رياضيات المرحلة الثانوية · Grades 10–12

12الاشتقاق: مدخل أول

بأي سرعة تتغير دالة؟ الجواب عند نقطة واحدة هو المشتقة، وهي أنفع عدد مفرد في الرياضيات التطبيقية كلها. يبني هذا الفصل المشتقة انطلاقًا من معدلات التغير المتوسطة، ويحسبها من أجل الدوال المرجعية، ويستعمل إشارتها لقراءة تغيرات الدالة. وكل ما هنا يُوسَّع ويُعمَّق في الفصل 22.

12.1 معدل التغير المتوسط

تعريف 12.1 (معدل التغير المتوسط)

لتكن $f$ معرَّفة على فترة $I$ ، وليكن $a \neq b$ فيها. معدل التغير المتوسط للدالة $f$ بين $a$ و $b$ هو

\frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

وهو ميل القاطع المار بالنقطتين $\bigl(a, f(a)\bigr)$ و $\bigl(b, f(b)\bigr)$ من المنحنى.

مثال 12.2

تقطع سيارة $140$ كم بين الساعة 2 والساعة 4 بعد الظهر: فسرعتها المتوسطة $\frac{140}{2} = 70$ كم/سا. أما عداد السرعة فيعرض سرعة لحظية في كل لحظة — وذلك بالضبط هو المفهوم الذي تضبطه المشتقة.

12.2 المشتقة عند نقطة

تعريف 12.3 (المشتقة عند نقطة)

لتكن $f$ معرَّفة على فترة تحوي $a$ . ومن أجل $h \neq 0$ ، كوّن معدل التغير المتوسط بين $a$ و $a + h$ :

r(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

فإذا اقترب $r(h)$ من عدد ثابت وحيد كلما اقترب $h$ من $0$ بأي قدر، قلنا إن $f$ قابلة للاشتقاق عند $a$ ؛ وهذا العدد هو مشتقة $f$ عند $a$ ، ويُكتب $f'(a)$ :

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

مثال 12.4

لتكن $f(x) = x^2$ و $a = 1$ . من أجل $h \neq 0$ :

\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \frac{h(2 + h)}{h} = 2 + h .

وكلما اقترب $h$ من $0$ اقترب هذا من $2$ : إذن الدالة $x^2$ قابلة للاشتقاق عند $1$ و $f'(1) = 2$ . ولاحظ الاستراتيجية: بسّط الخارج حتى لا يعود $h$ يظهر في مقام، ثم اجعل $h \to 0$ .

مثال 12.5 (نقطة غير قابلة للاشتقاق)

لتكن $f(x) = \abs{x}$ و $a = 0$ . عندئذٍ $\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{\abs h}{h}$ ، وهو يساوي $1$ من أجل $h > 0$ و $-1$ من أجل $h < 0$ : فلا يُقترب من عدد وحيد، و $\abs x$ ليست قابلة للاشتقاق عند $0$ . ولمنحنيها زاوية هناك.

12.3 المماس

تعريف 12.6 (المماس)

إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق عند $a$ ، فإن المماس للمنحنى عند النقطة $A = \bigl(a, f(a)\bigr)$ هو المستقيم المار بالنقطة $A$ الذي ميله $f'(a)$ . ومعادلته

y = f(a) + f'(a)(x - a).

والمماس هو الوضع الحدي للقواطع المارة بالنقطة $A$ : فكلما $h \to 0$ ، انزلقت النقطة الثانية $\bigl(a+h, f(a+h)\bigr)$ على المنحنى نحو $A$ ، واقترب ميل القاطع $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ من $f'(a)$ .

ميل القاطع المار بالنقطتين A و B = (a+h, f(a+h) ) هو f(a+h)-f(a)/h. وكلما انزلقت B نحو A، مال القاطع ليصير المماس، الذي ميله f'(a). — ميل القاطع المار بالنقطتين $A$ و $B = \bigl(a+h, f(a+h)\bigr)$ هو $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ . وكلما انزلقت $B$ نحو $A$ ، مال القاطع ليصير المماس، الذي ميله $f'(a)$ .

مثال 12.7

من أجل $f(x) = x^2$ عند $a = 1$ : لدينا $f(1) = 1$ و $f'(1) = 2$ (المثال 12.4)، إذن المماس هو

y = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1 .

وهو المستقيم $d_2$ الذي وُجد بالجبر الخالص في التمرين 10.11.

12.4 مشتقات الدوال المرجعية

قضية 12.8

على مجموعات قابلية اشتقاقها:

(c)' = 0, \quad (x)' = 1, \quad (x^2)' = 2x, \quad (x^3)' = 3x^2, \quad \left(\frac1x\right)' = -\frac{1}{x^2}, \quad (\sqrt x\,)' = \frac{1}{2\sqrt x} \ (x > 0).

