تقيس المشتقة معدل تغير دالة اللحظي؛ وهي ميلالمماس لمنحناها. ويراجع هذا الفصل ويمدّد قواعد الاشتقاق، ويربط إشارة f′ بتغيرات f، ويقدّم التحدب، الذي تحكمه المشتقة الثانية.
22.1 المشتقة
تعريف 22.1(المشتقة عند نقطة)
لتكن f معرَّفة على فترةI وليكن a∈I. تكون الدالةfقابلة للاشتقاق عند a إذا كان لمعدل التغير
hf(a+h)−f(a)
نهاية منتهية لما h→0. وتُسمّى هذه النهاية مشتقة f عند a وتُكتب f′(a). وإذا كانت f قابلة للاشتقاق عند كل نقطة من I، فالدالةf′:x↦f′(x) هي مشتقةf.
تعريف 22.2(المماس)
إذا كانت f قابلة للاشتقاق عند a، فإن المماسلمنحنىf عند النقطة (a,f(a)) هو المستقيم ذو المعادلة
y=f(a)+f′(a)(x−a).
لما يتناقص h، يدور القاطع المار بالنقطتين A=(a,f(a)) و (a+h,f(a+h)) (بالبرتقالي) نحو المماس عند A (بالأحمر): إذ يؤول ميله hf(a+h)−f(a) إلى f′(a).
قضية 22.3
كل دالة قابلة للاشتقاق عند aمتصلة عند a. والعكس خاطئ.
برهان. من أجل h=0 صغير، f(a+h)−f(a)=h⋅hf(a+h)−f(a). ولما h→0، يؤول الطرف الأيمن إلى 0×f′(a)=0، إذن f(a+h)→f(a). وأما العكس، فالدالةx↦∣x∣متصلة عند 0، لكن معدل تغيرها عند 0 يساوي h∣h∣=±1 بحسب إشارة h، وليست له نهاية. ∎
22.1.1 قواعد الاشتقاق
قضية 22.4(العمليات)
لتكن u,v قابلتين للاشتقاق على I وليكن λ∈R. عندئذٍ تكون u+v و λu و uv قابلة للاشتقاق على I، وكذلك vu حيث v=0، ويكون
ولما h→0، يكون u(a+h)→u(a)، إذن يؤول العامل الأول إلى g′(u(a)) ويؤول الثاني إلى u′(a). (وعلى البرهان الكامل أن يعالج الحالة التي يكون فيها u(a+h)=u(a) من أجل h صغير كما نشاء؛ وتُعالَج هذه النقطة التقنية في الجامعة.) ∎
مثال 22.6
المشتقات المألوفة، الصالحة على مجموعات التعريف الطبيعية:
إذا كان f′>0 على I عدا عند عدد منته من النقط التي تنعدم عندها، فإن fمتزايدة تمامًا على I.
برهان جزئي. إذا كانت fمتزايدة، فإن كل معدل تغير hf(a+h)−f(a) يكون ≥0، وبالانتقال إلى النهاية نجد f′(a)≥0. أما الاستلزامات العكسية فتستند إلى مبرهنة التزايدات المنتهية، المبرهَن عليها في الجامعة؛ وهي مقبولة في هذا المستوى. ∎
تعريف 22.8(القيمة الحدية المحلية)
تملك fقيمة عظمى محلية عند a إذا كان f(x)≤f(a) من أجل كل x بجوار a؛ وتُعرَّف القيم الصغرى المحلية بتناظر.
قضية 22.9(شرط المرتبة الأولى)
إذا كانت f قابلة للاشتقاق على فترةمفتوحةI وتملك قيمة حدية محلية عند a∈I، فإن f′(a)=0. والعكس خاطئ (f(x)=x3 عند a=0).
برهان. لنقل إن aقيمة عظمى محلية. من أجل h>0 صغير، hf(a+h)−f(a)≤0، إذن بجعل h→0+ نجد f′(a)≤0؛ ومن أجل h<0 يكون معدل التغير ≥0، فنجد f′(a)≥0. ومنه f′(a)=0. ∎
لدراسة دالةf: حدّد مجموعة تعريفها ونهاياتها عند الحدود؛ ثم احسب f′ وحلّلها إلى عوامل؛ ثم حدّد إشارة f′ على كل فترة جزئية؛ وسجّل كل شيء في جدول تغيرات، مؤشرًا القيم الحدية؛ ثم استنتج عدد حلول المعادلةf(x)=k باستعمال مبرهنة التقابل (المبرهنة 21.15).
