رياضيات المرحلة الثانوية · Grades 10–12

10الدوال والمعادلات التربيعية

الدوال التربيعية أبسط الدوال بعد الخطية، وأول دوال منحنياتها منحنية حقًّا. يطوّر هذا الفصل عدتها الكاملة: الصورة النموذجية، والمميز، وإشارة العبارة التربيعية، وهندسة القطع المكافئ.

10.1 الصورة النموذجية

تعريف 10.1 (الدالة التربيعية)

الدالة التربيعية دالة على الصورة

f(x) = ax^2 + bx + c, \qquad a \neq 0,

حيث $a$ و $b$ و $c$ أعداد حقيقية. وتُسمّى العبارة $ax^2 + bx + c$ أيضًا ثلاثي حدود من الدرجة الثانية.

مبرهنة 10.2 (الصورة النموذجية)

يمكن كتابة كل دالة تربيعية بطريقة وحيدة على الصورة

f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta, \qquad\text{حيث } \alpha = -\frac{b}{2a} \text{ و } \beta = f(\alpha).

وهذه هي الصورة النموذجية للدالة $f$ .

برهان. نتمّ المربع. وبما أن $a \neq 0$ ، نخرجه عاملًا مشتركًا من الحدين الأولين:

ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c .

والآن يكون $x^2 + \frac{b}{a}x$ بداية المربع $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \frac ba x + \frac{b^2}{4a^2}$ ، إذن $x^2 + \frac{b}{a}x = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2}$ . وبالتعويض:

f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = a\bigl(x - \alpha\bigr)^2 + \beta,

حيث $\alpha = -\frac{b}{2a}$ و $\beta = c - \frac{b^2}{4a}$ . وبالحساب عند $x = \alpha$ ينعدم الحد المربع، إذن $\beta = f(\alpha)$ . أما الوحدانية: فبنشر $a(x-\alpha)^2 + \beta$ ومطابقة معاملات $x$ يُفرض $\alpha = -\frac{b}{2a}$ ، ثم يتحدد $\beta$ . ∎

مثال 10.3

لتكن $f(x) = 2x^2 - 8x + 3$ . عندئذٍ $\alpha = -\frac{-8}{2 \times 2} = 2$ و $\beta = f(2) = 8 - 16 + 3 = -5$ ، إذن

f(x) = 2(x - 2)^2 - 5 .

وتحقق بالنشر: $2(x^2 - 4x + 4) - 5 = 2x^2 - 8x + 8 - 5 = 2x^2 - 8x + 3$ .

قضية 10.4 (القيمة الحدية والتغيرات)

لتكن $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ .

إذا كان $a > 0$ ، فإن $f$ متناقصة على $\intoc{-\infty}{\alpha}$ و متزايدة على $\intco{\alpha}{+\infty}$ : أي أن للدالة $f$ قيمة صغرى هي $\beta$ ، تُبلغ عند $x = \alpha$ .
وإذا كان $a < 0$ ، انقلبت التغيرات: فيكون للدالة $f$ قيمة عظمى هي $\beta$ عند $x = \alpha$ .

برهان. لنفترض أن $a > 0$ وليكن $\alpha \leq u < v$ . عندئذٍ

f(v) - f(u) = a\bigl((v-\alpha)^2 - (u-\alpha)^2\bigr) = a\,(v - u)\,\bigl((v-\alpha) + (u-\alpha)\bigr).

وكل عامل موجب: إذ $a > 0$ ، و $v - u > 0$ ، و $(v-\alpha) + (u-\alpha) > 0$ لأن $v > \alpha$ و $u \geq \alpha$ . إذن $f(v) > f(u)$ : أي أن $f$ متزايدة على $\intco{\alpha}{+\infty}$ . ومن أجل $u < v \leq \alpha$ يكون العامل الأخير سالبًا، إذن $f(v) < f(u)$ : أي أن $f$ متناقصة هناك. وأخيرًا $f(x) - f(\alpha) = a(x-\alpha)^2 \geq 0$ من أجل كل $x$ ، إذن $\beta = f(\alpha)$ هي القيمة الصغرى. وتنتج الحالة $a < 0$ بتطبيق ما سبق على $-f$ . ∎

مثال 10.5

لدى فلّاح $100$ متر من السياج ليحيط حقلًا مستطيلًا مسنودًا إلى جدار مستقيم (فلا حاجة إلى سياج على طول الجدار). فإذا كان $x$ العرض، كانت المساحة المحاطة $A(x) = x(100 - 2x) = -2x^2 + 100x$ . وهنا $\alpha = -\frac{100}{2\times(-2)} = 25$ و $A(25) = 25 \times 50 = 1250$ : أي أن المساحة أكبر ما تكون من أجل عرض قدره $25$ م، فتعطي $1250$ م $^2$ .

10.2 الجذور والتحليل إلى عوامل

تعريف 10.6 (الجذر والمميز)

جذر ثلاثي الحدود $ax^2+bx+c$ هو حل المعادلة $ax^2 + bx + c = 0$ . والمميز لثلاثي الحدود هو العدد

\Delta = b^2 - 4ac .

