حول GitHub المدرب تسجيل الدخول ابدأ القراءة

الرياضيات · المسرد

ما معنى المشتقة عند نقطة؟

يُعرف أيضًا باسم: مشتقة

تعريف 12.3 رياضيات المرحلة الثانوية · الفصل 12 — الاشتقاق: مدخل أول

لتكن ff معرَّفة على فترة تحوي aa. ومن أجل h≠0h \neq 0، كوّن معدل التغير المتوسط بين aa و a+ha + h:

r(h)=f(a+h)−f(a)h.r(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

فإذا اقترب r(h)r(h) من عدد ثابت وحيد كلما اقترب hh من 00 بأي قدر، قلنا إن ff قابلة للاشتقاق عند aa؛ وهذا العدد هو مشتقة ff عند aa، ويُكتب f′(a)f'(a):

f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h.f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

أمثلة

مثال 12.4

لتكن f(x)=x2f(x) = x^2 و a=1a = 1. من أجل h≠0h \neq 0:

f(1+h)−f(1)h=(1+h)2−1h=1+2h+h2−1h=h(2+h)h=2+h.\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \frac{h(2 + h)}{h} = 2 + h .

وكلما اقترب hh من 00 اقترب هذا من 22: إذن الدالة x2x^2 قابلة للاشتقاق عند 11 و f′(1)=2f'(1) = 2. ولاحظ الاستراتيجية: بسّط الخارج حتى لا يعود hh يظهر في مقام، ثم اجعل h→0h \to 0.

اقرأ في الفصل ←
تعريف 22.1 رياضيات المرحلة الثانوية · الفصل 22 — الاشتقاق والتحدب

لتكن ff معرَّفة على فترة II وليكن a∈Ia \in I. تكون الدالة ff قابلة للاشتقاق عند aa إذا كان لمعدل التغير

f(a+h)−f(a)h\frac{f(a+h) - f(a)}{h}

نهاية منتهية لما h→0h \to 0. وتُسمّى هذه النهاية مشتقة ff عند aa وتُكتب f′(a)f'(a). وإذا كانت ff قابلة للاشتقاق عند كل نقطة من II، فالدالة f′ ⁣:x↦f′(x)f' \colon x \mapsto f'(x) هي مشتقة ff.

أمثلة

مثال 22.15 (متراجحات التحدب)

الدالة الأسية محدبة على R\R (فمشتقتها الثانية هي نفسها، وهي موجبة). ومماسها عند 00 هو y=1+xy = 1 + x، إذن

ex≥1+xمن أجل كل x∈R.\eu^x \geq 1 + x \quad \text{من أجل كل } x \in \R .

ومثل هذه المتراجحات المماسية ناتج معياري من نواتج التحدب.

اقرأ في الفصل ←

مصطلحات ذات صلة