22.3 التحدب
تعريف 22.11(الدالة المحدبة)
تكون الدالةf المعرَّفة على فترةIمحدبة على I إذا كان كل وتر من أوتار منحناها فوق المنحنى: أي من أجل كل a,b∈I وكل t∈[0,1]،
f((1−t)a+tb)≤(1−t)f(a)+tf(b).
وتكون مقعرة إذا تحققت المتراجحة المعاكسة (أي إذا كانت −f محدبة).
دالةمحدبة: كل وتر (بالأحمر) فوق المنحنى، و المنحنى فوق كل مماس من مماساته (بالبرتقالي). وتبيّن القطعة المتقطعة الفجوة بين f((1−t)a+tb) و (1−t)f(a)+tf(b).
مبرهنة 22.12(التحدب والمشتقات)
لتكن f قابلة للاشتقاق على فترةI. العبارات التالية متكافئة:
وإذا كانت f قابلة للاشتقاق مرتين، فهذه تكافئ أيضًا f′′≥0 على I.
برهان (2) ⇒ (3). ثبّت a∈I وضع g(x)=f(x)−f(a)−f′(a)(x−a)، وهي الفجوة بين المنحنىوالمماس عند a. عندئذٍ تكون g قابلة للاشتقاق و g′(x)=f′(x)−f′(a). وإذا كانت f′متزايدة، فإن g′≤0 على I∩(−∞,a] و g′≥0 على I∩[a,+∞): أي إن g تتناقص قبل a وتتزايد بعدها، فتبلغ g قيمتها الصغرى g(a)=0، ومنه g≥0. أما الاستلزامات الباقية فمقبولة في هذا المستوى؛ والتكافؤ مع f′′≥0 ينتج من المبرهنة 22.7 مطبَّقة على f′. ∎
تعريف 22.13(نقطة الانعطاف)
النقطة التي يقطع عندها منحنىf مماسه هي نقطة انعطاف. ومن أجل f قابلة للاشتقاق مرتين، تكون نقط الانعطاف هي النقط التي تغيّر عندها f′′ إشارتها.
مثال 22.14
من أجل f(x)=x3 يكون f′′(x)=6x: فتكون fمقعرة على (−∞,0]، ومحدبة على [0,+∞)، مع نقطة انعطاف عند المبدأ، حيث يقطع المنحنى مماسه (وهو المحور x).
نقطة انعطافx↦x3 عند المبدأ: يقطع المنحنى مماسه (بالبرتقالي)، وهو مقعر على اليسار ومحدب على اليمين.
مثال 22.15(متراجحات التحدب)
الدالة الأسية محدبة على R (فمشتقتها الثانية هي نفسها، وهي موجبة). ومماسها عند 0 هو y=1+x، إذن
ex≥1+xمن أجل كل x∈R.
ومثل هذه المتراجحات المماسية ناتج معياري من نواتج التحدب.
طريقة 22.16(استعمال التحدب)
لتبرهن على متراجحة f(x)≥ax+b: تعرّف على المستقيم بوصفه مماسًا لدالةمحدبةf واستدعِ المبرهنة 22.12(3).
لتحديد نقط الانعطاف: حل f′′(x)=0ثم تحقق من أن f′′ تغيّر إشارتها هناك.
ومنه f′>0 على (−∞,−1) وعلى (3,+∞)، و f′<0 على (−1,1) وعلى (1,3). فتتزايد الدالة إلى قيمة عظمى محليةf(−1)=−2، ثم تتناقص إلى −∞، ثم تقفز إلى +∞ بعد المقارب، ثم تتناقص إلى قيمة صغرى محلية f(3)=6، ثم تتزايد.
تمرين 22.5★★
تُصنع علبة بلا غطاء من ورقة مقوّى مربعة طول ضلعها 30cm بقص مربعات متساوية طول ضلعها x من الزوايا وطي الجوانب إلى أعلى. حدّد x الذي يعظّم حجم العلبة.
حل
حل التمرين 22.5.
من أجل x∈(0,15)، تكون قاعدة العلبة مربعة طول ضلعها 30−2x و ارتفاعها x، إذن
V(x)=x(30−2x)2.
V′(x)=(30−2x)2+x⋅2(30−2x)(−2)=(30−2x)(30−2x−4x)=(30−2x)(30−6x). وعلى (0,15) يكون 30−2x>0، إذن تكون إشارة V′ هي إشارة 30−6x: موجبة قبل x=5 وسالبة بعدها. فالحجم أعظمي من أجل x=5 cm، وقيمته V(5)=5×202=2000cm3.