مبرهنة 10.7 (حل المعادلة $ax^2+bx+c=0$ )

إذا كان $\Delta > 0$ ، فللمعادلة جذران متمايزان

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a},$

و $ax^2+bx+c = a(x - x_1)(x - x_2)$ .
وإذا كان $\Delta = 0$ ، فللمعادلة جذر وحيد $x_0 = -\frac{b}{2a}$ ، و $ax^2+bx+c = a(x - x_0)^2$ .
وإذا كان $\Delta < 0$ ، فليس للمعادلة حل حقيقي، ولا يمكن تحليل ثلاثي الحدود إلى عوامل ذات معاملات حقيقية.

برهان. لننطلق من الصورة النموذجية المحسوبة في المبرهنة 10.2:

ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a} = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right],

لأن $c - \frac{b^2}{4a} = \frac{4ac - b^2}{4a} = -\frac{\Delta}{4a} = a \times \left(-\frac{\Delta}{4a^2}\right)$ .

1. إذا كان $\Delta > 0$ ، فإن $\frac{\Delta}{4a^2} = \left(\frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)^2$ ويكون القوس فرق مربعين:

ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt\Delta}{2a}\right) \left(x + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt\Delta}{2a}\right) = a(x - x_2)(x - x_1).

والجداء معدوم بالضبط عندما ينعدم أحد عامليه، فنحصل على الجذرين، وهما متمايزان لأن $\sqrt\Delta \neq 0$ .

2. وإذا كان $\Delta = 0$ ، صار القوس $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2$ ، وهو لا ينعدم إلا عند $x_0 = -\frac{b}{2a}$ .

3. وإذا كان $\Delta < 0$ ، فإن $-\frac{\Delta}{4a^2} > 0$ ، إذن يكون القوس مربعًا زائد عدد موجب: فلا ينعدم أبدًا، ولا يكون للمعادلة حل حقيقي. والتحليل $a(x-x_1)(x-x_2)$ سينتج جذورًا، إذن لا وجود له. ∎

مثال 10.8

حل $2x^2 - 8x + 3 = 0$ . وهنا $\Delta = (-8)^2 - 4 \times 2 \times 3 = 64 - 24 = 40 > 0$ ، إذن يوجد جذران:

x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}.

ومن أجل $x^2 + x + 1 = 0$ : $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$ ، فلا حل حقيقي.

قضية 10.9 (مجموع الجذرين وجداؤهما)

إذا كان $\Delta \geq 0$ وكان $x_1, x_2$ الجذرين (وهما متساويان عندما $\Delta = 0$ )، فإن

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a} .

وبالعكس، يكون عددان مجموعهما $s$ وجداؤهما $p$ حلَّي $x^2 - sx + p = 0$ .

برهان. انشر التحليل في المبرهنة 10.7:

a(x - x_1)(x - x_2) = a x^2 - a(x_1 + x_2)x + a\,x_1 x_2 .

ومطابقة المعاملات مع $ax^2 + bx + c$ تعطي $-a(x_1+x_2) = b$ و $a\,x_1x_2 = c$ . أما العكس: فإذا كان $u + v = s$ و $uv = p$ ، فإن $(x-u)(x-v) = x^2 - sx + p$ ، إذن $u$ و $v$ جذراها. ∎

مثال 10.10

أوجد عددين مجموعهما $10$ وجداؤهما $21$ . إنهما يحلّان $x^2 - 10x + 21 = 0$ ؛ و $\Delta = 100 - 84 = 16$ ، فالجذران $\frac{10 \pm 4}{2} = 7$ و $3$ . اقتناص الجذور بسرعة: بما أن معاملات $x^2 - 5x + 4$ تحقق $1 - 5 + 4 = 0$ ، فإن العدد $1$ جذر، والآخر هو $\frac{c}{a} = 4$ (فجداؤهما يجب أن يساوي $\frac ca$ ).

10.3 إشارة ثلاثي حدود من الدرجة الثانية

مبرهنة 10.11 (إشارة ثلاثي الحدود)

لتكن $f(x) = ax^2+bx+c$ مع $a \neq 0$ .

إذا كان $\Delta > 0$ ، وكان الجذران $x_1 < x_2$ : فإن $f(x)$ يحمل إشارة $a$ خارج $\intcc{x_1}{x_2}$ ، وإشارة $-a$ على $\intoo{x_1}{x_2}$ .
وإذا كان $\Delta = 0$ : فإن $f(x)$ يحمل إشارة $a$ من أجل كل $x \neq x_0$ ، وينعدم عند $x_0$ .
وإذا كان $\Delta < 0$ : فإن $f(x)$ يحمل إشارة $a$ من أجل كل $x$ .

وباختصار: يحمل ثلاثي الحدود إشارة $a$ ، إلا بين جذريه.

برهان. 1. اكتب $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ وتابع إشارتَي العاملين. فإذا كان $x < x_1$ : كان $x - x_1$ و $x - x_2$ سالبين، وجداؤهما موجبًا، فيحمل $f(x)$ إشارة $a$ . وإذا كان $x_1 < x < x_2$ : كانت إشارتا العاملين مختلفتين، والجداء سالبًا، فيحمل $f(x)$ إشارة $-a$ . وإذا كان $x > x_2$ : كان العاملان موجبين ويحمل $f(x)$ إشارة $a$ من جديد.

