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1 Ciencias de la Tierra y del espacio de primaria y secundariaCursos 1–9 En línea 2 Ciencias de la Tierra y del espacio de bachilleratoCursos 10–12 En línea 3 Ciencias de la Tierra y del espacio universitarias — primer añoGrado — Año 1 En línea 4 Ciencias de la Tierra y del espacio universitarias — segundo añoGrado — Año 2 En línea 5 Ciencias de la Tierra y del espacio universitarias — tercer añoGrado — Año 3 En línea

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Matemáticas · Glosario

¿Qué es Derivada en un punto?

También llamado: derivada

Definición 12.3 Matemáticas de secundaria · Capítulo 12 — Derivación: un primer curso

Sea $f$ definida en un intervalo que contiene a $a$ . Para $h \neq 0$ , formamos la tasa de variación media entre $a$ y $a + h$ :

r(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Si $r(h)$ se acerca a un único número fijo cuando $h$ se aproxima arbitrariamente a $0$ , decimos que $f$ es derivable en $a$ ; ese número es la derivada de $f$ en $a$ , que se escribe $f'(a)$ :

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Ejemplos

Ejemplo 12.4

Sea $f(x) = x^2$ y $a = 1$ . Para $h \neq 0$ :

\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \frac{h(2 + h)}{h} = 2 + h .

Cuando $h$ se acerca a $0$ , esto se acerca a $2$ : la función $x^2$ es derivable en $1$ y $f'(1) = 2$ . Fíjate en la estrategia: simplificar el cociente hasta que $h$ deje de aparecer en un denominador y hacer después $h \to 0$ .

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Definición 22.1 Matemáticas de secundaria · Capítulo 22 — Derivación y convexidad

Sea $f$ definida en un intervalo $I$ y sea $a \in I$ . La función $f$ es derivable en $a$ si el cociente incremental

\frac{f(a+h) - f(a)}{h}

tiene límite finito cuando $h \to 0$ . Ese límite se llama derivada de $f$ en $a$ y se escribe $f'(a)$ . Si $f$ es derivable en todos los puntos de $I$ , la función $f' \colon x \mapsto f'(x)$ es la derivada de $f$ .

Ejemplos

Ejemplo 22.15 (Desigualdades por convexidad)

La exponencial es convexa en $\R$ (su derivada segunda es ella misma, que es positiva). Su tangente en $0$ es $y = 1 + x$ , así que

\eu^x \geq 1 + x \quad \text{para todo } x \in \R .

Estas desigualdades de la recta tangente son un producto habitual de la convexidad.

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