालिए

G_T(t) = \frac{p^2t^2}{1 - qt - pqt^2} \qquad (q = 1 - p);

$G_T(1) = 1$ तथा $\E(T) = \dfrac{1 + p}{p^2}$ जाँचिए (निष्पक्ष सिक्के के लिए $= 6$ )।

हल

हल — अभ्यास 23.12.

मान लीजिए $A$ तथा $B$ क्रमशः “कोई चालू चित्त नहीं” तथा “एक चालू चित्त” से शुरू होने वाली शेष अवधि के जनक फलन हैं। एक उछाल ख़र्च होता है, फिर: अवस्था $0$ से पट अवस्था $0$ पर लौटा देता है और चित्त अवस्था $1$ पर ले जाता है; अवस्था $1$ से चित्त खेल समाप्त कर देता है और पट अवस्था $0$ पर लौटा देता है:

A(t) = t\bigl(q\,A(t) + p\,B(t)\bigr), \qquad B(t) = t\bigl(p + q\,A(t)\bigr).

प्रतिस्थापित करने पर: $A(1 - qt) = pt\,B = pt(pt + qtA)$ , अतः

G_T(t) = A(t) = \frac{p^2t^2}{1 - qt - pq\,t^2} .

$t = 1$ पर हर $1 - q - pq = p(1 - q) = p^2$ है: $G_T(1) = 1$ , अर्थात् खेल लगभग निश्चित रूप से समाप्त होता है (जैसा अभ्यास 21.6 ने पुनरावृत्ति से दिखाया)। $1$ पर लघुगणकीय अवकलन: $D(t) = 1 - qt - pqt^2$ , $D'(1) = -q - 2pq$ के साथ $\E(T) = 2 - \frac{D'(1)}{D(1)}$ :

\E(T) = 2 + \frac{q + 2pq}{p^2} = \frac{2p^2 + q + 2pq}{p^2} = \frac{1 + p}{p^2},

जो $p = \frac12$ के लिए $6$ है।

23.6 समस्या: गाल्टन–वाट्सन प्रक्रम, हल किया हुआ

समस्या 23.1

सप्ताहांत समस्या — वृद्धि दरें, सटीक हल, कुल संतति, और कोल्मोगोरोव का क्रांतिक आकलन

विलोपन कसौटी (प्रमेय 23.25) शाखन प्रक्रमों को अवक्रांतिक, क्रांतिक तथा अधिक्रांतिक में बाँट देती है — पर वह दरों के विषय में कुछ नहीं कहती: कोई अभिशप्त वंश कितनी तेज़ी से मरता है, कोई बचा हुआ वंश कितना बड़ा होता है। यह समस्या उन्हें परिकलित करती है। हम अध्याय का संकेतन बनाए रखते हैं: जनक फलन $G$ वाला संतति नियम $(p_k)$ , माध्य $m = G'(1)$ , पीढ़ी-आकार $Z_n$ ( $Z_0 = 1$ ), पुनरावर्त $G_n = G_{Z_n}$ , विलोपन प्रायिकताएँ $q_n = \P(Z_n = 0) \uparrow q$ ; हम सदा $p_1 \neq 1$ मानते हैं, और जहाँ द्वितीय आघूर्ण आते हैं वहाँ $G''(1) < \infty$ , तथा हम $\sigma^2 = V(Z_1)$ लिखते हैं।

भाग I — पीढ़ियों के आघूर्ण।

दिखाइए $\E(Z_n) = m^n$ ( $1^-$ पर $G_n = G \circ G_{n-1}$ पर शृंखला नियम, $G_{n-1}(1) = 1$ तथा प्रमेय 23.7 बरतकर)।
पुनरावृत्ति $G_n''(1) = G''(1)\,m^{2(n-1)} + m\,G_{n-1}''(1)$ स्थापित कीजिए और उसे हल कीजिए: $G_n''(1) = G''(1)\,m^{n-1}\dfrac{m^n - 1}{m - 1}$ $m \neq 1$ के लिए, तथा $m = 1$ के लिए $G_n''(1) = n\,G''(1)$ ।
निकालिए

$V(Z_n) = \sigma^2m^{n-1}\,\frac{m^n - 1}{m - 1} \quad (m \neq 1), \qquad V(Z_n) = n\,\sigma^2 \quad (m = 1).$
(अवक्रांतिक दर, ऊपरी परिबंध) $m < 1$ के लिए दिखाइए $\P(Z_n > 0) \leq m^n$ (पूर्णांक-मान वाले $Z_n$ पर मार्कोव): अर्थात् विलोपन किसी गुणोत्तर दर के साथ निश्चित है — अध्याय की कसौटी का परिमाणात्मक परिष्कार।
(अवक्रांतिक दर, निचला परिबंध) $Z_n\mathbf 1_{Z_n > 0}$ पर कोशी–श्वार्ज़ का उपयोग करते हुए दिखाइए