2. لدينا $f(x) = a(x - x_0)^2$ و $(x-x_0)^2 > 0$ من أجل $x \neq x_0$ .

3. من برهان المبرهنة 10.7، لدينا $f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(-\frac{\Delta}{4a^2}\right)\right]$ ، والقوس دائمًا موجب. ∎

طريقة 10.12 (حل المتراجحات التربيعية)

لحل $ax^2 + bx + c \leq 0$ (أو $\geq$ أو $<$ أو $>$ ):

احسب $\Delta$ والجذرين إن وُجدا؛
ارسم جدول الإشارة مستعملًا المبرهنة 10.11 (إشارة $a$ خارج الجذرين)؛
اقرأ فترة الحلول أو فتراتها، منتبهًا إلى ما إذا كان الجذران نفسهما مُدرَجين (في المتراجحة الواسعة) أو لا (في التامة).

مثال 10.13

حل $-x^2 + 3x + 4 \geq 0$ . وهنا $\Delta = 9 + 16 = 25$ ، والجذران هما $\frac{-3 \pm 5}{-2}$ ، أي $x_1 = -1$ و $x_2 = 4$ . وبما أن $a = -1 < 0$ ، يكون ثلاثي الحدود سالبًا خارج الجذرين وموجبًا بينهما. ومع المتراجحة الواسعة، تكون مجموعة الحلول $\intcc{-1}{4}$ .

10.4 القطع المكافئ

تعريف 10.14 (القطع المكافئ)

منحنى الدالة التربيعية $f(x) = a(x-\alpha)^2+\beta$ هو قطع مكافئ رأسه $S(\alpha, \beta)$ . وهو مفتوح نحو الأعلى إذا كان $a > 0$ ، ونحو الأسفل إذا كان $a < 0$ ، ومتناظر بالنسبة إلى المستقيم الشاقولي $x = \alpha$ .

ملاحظة 10.15

التحقق من التناظر سهل: فمن أجل أي $h$ ، $f(\alpha + h) = ah^2 + \beta = f(\alpha - h)$ ، إذن تكون لنقطتين تبعدان البعد الأفقي نفسه عن المستقيم $x = \alpha$ الارتفاع نفسه.

المواضع الثلاثة لقطع مكافئ مفتوح نحو الأعلى (a > 0) بالنسبة إلى المحور x: جذران، وجذر مضاعف، ولا جذر. وفاصلة الرأس S هي = -b/2a. — المواضع الثلاثة لقطع مكافئ مفتوح نحو الأعلى ( $a > 0$ ) بالنسبة إلى المحور $x$ : جذران، وجذر مضاعف، ولا جذر. وفاصلة الرأس $S$ هي $\alpha = -\frac{b}{2a}$ .

إشارة ثلاثي حدود مفتوح نحو الأسفل (a < 0) له جذران: إشارة -a بين الجذرين (المنطقة المظللة)، وإشارة a خارجهما. — إشارة ثلاثي حدود مفتوح نحو الأسفل ( $a < 0$ ) له جذران: إشارة $-a$ بين الجذرين (المنطقة المظللة)، وإشارة $a$ خارجهما.

طريقة 10.16 (قراءة قطع مكافئ)

لرسم $f(x) = ax^2+bx+c$ : أوجد الاتجاه (إشارة $a$ )، و الرأس $\left(-\frac{b}{2a},\, f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$ ، و نقطة التقاطع $(0, c)$ مع المحور $y$ ، والجذرين إن وُجدا. ثم يضع محور التناظر $x = -\frac{b}{2a}$ كل نقطة محسوبة مرتين.

مثال 10.17

من أجل $f(x) = x^2 - 4x + 3$ : مفتوح نحو الأعلى، ورأسه $(2, -1)$ ، ويقطع المحور $y$ في $(0,3)$ ، وجذراه $1$ و $3$ (باقتناصهما: $1 - 4 + 3 = 0$ ). وبالتناظر، تقع النقطة $(4, 3)$ أيضًا على المنحنى، مقابلةً للنقطة $(0, 3)$ .

10.5 تمارين

تمرين 10.1 ★

حل المعادلات

x^2 - 5x + 6 = 0, \qquad 2x^2 + 3x - 2 = 0, \qquad x^2 + 2x + 5 = 0, \qquad 9x^2 - 6x + 1 = 0 .

حل

حل التمرين 10.1.

$x^2-5x+6$ : $\Delta = 25 - 24 = 1$ ، والجذران $\frac{5 \pm 1}{2}$ ، أي $2$ و $3$ .

$2x^2+3x-2$ : $\Delta = 9 + 16 = 25$ ، والجذران $\frac{-3 \pm 5}{4}$ ، أي $\frac12$ و $-2$ .

$x^2+2x+5$ : $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$ ، فلا حل حقيقي.

$9x^2-6x+1$ : $\Delta = 36 - 36 = 0$ ، وجذر وحيد (مضاعف) $x_0 = \frac{6}{18} = \frac13$ .

