Qu'est-ce que « famille orthonormale » ?

Exemple 23.7 (Coordonnées orthonormales, avec une vérification de Parseval)

Décomposons $x = (1, 2, 3)$ dans la base orthonormale de l’Exercice 23.3,

Aucun système à résoudre — trois produits scalaires :

Certification par la formule de la norme de la proposition :

Cette vérification par la somme des carrés des coordonnées (une identité de Parseval finie) coûte quelques secondes et détecte presque à coup sûr les erreurs de signe et de normalisation — prenez-en l’habitude chaque fois que vous calculez une décomposition orthonormale ; sa version en dimension infinie, pour les coefficients de Fourier de l’Exemple 23.14, est un théorème du volume de Licence 3.

Exemple 23.9 (Gram–Schmidt sur les polynômes, en entier)

Orthonormalisons $(1, X, X^2)$ dans $\R_2[X]$ pour $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$. Étape 1 : $\norm{1}^2 = 1$, donc $e_1 = 1$. Étape 2 : $w_2 = X - \langle X, 1\rangle\,1 = X - \frac12$, et $\norm{w_2}^2 = \int_0^1\bigl(x - \frac12\bigr)^2 \dd x = \frac1{12}$ : $e_2 = \sqrt{12}\,\bigl(X - \frac12\bigr)$. Étape 3 : $\langle X^2, e_1\rangle = \frac13$ et

Sa norme a été calculée dans l’Exercice 23.9 : $\norm{w_3}^2 = \frac1{180}$, d’où $e_3 = \sqrt{180}\,\bigl(X^2 - X + \frac16\bigr)$. Les polynômes $1$, $X - \frac12$, $X^2 - X + \frac16$ sont, à un facteur près, les premiers polynômes de Legendre de l’intervalle $\intcc{0}{1}$ ; la construction se poursuit degré par degré, chaque nouveau polynôme étant orthogonal à tous ses prédécesseurs. Remarquons comme l’algorithme réutilise le travail déjà fait : la projection retranchée à l’étape 3 est exactement la meilleure approximation affine de $X^2$ obtenue dans l’Exemple 23.12 — Gram–Schmidt est une projection orthogonale itérée.

Exemple 23.11 (Une projection ne rallonge jamais)

En appliquant Pythagore à la décomposition $x = p_F(x) + (x - p_F(x))$ :

avec égalité si et seulement si $x \in F$. Dans une base orthonormale $(e_1, \dots, e_k)$ de $F$, cela s’écrit $\sum_{i \leq k}\langle x, e_i\rangle^2 \leq \norm x^2$ (une inégalité de Bessel) : quel que soit le nombre de directions orthonormales que l’on mesure, la somme des carrés des coordonnées ne dépasse jamais le carré de la longueur — à comparer à l’égalité exacte de l’Exemple 23.7, lorsque la famille est une base entière. Cette inégalité d’une ligne est ce qui rend les coefficients de Fourier sommables dans le volume de Licence 3 ; ici, elle explique déjà pourquoi ajouter des fonctions de base à un ajustement par moindres carrés ne peut que diminuer le résidu.