$\P(Z_n > 0) \geq \frac{\E(Z_n)^2}{\E(Z_n^2)} \geq c\,m^{n} \quad\text{जहाँ}\quad c = \Bigl(\frac{\sigma^2}{m(1-m)} + 1\Bigr)^{-1} :$

अर्थात् गुणोत्तर दर $m^n$ अचरों तक सटीक है।

भाग II — ज्यामितीय कुल, ठीक-ठीक हल किया हुआ। मान लीजिए संतति नियम $\N$ पर ज्यामितीय है: $p_k = qp^k$ ( $k \geq 0$ ), जहाँ $0 < p < 1$ , $q = 1 - p$ ।

$G(t) = \dfrac{q}{1 - pt}$ तथा $m = \dfrac pq$ परिकलित कीजिए; $p$ के पदों में तीनों व्यवस्थाएँ ढूँढ़िए।
$G(t) = t$ हल कीजिए: दिखाइए कि अचल बिंदु $1$ तथा $q/p = 1/m$ हैं, और विलोपन प्रायिकता $q_{\mathrm{ext}} = \min(1, 1/m)$ पुनः प्राप्त कीजिए।
आगमन से संवृत रूप सिद्ध कीजिए

$q_n = \frac{m^n - 1}{m^{n+1} - 1} \quad (m \neq 1), \qquad q_n = \frac{n}{n+1} \quad (m = 1).$
सटीक दरें निकालिए: अवक्रांतिक स्थिति में $1 - q_n \sim (1 - m)\,m^n$ , और अधिक्रांतिक स्थिति में $q_{\mathrm{ext}} - q_n \sim \dfrac{m - 1}{m^{2}}\cdot m^{-n}$ ; जाँचिए कि अधिक्रांतिक संकुचन अनुपात $G'(q_{\mathrm{ext}}) = 1/m$ है।
क्रांतिक स्थिति ( $p = \tfrac12$ ): $\sigma^2 = 2$ परिकलित कीजिए और ध्यान दीजिए कि $1 - q_n = \frac1{n+1}$ : अर्थात् उत्तरजीविता $\frac1n$ की तरह क्षय करती है — न गुणोत्तर, न योग्य।
अब भी क्रांतिक: आगमन से पूरा पुनरावर्त

$G_n(t) = \frac{n - (n-1)t}{n + 1 - nt},$

सिद्ध कीजिए और निकालिए कि उत्तरजीविता पर प्रतिबंधित करने पर $Z_n$ $\N^*$ पर प्राचल $\frac1{n+1}$ का ज्यामितीय है:

$\P(Z_n = k \mid Z_n > 0) = \frac1{n+1} \Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{k-1}, \qquad \E(Z_n \mid Z_n > 0) = n + 1 .$

औसत वंश मर जाता है, पर बचे हुए वंशों का आकार कोटि $n$ का होता है।

भाग III — कुल संतति। मान लीजिए $Y = \sum_{n\geq0}Z_n \in \N^* \cup \{\infty\}$ अब तक जन्मे कुल व्यक्तियों की संख्या है, और $H(t) = \sum_{k\geq1}\P(Y = k)t^k$ ।

$\P(Y < \infty) = q_{\mathrm{ext}}$ न्यायसंगत ठहराइए, और अभ्यास 23.7 से फलनिक समीकरण $H(t) = t\,G(H(t))$ स्मरण कीजिए (जिसकी व्युत्पत्ति में $m < 1$ का उपयोग नहीं हुआ था)।
(द्विआधारी शाखन) $p_0 = p_2 = \frac12$ (क्रांतिक) के लिए फलनिक समीकरण हल कीजिए:

$H(t) = \frac{1 - \sqrt{1 - t^2}}{t},$

और उदाहरण 11.21 से प्रसार करके

$\P(Y = 2k + 1) = \frac{C_k}{2^{2k+1}}, \qquad C_k = \frac1{k+1}\binom{2k}k ;$

पाइए; मान $\P(Y = 1) = \frac12$ तथा $\P(Y = 3) = \frac18$ सीधी गणना से जाँचिए।
फलनिक समीकरण का $1^-$ पर अवकलन करके दिखाइए कि $m < 1$ के लिए $\E(Y) = \frac{1}{1-m}$ , जबकि क्रांतिकता $\E(Y) = \infty$ को बाध्य कर देती है: अर्थात् क्रांतिक कुल संतति लगभग निश्चित रूप से परिमित है पर उसकी प्रत्याशा अपरिमित है।
केंद्रीय द्विपद अनंतस्पर्शी (उदाहरण 6.14) के साथ दिखाइए

