लांबिक-प्रसामान्य कुल क्या है? — गणित

परिभाषा 23.5 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · अध्याय 23 — यूक्लिडीय समष्टियाँ

$x \perp y$ तब जब $\langle x, y \rangle = 0$ । कोई कुल लांबिक कहलाता है जब उसके सदिश युग्मशः लांबिक हों, और लांबिक-प्रसामान्य जब इसके अतिरिक्त हर एक का मानक $1$ हो। किसी उपसमष्टि $F$ का लांबिक पूरक है

F^{\perp} = \{x \in E : \forall y \in F,\ \langle x, y\rangle = 0\},

जो $E$ की एक उपसमष्टि है।

उदाहरण

उदाहरण 23.7 (लांबिक-प्रसामान्य निर्देशांक, पार्सेवाल जाँच के साथ)

अभ्यास 23.3 के लांबिक-प्रसामान्य आधार में $x = (1, 2, 3)$ का प्रसार कीजिए,

e_1 = \tfrac{1}{\sqrt2}(1,1,0), \quad e_2 = \tfrac{1}{\sqrt6}(1,-1,2), \quad e_3 = \tfrac{1}{\sqrt3}(-1,1,1).

कोई निकाय हल नहीं करना पड़ा — केवल तीन अंतर्गुणन:

\langle x, e_1\rangle = \frac{3}{\sqrt2}, \qquad \langle x, e_2\rangle = \frac{1 - 2 + 6}{\sqrt6} = \frac{5}{\sqrt6}, \qquad \langle x, e_3\rangle = \frac{-1 + 2 + 3}{\sqrt3} = \frac{4}{\sqrt3}.

प्रतिज्ञप्ति के मानक-सूत्र से प्रमाणन:

\frac{9}{2} + \frac{25}{6} + \frac{16}{3} = \frac{27 + 25 + 32}{6} = 14 = \norm{x}^2 = 1 + 4 + 9 .

निर्देशांकों के वर्गों के योग वाली यह जाँच (एक परिमित पार्सेवाल सर्वसमिका) कुछ सेकंड लेती है और चिह्न तथा प्रसामान्यन की त्रुटियाँ लगभग निश्चित रूप से पकड़ लेती है — जब भी कोई लांबिक-प्रसामान्य प्रसार संगणित करें, इसे आदत बना लीजिए; और उदाहरण 23.14 के फूरिये गुणांकों के लिए उसका अनंत-विमीय रूप स्नातक वर्ष 3 के खंड की एक प्रमेय है।

उदाहरण 23.9 (बहुपदों पर ग्राम–श्मिट, पूरा)

$\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$ के साथ $\R_2[X]$ में $(1, X, X^2)$ का लांबिक-प्रसामान्यन कीजिए। चरण 1: $\norm{1}^2 = 1$ , अतः $e_1 = 1$ । चरण 2: $w_2 = X - \langle X, 1\rangle\,1 = X - \frac12$ , और $\norm{w_2}^2 = \int_0^1\bigl(x - \frac12\bigr)^2 \dd x = \frac1{12}$ : $e_2 = \sqrt{12}\,\bigl(X - \frac12\bigr)$ । चरण 3: $\langle X^2, e_1\rangle = \frac13$ और

\langle X^2, e_2\rangle = \sqrt{12}\int_0^1 x^2\Bigl(x - \frac12\Bigr)\dd x = \frac{\sqrt{12}}{12}, \qquad\text{अतः}\qquad w_3 = X^2 - \frac13 - \Bigl(X - \frac12\Bigr) = X^2 - X + \frac16 .

उसका मानक अभ्यास 23.9 में संगणित हुआ था: $\norm{w_3}^2 = \frac1{180}$ , जिससे $e_3 = \sqrt{180}\,\bigl(X^2 - X + \frac16\bigr)$ । बहुपद $1$ , $X - \frac12$ , $X^2 - X + \frac16$ मापन तक अंतराल $\intcc{0}{1}$ के पहले लजांद्र बहुपद हैं; और रचना एक-एक घात करके आगे चलती जाती है, जहाँ हर नया बहुपद अपने सभी पूर्ववर्तियों के लांबिक होता है। ध्यान दीजिए कि कलनविधि पहले का काम फिर से काम में ले लेती है: चरण 3 पर घटाया गया प्रक्षेप ठीक वही $X^2$ का सर्वोत्तम एफ़ीन सन्निकटन है जो उदाहरण 23.12 में मिला था — ग्राम–श्मिट पुनरावृत्त लांबिक प्रक्षेप ही है।

उदाहरण 23.11 (प्रक्षेप कभी लंबा नहीं करते)

विभाजन $x = p_F(x) + (x - p_F(x))$ पर पाइथागोरस लगाने से:

\norm{p_F(x)}^2 = \norm x^2 - \norm{x - p_F(x)}^2 \leq \norm x^2 ,

और समानता तभी जब $x \in F$ । $F$ के किसी लांबिक-प्रसामान्य आधार $(e_1, \dots, e_k)$ में यह $\sum_{i \leq k}\langle x, e_i\rangle^2 \leq \norm x^2$ कहता है (एक बेसेल असमिका): कितनी भी लांबिक-प्रसामान्य दिशाएँ नाप लीजिए, निर्देशांकों के वर्ग कभी लंबाई के वर्ग से अधिक नहीं होते — और जब वह कुल पूरा आधार हो, तब उदाहरण 23.7 की यथार्थ समानता से तुलना कीजिए। यही एक-पंक्ति की असमिका स्नातक वर्ष 3 के खंड में फूरिये गुणांकों को योग्य बनाती है; और यहीं वह यह भी समझा देती है कि किसी न्यूनतम-वर्ग आरोपण में और आधार-फलन जोड़ने से अवशिष्ट केवल घट ही सकता है।

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उदाहरण

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