تمرين 10.2 ★

اكتب على الصورة النموذجية وأعطِ رأس القطع المكافئ:

f(x) = x^2 - 6x + 11, \qquad g(x) = -2x^2 + 4x + 1, \qquad h(x) = 3x^2 + 6x .

حل

حل التمرين 10.2.

$f(x) = x^2 - 6x + 11 = (x-3)^2 - 9 + 11 = (x-3)^2 + 2$ : الرأس $(3, 2)$ .

$g(x) = -2x^2+4x+1 = -2(x^2 - 2x) + 1 = -2\bigl((x-1)^2 - 1\bigr) + 1 = -2(x-1)^2 + 3$ : الرأس $(1, 3)$ .

$h(x) = 3x^2 + 6x = 3(x^2 + 2x) = 3\bigl((x+1)^2 - 1\bigr) = 3(x+1)^2 - 3$ : الرأس $(-1, -3)$ .

تمرين 10.3 ★

حل المتراجحات

x^2 - 3x - 10 < 0, \qquad 2x^2 + x + 3 > 0, \qquad -x^2 + 6x - 9 \geq 0 .

حل

حل التمرين 10.3.

$x^2 - 3x - 10$ : $\Delta = 9 + 40 = 49$ ، والجذران $\frac{3 \pm 7}{2} = -2$ و $5$ ؛ ومعامل الحد الأعلى موجب، إذن يكون ثلاثي الحدود سالبًا بين الجذرين تمامًا: فمجموعة الحلول هي $\intoo{-2}{5}$ .

$2x^2 + x + 3$ : $\Delta = 1 - 24 = -23 < 0$ و $a = 2 > 0$ : فهو موجب دائمًا، ومجموعة الحلول هي $\R$ .

$-x^2 + 6x - 9 = -(x-3)^2$ : وهو $\geq 0$ فقط حيث $(x-3)^2 \leq 0$ ، أي عند $x = 3$ . فمجموعة الحلول هي $\{3\}$ .

تمرين 10.4 ★

دون حساب $\Delta$ ، أوجد جذرًا بديهيًا، ثم الجذر الآخر:

x^2 - 7x + 6 = 0, \qquad 2x^2 + 5x - 7 = 0, \qquad x^2 + 4x - 5 = 0 .

(إرشاد: اختبر $x = 1$ و $x = -1$ ، ثم استعمل جداء الجذرين.)

حل

حل التمرين 10.4.

$x^2 - 7x + 6$ : لدينا $1 - 7 + 6 = 0$ ، إذن $1$ جذر؛ وجداء الجذرين $6$ ، إذن الجذر الآخر $6$ .

$2x^2 + 5x - 7$ : لدينا $2 + 5 - 7 = 0$ ، إذن $1$ جذر؛ والجداء $\frac{c}{a} = -\frac72$ ، إذن الجذر الآخر $-\frac72$ .

$x^2 + 4x - 5$ : لدينا $1 + 4 - 5 = 0$ ، إذن $1$ جذر؛ والجداء $-5$ ، إذن الجذر الآخر $-5$ .

تمرين 10.5 ★★

أوجد عددين مجموعهما $14$ وجداؤهما $45$ . ثم أوجد بعدَي مستطيل محيطه $34$ ومساحته $60$ .

حل

حل التمرين 10.5.

العددان جذرا $x^2 - 14x + 45 = 0$ (القضية 10.9)؛ و $\Delta = 196 - 180 = 16$ ، والجذران $\frac{14 \pm 4}{2} = 9$ و $5$ .

أما المستطيل: فنصف المحيط يعطي الطول $+$ العرض $= 17$ ، و المساحة تعطي جداءهما $60$ . وهما جذرا $x^2 - 17x + 60 = 0$ ؛ و $\Delta = 289 - 240 = 49$ ، والجذران $\frac{17 \pm 7}{2} = 12$ و $5$ . إذن المستطيل $12 \times 5$ .

تمرين 10.6 ★★

لتكن $f(x) = x^2 + (m-2)x + 1$ ، حيث $m$ وسيط حقيقي. من أجل أي قيم $m$ يكون للمعادلة $f(x) = 0$ حل وحيد؟ ومن أجل أيها لا يكون لها حل؟

حل

حل التمرين 10.6.

$\Delta = (m-2)^2 - 4$ . ويوجد حل وحيد عندما $\Delta = 0$ : أي $(m-2)^2 = 4$ ، إذن $m - 2 = \pm 2$ ، أي $m = 0$ أو $m = 4$ . ولا يوجد حل عندما $\Delta < 0$ : أي $(m-2)^2 < 4$ ، أي $-2 < m - 2 < 2$ ، أي $0 < m < 4$ .

تمرين 10.7 ★★

تُقذف كرة إلى أعلى؛ وارتفاعها بعد $t$ ثانية هو $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ (بالمتر). ما الارتفاع الأعظمي المبلوغ، وفي أي لحظة؟ وخلال أي فترة زمنية تكون الكرة على ارتفاع $16$ م على الأقل؟

حل

حل التمرين 10.7.