$\P(Y = 2k+1) \sim \frac{1}{2\sqrt\pi\,k^{3/2}},$

अर्थात् कोई भारी $k^{-3/2}$ पुच्छ, और निकालिए $\P(Y > n) \asymp n^{-1/2}$ (इसी कोटि के ऊपरी तथा निचले परिबंध पर्याप्त हैं)।
निष्पक्ष यादृच्छिक चहलक़दमी (अध्याय 21 की सप्ताहांत समस्या) से तुलना कीजिए: वहाँ निश्चित पर अपरिमित-माध्य वापसी-समय, यहाँ निश्चित पर अपरिमित-माध्य कुल संतति, और दोनों में $n^{-3/2}$ स्थानीय नियम। क्रांतिकता यह हस्ताक्षर क्यों उत्पन्न करती है, इस पर एक अनुच्छेद।

भाग IV — क्रांतिकता पर कोल्मोगोरोव का आकलन। मान लीजिए $m = 1$ , $0 < \sigma^2 = G''(1) < \infty$ ।

दिखाइए कि $G''$ $\intcc01$ तक संतत रूप से फैल जाता है (अऋणात्मक वर्धमान, परिमित सीमा के साथ) और $1$ पर टेलर प्रसार निकालिए:

$G(t) = t + b\,(1-t)^2 + o\bigl((1-t)^2\bigr), \qquad b = \frac{G''(1)}2 = \frac{\sigma^2}2 .$
$t \in \intco01$ के लिए $h(t) = \dfrac1{1 - G(t)} - \dfrac1{1 - t}$ रखिए। दिखाइए

$h(t) = \frac{G(t) - t}{(1 - G(t))(1 - t)} \xrightarrow[t\to1^-]{} b .$
पुनरावृत्ति $q_{j+1} = G(q_j)$ के अनुदिश दूरबीन की तरह सिकोड़िए:

$\frac1{1 - q_n} = 1 + \sum_{j=0}^{n-1}h(q_j),$

और किसी चेज़ारो तर्क से निष्कर्ष निकालिए कि

$\P(Z_n > 0) = 1 - q_n \sim \frac{2}{\sigma^2\,n}$

— यही कोल्मोगोरोव का आकलन है: हर क्रांतिक शाखन प्रक्रम सार्वभौमिक दर $1/n$ से मरता है, और केवल अचर ही संतति नियम को याद रखता है।
आकलन को प्रश्न 10 की क्रांतिक ज्यामितीय स्थिति के सामने जाँचिए।
$\E(Z_n \mid Z_n > 0) = \dfrac{1}{1 - q_n} \sim \dfrac{\sigma^2 n}{2}$ निकालिए (ध्यान दीजिए $\E(Z_n \mathbf 1_{Z_n>0}) = \E(Z_n) = 1$ ), और उसे प्रश्न 11 के सामने जाँचिए: उत्तरजीविता पर प्रतिबंधित करने पर जनसंख्या रैखिक रूप से बढ़ती है — मृत्यु और विस्फोट के बीच की क्रांतिक रस्सी।

