Formas exactas y cerradas কী?

Ejemplo 20.7 (Reconstruir un potencial)

Sea $\omega = y\,\eu^{xy}\,\dd x + (x\,\eu^{xy} + 2y)\,\dd y$ sobre $\R^2$. Es cerrada: ambas derivadas cruzadas valen $\eu^{xy}(1 + xy)$. Para hallar un potencial, intégrese $P$ en $x$ con $y$ fijo:

y ajústese después $c$ igualando $f_y$: $x\,\eu^{xy} + c'(y) = x\,\eu^{xy} + 2y$ da $c(y) = y^2$. Así pues, $f(x,y) = \eu^{xy} + y^2$, y para todo arco $\mathcal C^1$ a trozos de $(0,0)$ a $(1,1)$,

independientemente del camino; la receta en dos pasos (integrar en $x$, corregir en $y$) es el recíproco práctico del Teorema 20.6 sobre los dominios donde las formas cerradas son exactas.

Ejemplo 20.8 (Cerrada no implica exacta)

Sobre $U = \R^2 \setminus \{0\}$, la forma ángulo

es cerrada (cálculo directo: tanto $P_y$ como $Q_x$ valen $\frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}$), pero su integral a lo largo de la circunferencia unidad vale $2\pi \neq 0$ (el mismo cálculo del Ejemplo 20.3, dividido por $1$): $\omega$ no es exacta sobre $U$. Localmente, $\omega = \dd\theta$ para una determinación $\theta$ del ángulo polar; el fallo es global: el ángulo no puede definirse de manera continua alrededor del pinchazo. Sobre dominios sin agujeros la patología desaparece: en un abierto estrellado, toda forma $\mathcal{C}^1$ cerrada es exacta (lema de Poincaré, Ejercicio 20.8).