¿Qué es función escalonada? — Matemáticas

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Definición 15.1 Matemáticas universitarias — Grado 1 · অধ্যায় 15 — Integración en un segmento

$\varphi \colon \intcc{a}{b} \to \R$ es una función escalonada cuando existe una subdivisión $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ tal que $\varphi$ es constante, igual a $c_i$ , en cada intervalo abierto $\intoo{x_{i-1}}{x_i}$ (los valores en los nodos no están sujetos a restricción). Su integral es

\int_a^b \varphi = \sum_{i=1}^{n} c_i\,(x_i - x_{i-1}),

independiente de la subdivisión elegida (refínense dos subdivisiones por la común: cada miembro queda invariante al refinar).

উদাহরণ

Ejemplo 15.5 (Continua a trozos, sin dramas)

La función parte entera en $\intcc{0}{3}$ es una función escalonada disfrazada: partiendo en sus saltos,

\int_0^3 \lfloor t \rfloor\,\dd t = \int_0^1 0 + \int_1^2 1 + \int_2^3 2 = 0 + 1 + 2 = 3 ,

y los valores en los puntos de salto $1, 2$ son irrelevantes: cambiar una función en finitos puntos no cambia ninguna integral (las funciones escalonadas del encuadre no se ven afectadas). Ese es todo el contenido de la extensión «continua a trozos»: córtese en las finitas discontinuidades, intégrese cada trozo continuo y súmese — Chasles como definición.

Ejemplo 15.6 (La definición calcula, una vez)

Sea $f(x) = x$ en $\intcc{0}{1}$ y córtese en $n$ trozos iguales. Las mejores funciones escalonadas constantes en los trozos son $\varphi = \frac{k-1}{n}$ y $\psi = \frac kn$ en el $k$ -ésimo trozo, con

\int_0^1 \varphi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k-1}{n}\cdot\frac1n = \frac{n-1}{2n}, \qquad \int_0^1 \psi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n}\cdot\frac1n = \frac{n+1}{2n} .

Toda integral inferior es $\leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq$ que toda superior, luego $\frac{n-1}{2n} \leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq \frac{n+1}{2n}$ para todo $n$ : las dos se aprietan sobre $\frac12$ , y $\int_0^1 x\,\dd x = \frac12$ sale directamente de la definición. La idea de cierre: esta es la primera y la última vez que integramos a partir de la definición — el teorema fundamental de más abajo sustituye todos esos cálculos por una consulta de primitiva, que es todo el sentido económico de este capítulo.

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