ما معنى الدالة المحدبة؟

مثال 22.14

من أجل $f(x) = x^3$ يكون $f''(x) = 6x$: فتكون $f$ مقعرة على $\intoc{-\infty}{0}$، ومحدبة على $\intco{0}{+\infty}$، مع نقطة انعطاف عند المبدأ، حيث يقطع المنحنى مماسه (وهو المحور $x$).

مثال 22.15 (متراجحات التحدب)

الدالة الأسية محدبة على $\R$ (فمشتقتها الثانية هي نفسها، وهي موجبة). ومماسها عند $0$ هو $y = 1 + x$، إذن

ومثل هذه المتراجحات المماسية ناتج معياري من نواتج التحدب.

مثال 14.20 (متراجحات التحدّب الكلاسيكية)

الدالة $\exp$ محدَّبة ($\exp'' = \exp > 0$): ويعطي مماسها عند $0$ أن $\eu^x \geq 1 + x$ من أجل كل $x$. والدالة $\ln$ مقعّرة: ويعطي مماسها عند $1$ أن $\ln x \leq x - 1$؛ وتعطي أوتارها، من أجل $0 < a \leq b$، المتراجحةَ بين المتوسطين الهندسي والحسابي: فبأخذ $t = \frac12$ في التقعّر،

والمتراجحة العامة بين المتوسطين الحسابي والهندسي هي التمرين 14.9.

مثال 14.21 (متراجحة تحدّب من الصفر)

الدالة $f(t) = t\ln t$ محدَّبة على $\intoo{0}{+\infty}$: إذ $f''(t) = \frac1t > 0$. ومتراجحتها عند المنتصف، مضروبةً في $2$، تُقرأ: من أجل كل $a, b > 0$،

مع المساواة إذا وفقط إذا كان $a = b$ (بالتحدّب القطعي). ولتجربتها: $a = 1$ و $b = 3$ يعطي $3\ln 3 = 3.296$ إزاء $4\ln 2 = 2.773$. وهذه المتراجحة البريئة هي حالة النقطتين من مقارنة الإنتروبيا التي تعود مع متراجحة ينسن (التمرين 14.9) وفي المقاربات المعلوماتية في مجلّد السنة الثالثة. والفكرة النافذة: لتصنيع متراجحة، جد دالةً لمشتقتها الثانية إشارة واكتب ما يقوله التحدّب — فالتمييز التفاضلي يحوّل تحقّق إشارة واحدًا إلى متراجحات لا تُحصى.

مثال 14.24 (متراجحة يونغ من التقعّر)

ليكن $p, q > 1$ مع $\frac1p + \frac1q = 1$. من أجل كل $a, b > 0$:

والبرهان بتطبيق واحد لتقعّر $\ln$ بالوزنين $\frac1p, \frac1q$ (وهي متراجحة ينسن ذات النقطتين، كما في التمرين 14.9):

ويحوّل تزايد $\ln$ متراجحةَ اللوغاريتمات إلى الادعاء؛ والمساواة إذا وفقط إذا كان $a^p = b^q$ (بالتقعّر القطعي). وحالة $p = q = 2$ هي المتراجحة بين المتوسطين الحسابي والهندسي $ab \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$ متنكّرة. والفكرة النافذة: متراجحة يونغ هي البذرة الجبرية لمتراجحتَي هولدر ومنكوفسكي في مجلّد السنة الثانية — أي عبارة تقعّر واحدة عن $\ln$، محصودةً من أجل المعايير.