भाग V — अनुप्रयोग और संश्लेषण।

(महामारियाँ, शृंखला अभिक्रियाएँ) किसी प्वासों संतति नियम $\mathcal P(\lambda)$ के लिए — जहाँ हर रोगी $\mathcal P(\lambda)$ नए रोगियों को संक्रमित करता है — विलोपन समीकरण $q = \eu^{\lambda(q-1)}$ लिखिए और उसे $\lambda = 1.5$ ( $q \approx 0.417$ ) तथा $\lambda = 2$ ( $q \approx 0.203$ ) के लिए संख्यात्मक रूप से हल कीजिए: एक रोगी से शुरू करने पर कोई बड़ा प्रकोप $\lambda > 1$ होने पर भी निश्चित नहीं है। समझाइए कि $q_0 = 0$ से पुनरावृत्ति $q_{n+1} = \eu^{\lambda(q_n - 1)}$ सही मूल तक क्यों अभिसरित होती है।
एक के बजाय $k$ पूर्वजों से शुरू करने पर दिखाइए कि विलोपन प्रायिकता $q^k$ है। अनुप्रयोग: $\lambda = 1.5$ के साथ, कितने आरंभिक रोगी किसी प्रकोप को कम से कम $99\%$ संभावित बना देते हैं?
(किसी अधिक्रांतिक प्रक्रम को विलोपन पर प्रतिबंधित करना) विलोपन प्रायिकता $q \in \intoo01$ वाले $m > 1$ के लिए: पहले उत्तलता से सिद्ध कीजिए कि सबसे छोटे अचल बिंदु पर $G'(q) < 1$ , और निकालिए $q_{\mathrm{ext}} - q_n = O\bigl(G'(q)^n\bigr)$ (गुणोत्तर अभिसरण, जैसा प्रश्न 9 ने दिखाया)। फिर दिखाइए कि $\widehat G(t) = G(qt)/q$ किसी सच्चे संतति नियम का जनक फलन है, जिसका माध्य $\widehat m = G'(q) < 1$ है: अर्थात् कोई अवक्रांतिक साथी प्रक्रम। ज्यामितीय कुल पर सत्यापित कीजिए: अधिक्रांतिक $(p, q)$ -प्रक्रम को विलोपन पर प्रतिबंधित करना $p$ तथा $q$ की अदला-बदली कर देता है। (पूरा कथन — कि प्रतिबंधित प्रक्रम साथी प्रक्रम ही है — वर्ष 3 के खंड में सिद्ध होता है; यहाँ आपने उसकी जनक-फलन छाया सत्यापित की है।)
संश्लेषण: त्रिभाजन की सारणी बनाइए — $m < 1$ , $m = 1$ , $m > 1$ के लिए: $q$ का मान; $\P(Z_n > 0)$ की या $q - q_n$ की दर; $\E(Y)$ ; किसी बची हुई पीढ़ी का आकार। हर औज़ार के लिए एक वाक्य में बताइए कि जनक फलनों के संयोजन, उत्तलता, $1^-$ पर टेलर, तथा चेज़ारो औसतन ने पूरी समस्या को कैसे ढोया, और वर्ष 3 का खंड इसमें क्या जोड़ता है (मार्टिंगेल $Z_n/m^n$ तथा याग्लोम का चरघातांकी सीमा नियम)।

हल

हल — समस्या 23.1.

1. $t \in \intoo01$ के लिए $G_n = G \circ G_{n-1}$ पर शृंखला नियम $G_n'(t) = G'\bigl(G_{n-1}(t)\bigr)G_{n-1}'(t)$ देता है। $t \to 1^-$ होने पर $G_{n-1}(t) \uparrow 1$ , और $G'$ अनह्रासमान है जिसकी $1$ पर बायीं सीमा $m$ है, अतः पहला गुणक $m$ की ओर जाता है; और आगमन से दूसरा $m^{n-1}$ की ओर। प्रमेय 23.7 से $\E(Z_n) = G_n'(1^-) = m^n$ ।

2. एक बार और अवकलन करने पर

G_n'' = G''(G_{n-1})\,(G_{n-1}')^2 + G'(G_{n-1})\,G_{n-1}'',

और $t \to 1^-$ लेने पर: $a_n = G_n''(1)$ , $a_1 = G''(1)$ के साथ $a_n = G''(1)m^{2(n-1)} + m\, a_{n-1}$ । $m \neq 1$ के लिए आगमन से जाँचा जाता है कि $a_n = G''(1)\,m^{n-1} \frac{m^n - 1}{m - 1}$ (पुनरावृत्ति $m\cdot G''(1)m^{n-2}\frac{m^{n-1}-1}{m-1}$ में $G''(1)m^{2n-2}$ जोड़ती है, और $m^{n-1} + \frac{m^{n-1}-1}{m-1} = \frac{m^n - 1}{m-1}$ ); $m = 1$ के लिए $a_n = a_{n-1} + G''(1) = n\,G''(1)$ ।

3. $V(Z_n) = a_n + m^n - m^{2n}$ तथा $G''(1) = \sigma^2 + m^2 - m$ । $m \neq 1$ के लिए टुकड़ा $(m^2 - m)m^{n-1}\frac{m^n-1}{m-1} = m^n(m^n - 1)$ ठीक $m^n - m^{2n}$ को काट देता है, और $V(Z_n) = \sigma^2m^{n-1}\frac{m^n-1}{m-1}$ बच रहता है। $m = 1$ के लिए: $V(Z_n) = nG''(1) = n\sigma^2$ ।

4. $Z_n$ कोई अऋणात्मक पूर्णांक चर है, अतः मार्कोव (प्रमेय 22.15) से $\P(Z_n > 0) = \P(Z_n \geq 1) \leq \E(Z_n) = m^n$ । $m < 1$ के लिए यह गुणोत्तर रूप से — और योग्य रूप से — क्षय करता है, अतः बोरेल–कांतेली यह भी दे देती है कि केवल परिमित रूप से कई पीढ़ियाँ अरिक्त हैं, जो फिर से विलोपन ही है।

5. कोशी–श्वार्ज़: $\E(Z_n)^2 = \E(Z_n\mathbf 1_{Z_n>0})^2 \leq \E(Z_n^2)\,\P(Z_n > 0)$ । प्रश्न 3 तथा $m < 1$ के साथ:

\E(Z_n^2) = V(Z_n) + m^{2n} \leq \frac{\sigma^2m^{n-1}}{1-m} + m^{2n},

अतः $m^{2n}$ को इस परिबंध से भाग देकर और $m^n$ से सरल करके,

\P(Z_n > 0) \geq \frac{m^n}{\frac{\sigma^2}{m(1-m)} + m^n} \geq \Bigl(\frac{\sigma^2}{m(1-m)} + 1\Bigr)^{-1}m^n ,

जहाँ हर में $m^n \leq 1$ का उपयोग हुआ। प्रश्न 4 के साथ: $\P(Z_n > 0) \asymp m^n$ ।

6. $G(t) = q\sum_k(pt)^k = \frac{q}{1 - pt}$ , और $m = G'(1) = \frac{pq}{(1-p)^2} = \frac pq$ । $p < \frac12$ के लिए अवक्रांतिक, $p = \frac12$ के लिए क्रांतिक, $p > \frac12$ के लिए अधिक्रांतिक।

7. $G(t) = t$ का अर्थ है $pt^2 - t + q = 0$ , जिसके मूल $\frac{1 \pm \abs{p - q}}{2p}$ हैं, अर्थात् $1$ तथा $\frac qp = \frac1m$ । विलोपन प्रायिकता $\intcc01$ का सबसे छोटा अचल बिंदु है (प्रमेय 23.25): $m \leq 1$ होने पर $q_{\mathrm{ext}} = 1$ , और $m > 1$ होने पर $\frac1m$ ।

8. $m \neq 1$ के लिए $p = \frac m{m+1}$ , $q = \frac1{m+1}$ के साथ: यदि $q_n = \frac{m^n - 1}{m^{n+1} - 1}$ , तो

1 - p\,q_n = \frac{(m+1)(m^{n+1} - 1) - m(m^n - 1)} {(m+1)(m^{n+1} - 1)} = \frac{m^{n+2} - 1}{(m+1)(m^{n+1} - 1)},

अतः $q_{n+1} = \frac{q}{1 - pq_n} = \frac{m^{n+1} - 1}{m^{n+2} - 1}$ ; और आधार स्थिति $q_0 = 0$ टिकती है। $m = 1$ के लिए: $G(t) = \frac1{2 - t}$ तथा $q_{n+1} = \frac1{2 - \frac{n}{n+1}} = \frac{n+1}{n+2}$ , जहाँ $q_0 = 0$ ।

9. $1 - q_n = \frac{m^n(m - 1)}{m^{n+1} - 1}$ । $m < 1$ के लिए हर $-1$ की ओर जाता है: $1 - q_n \sim (1 - m)\,m^n$ । $m > 1$ के लिए:

q_{\mathrm{ext}} - q_n = \frac1m - \frac{m^n - 1}{m^{n+1} - 1} = \frac{m - 1}{m\,(m^{n+1} - 1)} \sim \frac{m - 1}{m^{2}}\;m^{-n} .

और $t = \frac qp$ पर मूल्यांकित $G'(t) = \frac{pq}{(1 - pt)^2}$ (जहाँ $1 - pt = 1 - q = p$ ) $G'(q_{\mathrm{ext}}) = \frac qp = \frac1m$ देता है: अर्थात् प्रेक्षित अनुपात $m^{-1}$ ठीक आकर्षक अचल बिंदु पर अवकलज है।

10. $p = \frac12$ के लिए: $G''(t) = \frac{1/4}{(1 - t/2)^3}$ , अतः $G''(1) = 2$ तथा $\sigma^2 = G''(1) + m - m^2 = 2$ । संवृत रूप $1 - q_n = \frac1{n+1}$ देता है: अर्थात् उत्तरजीविता प्रायिकता $1/n$ की तरह क्षय करती है — इतनी धीमे कि वह योग्य नहीं, जबकि कोई भी अवक्रांतिक दर होती।

11. आगमन: $G_1(t) = \frac1{2-t}$ $n = 1$ के लिए सूत्र से मेल खाता है, और

G(G_n(t)) = \cfrac{1}{2 - \cfrac{n - (n-1)t}{n+1 - nt}} = \frac{n + 1 - nt}{2(n+1) - 2nt - n + (n-1)t} = \frac{n+1 - nt}{n + 2 - (n+1)t} .

