ما معنى المشتقة عند نقطة؟

لتكن $f$ معرَّفة على فترة تحوي $a$. ومن أجل $h \neq 0$، كوّن معدل التغير المتوسط بين $a$ و $a + h$:

فإذا اقترب $r(h)$ من عدد ثابت وحيد كلما اقترب $h$ من $0$ بأي قدر، قلنا إن $f$ قابلة للاشتقاق عند $a$؛ وهذا العدد هو مشتقة $f$ عند $a$، ويُكتب $f'(a)$:

لتكن $f$ معرَّفة على فترة $I$ وليكن $a \in I$. تكون الدالة $f$ قابلة للاشتقاق عند $a$ إذا كان لمعدل التغير

نهاية منتهية لما $h \to 0$. وتُسمّى هذه النهاية مشتقة $f$ عند $a$ وتُكتب $f'(a)$. وإذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق عند كل نقطة من $I$، فالدالة $f' \colon x \mapsto f'(x)$ هي مشتقة $f$.