Matematika · Glosarium

Apa itu Turunan di sebuah titik?

Dikenal juga sebagai: turunan

Definisi 12.3 Matematika Sekolah Menengah Atas · Bab 12 — Turunan: Perkenalan Pertama

Misalkan $f$ terdefinisi pada interval yang memuat $a$ . Untuk $h \neq 0$ , bentuklah laju perubahan rata-rata antara $a$ dan $a + h$ :

r(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Jika $r(h)$ mendekati satu bilangan tetap ketika $h$ menjadi sedekat mungkin ke $0$ , kita katakan bahwa $f$ dapat diturunkan di $a$ ; bilangan itu disebut turunan $f$ di $a$ , ditulis $f'(a)$ :

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Contoh

Contoh 12.4

Misalkan $f(x) = x^2$ dan $a = 1$ . Untuk $h \neq 0$ :

\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \frac{h(2 + h)}{h} = 2 + h .

Ketika $h$ mendekati $0$ , nilai ini mendekati $2$ : fungsi $x^2$ dapat diturunkan di $1$ dan $f'(1) = 2$ . Perhatikan siasatnya: sederhanakan hasil baginya sampai $h$ tidak lagi muncul pada penyebut, lalu biarkan $h \to 0$ .

Baca dalam konteks →

Definisi 22.1 Matematika Sekolah Menengah Atas · Bab 22 — Turunan dan Kecembungan

Misalkan $f$ terdefinisi pada interval $I$ dan $a \in I$ . Fungsi $f$ disebut dapat diturunkan di $a$ bila hasil bagi selisih

\frac{f(a+h) - f(a)}{h}

mempunyai limit berhingga ketika $h \to 0$ . Limit itu disebut turunan $f$ di $a$ dan ditulis $f'(a)$ . Jika $f$ dapat diturunkan di setiap titik $I$ , fungsi $f' \colon x \mapsto f'(x)$ disebut turunan $f$ .

Contoh

Contoh 22.15 (Ketaksamaan dari kecembungan)

Fungsi eksponen cembung pada $\R$ (turunan keduanya adalah dirinya sendiri, yang positif). Garis singgungnya di $0$ adalah $y = 1 + x$ , sehingga

\eu^x \geq 1 + x \quad \text{untuk semua } x \in \R .

Ketaksamaan garis singgung semacam ini adalah hasil baku kecembungan.

Baca dalam konteks →

Contoh

Contoh

Istilah terkait