الرأس عند $t = -\frac{20}{2 \times (-5)} = 2$ ، و $h(2) = -20 + 40 + 1 = 21$ : أي ارتفاع أعظمي $21$ م، يُبلغ بعد $2$ ثانية.

والشرط $h(t) \geq 16$ يعني $-5t^2 + 20t - 15 \geq 0$ ، أي (بالقسمة على $-5$ ، وهي تقلب المتراجحة) $t^2 - 4t + 3 \leq 0$ . وجذرا $t^2-4t+3$ هما $1$ و $3$ (إذ $1 - 4 + 3 = 0$ ، والجداء $3$ )، إذن $t^2 - 4t + 3 \leq 0$ على $\intcc{1}{3}$ بالضبط: فالكرة على ارتفاع $16$ م على الأقل بين اللحظتين $t = 1$ ثا و $t = 3$ ثا.

تمرين 10.8 ★★

حل المعادلة $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ بوضع $X = x^2$ (وهي معادلة ثنائية التربيع).

حل

حل التمرين 10.8.

بوضع $X = x^2$ : $X^2 - 13X + 36 = 0$ ، و $\Delta = 169 - 144 = 25$ ، إذن $X = \frac{13 \pm 5}{2} = 9$ أو $4$ . وبالعودة إلى $x$ : يعطي $x^2 = 9$ أن $x = \pm 3$ ، ويعطي $x^2 = 4$ أن $x = \pm 2$ . فمجموعة الحلول هي $\{-3, -2, 2, 3\}$ .

تمرين 10.9 ★★

من أجل أي قيم $x$ تقع النقطة $M(x, x^2)$ من القطع المكافئ $y = x^2$ تحت المستقيم $y = x + 2$ تمامًا؟ فسّر على رسم.

حل

حل التمرين 10.9.

الشرط هو $x^2 < x + 2$ ، أي $x^2 - x - 2 < 0$ . وبما أن $x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2)$ (والجذران $-1$ و $2$ )، تتحقق المتراجحة بين الجذرين تمامًا: $x \in \intoo{-1}{2}$ . وعلى رسم، ينغمس القطع المكافئ $y = x^2$ تحت المستقيم $y = x+2$ بالضبط بين نقطتي تقاطعهما $(-1, 1)$ و $(2, 4)$ .

تمرين 10.10 ★★

مجموع عدد موجب ومقلوبه هو $\frac{13}{6}$ . أوجد العدد. (ردّ المسألة إلى معادلة تربيعية.)

حل

حل التمرين 10.10.

ليكن $x > 0$ يحقق $x + \frac1x = \frac{13}{6}$ . وبالضرب في $6x > 0$ : نجد $6x^2 + 6 = 13x$ ، أي $6x^2 - 13x + 6 = 0$ . عندئذٍ $\Delta = 169 - 144 = 25$ و $x = \frac{13 \pm 5}{12}$ ، فيكون $x = \frac32$ أو $x = \frac23$ . وكلاهما موجب وكل منهما مقلوب الآخر، كما هو متوقع: فالعدد هو $\frac32$ (أو $\frac23$ ).

تمرين 10.11 ★★★

ليكن $\mathcal P$ القطع المكافئ $y = x^2$ وليكن $d_m$ المستقيم $y = mx - 1$ ، حيث $m$ وسيط حقيقي.

من أجل أي قيم $m$ يتقاطع $\mathcal P$ و $d_m$ في نقطتين؟ وفي نقطة واحدة؟ ولا يتقاطعان؟
وعندما يتلامسان في نقطة واحدة بالضبط، احسب نقطة التماس. (وفي الفصل 12 ستتعرّف على $d_m$ مماسًا للقطع $\mathcal P$ عند تلك النقطة.)

حل

حل التمرين 10.11.

1. تقابل نقط التقاطع حلول $x^2 = mx - 1$ ، أي $x^2 - mx + 1 = 0$ ، ومميزها $\Delta = m^2 - 4$ . فنقطتان عندما $\abs{m} > 2$ ؛ ونقطة واحدة بالضبط عندما $m = \pm 2$ ؛ ولا نقطة عندما $-2 < m < 2$ .

2. من أجل $m = 2$ : $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 = 0$ ، إذن نقطة التماس الوحيدة هي $(1, 1)$ . ومن أجل $m = -2$ : $(x+1)^2 = 0$ ، ونقطة التماس $(-1, 1)$ . وفي الحالتين يلتقي المستقيم القطع المكافئ في نقطة واحدة دون أن يقطعه — فهو المماس هناك، وفعلًا يساوي ميله $m = \pm 2$ قيمة مشتقة $x^2$ ، وهي $2x$ ، عند $x = \pm 1$ (الفصل 12).