तब

\frac{G_n(t) - q_n}{1 - q_n} = (n+1)\,\Bigl(\frac{n - (n-1)t}{n+1 - nt} - \frac{n}{n+1}\Bigr) = \frac{t}{n + 1 - nt} = \frac{\frac{t}{n+1}}{1 - \frac{n}{n+1}t} ,

जो $\N^*$ पर ज्यामितीय नियम $\mathcal G\bigl(\frac1{n+1} \bigr)$ का जनक फलन है (उदाहरण 23.4): उत्तरजीविता दी हो तो $\P(Z_n = k \mid Z_n > 0) = \frac1{n+1}\bigl(\frac n{n+1}\bigr)^{k-1}$ , और सप्रतिबंध माध्य $n + 1$ । बिना प्रतिबंधन का माध्य $1 = \E(Z_n)$ किसी लुप्त होती उत्तरजीविता प्रायिकता तथा रैखिक रूप से बढ़ते सप्रतिबंध आकार का गुणनफल है।

12. यदि वंश पीढ़ी $n$ पर विलुप्त हो जाए, तो $Y = Z_0 + \dots + Z_{n-1}$ परिमित है; और यदि वह कभी विलुप्त न हो, तो $Y \geq \sum_n 1 = \infty$ । अतः $\{Y < \infty\}$ विलोपन घटना है और $\P(Y < \infty) = q_{\mathrm{ext}}$ । अभ्यास 23.7 में $H(t) = tG(H(t))$ की व्युत्पत्ति — जहाँ पूर्वज गुणक $t$ का योगदान करता है, और उसके बच्चे $Y$ की स्वतंत्र प्रतिलिपियाँ स्थापित करते हैं जिनकी गिनती $G$ के द्वारा होती है — केवल प्रमेय 23.17 बरतती है, जो हर व्यवस्था में वैध है।

13. $G(s) = \frac{1 + s^2}2$ के साथ समीकरण $tH^2 - 2H + t = 0$ पढ़ा जाता है, अतः $H = \frac{1 - \sqrt{1 - t^2}}{t}$ ( $H(0) = 0$ वाला मूल)। कातालान श्रेणी $C(x) = \frac{1 - \sqrt{1 - 4x}}{2x}$ (उदाहरण 11.21) से तुलना करने पर: $H(t) = \frac t2\,C\bigl(\frac{t^2}4\bigr) = \sum_{k\geq0}C_k\,\frac{t^{2k+1}}{2^{2k+1}}$ , अर्थात् $\P(Y = 2k+1) = C_k2^{-2k-1}$ । जाँचें: $\P(Y = 1) = C_0/2 = \frac12$ (पूर्वज के कोई बच्चा नहीं); $\P(Y = 3) = C_1/8 = \frac18$ (दो बच्चे, दोनों निःसंतान: $\frac12\cdot\frac12\cdot \frac12$ )।

14. $\intoo01$ पर $H = tG(H)$ का अवकलन करके और $t \to 1^-$ लेकर (एकदिष्ट सीमाएँ, जैसी प्रमेय 23.7 में): $H'(1)\bigl(1 - G'(H(1))\bigr) = G(H(1))$ । अवक्रांतिक स्थिति में $H(1) = 1$ तथा $\E(Y) = H'(1) = \frac1{1 - m}$ । क्रांतिक स्थिति में $G'(1) = 1$ बायें गुणक को लुप्त कर देता है जबकि दायाँ पक्ष $1$ है: अतः कोई परिमित $H'(1)$ विद्यमान नहीं हो सकता, इसलिए $\E(Y) = \infty$ — फिर भी $\P(Y < \infty) = q = 1$ ।

15. उदाहरण 6.14 से $C_k = \frac1{k+1}\binom{2k}k \sim \frac{4^k}{\sqrt\pi\,k^{3/2}}$ , अतः

\P(Y = 2k+1) = \frac{C_k}{2\cdot4^{k}} \sim \frac1{2\sqrt\pi\,k^{3/2}} .

पुच्छ जोड़ने पर ( $\int_K^\infty k^{-3/2}\dd k = 2K^{-1/2}$ से ऊपर तथा नीचे तुलना करके): $\P(Y > 2K) \asymp K^{-1/2}$ , अर्थात् $\P(Y > n) \asymp n^{-1/2}$ — अपरिमित माध्य वाली कोई भारी पुच्छ, जो प्रश्न 14 को परिमाणित कर देती है।

