Potencias de exponente real কী?

Ejemplo 4.3 (Resolver ecuaciones exponenciales)

Resuélvase $2^x = 5^{\,x-1}$ en $\R$. Los dos miembros son positivos, así que se toman logaritmos — un paso reversible:

A continuación, resuélvase $x^{\sqrt2} = 3$ para $x > 0$: elévese a la potencia $\frac1{\sqrt2}$ (es decir, aplíquese la biyección recíproca): $x = 3^{1/\sqrt2} = \eu^{(\ln 3)/\sqrt2} \approx 2.175$. La idea clave: toda ecuación que mezcle potencias se desenreda con $\ln$ y $\exp$, porque la definición $x^\alpha = \eu^{\alpha\ln x}$ reduce toda manipulación de potencias a la aritmética de los exponentes — pero solo en el dominio $x > 0$ donde esa definición vive.

Ejemplo 4.4 (Tiempos de duplicación)

Una magnitud crece un $3\,\%$ en cada paso: tras $n$ pasos queda multiplicada por $(1.03)^n$. ¿Cuándo se duplica? Resuélvase $(1.03)^n \geq 2$:

de modo que la primera duplicación ocurre en el paso $24$. (La «regla del $72$» de los financieros, que estima el tiempo de duplicación como $72$ dividido por la tasa en tanto por ciento, es este mismo cálculo con la aproximación $\ln(1 + x) \approx x$, cuantificada en el Capítulo 16.) Los procesos exponenciales se razonan mejor a través de sus logaritmos: en esa escala el crecimiento es lineal y las preguntas se vuelven divisiones.

Ejemplo 4.5 (¿Cuánto ocupa $2^{2026}$?)

El número de cifras decimales de un entero $N \geq 1$ es $\floor{\log_{10} N} + 1$ (en efecto, $N$ tiene $d$ cifras exactamente cuando $10^{d-1} \leq N < 10^d$, es decir, $d - 1 \leq \log_{10}N < d$). Para $N = 2^{2026}$:

luego $2^{2026}$ tiene $610$ cifras. La parte fraccionaria trae una prima: $10^{0.887} \approx 7.7$, así que el número empieza por $7$. Una multiplicación ha respondido a una pregunta sobre un número que nadie escribirá nunca — los logaritmos comprimen el tamaño multiplicativo en tamaño aditivo, que es su razón de ser histórica (el Ejemplo 7.12 hace precisa esa frase).