10.6 مسألة: نقطة القطع المكافئ السرية

مسألة 10.1

مسألة نهاية الأسبوع — البؤرة والدليل: لماذا ترسم أطباق الأقمار الصناعية والمصابيح الأمامية والجسور المعلقة المنحنى نفسه، الذي لا يوجد منه في الجوهر سوى واحد

يصوّب كل طبق قمر صناعي على كل شرفة مستقبِله نحو نقطة داخلية واحدة بالضبط؛ ويخبئ كل مصباح أمامي لمبته في الموضع الخاص نفسه. تلك النقطة — البؤرة — سر احتفظ به القطع المكافئ منذ الهندسة اليونانية، وتكفي صيغة المسافة لاستخراجه. وفي الطريق، تمرّن هذه المسألة على المميز، وتقذف مقذوفات فوق جدران، وتعلّق جسرًا، وتبرهن على واقعة ختامية مذهلة: إلى حد التكبير، لا يوجد في العالم سوى قطع مكافئ واحد.

الجزء الأول — الطلاقة في ثلاثيات الحدود.

حل $x^2 - 5x + 6 = 0$ ، ثم $2x^2 + x - 6 = 0$ ، ثم $x^2 + x + 1 = 0$ (المبرهنة 10.7).
اكتب $2x^2 - 4x - 6$ على صورة محلَّلة إلى عوامل وعلى الصورة النموذجية (المبرهنة 10.2). ومع الصورة المنشورة، صار بين يديك ثلاثة أثواب لدالة واحدة: قل أي ملمح يعرضه كل ثوب بنظرة (الجذران، والرأس، والترتيب عند المبدأ).
حل $-x^2 + 4x - 3 \geq 0$ بقاعدة الإشارة (المبرهنة 10.11).
فييت محققًا (القضية 10.9، متابعًا لبابل في المسألة 2.1): أوجد عددين مجموعهما $7$ وجداؤهما $12$ بكتابة معادلتهما. ثم: أحد جذري $x^2 - 5x + c = 0$ يساوي $2$ ؛ أوجد $c$ والجذر الآخر دون حل أي شيء.
من أجل أي قيم $m$ يكون للعبارة $x^2 + mx + 9 = 0$ جذر مضاعف؟ ولا جذر؟ وجذران؟

الجزء الثاني — كشف البؤرة. اعمل على القطع المكافئ $y = x^2$ ، والنقطة $F\left(0, \frac14\right)$ والمستقيم الأفقي $\delta$ ذي المعادلة $y = -\frac14$ .

من أجل نقطة $P(x, x^2)$ من القطع المكافئ، انشر $PF^2 = x^2 + \left(x^2 - \frac14\right)^2$ وبيّن أنه مربع كامل $\left(x^2 + \frac14\right)^2$ . واستنتج $PF$ .
احسب المسافة من $P$ إلى المستقيم $\delta$ ، ثم استنتج: كل نقطة من القطع المكافئ تبعد عن $F$ بقدر بعدها عن $\delta$ بالضبط. (فالنقطة $F$ هي البؤرة، و $\delta$ هو الدليل.)
برهن على العكس: كل نقطة $P(x, y)$ تحقق $PF = \operatorname{dist}(P, \delta)$ يجب أن تحقق $y = x^2$ . (ربّع المسافتين وبسّط.) إذن القطع المكافئ محل هندسي، تمامًا كما كانت الدائرة في المسألة 5.1: تساوي البعد عن نقطة وعن مستقيم، بدل تساوي البعد عن نقطة واحدة.
من أجل القطع المكافئ الأوسع $y = \frac{x^2}{4f}$ (حيث $f > 0$ )، كيّف السؤال 6 لتبيّن أن البؤرة هي $(0, f)$ وأن الدليل هو $y = -f$ . وتطبيق: عرض طبق قمر صناعي $60$ سم وعمقه $9$ سم — فحافته تمر بالنقطة $(30, 9)$ . أوجد $f$ : كم يجب أن يعلو المستقبِل فوق الرأس؟
سبب عمل الأطباق: تنعكس الأشعة الواردة موازية للمحور كلها عبر البؤرة (ولمبة عند البؤرة تلقي حزمة متوازية — فالمصابيح الأمامية أطباق تعمل بالمقلوب). فسّر لماذا يجعل تساوي البعد في السؤال 7 ذلك معقولًا (تخيّل الأشعة جبهات موجية تسير)، وقل أي أداة، تأتي في الفصل 12 (انظر التمرين 10.11)، تحوّل المعقولية إلى برهان.

الجزء الثالث — قطوع مكافئة في العمل.

تتبع كرة المسار $y = x - \frac{x^2}{20}$ (و $x$ و $y$ بالمتر). أوجد أين تحط، والموضع الأفقي لأعلى نقطة فيها، والارتفاع الأعظمي (القضية 10.4).
على المسار نفسه، يقوم جدار عند $x = 4$ . احسب ارتفاع الكرة هناك: فهل تتجاوز جدارًا ارتفاعه $3$ م؟ وجدارًا ارتفاعه $4$ م؟
يمتد قوس مكافئ على $40$ م بارتفاع أعظمي $10$ م: وبإحداثيات مركزية، $y = 10 - \frac{x^2}{40}$ . فهل تمر شاحنة ارتفاعها $7$ م على بعد $10$ م من المركز؟ وعلى بعد $15$ م؟
إيراد مسرح عند ثمن بطاقة قدره $p$ يورو هو $R(p) = p\,(120 - 2p)$ (فالطلب يتناقص مع ارتفاع الثمن). أوجد الثمن الذي يعظّم الإيراد، وأوجد القيمة العظمى.
كوابل جسر البوابة الذهبية الرئيسية مكافئة إلى دقة ممتازة (فحمولة سطح منتظمة تنتج قطعًا مكافئًا — أما السلسلة المعلقة بحرية فلا تنتجه: فمنحنيها، وهو منحنى التعليق، يحتاج إلى الدالة الأسية في السنة الأخيرة). وبفتحة $1\,280$ م وتدلٍّ قدره $143$ م، يتبع الكابل $y = 143\left(\frac{x}{640}\right)^2$ انطلاقًا من المركز. فكم يعلو الكابل فوق أخفض نقطة فيه عند $x = 320$ م؟