وبوجه أعم، $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ من أجل كل عدد صحيح $n \geq 1$ .

برهان. يتبع كل برهان استراتيجية المثال 12.4: بسّط المعدل، ثم اجعل $h \to 0$ . ثبّت $a$ في مجموعة التعريف.

الثابتة والمطابقة. $\frac{c - c}{h} = 0$ و $\frac{(a+h) - a}{h} = 1$ من أجل كل $h$ : فالنهايتان $0$ و $1$ .

المربع. $\frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h \to 2a$ .

التكعيب. $(a+h)^3 = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3$ ، إذن المعدل هو $3a^2 + 3ah + h^2 \to 3a^2$ .

المقلوب. من أجل $a \neq 0$ و $h$ صغير بما يكفي ليكون $a + h \neq 0$ :

\frac{1}{h}\left(\frac{1}{a+h} - \frac{1}{a}\right) = \frac{1}{h} \cdot \frac{a - (a+h)}{a(a+h)} = \frac{-1}{a(a+h)} \xrightarrow[h \to 0]{} -\frac{1}{a^2}.

الجذر التربيعي. من أجل $a > 0$ ، اضرب في المرافق:

\frac{\sqrt{a+h} - \sqrt a}{h} = \frac{(a + h) - a}{h\,(\sqrt{a+h} + \sqrt a)} = \frac{1}{\sqrt{a+h} + \sqrt a} \xrightarrow[h \to 0]{} \frac{1}{2\sqrt a}.

القوة العامة. يستمر النمط $2a$ ، $3a^2$ : فبنشر $(a+h)^n$ ، تحمل كل الحدود بعد $a^n + n\,a^{n-1}h$ العامل $h^2$ ، إذن يؤول المعدل إلى $n\,a^{n-1}$ . (ويُعطى برهان كامل بالتراجع في الفصل 22.) ∎

12.5 قواعد الاشتقاق

مبرهنة 12.9 (العمليات)

لتكن $u$ و $v$ قابلتين للاشتقاق على $I$ وليكن $\lambda \in \R$ . عندئذٍ تكون $u + v$ و $\lambda u$ و $uv$ قابلة للاشتقاق على $I$ ، وكذلك $\frac{u}{v}$ حيثما $v \neq 0$ ، ولدينا

(u+v)' = u' + v', \qquad (\lambda u)' = \lambda u', \qquad (uv)' = u'v + uv', \qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

برهان القواعد الثلاث الأولى. ثبّت $a \in I$ واختصر $\Delta u = u(a+h) - u(a)$ و $\Delta v = v(a+h) - v(a)$ .

المجموع. معدل $u + v$ هو $\frac{\Delta u + \Delta v}{h} = \frac{\Delta u}{h} + \frac{\Delta v}{h} \to u'(a) + v'(a)$ .

الضرب في عدد. معدل $\lambda u$ هو $\lambda \frac{\Delta u}{h} \to \lambda u'(a)$ .

الجداء. أضف واطرح الحد المختلط $u(a+h)\,v(a)$ :

\begin{align*} \frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h} &= \frac{u(a+h)v(a+h) - u(a+h)v(a) + u(a+h)v(a) - u(a)v(a)}{h}\\ &= u(a+h)\,\frac{\Delta v}{h} + v(a)\,\frac{\Delta u}{h}. \end{align*}

وكلما $h \to 0$ : $\frac{\Delta v}{h} \to v'(a)$ ، و $\frac{\Delta u}{h} \to u'(a)$ ، و $u(a+h) \to u(a)$ (فمعدلها له نهاية، إذن $\Delta u = h \cdot \frac{\Delta u}{h} \to 0$ ). ومنه يؤول المعدل إلى $u(a)v'(a) + v(a)u'(a)$ .

أما قاعدة الخارج فتُبرهن على المنوال نفسه؛ ونقبلها في هذا المستوى، ويُبرهن عليها في الفصل 22. ∎

مثال 12.10

كثير حدود. $f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 7x - 2$ :

f'(x) = 3 \times 3x^2 - 5 \times 2x + 7 = 9x^2 - 10x + 7 .

خارج قسمة. $g(x) = \frac{2x+1}{x^2+1}$ : بوضع $u = 2x + 1$ و $v = x^2 + 1$ ،

g'(x) = \frac{2(x^2+1) - (2x+1)\,2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-2x^2 - 2x + 2}{(x^2+1)^2}.

جداء. $k(x) = x\sqrt x$ من أجل $x > 0$ : $k'(x) = 1 \times \sqrt x + x \times \frac{1}{2\sqrt x} = \sqrt x + \frac{\sqrt x}{2} = \frac{3\sqrt x}{2}$ .

12.6 إشارة المشتقة والتغيرات

مبرهنة 12.11 (المشتقة والتغيرات)

لتكن $f$ قابلة للاشتقاق على فترة $I$ .