16. दोनों क्रांतिक वस्तुएँ — निष्पक्ष चहलक़दमी का वापसी-समय (अध्याय 21 की सप्ताहांत समस्या) तथा क्रांतिक कुल संतति — लगभग निश्चित रूप से परिमित हैं पर अपरिमित माध्य वाली, और उनके स्थानीय नियमों का घातांक $-3/2$ तथा पुच्छों का घातांक $-1/2$ है। यह कोई संयोग नहीं: किसी कुल-वृक्ष का बच्चा-दर-बच्चा अन्वेषण कोई $\pm1$ पथ उत्पन्न करता है (हर जन्म पर एक पग ऊपर, हर मृत्यु पर एक नीचे), जो ठीक कोई निष्पक्ष चहलक़दमी है, और $Y$ कोई प्रथम-अभिगमन समय बन जाता है। क्रांतिकता का अर्थ है शून्य बहाव: प्रक्रम सदा विलोपन तथा विस्फोट दोनों के कगार पर रहता है, और शून्य-बहाव वाली यादृच्छिकता के $\sqrt{}$ -मापक्रम उतार-चढ़ाव ठीक यही घातांक उत्पन्न करते हैं।

17. $G''(t) = \sum_{n\geq2}n(n-1)p_nt^{n-2}$ के पद अऋणात्मक हैं, अतः वह $\intco01$ पर अनह्रासमान है और उसकी सीमा $G''(1) = \sigma^2$ परिमित है (क्रांतिकता $\E Z_1(Z_1 - 1) = \sigma^2$ बना देती है); और जिस अनह्रासमान फलन की सीमा सीमांत मान के बराबर हो वह $1$ पर संतत है। बिंदु $1$ पर समाकल शेषफल वाली टेलर:

G(t) = 1 + (t - 1) + \int_1^t(t - s)G''(s)\,\dd s = t + \frac{G''(1)}2(1-t)^2 + o\bigl((1-t)^2\bigr),

क्योंकि $s \to 1^-$ होने पर $G''(s) = G''(1) + o(1)$ ।

18. साझे हर पर लाने पर $h(t) = \frac{G(t) - t}{(1 - G(t))(1 - t)}$ । प्रश्न 17 से अंश $b(1-t)^2 + o((1-t)^2)$ है और $1 - G(t) = (1 - t)\bigl(1 - b(1-t) + o(1-t)\bigr)$ , अतः $h(t) \to b$ ।

19. $t = q_j$ तथा $G(q_j) = q_{j+1}$ पर $h$ की परिभाषा से: $\frac1{1 - q_{j+1}} - \frac1{1-q_j} = h(q_j)$ ; और $j = 0$ से ( $q_0 = 0$ ) जोड़ने पर प्रदर्शित रूप मिल जाता है। चूँकि क्रांतिक प्रक्रम मिट जाता है, $q_j \uparrow 1$ , अतः $h(q_j) \to b$ और चेज़ारो माध्य $\frac1n\sum_{j<n}h(q_j) \to b$ : $\frac1{1-q_n} \sim bn$ , अर्थात्

\P(Z_n > 0) \sim \frac1{bn} = \frac{2}{\sigma^2 n} .

20. ज्यामितीय क्रांतिक स्थिति: $\sigma^2 = 2$ (प्रश्न 10), अतः कोल्मोगोरोव $1 - q_n \sim \frac1n$ का अनुमान लगाता है — और सटीक मान $\frac1{n+1}$ है।

21. चूँकि $Z_n\mathbf 1_{Z_n > 0} = Z_n$ , $\E(Z_n \mid Z_n > 0) = \frac{\E(Z_n)}{\P(Z_n > 0)} = \frac1{1 - q_n} \sim \frac{\sigma^2n}2$ । ज्यामितीय स्थिति में यह $n + 1$ है, जो प्रश्न 11 से ठीक-ठीक मेल खाता है ( $\sigma^2 = 2$ )। क्रांतिक चित्र: विलोपन निश्चित है, माध्य आकार $1$ पर जमा हुआ है, और विरल बचे हुए वंशों का आकार रैखिक रूप से बढ़ता है — हर गुणक दूसरे को संतुलित करता हुआ।

22. $\mathcal P(\lambda)$ संतति के लिए $G(t) = \eu^{\lambda(t-1)}$ , और विलोपन प्रायिकता $q = \eu^{\lambda(q-1)}$ का सबसे छोटा मूल है। संख्यात्मक रूप से: $\lambda = 1.5$ $q \approx 0.417$ देता है ( $q \mapsto \eu^{1.5(q-1)}$ दोहराइए: $0, 0.223, 0.312, 0.356, \dots \to 0.4172$ ); $\lambda = 2$ $q \approx 0.203$ देता है। अतः एक सूचक रोगी प्रायिकता $58\%$ ( $\lambda = 1.5$ ) या $80\%$ ( $\lambda = 2$ ) के साथ किसी बड़े प्रकोप को जन्म देता है — संभावित, निश्चित नहीं। $q_0 = 0$ से पुनरावृत्ति सबसे छोटे मूल तक इसलिए अभिसरित होती है कि $G$ अनह्रासमान है: आगमन से किसी भी अचल बिंदु $r$ के लिए $q_n \leq r$ , और $(q_n)$ बढ़ता है (वह $\P(Z_n = 0)$ है), अतः उसकी सीमा सब से नीचे कोई अचल बिंदु है।

