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Matemática · Glossário

O que é Derivada em um ponto?

Também chamado de: derivada

Definição 12.3 Matemática do ensino médio · Capítulo 12 — Derivadas: um primeiro curso

Seja ff definida em um intervalo que contém aa. Para h≠0h \neq 0, forme a taxa de variação média entre aa e a+ha + h:

r(h)=f(a+h)−f(a)h.r(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Se r(h)r(h) se aproxima de um único número fixo quando hh fica arbitrariamente próximo de 00, dizemos que ff é derivável em aa; esse número é a derivada de ff em aa, escrita f′(a)f'(a):

f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h.f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Exemplos

Exemplo 12.4

Seja f(x)=x2f(x) = x^2 e a=1a = 1. Para h≠0h \neq 0:

f(1+h)−f(1)h=(1+h)2−1h=1+2h+h2−1h=h(2+h)h=2+h.\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \frac{h(2 + h)}{h} = 2 + h .

Quando hh se aproxima de 00, isso se aproxima de 22: a função x2x^2 é derivável em 11 e f′(1)=2f'(1) = 2. Note a estratégia: simplifique o quociente até hh não aparecer mais em nenhum denominador e só então faça h→0h \to 0.

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Definição 22.1 Matemática do ensino médio · Capítulo 22 — Derivadas e convexidade

Seja ff definida em um intervalo II e seja a∈Ia \in I. A função ff é derivável em aa se o quociente de diferenças

f(a+h)−f(a)h\frac{f(a+h) - f(a)}{h}

tem limite finito quando h→0h \to 0. Esse limite chama-se derivada de ff em aa e escreve-se f′(a)f'(a). Se ff é derivável em todo ponto de II, a função f′ ⁣:x↦f′(x)f' \colon x \mapsto f'(x) é a derivada de ff.

Exemplos

Exemplo 22.15 (Desigualdades de convexidade)

A exponencial é convexa em R\R (sua segunda derivada é ela mesma, positiva). Sua tangente em 00 é y=1+xy = 1 + x, de modo que

ex≥1+xpara todo x∈R.\eu^x \geq 1 + x \quad \text{para todo } x \in \R .

Essas desigualdades da reta tangente são um produto padrão da convexidade.

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