إذا كان $f' \geq 0$ على $I$ ، فإن $f$ متزايدة على $I$ .
وإذا كان $f' \leq 0$ على $I$ ، فإن $f$ متناقصة على $I$ .
وإذا كان $f' > 0$ على $I$ (عدا، ربما، عند عدد منته من النقط التي تنعدم عندها)، فإن $f$ متزايدة تمامًا على $I$ .

برهان. الحدس واضح — فالمنحنى الذي تشير كل مماساته إلى أعلى لا بد أن يتسلق — لكن البرهان الصارم يحتاج إلى مبرهنة القيمة المتوسطة. والنتيجة نقبلها في هذا المستوى؛ انظر المبرهنة 22.7. ∎

قضية 12.12 (القيم الحدية)

إذا تغيّرت إشارة $f'$ عند $a$ من $+$ إلى $-$ ، كان للدالة $f$ قيمة عظمى محلية عند $a$ ؛ وإذا تغيّرت من $-$ إلى $+$ ، كانت لها قيمة صغرى محلية. وعند نقطة كهذه يكون $f'(a) = 0$ و المماس أفقيًا.

برهان. إذا كان $f' \geq 0$ على فترة تنتهي عند $a$ و $f' \leq 0$ على فترة تبدأ عند $a$ ، فإن $f$ تتزايد حتى $f(a)$ وتتناقص بعدها (المبرهنة 12.11): أي أن $f(a)$ أكبر ما يكون في الجوار. وبما أن إشارة $f'$ تتغير عند $a$ وهي معرَّفة هناك، فإن $f'(a) = 0$ . ∎

طريقة 12.13 (دراسة دالة)

احسب $f'(x)$ وبسّطه — ويُفضَّل أن يكون على صورة محلَّلة إلى عوامل.
حدّد إشارة $f'(x)$ على كل فترة (وإذا كان $f'$ تربيعيًا، استعمل المبرهنة 10.11).
سجّل النتائج في جدول تغيرات: سطر لإشارة $f'$ ، وسطر من الأسهم من أجل $f$ ، مع قيم $f$ عند نقط الانعطاف.
استنتج: القيم الحدية، وعدد حلول $f(x) = k$ ، والمتراجحات.

مثال 12.14

ادرس $f(x) = x^3 - 3x + 1$ على $\R$ . أولًا، $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ : وهو مقدار تربيعي جذراه $-1$ و $1$ ، وهو موجب خارجهما. إذن $f$ متزايدة على $\intoc{-\infty}{-1}$ ، ومتناقصة على $\intcc{-1}{1}$ ، ومتزايدة على $\intco{1}{+\infty}$ ، ولها قيمة عظمى محلية $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$ وقيمة صغرى محلية $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$ .

منحنى f(x) = x3 - 3x + 1 (): مماسان أفقيان (بالبرتقالي) عند القيمة العظمى المحلية (-1, 3) والقيمة الصغرى المحلية (1, -1)، حيث تتغير إشارة f'. — منحنى $f(x) = x^3 - 3x + 1$ (المثال 12.14): مماسان أفقيان (بالبرتقالي) عند القيمة العظمى المحلية $(-1, 3)$ والقيمة الصغرى المحلية $(1, -1)$ ، حيث تتغير إشارة $f'$ .

مثال 12.15 (الاستمثال)

يُصنع صندوق مفتوح من صفيحة $12 \times 12$ سم بقطع مربع ضلعه $x$ من كل زاوية ثم الطي. وحجمه $V(x) = x(12 - 2x)^2$ من أجل $0 < x < 6$ . وبالنشر، $V(x) = 4x^3 - 48x^2 + 144x$ ، إذن

V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 12(x^2 - 8x + 12) = 12(x - 2)(x - 6).

وعلى $\intoo{0}{6}$ يكون العامل $x - 6$ سالبًا، إذن يحمل $V'(x)$ إشارة $-(x-2)$ : فهو موجب قبل $2$ وسالب بعدها. إذن يكون الحجم أعظميًا من أجل $x = 2$ سم، فيعطي $V(2) = 2 \times 8^2 = 128$ سم $^3$ .

12.7 تمارين

تمرين 12.1 ★

مستعملًا التعريف (معدل التغير، ثم $h \to 0$ )، احسب $f'(2)$ من أجل $f(x) = x^2$ ، ثم $g'(1)$ من أجل $g(x) = x^2 + 3x$ .

حل

حل التمرين 12.1.

من أجل $f(x) = x^2$ عند $a = 2$ :

\frac{(2+h)^2 - 4}{h} = \frac{4h + h^2}{h} = 4 + h \xrightarrow[h\to0]{} 4,

إذن $f'(2) = 4$ . ومن أجل $g(x) = x^2 + 3x$ عند $a = 1$ : لدينا $g(1) = 4$ و

\frac{(1+h)^2 + 3(1+h) - 4}{h} = \frac{5h + h^2}{h} = 5 + h \xrightarrow[h\to0]{} 5,

إذن $g'(1) = 5$ .

تمرين 12.2 ★

اشتق:

f(x) = 4x^3 - 2x^2 + x - 7, \qquad g(x) = 5\sqrt{x} + \frac{3}{x}, \qquad h(x) = (2x+1)(x^2 - 3) .

حل

حل التمرين 12.2.

$f'(x) = 12x^2 - 4x + 1$ .

$g'(x) = \frac{5}{2\sqrt x} - \frac{3}{x^2}$ (على $\intoo{0}{+\infty}$ ).

$h'(x) = 2(x^2 - 3) + (2x+1)(2x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6$ (قاعدة الجداء).

تمرين 12.3 ★

أعطِ معادلة المماس لمنحنى $f$ عند النقطة ذات الفاصلة $a$ :

f(x) = x^2 - 3x, \ a = 2; \qquad f(x) = \frac1x, \ a = 1; \qquad f(x) = \sqrt x, \ a = 4 .

حل

حل التمرين 12.3.

$f(x) = x^2 - 3x$ ، $a = 2$ : لدينا $f(2) = -2$ و $f'(x) = 2x - 3$ إذن $f'(2) = 1$ ؛ والمماس $y = -2 + (x - 2) = x - 4$ .

$f(x) = \frac1x$ ، $a = 1$ : لدينا $f(1) = 1$ و $f'(1) = -1$ ؛ والمماس $y = 1 - (x - 1) = 2 - x$ .

$f(x) = \sqrt x$ ، $a = 4$ : لدينا $f(4) = 2$ و $f'(4) = \frac{1}{2\sqrt4} = \frac14$ ؛ والمماس $y = 2 + \frac14(x - 4) = \frac{x}{4} + 1$ .

تمرين 12.4 ★

اشتق الخارجات:

f(x) = \frac{x+2}{x-1}, \qquad g(x) = \frac{x^2}{x^2+1}, \qquad h(x) = \frac{1}{x^2 + x + 1} .

حل

حل التمرين 12.4.

$f'(x) = \frac{(x-1) - (x+2)}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$ .

$g'(x) = \frac{2x(x^2+1) - x^2 \times 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{2x}{(x^2+1)^2}$ .

$h'(x) = -\frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}$ (قاعدة الخارج مع $u = 1$ ).

تمرين 12.5 ★★

ادرس تغيرات $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$ على $\R$ (جدول التغيرات، والقيم الحدية المحلية).

حل

حل التمرين 12.5.

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$ : موجب خارج $\intcc{1}{3}$ ، وسالب داخلها. إذن $f$ متزايدة على $\intoc{-\infty}{1}$ ، ومتناقصة على $\intcc{1}{3}$ ، ومتزايدة على $\intco{3}{+\infty}$ ، ولها قيمة عظمى محلية $f(1) = 1 - 6 + 9 - 2 = 2$ و قيمة صغرى محلية $f(3) = 27 - 54 + 27 - 2 = -2$ .

تمرين 12.6 ★★

ادرس تغيرات $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x + 1}$ على $\intoo{-1}{+\infty}$ .

حل

حل التمرين 12.6.

على $\intoo{-1}{+\infty}$ :

f'(x) = \frac{2x(x+1) - (x^2+3)}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 3}{(x+1)^2} = \frac{(x+3)(x-1)}{(x+1)^2}.

ومن أجل $x > -1$ يكون $x + 3$ و $(x+1)^2$ موجبين، إذن يحمل $f'(x)$ إشارة $x - 1$ : فتكون $f$ متناقصة على $\intoc{-1}{1}$ ومتزايدة على $\intco{1}{+\infty}$ ، وقيمتها الصغرى $f(1) = \frac{4}{2} = 2$ .

تمرين 12.7 ★★

لتكن $f(x) = x^2 - 4x + 5$ .

أوجد نقطة المنحنى التي يكون المماس عندها أفقيًا.
أوجد النقطة أو النقط التي يكون المماس عندها موازيًا للمستقيم $y = 2x + 1$ .

حل

حل التمرين 12.7.

$f'(x) = 2x - 4$ .

1. المماس الأفقي: $f'(x) = 0$ عند $x = 2$ ؛ والنقطة هي $(2, f(2)) = (2, 1)$ (وهي رأس القطع المكافئ).

2. التوازي مع $y = 2x + 1$ يعني الميل $2$ : أي $2x - 4 = 2$ ، إذن $x = 3$ ، فتكون النقطة $(3, f(3)) = (3, 2)$ .