23. $k$ पूर्वज स्वतंत्र कुल-वृक्ष स्थापित करते हैं, और पूर्ण विलोपन $k$ स्वतंत्र विलोपन घटनाओं का प्रतिच्छेद है: प्रायिकता $q^k$ । $\lambda = 1.5$ के लिए: प्रकोप प्रायिकता $1 - q^k \geq 0.99$ के लिए $q^k \leq 0.01$ चाहिए, अर्थात् $k \geq \frac{\ln 0.01}{\ln 0.417} \approx 5.3$ : यानी छह आरंभिक रोगी प्रकोप को $99\%$ निश्चित बना देते हैं।

24. $G'(q) < 1$ : $G - \mathrm{id}$ उत्तल है और $q$ तथा $1$ पर लुप्त होता है, अतः वह $\intcc q1$ पर $\leq 0$ है; और यदि $G'(q) = 1$ होता, तो $q$ पर स्पर्शी (जिसे उत्तलता $G$ के नीचे रखती है) $\intcc q1$ पर $G(t) \geq t$ को बाध्य कर देती, इसलिए वहाँ $G \equiv \mathrm{id}$ , जो सारे गुणांक $p_n$ ( $n \geq 2$ ) मार देता और $m > 1$ के विरुद्ध पड़ता। गुणोत्तर अभिसरण: सब $n$ के लिए $q_n < q$ (आगमन, $G$ वर्धमान), और माध्यमान प्रमेय $c_n \in \intoo{q_n}q$ के साथ $q - q_{n+1} = G'(c_n)(q - q_n)$ देती है, अतः $G'(c_n) \leq G'(q) < 1$ तथा $q - q_n \leq q\,G'(q)^n$ । साथी प्रक्रम: $\widehat G(t) = G(qt)/q = \sum_kp_kq^{k-1}t^k$ के गुणांक अऋणात्मक हैं और $\widehat G(1) = G(q)/q = 1$ : अर्थात् कोई जनक फलन; और उसका माध्य $\widehat G'(1) = G'(q) < 1$ है: यानी अवक्रांतिक। ज्यामितीय कुल: $G(t) = \frac{q}{1-pt}$ , $q_{\mathrm{ext}} = \frac qp$ , और

\widehat G(t) = \frac pq\cdot\frac{q}{1 - p\frac qp t} = \frac{p}{1 - qt} :

अर्थात् $p$ तथा $q$ की अदला-बदली वाला ज्यामितीय संतति नियम — अपनी विलोपन घटना पर देखा गया अधिक्रांतिक प्रक्रम दर्पण में अवक्रांतिक प्रक्रम है।

25. सारणी: $m < 1$ : $q = 1$ , $\P(Z_n > 0) \asymp m^n$ (प्रश्न 4 से 5), $\E(Y) = \frac1{1-m}$ , और परिबद्ध सप्रतिबंध माध्य वाली बची हुई पीढ़ियाँ। $m = 1$ : $q = 1$ , $\P(Z_n > 0) \sim \frac2{\sigma^2n}$ (कोल्मोगोरोव), $\P(Y > n) \asymp n^{-1/2}$ के साथ $\E(Y) = \infty$ , और $\sim \frac{\sigma^2n}2$ आकार के उत्तरजीवी। $m > 1$ : $q < 1$ सबसे छोटा अचल बिंदु है, $q - q_n = O(G'(q)^n)$ , वृद्धि $\E(Z_n) = m^n$ , और मरने पर प्रतिबंधित करने पर प्रक्रम अवक्रांतिक साथी है (प्रश्न 24)। औज़ार: जनक फलनों के संयोजन ने जनसंख्या-पुनरावृत्ति को फलन-पुनरावृत्ति में बदल दिया; उत्तलता ने अचल बिंदुओं की ज्यामिति नियत कर दी; $1^-$ पर टेलर ने आघूर्ण-परिकल्पनाओं को स्थानीय प्रसारों में बदला; और चेज़ारो औसतन ने किसी दूरबीनी योग से कोल्मोगोरोव का $1/n$ निकाल लिया। वर्ष 3 का खंड मार्टिंगेल $Z_n/ m^n$ जोड़ता है — जिसकी लगभग-निश्चित सीमा $\E(Z_n) = m^n$ को प्रक्षेप-दर-प्रक्षेप वृद्धि दर में परिष्कृत कर देती है — तथा याग्लोम की प्रमेय, जो प्रश्न 11 में देखी गई सप्रतिबंध ज्यामिति के पीछे का सीमा नियम है।