1.f′(x)=4x3−12x2 و f′′(x)=12x2−24x=12x(x−2). ومنه f′′>0 على (−∞,0) وعلى (2,+∞) (محدبة)، و f′′<0 على (0,2) (مقعرة). وتغيّر f′′ إشارتها عند 0 وعند 2: فكلتاهما نقطة انعطاف.
2. عند a=2: f(2)=16−32+10=−6، و f′(2)=32−48=−16، فالمماسy=−6−16(x−2)=−16x+26. والفجوة هي
g(x)=f(x)+16x−26=x4−4x3+16x−16.
وبما أن g(2)=g′(2)=g′′(2)=0، فإن (x−2)3 يقسم g؛ والقسمة تعطي g(x)=(x−2)3(x+2). وبجوار x=2 يكون x+2>0، إذن تكون إشارة g هي إشارة (x−2)3: سالبة قبل 2 وموجبة بعدها. فالمنحنى يقطع المماس: إذن 2نقطة انعطاف فعلًا.
بيّن أنه من بين كل المستطيلات ذات المحيط الثابت p، للمربع أكبر مساحة. ثم بيّن أنه من بين كل المستطيلات ذات المساحة الثابتة A، للمربع أصغر محيط، وفسّر كيف ترتبط العبارتان إحداهما بالأخرى.
حل
حل التمرين 22.9.
المحيط الثابت. مستطيل ضلعاه x و 2p−x (0<x<2p) مساحته S(x)=x(2p−x). ثم S′(x)=2p−2x تنعدم عند x=4p، وهي موجبة قبلها و سالبة بعدها: فالقيمة العظمى عند x=4p، حيث يتساوى الضلعان عند 4p — أي مربع.
المساحة الثابتة. الضلعان x و xA يعطيان محيطًا P(x)=2(x+xA)، مع P′(x)=2(1−x2A)، وهي سالبة من أجل x<A و موجبة بعدها: فالقيمة الصغرى عند x=A، أي مربع من جديد.
العلاقة. العبارتان متقابلتان. لنفترض أن مستطيلًا غير مربع يصغّر المحيط عند مساحة ثابتة A؛ فالمربع ذو المحيط نفسه ستكون مساحته >A حسب العبارة الأولى، وتصغيره تحاكيًا حتى المساحة A سينقص محيطه تمامًا — وهذا يناقض كونه أصغريًا. فكل عبارة تستلزم الأخرى إذن.
22.5 مسألة: حساب المنقذة
مسألة 22.1
مسألة نهاية الأسبوع — أسرع مسار إنقاذ يطيع قانون سنيل في الضوء، والتحدب يصادق على كل أمثلية، و علبة المشروب المثلى ارتفاعها يساوي عرضها بالضبط
ترى منقذة سابحًا في ورطة — في الجهة القطرية من الشاطئ، بعيدًا في الماء. والركض أسرع من السباحة: فالخط المستقيم ليس أسرع الطرق. والطريق الذي يصغّر الزمن ينكسر عند خط الشاطئ، وقانون انكساره هو بالضبط القانون الذي ينكسر به الضوء داخلًا الماء: فالطبيعة تشتق هي أيضًا. وتدرّب هذه المسألة على قاعدة السلسلة (المبرهنة 22.5)، وتنفّذ الإنقاذ، وتحصد متراجحات التحدب (المبرهنة 22.12)، ثم تصمّم علبة صفيح.
احسب المماسللمنحنىg عند نقطة انعطافه، وبيّن أن g(x)−(المماس)=(x−1)3: فماذا يقول تغير الإشارة عن كيفية لقاء المماسبالمنحنى عند انعطاف؟
الجزء الثاني — الإنقاذ. خط الشاطئ على المحور x؛ وتقف المنقذة على الرمل عند A(0,30)، وينتظر السابح عند B(40,−20) (بالمتر). و تركض المنقذة بسرعة 5 m/s على الرمل، وتسبح بسرعة 2 m/s، وتدخل الماء عند نقطة (x,0) من اختيارها.
النمذجة: عبّر عن زمن الإنقاذ الكلي T(x)، وقل لماذا لا يستحق النظر إلا x∈[0,40].
اشتق T (وقاعدة السلسلة في العمل — مرتين).
لتكن θ1 زاوية مسار الركض مع العمود على الشاطئ، ولتكن θ2 زاوية مسار السباحة. بيّن أن sinθ1=x2+900x وأن الشرط T′(x)=0 يُقرأ
5sinθ1=2sinθ2
— وهو قانون سنيل، بالسرعتين محل سرعتي الضوء في الهواء والماء.