تمرين 12.8 ★★

تُبنى حظيرة مستطيلة مسنودة إلى جدار باستعمال $60$ م من السياج (ثلاثة أضلاع). عبّر عن المساحة بدلالة العرض $x$ ، واستعمل المشتقة لإيجاد بعدَي المساحة العظمى. (قارن بطريقة الرأس في الفصل 10.)

حل

حل التمرين 12.8.

بعرض $x$ (وضلعان مسيَّجان) وطول $60 - 2x$ : $A(x) = x(60 - 2x) = 60x - 2x^2$ على $\intoo{0}{30}$ . عندئذٍ $A'(x) = 60 - 4x$ ، وهو موجب قبل $x = 15$ وسالب بعدها: إذن تكون المساحة أعظمية من أجل $x = 15$ ، فتعطي حظيرة $15 \times 30$ م مساحتها $450$ م $^2$ . وتعطي صيغة الرأس $\alpha = -\frac{60}{2 \times (-2)} = 15$ في الفصل 10 الجواب نفسه دون حساب تفاضل.

تمرين 12.9 ★★

بيّن أنه من أجل كل $x > 0$ ، $\sqrt{x} \leq \frac{x + 1}{2}$ ، بدراسة الدالة $f(x) = \frac{x+1}{2} - \sqrt x$ على $\intoo{0}{+\infty}$ .

حل

حل التمرين 12.9.

لتكن $f(x) = \frac{x+1}{2} - \sqrt x$ على $\intoo{0}{+\infty}$ . عندئذٍ

f'(x) = \frac12 - \frac{1}{2\sqrt x} = \frac{\sqrt x - 1}{2\sqrt x},

وهو يحمل إشارة $\sqrt x - 1$ : سالب على $\intoo{0}{1}$ ، وموجب على $\intoo{1}{+\infty}$ . إذن تتناقص $f$ ثم تتزايد، وقيمتها الصغرى $f(1) = 1 - 1 = 0$ . ومنه $f(x) \geq 0$ من أجل كل $x > 0$ ، أي $\sqrt x \leq \frac{x+1}{2}$ ، مع تحقق المساواة عند $x = 1$ فقط.

تمرين 12.10 ★★

يجب أن تسع علبة أسطوانية $500$ سم $^3$ . ومساحة سطحها (قرصان زائد الجانب) هي $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ حيث $\pi r^2 h = 500$ . عبّر عن $S$ بدلالة $r$ وحده، وبيّن أن $S'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}$ . واستنتج نصف القطر الذي يصغّر المساحة، على صورة عبارة مضبوطة.

حل

حل التمرين 12.10.

من $\pi r^2 h = 500$ نجد $h = \frac{500}{\pi r^2}$ ، إذن

S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{1000}{r}, \qquad S'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}.

ولدينا $S'(r) = 0$ عندما $4\pi r^3 = 1000$ ، أي $r^3 = \frac{250}{\pi}$ ، إذن $r = \sqrt[3]{250/\pi}$ ( $\approx 4.3$ سم). وبما أن $S'(r) = \frac{4\pi r^3 - 1000}{r^2}$ سالب قبل هذه القيمة وموجب بعدها، فإنها قيمة صغرى.

تمرين 12.11 ★★★

كم مماسًا للقطع المكافئ $y = x^2$ يمر بالنقطة الخارجية $P(1, -3)$ ؟ حدّد معادلاتها. (ليكن $a$ فاصلة نقطة التماس وعبّر عن كون المماس عند $a$ يمر بالنقطة $P$ .)

حل

حل التمرين 12.11.

المماس للمنحنى $y = x^2$ عند النقطة ذات الفاصلة $a$ هو $y = a^2 + 2a(x - a) = 2ax - a^2$ . وهو يمر بالنقطة $P(1, -3)$ عندما $-3 = 2a - a^2$ ، أي $a^2 - 2a - 3 = 0$ ، وجذراها $a = 3$ و $a = -1$ ( $\Delta = 16$ ). إذن يوجد مماسان يمران بالنقطة $P$ :

y = 6x - 9 \quad (a = 3), \qquad y = -2x - 1 \quad (a = -1).

تمرين 12.12 ★★★

لتكن $f(x) = x^3 - 3x + 1$ (انظر المثال 12.14). مستعملًا جدول التغيرات، حدّد عدد حلول المعادلة $f(x) = k$ بحسب قيمة العدد الحقيقي $k$ .

حل

حل التمرين 12.12.

من المثال 12.14، تتزايد $f$ حتى القيمة العظمى المحلية $f(-1) = 3$ ، ثم تتناقص إلى القيمة الصغرى المحلية $f(1) = -1$ ، ثم تتزايد من جديد؛ ومن أجل $x$ الموجب الكبير (أو السالب الكبير)، يهيمن $x^3$ فتأخذ $f$ قيمًا كبيرة (أو صغيرة) بأي قدر. وبقراءة المستقيمات الأفقية $y = k$ على جدول التغيرات:

إذا كان $k > 3$ أو $k < -1$ : التقى المستقيم المنحنى مرة واحدة — أي حل واحد؛
وإذا كان $k = 3$ أو $k = -1$ : لامس المستقيم نقطة انعطاف وقطع فرعًا آخر — أي حلان؛
وإذا كان $-1 < k < 3$ : قطع المستقيم الفروع الثلاثة كلها — أي ثلاثة حلول.