الجزء الرابع — المستقيمات والمماسات والمفاجأة الأخيرة.

أكمل التمرين 10.11: المستقيمات $y = mx - 1$ المارة بالنقطة الخارجية $(0, -1)$ تلتقي $y = x^2$ بحسب إشارة مميز. أوجد المماسين الصادرين من $(0, -1)$ ونقطتي تماسهما.
والآن المستقيمات $y = mx + 1$ المارة بالنقطة الداخلية $(0, 1)$ : احسب مميز معادلة التقاطع وبيّن أن كل مستقيم كهذا يقطع القطع المكافئ مرتين. والمغزى: لا مماسات من الداخل — تمامًا كما في الدائرة.
الوتر البؤري: قاطع $y = x^2$ مع المستقيم الأفقي المار بالبؤرة، $y = \frac14$ . ما طول الوتر؟ تحقق من القاعدة العامة (وهي جديرة بالحفظ من أجل الأطباق): من أجل $y = \frac{x^2}{4f}$ ، يكون الوتر المار بالبؤرة الموازي للدليل طوله $4f$ .
المفاجأة الأخيرة: طبّق التكبير $(x, y) \mapsto (kx, ky)$ على القطع المكافئ $y = x^2$ و بيّن أن الصورة هي بالضبط $y = \frac{x^2}{k}$ . واستنتج: كل قطع مكافئ $y = \frac{x^2}{4f}$ هو قطع مكافئ الوحدة مكبَّرًا — وخلافًا للدوائر والقطوع الناقصة ذات النسب المختلفة، كل القطوع المكافئة متشابهة.
الخاتمة: صورة القطع المكافئ في خمسة أسطر — معادلة بثلاثة أثواب (السؤال 2)، ومحل هندسي (السؤالان 7–8)، وعاكس للمهندس (السؤالان 9 و 10)، ومسار مقذوف وكابل جسر (الأسئلة 11–15)، ومنحنى واحد إلى حد التكبير (السؤال 19). جملة واحدة لكل بند.

حل

حل المسألة 10.1.

1. $x^2 - 5x + 6$ : $\Delta = 1$ ، والجذران $2$ و $3$ . و $2x^2 + x - 6$ : $\Delta = 1 + 48 = 49$ ، والجذران $\frac{-1 \pm 7}{4}$ : أي $\frac32$ و $-2$ . و $x^2 + x + 1$ : $\Delta = -3 < 0$ : فلا حل حقيقي.

2. $\Delta = 16 + 48 = 64$ : الجذران $3$ و $-1$ ، إذن $2x^2 - 4x - 6 = 2(x - 3)(x + 1)$ ؛ والصورة النموذجية $2(x - 1)^2 - 8$ . فالصورة المحلَّلة تُظهر الجذرين، و الصورة النموذجية تُظهر الرأس $(1, -8)$ ، والصورة المنشورة تُظهر الترتيب عند المبدأ $-6$ .

3. الجذران $1$ و $3$ ، ومعامل الحد الأعلى سالب: إذن ثلاثي الحدود $\geq 0$ بين الجذرين: $x \in \intcc{1}{3}$ .

4. العددان جذرا $x^2 - 7x + 12 = 0$ : أي $3$ و $4$ . وإذا كان $2$ جذرًا للعبارة $x^2 - 5x + c$ ، فإن الجذر الآخر $r$ يحقق $2 + r = 5$ (المجموع)، إذن $r = 3$ ، و $c = 2 \times 3 = 6$ (الجداء): يقرؤها فييت مباشرة.

5. $\Delta = m^2 - 36$ : جذر مضاعف من أجل $m = \pm 6$ (والجذر $\mp 3$ )؛ ولا جذر من أجل $-6 < m < 6$ ؛ وجذران من أجل $\abs m > 6$ .

6. $PF^2 = x^2 + \left(x^2 - \frac14\right)^2 = x^2 + x^4 - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{16} = x^4 + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{16} = \left(x^2 + \frac14\right)^2$ . ومنه $PF = x^2 + \frac14$ (والعاملان موجبان).

7. المسافة من $P(x, x^2)$ إلى المستقيم الأفقي $y = -\frac14$ هي $x^2 + \frac14$ — أي $PF$ بالضبط. فكل نقطة من القطع المكافئ متساوية البعد عن البؤرة وعن الدليل.