تقطع القطعة المستقيمة [AB] الشاطئ عند x=24. احسب T(24) و T(40) (بالركض على الشاطئ ثم السباحة مباشرة) و T(0): فهل الخط المستقيم الهندسي هو الأسرع؟ وهل أي من الاستراتيجيتين المتطرفتين كذلك؟
حدّد نقطة الدخول المثلى بالتنصيف على T′ (وهي ≈33.7 m): أعطِ x∗ بدقة المتر والزمن القياسي T(x∗) بدقة عُشر الثانية. فكم يوفّر الانكسار الأمثل بالقياس إلى الخط المستقيم؟
لماذا تكون النقطة الحرجة قيمة صغرىشاملة؟ (فكل حد من حدود T محدب — واقبل أن مجموع دالتين محدبتين محدب — ثم طبّق التمرين 22.8.)
ينص مبدأ فيرما على أن الضوء يسلك دائمًا مسار أقل زمن. استنتج لماذا ينكسر شعاع ضوئي عند السطح بالضبط عندما يدخل الماء (حيث يكون الضوء أبطأ)، وسمِّ الملاحظة اليومية التي يفسّرها هذا عن قلم في كأس ماء.
بيّن أن x↦x2محدبة، وبرهن على متراجحة المنتصف(2a+b)2≤2a2+b2 مرتين: مرة انطلاقًا من التحدب، ومرة بنشر(a−b)2≥0.
استنتج أن المتوسط التربيعي2a2+b2 يهيمن على المتوسط الحسابي، وركّب سلسلة السلسلة الكاملة — التوافقي ≤ الهندسي ≤ الحسابي ≤ التربيعي — بالتحقق من الأربعة على a=2 و b=8.
المماس تحت المنحنى: الدالةx↦x1محدبة على (0,+∞)؛ اكتب مماسها عند 1 ثم استنتج المتراجحة x1≥2−x من أجل كل x>0. وأين تكون مساواة؟
الانعطاف في الحياة: خلال وباء، يتبع العدد التراكمي للحالات منحنى على شكل حرف S. فماذا يحدث عند نقطة انعطافه، ولماذا يترقب علماء الأوبئة ذلك التاريخ؟ اربط بإشارة المشتقة الثانية على كل جهة.
الجزء الرابع — العلبة المثلى. على علبة أسطوانية أن تسع V=330 cm3 بأقل معدن: فالمساحة S=2πr2+2πrh، والقيد πr2h=V.
عبّر عن S(r)=2πr2+r2V، ثم اشتق، واحسب نصف القطر الأمثل و الارتفاع الأمثل من أجل V=330 (بدقة المليمتر).
برهن على القانون العام الأنيق: عند الأمثلية، يكون h=2r — أي إن ارتفاع العلبة المثلى يساوي عرضها بالضبط.
تحقق من S′′(r)>0 واستنتج (حسب التمرين 22.8 مرة أخرى) أن الأمثلية شاملة. أما علب المشروبات الحقيقية فأطول من عرضها بوضوح: فسمِّ سببًا غير رياضي.
الخاتمة — خط أنابيب الأمثلة: انمذج، ثم اسأل المشتقة، ثم حل لإيجاد النقط الحرجة، ثم صادق بالتحدب أو بجدول، ثم فسّر. طبّق القائمة على المنقذة، وعلى العلبة، وعلى أقوى عارضة في السنة الماضية (المسألة 12.1) — وصُغ ما يقوله مبدأ فيرما عن الذي يشغّل هذا الخط أيضًا.
حل
حل المسألة 22.1.
1.30x(3x2+1)4؛ x2+9x؛ −(x2+1)22x.
2.y(4)=5، والميل54: فالمماسy=5+54(x−4)، أي y=54x+59.
3.f′(x)=(x2+1)2(x2+1)−x⋅2x=(x2+1)21−x2: سالبة ثم موجبة ثم سالبة عبر −1 و 1: فالقيمة الصغرىf(−1)=−21، والقيمة العظمىf(1)=21، مع المقارب الأفقي 0 على الجهتين.
5.المماس عند 1: الميلg′(1)=−3: y=2−3(x−1)=−3x+5. والفرق: x3−3x2+4−(−3x+5)=x3−3x2+3x−1=(x−1)3، وهو يغيّر إشارته عند 1: فالمماسيقطعالمنحنى — وهو السلوك المميز عند نقطة انعطاف، حيث يبدّل المنحنى جهته.
6.T(x)=5x2+900+2(40−x)2+400. فالدخول قبل 0 أو بعد 40 يطيل المسارين معًا: أي بلا جدوى.
7.T′(x)=5x2+900x−2(40−x)2+40040−x.
8. في مثلث الركض، يكون الضلع على طول الشاطئ هو x والوتر x2+900: فجيب الزاوية مع العمود هو بالضبط خارج قسمتهما (المقابل على الوتر)؛ وبالمثل sinθ2=(40−x)2+40040−x. عندئذٍ يُقرأ T′(x)=0 على الصورة 5sinθ1=2sinθ2 — وهو قانون سنيل بالسرعتين 5 و 2.
9.T(24)≈20.5 s؛ و T(40)=10+10=20 s؛ و T(0)=6+2000/2≈28.4 s. فالخط المستقيم يخسر حتى أمام “اركض إلى النهاية ثم اسبح مباشرة” — وكلاهما يخسر أمام المسار المنكسر.
10. التنصيف على T′ (وهي سالبة عند 24 وموجبة عند 40) يتقارب إلى x∗≈34 m، مع T(x∗)≈19.5 s: أي أسرع بنحو ثانية واحدة من الخط المستقيم — وهو الفرق بين إنقاذ و مأساة.
11. زمن كل مسار دالةمحدبة في x (وهو فرع التربيعي)، إذن Tمحدبة، والنقطة الحرجة لدالةمحدبة قابلة للاشتقاق هي قيمتها الصغرى الشاملة (التمرين 22.8): أي إن x∗ ليست مستقرة فحسب، بل لا تُقهر.
12. الضوء في الماء أبطأ؛ وحسب مبدأ فيرما ينكسر أسرع مسار من الهواء إلى الماء عند السطح بالضبط حسب قانون سنيل — فتصل الأشعة من قلم مغمور إلى العين منكسرة، ويرى الدماغ، وهو يمدّ الخطوط المستقيمة، القلم مكسورًا عند خط الماء.
13.(x2)′′=2>0: إذن محدبة. والتحدب عند المنتصف: f(2a+b)≤2f(a)+f(b)، وهذا هو المطلوب. وباليد: 2a2+b2−(2a+b)2=4(a−b)2≥0.
14. بأخذ الجذور التربيعية (وهي متزايدة) في السؤال 13: 2a+b≤2a2+b2. والسلسلة الكاملة على 2,8: التوافقي 102⋅16=3.2؛ والهندسي 16=4؛ والحسابي 5؛ والتربيعي 34≈5.83: فكل متوسط ينحني للذي يليه.
15.المماسللمنحنىx1 عند 1: القيمة 1والميل−1: أي y=2−x. والمنحنيات المحدبة تجلس فوق مماساتها (المبرهنة 22.12): إذن x1≥2−x من أجل كل x>0، مع المساواة عند نقطة التماس x=1 بالضبط.
16. عند الانعطاف، يبلغ العدد اليومي للحالات (وهو المشتقة) ذروته: فيتوقف النمو عن التسارع ويبدأ بالتباطؤ — وهي أول إشارة رياضية على أن الموجة تنقلب، قبل أن تنخفض الأعداد نفسها بزمن طويل. فقبلها، f′′>0 (كل يوم أسوأ من سابقه)؛ وبعدها، f′′<0 (ما زال النمو قائمًا، لكن أبطأ).
17.S′(r)=4πr−r22V=0 يعطي r3=2πV=2π330: أي r≈3.74 cm، و h=πr2330≈7.49 cm.
18.h=πr2V=πr22πr3=2r عند الأمثلية: فالارتفاع يساوي القطر، مهما كان الحجم.
19.S′′(r)=4π+r34V>0: إذن محدبة، ومنه يكون نصف القطر الحرج هو القيمة الصغرى الشاملة. أما العلب الحقيقية فتقف أطول من عرضها لأجل المسك والتكديس وحضور الرف والمعدن الأثخن في الأعلى والأسفل — فالأمثلة تصغّر دائمًا بالضبط ما كتبتَه، لا ما قصدتَه.
20. المنقذة: انمذج T(x)، ثم اشتق، ثم سنيل، ثم التحدب، فثانية واحدة موفَّرة. والعلبة: انمذج S(r)، ثم اشتق، فيكون h=2r، ثم التحدب، فمعدن موفَّر. والعارضة (المسألة 12.1): انمذج S(w)، ثم اشتق، فيكون d=w2، ثم الجدول، فصلابة مكتسبة. وحسب مبدأ فيرما، يشغّل الضوء نفسه هذا الخط عند كل سطح يلقاه — فالطبيعة كانت أول من أَمثَل.
