Cambio de parámetro কী?

Ejemplo 18.4 (La rapidez no cambia nada geométrico)

Parametricemos la circunferencia unidad mediante

La rapidez $\norm{\gamma'(t)} = 2t$ crece linealmente y, sin embargo,

la misma longitud que a rapidez constante, como promete el Teorema 18.7 mediante el cambio de parámetro $t \mapsto t^2$. La recta tangente, la curvatura calculada con la Proposición 18.17 y cualquier otra magnitud geométrica coinciden igualmente; solo $t = 0$ merece un vistazo, pues $\gamma'(0) = 0$ hace irregular esta parametrización aunque la trayectoria sea una circunferencia perfecta. Los enunciados geométricos toleran mal las malas parametrizaciones: primero reparametrizar, luego concluir.

Ejemplo 18.5

El arco $\gamma(t) = (t^2, t^3)$ es $\mathcal{C}^\infty$ pero no regular: $\gamma'(0) = (0, 0)$. Su trayectoria, la parábola semicúbica $y^2 = x^3$, tiene una cúspide en el origen: la regularidad de la parametrización no impide una singularidad geométrica donde se anula la velocidad. Por eso la hipótesis de regularidad $\gamma' \neq 0$ no es cosmética.