12.8 مسألة: وظائف المماس الثلاث

مسألة 12.1

مسألة نهاية الأسبوع — برهان المرآة المكافئة، وآلة نيوتن لإيجاد الجذور، وأقوى عارضة في الجذع

ترسم المشتقة مماسات؛ ويبدو ذلك موهبة متواضعة. تبيّن هذه المسألة أن المماس يشغل ثلاث وظائف دفعة واحدة: فهو يبرهن على مبرهنة المصباح الأمامي المعلَّقة في المسألة 10.1 (كل شعاع مواز لمحور قطع مكافئ ينعكس عبر البؤرة)، وهو يشغّل أسرع خوارزمية لحل المعادلات في الاستعمال الشائع — داخل كل حاسبة وكل شبكة عصبونية — وهو يجد أقوى عارضة مستطيلة يمكن أن يعطيها جذع مستدير.

الجزء الأول — الطلاقة في المماسات.

اشتق $f(x) = 3x^2 - 5x + 1$ و $g(x) = x^3 - 12x$ (المبرهنة 12.9)؛ واستعد $\left(x^2 \right)'$ عند $x = 1$ انطلاقًا من التعريف (معدل التغير، ثم $h \to 0$ ).
أوجد المماس للمنحنى $y = x^3 - 12x$ عند $a = 2$ . ما الخاص فيه، وعلام يدل ذلك (القضية 12.12)؟
أرسِ المماس العام للقطع المكافئ $y = x^2$ عند النقطة $(a, a^2)$ :

$y = 2ax - a^2 .$
أين يقطع ذلك المماس المحور $y$ ؟ استنتج وصفة الرسّام: لرسم المماس عند نقطة $P$ ارتفاعها $h$ على القطع المكافئ، صِل $P$ بنقطة المحور الواقعة على عمق … تحت المبدأ. صُغها.
ابنِ جدول التغيرات الكامل للدالة $g(x) = x^3 - 12x$ (إشارة $g'$ ، والقيم الحدية المحلية و قيمها، الطريقة 12.13).

الجزء الثاني — مبرهنة المرآة. لتكن $P(a, a^2)$ نقطة من القطع المكافئ $y = x^2$ (وليكن $a \neq 0$ )، ولتكن $F\left(0, \frac14\right)$ البؤرة، ولتكن $T$ النقطة التي يقطع فيها المماس عند $P$ المحور $y$ (السؤال 4). وتذكّر من المسألة 10.1 أن $PF = a^2 + \frac14$ .

احسب المسافة $FT$ .
استنتج أن المثلث $FPT$ متساوي الساقين في $F$ . فأي زاويتين متساويتان إذن؟
الشعاع الوارد عبر $P$ ، الموازي للمحور، يوازي المستقيم $(TF)$ (فكلاهما شاقولي). ومستعملًا الزوايا المتبادلة، بيّن أن المماس عند $P$ يصنع زاويتين متساويتين مع الشعاع الشاقولي الوارد و مع القطعة $[PF]$ .
الفيزياء: ينعكس الضوء عن منحنى كما ينعكس عن مماسه، فيغادر بالزاوية نفسها التي وصل بها (قانون الانعكاس). استنتج مبرهنة المرآة: كل شعاع مواز للمحور ينعكس عبر البؤرة — وبعكس الزمن، تبعث لمبة عند البؤرة ضوءًا متوازيًا. فالطبق والمصباح الأمامي في المسألة 10.1 صارا الآن مبرهنتين.
تحقق عدديًا من تساوي الساقين عند $a = 1$ : احسب $T$ و $FP$ و $FT$ .

الجزء الثالث — آلة نيوتن. لحل $f(x) = 0$ ، اقترح نيوتن: انطلق من تخمين $x_0$ ، واتبع المماس عند $x_0$ نزولًا إلى المحور، واجعل فاصلة تقاطعه هي التخمين التالي.

استنتج صيغة الطريقة:

$x_{n + 1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} .$
شغّلها على $f(x) = x^2 - 2$ انطلاقًا من $x_0 = 1$ : احسب $x_1$ و $x_2$ و $x_3$ على صورة كسور مضبوطة. أي متتالية عمرها ألفا سنة — وأي آلة من المسألة 3.1 — أعدت بناءها للتوّ؟ برهن على المتطابقة وراء هذا التوافق:

$x - \frac{x^2 - 2}{2x} = \frac12\left(x + \frac2x\right).$
حل $x^3 = 100$ (تجاوز خطتَي الادخار في المسألة 4.1): طبّق خطوتَي نيوتن على $f(x) = x^3 - 100$ انطلاقًا من $x_0 = 5$ (بأربعة أرقام عشرية)، و قارن بقيمة $\sqrt[3]{100}$ على الحاسبة.
التخريب: حاول إطلاق الطريقة على $f(x) = x^3 - 12x$ عند $x_0 = 2$ . ما الذي يسوء، و لماذا (السؤال 2)؟ صُغ التحذير العملي.
في السؤال 12 سارت الأرقام العشرية الصحيحة تقريبًا $1 \to 3 \to 6$ . قارن بالتنصيف (أي تنصيف فترة في كل خطوة) وقل في جملة واحدة لماذا تعمل الحاسبات ومستقبلات التموضع العالمي وتدريب الشبكات العصبونية كلها على فكرة نيوتن.

الجزء الرابع — أقوى عارضة. تُنشر عارضة مستطيلة عرضها $w$ وعمقها $d$ من جذع مستدير قطره $30$ سم، إذن $w^2 + d^2 = 900$ . وصلابة العارضة تتناسب مع $w d^2$ (فالعمق يُحسب مرتين: لأن الروافد تقف على حرفها!).

عبّر عن الصلابة بدلالة $w$ وحده: $S(w) = 900w - w^3$ ، وعلى أي فترة؟
اشتق، وابنِ جدول التغيرات، وأوجد $w$ و $d$ الأمثلين (بقيم مضبوطة، ثم إلى المليمتر).
بيّن أن النسب المثلى تحقق $d = w\sqrt2$ — وهي نسبة النجارين القديمة. (وطُرفة إضافية: تقسيم قطر الجذع إلى ثلاثة أجزاء متساوية ورفع أعمدة إلى الدائرة ينشئ هذا المستطيل بالضبط.)
الاختيار الساذج هو العارضة المربعة ( $w = d$ ). احسب صلابتها وصلابة العارضة المثلى، وأعطِ ربح النجار بالنسبة المئوية.
الخاتمة — وظائف المماس الثلاث، جملة لكل وظيفة: الهندسة (مبرهنة المرآة)، والحساب العددي (آلة نيوتن)، والاستمثال (العارضة)، وكلها يشغّلها الكائن نفسه. وإشارة إلى الأمام: تضيف السنة الأخيرة التحدب — أي جهة المماس من المنحنى — لتصقل الثلاثة جميعًا.

حل

حل المسألة 12.1.

1. $f'(x) = 6x - 5$ ؛ و $g'(x) = 3x^2 - 12$ . وبالتعريف: $\frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = 2 + h \to 2$ : أي أن مشتقة $x^2$ عند $1$ هي $2$ .

2. $g(2) = 8 - 24 = -16$ و $g'(2) = 12 - 12 = 0$ : إذن المماس هو المستقيم الأفقي $y = -16$ . والمماس الأفقي يدل على نقطة حرجة — وهي هنا قيمة صغرى محلية، كما يؤكد جدول التغيرات في السؤال 5.

3. الميل $2a$ عند $(a, a^2)$ : $y = a^2 + 2a(x - a) = 2ax - a^2$ .

4. عند $x = 0$ : يكون $y = -a^2$ : أي أن المماس يقطع المحور على عمق $a^2$ تحت المبدأ — أي على البعد نفسه تحت الصفر الذي تعلوه فيه $P$ . والوصفة: لرسم المماس عند نقطة ارتفاعها $h$ ، صِلها بنقطة المحور الواقعة على عمق $h$ تحت المبدأ. (فلا حاجة إلى مشتقة على لوح الرسم.)

5. $g'(x) = 3(x^2 - 4)$ : موجب على $\intoo{-\infty}{-2}$ ، وسالب على $\intoo{-2}{2}$ ، وموجب بعدها. فتتزايد $g$ إلى قيمة عظمى محلية $g(-2) = 16$ ، ثم تهبط إلى قيمة صغرى محلية $g(2) = -16$ ، ثم تتزايد.

6. $F\left(0, \frac14\right)$ و $T(0, -a^2)$ : $FT = \frac14 + a^2$ .

7. $FP = a^2 + \frac14 = FT$ : إذن متساوي الساقين في $F$ ، فتكون زاويتا القاعدة متساويتين: $\widehat{FTP} = \widehat{FPT}$ .

8. الشعاع الوارد عند $P$ شاقولي، إذن يوازي المستقيم $(TF)$ (وهو المحور $y$ ). ويقطع المماس $(TP)$ المتوازيين معًا، إذن تساوي الزاوية بين الشعاع والمماس الزاويةَ $\widehat{FTP}$ (زاويتان متبادلتان) — وهي تساوي $\widehat{FPT}$ ، أي الزاوية بين $[PF]$ والمماس. إذن زاويتان متساويتان على جهتَي المماس عند $P$ .

