Wiskunde · Begrippenlijst

Wat is Afgeleide in een punt?

Ook bekend als: afgeleide

Definitie 12.3 Wiskunde bovenbouw · Hoofdstuk 12 — Afgeleiden: een eerste kennismaking

Zij $f$ gedefinieerd op een interval dat $a$ bevat. Vorm voor $h \neq 0$ de gemiddelde veranderingssnelheid tussen $a$ en $a + h$ :

r(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Nadert $r(h)$ één vast getal naarmate $h$ willekeurig dicht bij $0$ komt, dan zeggen we dat $f$ differentieerbaar in $a$ is; dat getal is de afgeleide van $f$ in $a$ , geschreven $f'(a)$ :

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Voorbeelden

Voorbeeld 12.4

Zij $f(x) = x^2$ en $a = 1$ . Voor $h \neq 0$ :

\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \frac{h(2 + h)}{h} = 2 + h .

Nadert $h$ tot $0$ , dan nadert dit tot $2$ : de functie $x^2$ is differentieerbaar in $1$ en $f'(1) = 2$ . Let op de strategie: vereenvoudig het quotiënt tot $h$ niet langer in een noemer staat, en laat dan $h \to 0$ gaan.

Lees in het hoofdstuk →

Definitie 22.1 Wiskunde bovenbouw · Hoofdstuk 22 — Afgeleiden en convexiteit

Zij $f$ gedefinieerd op een interval $I$ en $a \in I$ . De functie $f$ is differentieerbaar in $a$ wanneer het differentiequotiënt

\frac{f(a+h) - f(a)}{h}

een eindige limiet heeft voor $h \to 0$ . Die limiet heet de afgeleide van $f$ in $a$ en wordt $f'(a)$ geschreven. Is $f$ in elk punt van $I$ differentieerbaar, dan is de functie $f' \colon x \mapsto f'(x)$ de afgeleide van $f$ .

Voorbeelden

Voorbeeld 22.15 (Ongelijkheden uit convexiteit)

De exponentiële functie is convex op $\R$ (haar tweede afgeleide is ze zelf, en die is positief). Haar raaklijn in $0$ is $y = 1 + x$ , dus

\eu^x \geq 1 + x \quad \text{voor alle } x \in \R .

Zulke raaklijnongelijkheden zijn een standaardproduct van de convexiteit.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Voorbeelden

Verwante begrippen