Wat is orthonormale familie? — Wiskunde

Definitie 23.5 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · Hoofdstuk 23 — Euclidische ruimten

$x \perp y$ wanneer $\langle x, y \rangle = 0$ . Een familie heet orthogonaal wanneer haar vectoren paarsgewijs orthogonaal zijn, en orthonormaal wanneer bovendien elk van hen norm $1$ heeft. Het orthogonaal complement van een deelruimte $F$ is

F^{\perp} = \{x \in E : \forall y \in F,\ \langle x, y\rangle = 0\},

een deelruimte van $E$ .

Voorbeelden

Voorbeeld 23.7 (Orthonormale coördinaten, met een Parseval-controle)

Ontwikkel $x = (1, 2, 3)$ in de orthonormale basis van Oefening 23.3,

e_1 = \tfrac{1}{\sqrt2}(1,1,0), \quad e_2 = \tfrac{1}{\sqrt6}(1,-1,2), \quad e_3 = \tfrac{1}{\sqrt3}(-1,1,1).

Er valt geen stelsel op te lossen — drie inwendige producten:

\langle x, e_1\rangle = \frac{3}{\sqrt2}, \qquad \langle x, e_2\rangle = \frac{1 - 2 + 6}{\sqrt6} = \frac{5}{\sqrt6}, \qquad \langle x, e_3\rangle = \frac{-1 + 2 + 3}{\sqrt3} = \frac{4}{\sqrt3}.

Certificering met de normformule van de propositie:

\frac{9}{2} + \frac{25}{6} + \frac{16}{3} = \frac{27 + 25 + 32}{6} = 14 = \norm{x}^2 = 1 + 4 + 9 .

Deze controle met de som van de kwadraten van de coördinaten (een eindige identiteit van Parseval) kost seconden en vangt teken- en normalisatiefouten vrijwel zeker op — maak er een gewoonte van telkens wanneer een orthonormale ontwikkeling wordt berekend; haar oneindigdimensionale versie, voor de fouriercoëfficiënten van Voorbeeld 23.14, is een stelling van het volume van bachelorjaar 3.

Voorbeeld 23.9 (Gram–Schmidt op veeltermen, volledig)

Orthonormaliseer $(1, X, X^2)$ in $\R_2[X]$ met $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$ . Stap 1: $\norm{1}^2 = 1$ , dus $e_1 = 1$ . Stap 2: $w_2 = X - \langle X, 1\rangle\,1 = X - \frac12$ , en $\norm{w_2}^2 = \int_0^1\bigl(x - \frac12\bigr)^2 \dd x = \frac1{12}$ : $e_2 = \sqrt{12}\,\bigl(X - \frac12\bigr)$ . Stap 3: $\langle X^2, e_1\rangle = \frac13$ en

\langle X^2, e_2\rangle = \sqrt{12}\int_0^1 x^2\Bigl(x - \frac12\Bigr)\dd x = \frac{\sqrt{12}}{12}, \qquad\text{dus}\qquad w_3 = X^2 - \frac13 - \Bigl(X - \frac12\Bigr) = X^2 - X + \frac16 .

Haar norm werd berekend in Oefening 23.9: $\norm{w_3}^2 = \frac1{180}$ , waaruit $e_3 = \sqrt{180}\,\bigl(X^2 - X + \frac16\bigr)$ . De veeltermen $1$ , $X - \frac12$ , $X^2 - X + \frac16$ zijn, op een schaalfactor na, de eerste Legendre-veeltermen van het interval $\intcc{0}{1}$ ; de constructie gaat één graad tegelijk verder, met elke nieuwe veelterm orthogonaal met al haar voorgangers. Merk op hoe het algoritme eerder werk hergebruikt: de projectie die in stap 3 wordt afgetrokken, is precies de beste affiene benadering van $X^2$ die in Voorbeeld 23.12 is gevonden — Gram–Schmidt is herhaalde orthogonale projectie.

Voorbeeld 23.11 (Projecties verlengen nooit)

Toepassing van Pythagoras op de splitsing $x = p_F(x) + (x - p_F(x))$ geeft

\norm{p_F(x)}^2 = \norm x^2 - \norm{x - p_F(x)}^2 \leq \norm x^2 ,

met gelijkheid dan en slechts dan als $x \in F$ . In een orthonormale basis $(e_1, \dots, e_k)$ van $F$ luidt dit $\sum_{i \leq k}\langle x, e_i\rangle^2 \leq \norm x^2$ (een ongelijkheid van Bessel): hoeveel orthonormale richtingen men ook meet, de kwadraten van de coördinaten overtreffen nooit het kwadraat van de lengte — vergelijk de exacte gelijkheid van Voorbeeld 23.7 wanneer de familie een volledige basis is. Deze ongelijkheid van één regel maakt de fouriercoëfficiënten sommeerbaar in het volume van bachelorjaar 3; hier verklaart zij al waarom het toevoegen van meer basisfuncties aan een aanpassing met kleinste kwadraten de rest alleen kan verkleinen.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen