¿Qué es familia ortonormal? — Matemáticas

Definición 23.5 Matemáticas universitarias — Grado 1 · Capítulo 23 — Espacios euclídeos

$x \perp y$ cuando $\langle x, y \rangle = 0$ . Una familia es ortogonal cuando sus vectores son ortogonales dos a dos, y ortonormal cuando además cada uno tiene norma $1$ . El complemento ortogonal de un subespacio $F$ es

F^{\perp} = \{x \in E : \forall y \in F,\ \langle x, y\rangle = 0\},

un subespacio de $E$ .

Ejemplos

Ejemplo 23.7 (Coordenadas ortonormales, con comprobación de Parseval)

Desarróllese $x = (1, 2, 3)$ en la base ortonormal del Ejercicio 23.3,

e_1 = \tfrac{1}{\sqrt2}(1,1,0), \quad e_2 = \tfrac{1}{\sqrt6}(1,-1,2), \quad e_3 = \tfrac{1}{\sqrt3}(-1,1,1).

Ningún sistema que resolver — tres productos escalares:

\langle x, e_1\rangle = \frac{3}{\sqrt2}, \qquad \langle x, e_2\rangle = \frac{1 - 2 + 6}{\sqrt6} = \frac{5}{\sqrt6}, \qquad \langle x, e_3\rangle = \frac{-1 + 2 + 3}{\sqrt3} = \frac{4}{\sqrt3}.

Certificación con la fórmula de la norma de la proposición:

\frac{9}{2} + \frac{25}{6} + \frac{16}{3} = \frac{27 + 25 + 32}{6} = 14 = \norm{x}^2 = 1 + 4 + 9 .

Esta comprobación de la suma de los cuadrados de las coordenadas (una identidad de Parseval finita) cuesta segundos y atrapa con casi total seguridad los errores de signo y de normalización — conviértase en costumbre siempre que se calcule un desarrollo ortonormal; su versión en dimensión infinita, para los coeficientes de Fourier del Ejemplo 23.14, es un teorema del volumen del tercer año.

Ejemplo 23.9 (Gram–Schmidt sobre polinomios, al completo)

Ortonormalícese $(1, X, X^2)$ en $\R_2[X]$ con $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$ . Paso 1: $\norm{1}^2 = 1$ , luego $e_1 = 1$ . Paso 2: $w_2 = X - \langle X, 1\rangle\,1 = X - \frac12$ , y $\norm{w_2}^2 = \int_0^1\bigl(x - \frac12\bigr)^2 \dd x = \frac1{12}$ : $e_2 = \sqrt{12}\,\bigl(X - \frac12\bigr)$ . Paso 3: $\langle X^2, e_1\rangle = \frac13$ y

\langle X^2, e_2\rangle = \sqrt{12}\int_0^1 x^2\Bigl(x - \frac12\Bigr)\dd x = \frac{\sqrt{12}}{12}, \qquad\text{luego}\qquad w_3 = X^2 - \frac13 - \Bigl(X - \frac12\Bigr) = X^2 - X + \frac16 .

Su norma se calculó en el Ejercicio 23.9: $\norm{w_3}^2 = \frac1{180}$ , de donde $e_3 = \sqrt{180}\,\bigl(X^2 - X + \frac16\bigr)$ . Los polinomios $1$ , $X - \frac12$ , $X^2 - X + \frac16$ son, salvo escala, los primeros polinomios de Legendre del intervalo $\intcc{0}{1}$ ; la construcción sigue de grado en grado, con cada nuevo polinomio ortogonal a todos sus predecesores. Obsérvese cómo el algoritmo recicla el trabajo anterior: la proyección que se resta en el paso 3 es exactamente la mejor aproximación afín de $X^2$ hallada en el Ejemplo 23.12 — Gram–Schmidt es la proyección ortogonal iterada.

Ejemplo 23.11 (Las proyecciones nunca alargan)

Aplicando Pitágoras a la separación $x = p_F(x) + (x - p_F(x))$ :

\norm{p_F(x)}^2 = \norm x^2 - \norm{x - p_F(x)}^2 \leq \norm x^2 ,

con igualdad si y solo si $x \in F$ . En una base ortonormal $(e_1, \dots, e_k)$ de $F$ , esto dice $\sum_{i \leq k}\langle x, e_i\rangle^2 \leq \norm x^2$ (una desigualdad de Bessel): por muchas direcciones ortonormales que se midan, las coordenadas al cuadrado nunca superan la longitud al cuadrado — compárese con la igualdad exacta del Ejemplo 23.7 cuando la familia es una base completa. Esta desigualdad de una línea es lo que hace sumables los coeficientes de Fourier en el volumen del tercer año; y aquí ya explica por qué añadir más funciones de base a un ajuste por mínimos cuadrados solo puede reducir el residuo.

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Ejemplos

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