CoachUna familia es equicontinua si para todo existe tal que
(un mismo para toda la familia — por ejemplo, cualquier familia con una constante de Lipschitz común, o con un módulo de Hölder común), y puntualmente acotada si para cada .
উদাহরণ
Ejemplo 7.12
La bola unidad cerrada de no es compacta ( no tiene subsucesión uniformemente convergente: el límite puntual es discontinuo) y, en efecto, no es equicontinua en . En cambio, sí es compacto: es acotado, -equicontinuo por Lipschitz, y cerrado. Ascoli explica por qué falla la compacidad en dimensión infinita (Riesz, segundo año) y qué hay que añadir para restaurarla: un módulo uniforme de continuidad.