9. بقانون الانعكاس، يغادر الشعاع الواصل شاقوليًا إلى $P$ على المستقيم الذي يصنع الزاوية المساوية في الجهة الأخرى — وهو، حسب السؤال 8، المستقيم $[PF]$ : أي عبر البؤرة، أيًّا كان $a$ . وبعكس ذلك، يغادر الضوء المولود عند $F$ كل نقطة من المرآة موازيًا للمحور. فالأطباق تجمع، والمصابيح الأمامية تبعث: وقد بُرهن على ذلك.

10. من أجل $a = 1$ : المماس $y = 2x - 1$ ، و $T(0, -1)$ ؛ و $FP = \sqrt{1 + \left(1 - \frac14\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac54$ ؛ و $FT = \frac14 + 1 = \frac54$ : إذن متساوي الساقين، كما وُعد.

11. المماس عند $x_n$ هو $y = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n)$ ؛ وهو يقطع $y = 0$ حيث $x = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ .

12. $x_1 = 1 - \frac{-1}{2} = \frac32$ ؛ و $x_2 = \frac32 - \frac{1/4}{3} = \frac{17}{12}$ ؛ و $x_3 = \frac{577}{408}$ : أي تقريبات هيرون للعدد $\sqrt2$ ، وهي آلة النقطة الثابتة في المسألة 3.1. والمتطابقة: $x - \frac{x^2 - 2}{2x} = \frac{2x^2 - x^2 + 2}{2x} = \frac{x^2 + 2}{2x} = \frac12\left(x + \frac2x\right)$ — أي أن وصفة هيرون هي طريقة نيوتن مطبقة على $x^2 - 2$ ، قبل ألفي سنة.

13. $x_1 = 5 - \frac{125 - 100}{75} = \frac{14}{3} \approx 4.6667$ ؛ و $x_2 \approx 4.6667 - \frac{1.63}{65.33} \approx 4.6417$ . وعلى الحاسبة: $\sqrt[3]{100} = 4.6416\ldots$ — أي أربعة أرقام عشرية صحيحة في خطوتين.

14. $f'(2) = 0$ : فالمماس عند نقطة الانطلاق أفقي (السؤال 2) ولا يقطع المحور أبدًا — و الصيغة تقسم على صفر. والتحذير: ابدأ نيوتن بعيدًا عن النقط الحرجة (وبوجه أعم، قريبًا بما يكفي من الجذر المطلوب).

15. يكسب التنصيف رقمًا ثنائيًا واحدًا في كل خطوة؛ أما نيوتن فيكاد يضاعف عدد الأرقام الصحيحة في كل خطوة ( $1 \to 3 \to 6$ هنا). وعندما تكون كل خطوة مكلفة — ملايين الوسائط، والملاحة في الزمن الحقيقي — تتفوق المضاعفة على التقدم الزاحف، ولهذا يعمل المماس داخل كل هذا السيليكون.

16. $d^2 = 900 - w^2$ ، إذن $S(w) = w(900 - w^2) = 900w - w^3$ ، من أجل $0 < w < 30$ .

17. $S'(w) = 900 - 3w^2 = 0$ عند $w = \sqrt{300} = 10\sqrt3 \approx 17.3$ سم (إذ $S' > 0$ قبلها، و $< 0$ بعدها: أي قيمة عظمى). عندئذٍ $d = \sqrt{600} = 10\sqrt6 \approx 24.5$ سم.

18. $\frac{d^2}{w^2} = \frac{600}{300} = 2$ ، إذن $d = w\sqrt2$ : أي أن العمق يساوي العرض مضروبًا في $\sqrt2$ — وهي نسبة النجار (وإنشاء تقسيم القطر إلى أثلاث يعطيها بالفرجار، دون أي جبر في الورشة).

19. العارضة المربعة: $w = d = \sqrt{450} \approx 21.2$ سم، وصلابتها $w^3 = 450^{3/2} \approx 9\,546$ . والعارضة المثلى: $S = 10\sqrt3 \times 600 = 6\,000\sqrt3 \approx 10\,392$ . والربح: نحو $8.9\,\%$ صلابة إضافية من الجذع نفسه — فالمشتقة تدفع ثمن المنشرة.

20. الهندسة: حوّلت زاويتا المماس المتساويتان مجسمًا مكافئًا إلى جامع للضوء. والحساب العددي: يحل الانزلاق على المماسات المعادلات بسرعة تضاعف الأرقام. والاستمثال: وجد انعدام المشتقة أقوى مستطيل في الجذع. كائن واحد وثلاث مهن — وسيخبرنا تحدب السنة الأخيرة، فوق ذلك، بأي جهة من كل مماس يقع المنحنى.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد