ما معنى متزايدة، متناقصة؟

مثال 3.10

لننظر في الدالة الممثَّلة أدناه على $\intcc{-2}{4}$.

بقراءة المنحنى: تتزايد $f$ من $f(-2) = -1.5$ حتى قيمتها العظمى $f(1) = 3$، ثم تتناقص حتى $f(4) = -1.5$. وجدول تغيراتها هو

مثال 3.11 (البرهان على تغير)

بيّن أن $f(x) = 3x + 1$ متزايدة تمامًا على $\R$. خذ $u < v$ كيفما كانا وقارن الصورتين:

لأن $v - u > 0$. إذن $f(u) < f(v)$: فالدالة متزايدة تمامًا. ويعطي الحساب نفسه، مع ميل سالب، مثلًا $g(x) = -2x + 5$، ما يلي: $g(v) - g(u) = -2(v-u) < 0$: متناقصة تمامًا.

مثال 11.10

ادرس $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ على $\R$. الدالة الداخلية $u(x) = x^2 + 1$ موجبة، ومتناقصة على $\intoc{-\infty}{0}$ و متزايدة على $\intco{0}{+\infty}$ (وهي مربع منسحب). وحسب النقطة 3، تكون للدالة $f$ التغيرات نفسها: متناقصة ثم متزايدة، وقيمتها الصغرى $f(0) = 1$.