8. $PF^2 = x^2 + \left(y - \frac14\right)^2$ و $\operatorname{dist}^2 = \left(y + \frac14\right)^2$ . وتعطي المساواة $x^2 + y^2 - \frac y2 + \frac{1}{16} = y^2 + \frac y2 + \frac1{16}$ ، إذن $x^2 = y$ : فالمحل الهندسي هو القطع المكافئ بالضبط. نقطة واحدة ومستقيم واحد يولّدان المنحنى، كما ولّدت نقطة واحدة و مسافة واحدة الدائرة.

9. من أجل $y = \frac{x^2}{4f}$ ، يعطي النشر نفسه مع $F(0, f)$ أن $PF^2 = x^2 + \left(\frac{x^2}{4f} - f\right)^2 = \left(\frac{x^2}{4f} + f\right)^2$ : أي أن المسافة إلى $F$ تساوي المسافة إلى $y = -f$ . أما الطبق: فيعطي $9 = \frac{30^2}{4f}$ أن $4f = 100$ ، إذن $f = 25$ سم: فيعلّق المستقبِل على ربع متر فوق الرأس — أي خارج الوعاء ذي العمق $9$ سم، كما تبيّن الأطباق الحقيقية.

10. تكون جبهة موجية واردة موازية للمحور قد قطعت مسافات متساوية لتبلغ مستوى الدليل؛ ويحوّل تساوي البعد عبارة “المسافة نفسها إلى الدليل” إلى “المسافة نفسها إلى $F$ ”: فتصل كل الإشارات المنعكسة إلى $F$ متزامنة، فيعزز بعضها بعضًا — وهناك ينبغي الإصغاء. أما البرهان الأمين فيحتاج إلى ميل المماس عند كل نقطة — أي إلى المشتقة في الفصل 12، الملموحة في التمرين 10.11.

11. $y = x\left(1 - \frac{x}{20}\right)$ : تحط عند $x = 20$ م. والرأس في المنتصف: $x = 10$ ، والارتفاع $y(10) = 10 - 5 = 5$ م.

12. $y(4) = 4 - \frac{16}{20} = 3.2$ م: فتتجاوز جدار $3$ م بمتسع، وترتطم بجدار $4$ م.

13. $y(10) = 10 - \frac{100}{40} = 7.5$ م $> 7$ : فتمر الشاحنة على بعد $10$ م عن المركز. أما $y(15) = 10 - \frac{225}{40} = 4.375$ م: فلا تمر على بعد $15$ م.

14. $R(p) = -2p^2 + 120p$ : الرأس عند $p = \frac{120}{4} = 30$ يورو، والإيراد $R(30) = 30 \times 60 = 1\,800$ يورو.

15. $y(320) = 143 \times \left(\frac{320}{640}\right)^2 = \frac{143}{4} \approx 36$ م فوق أخفض نقطة.

16. $x^2 = mx - 1$ يعطي $x^2 - mx + 1 = 0$ ، و $\Delta = m^2 - 4$ : فنقطتان من أجل $\abs m > 2$ ، ولا نقطة من أجل $\abs m < 2$ ، وتماس من أجل $m = \pm 2$ مع نقطة تماس $x = \frac m2 = \pm 1$ : فالمماسان $y = 2x - 1$ عند $(1, 1)$ و $y = -2x - 1$ عند $(-1, 1)$ .

17. $x^2 = mx + 1$ يعطي $\Delta = m^2 + 4 > 0$ من أجل كل $m$ : أي تقاطعين دائمًا. فمن نقطة داخلية، يقطع كل مستقيم المنحنى مرتين — ولا تُرسم المماسات إلا من الخارج، تمامًا كما في الدوائر.

18. يلتقي $y = \frac14$ المنحنى $y = x^2$ عند $x = \pm\frac12$ : فطول الوتر $1$ . ومن أجل $y = \frac{x^2}{4f}$ : يعطي $y = f$ أن $x^2 = 4f^2$ ، أي $x = \pm 2f$ : فالطول $4f$ — أي أن العرض البؤري أربعة أمثال البعد البؤري (ويسميه مصممو الأطباق الوتر القائم).

19. نقطة من $y = x^2$ هي $(a, a^2)$ ؛ وصورتها $(X, Y) = (ka, ka^2)$ ، و $\frac{X^2}{k} = \frac{k^2a^2}{k} = ka^2 = Y$ : فمنحنى الصورة هو بالضبط $y = \frac{x^2}{k}$ . واختيار $k = 4f$ يبلغ كل قطع مكافئ: فكلها تكبيرات لمنحنى أصلي واحد. (والدوائر كلها متشابهة أيضًا — أما القطوع الناقصة فلا: إذ يهم التفلطح، ولا يهم التكبير.)

20. معادلة بثلاثة أثواب مقروءة؛ ومحل تساوي البعد عن نقطة وعن مستقيم؛ والعاكس الذي يجمع الأشعة المتوازية في بؤرته والكابل الذي يحمل سطحًا منتظمًا؛ ومسار كل كرة مقذوفة؛ و، إلى حد التكبير، منحنى واحد — قطع مكافئ واحد، في كل مكان.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد