Mathematics · Libro 2 · Grades 10–12

Matemáticas de secundaria

Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

28Números complejos

La ecuación x2=−1x^2 = -1 no tiene solución real. Ampliar R\R con un único número nuevo i\iu cuyo cuadrado es −1-1 produce el cuerpo C\C de los números complejos, en el que toda ecuación polinómica tiene soluciones y cuya aritmética codifica la geometría del plano: las traslaciones, los giros y las homotecias se convierten en sumas y productos.

28.1 Forma binómica

Definición 28.1 (Números complejos)

El conjunto de los números complejos es

C={a+ib:a,b∈R},\C = \{a + \iu b : a, b \in \R\},

donde i\iu es un símbolo sujeto a la única regla i2=−1\iu^2 = -1; la suma y el producto se hacen como con polinomios reales en i\iu, reduciendo i2\iu^2 a −1-1. Los reales aa y bb son la parte real Re⁡(z)\Rea(z) y la parte imaginaria Im⁡(z)\Ima(z) de z=a+ibz = a + \iu b; esta expresión es la forma binómica de zz, y es única: a+ib=a′+ib′a + \iu b = a' + \iu b' si y solo si a=a′a = a' y b=b′b = b'.

Ejemplo 28.2

(2+3i)(1−i)=2−2i+3i−3i2=5+i(2 + 3\iu)(1 - \iu) = 2 - 2\iu + 3\iu - 3\iu^2 = 5 + \iu.

Definición 28.3 (Conjugado)

El conjugado de z=a+ibz = a + \iu b es z‾=a−ib\conj{z} = a - \iu b.

Proposición 28.4 (Propiedades de la conjugación)

Para todos z,w∈Cz, w \in \C:

z+w‾=z‾+w‾,zw‾=z‾ w‾,z‾‾=z,z+z‾=2Re⁡(z),z−z‾=2i Im⁡(z),\conj{z + w} = \conj z + \conj w, \quad \conj{zw} = \conj z\,\conj w, \quad \conj{\conj z} = z, \quad z + \conj z = 2\Rea(z), \quad z - \conj z = 2\iu\,\Ima(z),

y zz‾=a2+b2≥0z\conj z = a^2 + b^2 \geq 0 para z=a+ibz = a + \iu b. Además, z∈Rz \in \R si y solo si z=z‾z = \conj z.

Demostración. Todas son cálculos directos a partir de las formas binómicas; por ejemplo, zz‾=(a+ib)(a−ib)=a2−(ib)2=a2+b2z\conj z = (a + \iu b)(a - \iu b) = a^2 - (\iu b)^2 = a^2 + b^2. ∎

Método 28.5 (Dividir números complejos)

Para escribir un cociente en forma binómica, multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador:

12+i=2−i(2+i)(2−i)=2−i5=25−15i.\frac{1}{2 + \iu} = \frac{2 - \iu}{(2+\iu)(2-\iu)} = \frac{2 - \iu}{5} = \frac25 - \frac15\iu .

Así pues, todo número complejo no nulo tiene inverso: C\C es un cuerpo.

28.2 El plano complejo, módulo y argumento

Definición 28.6 (Afijo, módulo)

En el plano con coordenadas ortonormales, el punto M(a,b)M(a, b) es la imagen de z=a+ibz = a + \iu b, y zz es el afijo de MM. El módulo de zz es la distancia de MM al origen:

∣z∣=a2+b2=zz‾.\abs{z} = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z\conj z}.
El punto M(a,b) de afijo z: el módulo z es la longitud OM, y el conjugado z es el simétrico de z respecto del eje real.
El punto M(a,b)M(a,b) de afijo zz: el módulo ∣z∣\abs z es la longitud OMOM, y el conjugado z‾\conj z es el simétrico de zz respecto del eje real.

Proposición 28.7 (Propiedades del módulo)

Para z,w∈Cz, w \in \C:

∣zw∣=∣z∣ ∣w∣,∣zw∣=∣z∣∣w∣ (w≠0),∣z‾∣=∣z∣,∣z+w∣≤∣z∣+∣w∣ (desigualdad triangular).\abs{zw} = \abs z\,\abs w, \quad \abs{\tfrac zw} = \tfrac{\abs z}{\abs w}\ (w \neq 0), \quad \abs{\conj z} = \abs z, \quad \abs{z + w} \leq \abs{z} + \abs{w} \ \text{(desigualdad triangular)}.

Además, ∣zB−zA∣\abs{z_B - z_A} es la distancia entre los puntos de afijos zAz_A y zBz_B.

Demostración. ∣zw∣2=zw zw‾=zz‾ ww‾=∣z∣2∣w∣2\abs{zw}^2 = zw\,\conj{zw} = z\conj z\, w \conj w = \abs z^2 \abs w^2 da la primera; la segunda y la tercera son análogas. Para la desigualdad triangular:

∣z+w∣2=(z+w)(z‾+w‾)=∣z∣2+∣w∣2+2Re⁡(zw‾)≤∣z∣2+∣w∣2+2∣zw‾∣=(∣z∣+∣w∣)2,\abs{z+w}^2 = (z+w)(\conj z + \conj w) = \abs z^2 + \abs w^2 + 2\Rea(z \conj w) \leq \abs z^2 + \abs w^2 + 2\abs{z\conj w} = \bigl(\abs z + \abs w\bigr)^2,

usando Re⁡(u)≤∣u∣\Rea(u) \leq \abs u. La afirmación sobre la distancia es la fórmula de Pitágoras aplicada a las coordenadas de zB−zAz_B - z_A. ∎

Definición 28.8 (Argumento, formas trigonométrica y exponencial)

Sea z≠0z \neq 0. Un argumento de zz, que se escribe arg⁡(z)\Arg(z), es cualquier medida θ\theta del ángulo que va del semieje real positivo a la semirrecta OMOM; está definido salvo 2kπ2k\pi. Escribiendo r=∣z∣r = \abs z,

z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)(forma trigonomeˊtrica).z = r(\cos\theta + \iu\sin\theta) \qquad\text{(forma trigonométrica)}.

Introduciendo la notación

eiθ=cos⁡θ+isin⁡θ,\eu^{\iu\theta} = \cos\theta + \iu\sin\theta,

esto se convierte en la forma exponencial z=r eiθz = r\,\eu^{\iu\theta}.

Forma exponencial: z queda determinado por su distancia r al origen y por el ángulo medido desde el semieje real positivo.
Forma exponencial: zz queda determinado por su distancia rr al origen y por el ángulo θ\theta medido desde el semieje real positivo.

Teorema 28.9

Para todos θ,θ′∈R\theta, \theta' \in \R:

eiθ eiθ′=ei(θ+θ′),eiθ‾=e−iθ,∣eiθ∣=1.\eu^{\iu\theta}\,\eu^{\iu\theta'} = \eu^{\iu(\theta + \theta')}, \qquad \conj{\eu^{\iu\theta}} = \eu^{-\iu\theta}, \qquad \abs{\eu^{\iu\theta}} = 1 .

En consecuencia, para z=reiθz = r\eu^{\iu\theta} y z′=r′eiθ′z' = r'\eu^{\iu\theta'} no nulos:

zz′=rr′ ei(θ+θ′),zz′=rr′ ei(θ−θ′):zz' = rr'\,\eu^{\iu(\theta+\theta')}, \qquad \frac{z}{z'} = \frac{r}{r'}\,\eu^{\iu(\theta - \theta')} :

los módulos se multiplican y los argumentos se suman.

Demostración. La primera identidad es la pareja de fórmulas de adición (Proposición 24.3):

(cos⁡θ+isin⁡θ)(cos⁡θ′+isin⁡θ′)=(cos⁡θcos⁡θ′−sin⁡θsin⁡θ′)+i(sin⁡θcos⁡θ′+cos⁡θsin⁡θ′).(\cos\theta + \iu\sin\theta)(\cos\theta' + \iu\sin\theta') = (\cos\theta\cos\theta' - \sin\theta\sin\theta') + \iu(\sin\theta\cos\theta' + \cos\theta\sin\theta').

Lo demás se sigue por cálculo directo. ∎

Corolario 28.10 (Fórmula de De Moivre)

Para θ∈R\theta \in \R y n∈Zn \in \Z: (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡nθ+isin⁡nθ\bigl(\cos\theta + \iu\sin\theta\bigr)^n = \cos n\theta + \iu \sin n\theta.

Demostración. Inducción sobre n≥0n \geq 0 con el Teorema 28.9; se extiende a n<0n < 0 tomando inversos. ∎

Método 28.11 (Cambiar de forma)

De la binómica a la exponencial: calcula r=∣z∣r = \abs z y halla después θ\theta con cos⁡θ=ar\cos\theta = \frac ar y sin⁡θ=br\sin\theta = \frac br (localiza el cuadrante correcto antes de invocar ningún arcocoseno). De la exponencial a la binómica: desarrolla rcos⁡θ+i rsin⁡θr\cos\theta + \iu\, r\sin\theta. Usa la forma binómica para las sumas y la exponencial para los productos, las potencias y los cocientes.

Ejemplo 28.12

z=1+iz = 1 + \iu: ∣z∣=2\abs z = \sqrt2 y cos⁡θ=sin⁡θ=12\cos\theta = \sin\theta = \frac{1}{\sqrt2}, luego θ=π4\theta = \frac\pi4 y z=2 eiπ/4z = \sqrt2\,\eu^{\iu\pi/4}. Por tanto, z20=210 e5iπ=−1024z^{20} = 2^{10}\,\eu^{5\iu\pi} = -1024.

28.3 Ecuaciones de segundo grado y raíces de la unidad

Teorema 28.13 (Ecuaciones de segundo grado con coeficientes reales)

Sean a,b,c∈Ra, b, c \in \R con a≠0a \neq 0, y sea Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac. La ecuación az2+bz+c=0az^2 + bz + c = 0 tiene soluciones en C\C:

Δ>0: z=−b±Δ2a (dos reales);Δ=0: z=−b2a (doble);Δ<0: z=−b±i−Δ2a (dos conjugadas).\begin{aligned} &\Delta > 0:\ z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \ (\text{dos reales}); \qquad \Delta = 0:\ z = \frac{-b}{2a} \ (\text{doble}); \\ &\Delta < 0:\ z = \frac{-b \pm \iu\sqrt{-\Delta}}{2a} \ (\text{dos conjugadas}). \end{aligned}

Demostración. Completamos el cuadrado: az2+bz+c=a((z+b2a)2−Δ4a2)az^2 + bz + c = a\left(\left(z + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right). Si Δ<0\Delta < 0, entonces Δ4a2=(i−Δ2a)2\frac{\Delta}{4a^2} = \left(\iu\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)^2, y la diferencia de cuadrados se factoriza como siempre. ∎

Definición 28.14 (Raíces de la unidad)

Para n≥1n \geq 1, las raíces nn-ésimas de la unidad son las soluciones de zn=1z^n = 1.

Teorema 28.15

La ecuación zn=1z^n = 1 tiene exactamente nn soluciones:

ωk=e2ikπ/n,k=0,1,…,n−1.\omega_k = \eu^{2\iu k\pi/n}, \qquad k = 0, 1, \dots, n-1 .

Sus imágenes son los vértices de un polígono regular de nn lados inscrito en la circunferencia unidad y, para n≥2n \geq 2, su suma es 00.

Demostración. Cada ωk\omega_k cumple ωkn=e2ikπ=1\omega_k^n = \eu^{2\iu k\pi} = 1, y son distintas dos a dos, porque sus argumentos están en [0, 2π)\intco{0}{2\pi}. Recíprocamente, si zn=1z^n = 1, entonces ∣z∣n=1\abs z^n = 1, luego ∣z∣=1\abs z = 1 (por ser real positivo) y z=eiθz = \eu^{\iu\theta} con nθ≡0(mod2π)n\theta \equiv 0 \pmod{2\pi}, es decir, θ=2kπn\theta = \frac{2k\pi}{n}; reduciendo kk módulo nn se cae entre los ωk\omega_k. Los vértices están igualmente espaciados por el ángulo 2πn\frac{2\pi}{n}: un polígono regular de nn lados. Por último, con ω=ω1\omega = \omega_1, se tiene ω≠1\omega \neq 1 y la suma geométrica da

∑k=0n−1ωk=∑k=0n−1ωk=ωn−1ω−1=0.\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k = \sum_{k=0}^{n-1}\omega^k = \frac{\omega^n - 1}{\omega - 1} = 0 . \qedhere

∎

Las raíces quintas de la unidad, con = 2 π/5: los vértices de un pentágono regular inscrito en la circunferencia unidad ().
Las raíces quintas de la unidad, con ω=e2iπ/5\omega = \eu^{2\iu\pi/5}: los vértices de un pentágono regular inscrito en la circunferencia unidad (Ejercicio 28.10).

Ejemplo 28.16

Las raíces cúbicas de la unidad son 11, j=e2iπ/3=−12+i32j = \eu^{2\iu\pi/3} = -\frac12 + \iu\frac{\sqrt3}{2} y j‾=j2\conj j = j^2, que cumplen 1+j+j2=01 + j + j^2 = 0.

28.4 Números complejos y geometría del plano

Proposición 28.17 (Diccionario geométrico)

Sean A,B,C,DA, B, C, D puntos de afijos a,b,c,da, b, c, d (con a≠ba \neq b y c≠dc \neq d).

  1. La traslación de vector de afijo tt es z↦z+tz \mapsto z + t.
  2. El giro de centro ω\omega (afijo) y ángulo θ\theta es z↦ω+eiθ(z−ω)z \mapsto \omega + \eu^{\iu\theta}(z - \omega).
  3. La homotecia de centro ω\omega y razón k∈R∗k \in \R^* es z↦ω+k(z−ω)z \mapsto \omega + k(z - \omega).
  4. d−cb−a\dfrac{d - c}{b - a} tiene módulo CDAB\dfrac{CD}{AB} y argumento igual al ángulo que forman los vectores AB→\vect{AB} y CD→\vect{CD}. En particular, AB⊥CDAB \perp CD si y solo si d−cb−a\frac{d-c}{b-a} es imaginario puro, y A,B,CA, B, C están alineados (C≠AC \ne A, C≠BC\ne B) si y solo si c−ab−a∈R\frac{c-a}{b-a} \in \R.

Demostración. (1) y (3) reformulan las fórmulas en coordenadas. Para (2), la aplicación w↦eiθww \mapsto \eu^{\iu\theta} w multiplica los módulos por 11 y suma θ\theta a los argumentos: es el giro de ángulo θ\theta alrededor del origen; conjugándola con la traslación que lleva ω\omega a 00 se obtiene el centro general. Para (4), los módulos y los argumentos de los cocientes se restan (Teorema 28.9). ∎

28.5 Ejercicios

Ejercicio 28.1 ★

Escribe en forma binómica: (3−2i)(1+4i)(3 - 2\iu)(1 + 4\iu), 2+i1−i\dfrac{2 + \iu}{1 - \iu}, i2027\iu^{2027}.

Solución

Solución de Ejercicio 28.1.

(3−2i)(1+4i)=3+12i−2i−8i2=11+10i(3-2\iu)(1+4\iu) = 3 + 12\iu - 2\iu - 8\iu^2 = 11 + 10\iu.

2+i1−i=(2+i)(1+i)(1−i)(1+i)=1+3i2=12+32i\dfrac{2+\iu}{1-\iu} = \dfrac{(2+\iu)(1+\iu)}{(1-\iu)(1+\iu)} = \dfrac{1 + 3\iu}{2} = \dfrac12 + \dfrac32\iu.

i2027\iu^{2027}: como i4=1\iu^4 = 1 y 2027=4×506+32027 = 4 \times 506 + 3, i2027=i3=−i\iu^{2027} = \iu^3 = -\iu.

Ejercicio 28.2 ★

Resuelve en C\C: (a) z2−4z+13=0z^2 - 4z + 13 = 0; (b) z2+z+1=0z^2 + z + 1 = 0. Comprueba en cada caso que las dos soluciones son conjugadas y calcula su producto.

Solución

Solución de Ejercicio 28.2.

(a) Δ=16−52=−36\Delta = 16 - 52 = -36: z=4±6i2=2±3iz = \dfrac{4 \pm 6\iu}{2} = 2 \pm 3\iu. Pareja de conjugados; producto =4+9=13=ca= 4 + 9 = 13 = \frac ca. (b) Δ=1−4=−3\Delta = 1 - 4 = -3: z=−1±i32z = \dfrac{-1 \pm \iu\sqrt3}{2} (las raíces cúbicas de la unidad jj y j‾\conj j); producto =1+34=1= \frac{1 + 3}{4} = 1.

Ejercicio 28.3 ★

Pasa a forma exponencial z1=−1+iz_1 = -1 + \iu y z2=3−iz_2 = \sqrt3 - \iu, y calcula z1z2\dfrac{z_1}{z_2} en forma exponencial y después en forma binómica. Deduce el valor exacto de cos⁡11π12\cos\dfrac{11\pi}{12}.

Solución

Solución de Ejercicio 28.3.

∣z1∣=2\abs{z_1} = \sqrt2, con argumento 3π4\frac{3\pi}{4} (segundo cuadrante): z1=2 e3iπ/4z_1 = \sqrt2\,\eu^{3\iu\pi/4}. ∣z2∣=2\abs{z_2} = 2, con argumento −π6-\frac\pi6: z2=2 e−iπ/6z_2 = 2\,\eu^{-\iu\pi/6}. Por tanto,

z1z2=22 ei(3π4+π6)=22 e11iπ/12.\frac{z_1}{z_2} = \frac{\sqrt2}{2}\,\eu^{\iu\left(\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right)} = \frac{\sqrt2}{2}\,\eu^{11\iu\pi/12}.

En forma binómica,

z1z2=−1+i3−i=(−1+i)(3+i)4=−3−1+i(3−1)4.\frac{z_1}{z_2} = \frac{-1+\iu}{\sqrt3 - \iu} = \frac{(-1+\iu)(\sqrt3+\iu)}{4} = \frac{-\sqrt3 - 1 + \iu(\sqrt3 - 1)}{4}.

Identificando partes reales: 22cos⁡11π12=−3−14\frac{\sqrt2}{2}\cos\frac{11\pi}{12} = \frac{-\sqrt3-1}{4}, luego

cos⁡11π12=−6+24.\cos\frac{11\pi}{12} = -\frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}.

Ejercicio 28.4 ★★

Describe geométricamente el conjunto de los puntos MM de afijo zz tales que: (a) ∣z−2∣=∣z+i∣\abs{z - 2} = \abs{z + \iu}; (b) ∣z−1−i∣=3\abs{z - 1 - \iu} = 3; (c) z−1z+1\dfrac{z - 1}{z + 1} es imaginario puro.

Solución

Solución de Ejercicio 28.4.

(a) ∣z−2∣=∣z−(−i)∣\abs{z - 2} = \abs{z - (-\iu)} significa que MM equidista de A(2,0)A(2, 0) y B(0,−1)B(0, -1): la mediatriz de [AB][AB].

(b) Distancia 33 al punto (1,1)(1,1): la circunferencia de centro 1+i1 + \iu y radio 33.

(c) Por la Proposición 28.17(4), que z−1z+1\frac{z-1}{z+1} sea imaginario puro significa que los vectores que van de A(1,0)A(1,0) a MM y de B(−1,0)B(-1,0) a MM son ortogonales: MM ve el segmento [AB][AB] bajo un ángulo recto. El conjunto es la circunferencia de diámetro [AB][AB] (la circunferencia unidad) menos los propios puntos AA y BB.

Ejercicio 28.5 ★★

Usando la fórmula de De Moivre y el teorema del binomio, expresa cos⁡3θ\cos 3\theta como un polinomio en cos⁡θ\cos\theta, y sin⁡3θ\sin 3\theta en función de sin⁡θ\sin\theta.

Solución

Solución de Ejercicio 28.5.

De Moivre: cos⁡3θ+isin⁡3θ=(cos⁡θ+isin⁡θ)3\cos3\theta + \iu\sin3\theta = (\cos\theta + \iu\sin\theta)^3. Desarrollando con el teorema del binomio, con c=cos⁡θc = \cos\theta y s=sin⁡θs = \sin\theta:

(c+is)3=c3+3ic2s−3cs2−is3=(c3−3cs2)+i(3c2s−s3).(c + \iu s)^3 = c^3 + 3\iu c^2 s - 3 c s^2 - \iu s^3 = (c^3 - 3cs^2) + \iu(3c^2 s - s^3).

Identificando partes y usando s2=1−c2s^2 = 1 - c^2 y c2=1−s2c^2 = 1 - s^2:

cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ,sin⁡3θ=3sin⁡θ−4sin⁡3θ.\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta, \qquad \sin3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta .

Ejercicio 28.6 ★★

(Linealización.) Usando cos⁡θ=eiθ+e−iθ2\cos\theta = \frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}, lineariza cos⁡3θ\cos^3\theta (escríbelo como combinación de cos⁡kθ\cos k\theta) y deduce ∫0π/2cos⁡3θ  ⁣dθ\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\,\dd\theta.

Solución

Solución de Ejercicio 28.6.

cos⁡3θ=(eiθ+e−iθ2) ⁣3=e3iθ+3eiθ+3e−iθ+e−3iθ8=cos⁡3θ+3cos⁡θ4.\cos^3\theta = \left(\frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}\right)^{\!3} = \frac{\eu^{3\iu\theta} + 3\eu^{\iu\theta} + 3\eu^{-\iu\theta} + \eu^{-3\iu\theta}}{8} = \frac{\cos3\theta + 3\cos\theta}{4}.

Por tanto,

∫0π/2cos⁡3θ  ⁣dθ=14[sin⁡3θ3+3sin⁡θ]0π/2=14(−13+3)=23.\int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\,\dd\theta = \frac14\left[\frac{\sin3\theta}{3} + 3\sin\theta\right]_0^{\pi/2} = \frac14\left(-\frac13 + 3\right) = \frac{2}{3}.

(Coherente con W3=23W_3 = \frac23 del Ejercicio 25.9, ya que ∫0π/2cos⁡3=∫0π/2sin⁡3\int_0^{\pi/2}\cos^3 = \int_0^{\pi/2}\sin^3 por la simetría θ↦π2−θ\theta \mapsto \frac\pi2 - \theta.)

Ejercicio 28.7 ★★

Sean AA y BB de afijos a=1+ia = 1 + \iu y b=3+2ib = 3 + 2\iu. Determina los dos puntos CC que hacen equilátero el triángulo ABCABC, como imágenes de BB mediante los giros de centro AA y ángulos ±π3\pm\frac{\pi}{3}.

Solución

Solución de Ejercicio 28.7.

c=a+e±iπ/3(b−a)c = a + \eu^{\pm\iu\pi/3}(b - a) con b−a=2+ib - a = 2 + \iu y e±iπ/3=12±i32\eu^{\pm\iu\pi/3} = \frac12 \pm \iu\frac{\sqrt3}{2}:

eiπ/3(2+i)=(12+i32)(2+i)=(1−32)+i(12+3),\eu^{\iu\pi/3}(2+\iu) = \left(\tfrac12 + \iu\tfrac{\sqrt3}{2}\right)(2+\iu) = \left(1 - \tfrac{\sqrt3}{2}\right) + \iu\left(\tfrac12 + \sqrt3\right),

luego c1=(2−32)+i(32+3)c_1 = \left(2 - \frac{\sqrt3}{2}\right) + \iu\left(\frac32 + \sqrt3\right), y análogamente con el ángulo −π3-\frac\pi3: c2=(2+32)+i(32−3)c_2 = \left(2 + \frac{\sqrt3}{2}\right) + \iu\left(\frac32 - \sqrt3\right).

Ejercicio 28.8 ★★★

Resuelve z4=−4z^4 = -4 en C\C y representa las soluciones. Factoriza z4+4z^4 + 4 como producto de dos polinomios de segundo grado con coeficientes reales.

Solución

Solución de Ejercicio 28.8.

−4=4 eiπ-4 = 4\,\eu^{\iu\pi}, así que las soluciones de z4=−4z^4 = -4 son

zk=2 ei(π4+kπ2),k=0,1,2,3,z_k = \sqrt2\,\eu^{\iu\left(\frac\pi4 + \frac{k\pi}{2}\right)}, \quad k = 0, 1, 2, 3,

es decir, 1+i1 + \iu, −1+i-1 + \iu, −1−i-1 - \iu y 1−i1 - \iu: los vértices de un cuadrado de circunradio 2\sqrt 2. Agrupando raíces conjugadas,

z4+4=(z−(1+i))(z−(1−i))(z+(1−i))(z+(1+i))=(z2−2z+2)(z2+2z+2).z^4 + 4 = \bigl(z - (1{+}\iu)\bigr)\bigl(z - (1{-}\iu)\bigr) \bigl(z + (1{-}\iu)\bigr)\bigl(z + (1{+}\iu)\bigr) = (z^2 - 2z + 2)(z^2 + 2z + 2).

Ejercicio 28.9 ★★★

Para θ∈(0, 2π)\theta \in \intoo{0}{2\pi} y n∈Nn \in \N, calcula

S=1+cos⁡θ+cos⁡2θ+⋯+cos⁡nθS = 1 + \cos\theta + \cos 2\theta + \dots + \cos n\theta

sumando la progresión geométrica ∑k=0neikθ\sum_{k=0}^n \eu^{\iu k\theta} y tomando partes reales. (Respuesta: S=sin⁡(n+1)θ2sin⁡θ2cos⁡nθ2S = \dfrac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} \cos\frac{n\theta}{2}.)

Solución

Solución de Ejercicio 28.9.

Con q=eiθ≠1q = \eu^{\iu\theta} \neq 1:

∑k=0neikθ=ei(n+1)θ−1eiθ−1=ei(n+1)θ/2eiθ/2⋅ei(n+1)θ/2−e−i(n+1)θ/2eiθ/2−e−iθ/2=einθ/2 sin⁡(n+1)θ2sin⁡θ2,\sum_{k=0}^{n} \eu^{\iu k\theta} = \frac{\eu^{\iu(n+1)\theta} - 1}{\eu^{\iu\theta} - 1} = \frac{\eu^{\iu(n+1)\theta/2}}{\eu^{\iu\theta/2}} \cdot\frac{\eu^{\iu(n+1)\theta/2} - \eu^{-\iu(n+1)\theta/2}}{\eu^{\iu\theta/2} - \eu^{-\iu\theta/2}} = \eu^{\iu n\theta/2}\, \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}},

usando eiα−e−iα=2isin⁡α\eu^{\iu\alpha} - \eu^{-\iu\alpha} = 2\iu\sin\alpha (el factor del ángulo mitad). Tomando partes reales:

S=sin⁡(n+1)θ2sin⁡θ2 cos⁡nθ2.S = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\, \cos\frac{n\theta}{2}.

Ejercicio 28.10 ★★★

Sea ω=e2iπ/5\omega = \eu^{2\iu\pi/5}.

  1. Justifica que 1+ω+ω2+ω3+ω4=01 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0.
  2. Sean u=ω+ω4u = \omega + \omega^4 y v=ω2+ω3v = \omega^2 + \omega^3. Demuestra que u+v=−1u + v = -1 y uv=−1uv = -1, y deduce que u=−1+52u = \frac{-1+\sqrt5}{2}.
  3. Concluye que cos⁡2π5=5−14\cos\dfrac{2\pi}{5} = \dfrac{\sqrt5 - 1}{4}.
Solución

Solución de Ejercicio 28.10.

1. ω\omega es una raíz quinta de la unidad distinta de 11, así que la suma de las cinco raíces se anula (Teorema 28.15), lo que se lee 1+ω+ω2+ω3+ω4=01 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0.

2. u+v=ω+ω2+ω3+ω4=−1u + v = \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = -1 por el punto 1. Para el producto, usando ω5=1\omega^5 = 1:

uv=(ω+ω4)(ω2+ω3)=ω3+ω4+ω6+ω7=ω3+ω4+ω+ω2=−1.uv = (\omega + \omega^4)(\omega^2 + \omega^3) = \omega^3 + \omega^4 + \omega^6 + \omega^7 = \omega^3 + \omega^4 + \omega + \omega^2 = -1 .

Así que uu y vv son las raíces de X2+X−1=0X^2 + X - 1 = 0: {−1+52,−1−52}\left\{\frac{-1+\sqrt5}{2}, \frac{-1-\sqrt5}{2}\right\}. Ahora bien, u=ω+ω‾=2cos⁡2π5>0u = \omega + \conj\omega = 2\cos\frac{2\pi}{5} > 0 (porque 2π5<π2\frac{2\pi}{5} < \frac{\pi}{2}), luego u=−1+52u = \frac{-1 + \sqrt5}{2}.

3. cos⁡2π5=u2=5−14\cos\frac{2\pi}{5} = \frac u2 = \frac{\sqrt5 - 1}{4}.

28.6 Problema: El pentágono en el espejo de la unidad

Problema 28.1

Problema de fin de semana — las raíces quintas de la unidad calculan cos⁡72∘\cos 72^\circ de forma exacta, el número áureo firma el resultado y el producto resulta ser un giro

Euclides sabía construir el pentágono regular, pero la razón de por qué se rinde ante la regla y el compás (mientras que el humilde ángulo de 20∘20^\circ no lo hace) permaneció escondida durante dos mil años. Se esconde en este capítulo: las cinco raíces quintas de la unidad (Teorema 28.15) suman cero, y esa única línea de álgebra exprime cos⁡72∘\cos 72^\circ de una ecuación de segundo grado: solo raíces cuadradas y, por tanto, construible, y firmado, cómo no, por el número áureo. Alrededor de esa joya: soltura, el atajo de De Moivre hacia la trigonometría y el producto desenmascarado como geometría.

Parte I — Soltura.

  1. Calcula (2+i)(3−i)(2 + \iu)(3 - \iu), 1+i1−i\dfrac{1 + \iu}{1 - \iu} (Método 28.5) y ∣3+4i∣\abs{3 + 4\iu}.
  2. Pasa a forma exponencial: 1+i1 + \iu; −2-2; 1−i31 - \iu\sqrt3.
  3. Calcula (1+i)8(1 + \iu)^8 usando la forma exponencial.
  4. Resuelve z2=iz^2 = \iu y después z2−2z+5=0z^2 - 2z + 5 = 0 (Teorema 28.13).
  5. Diccionario geométrico (Proposición 28.17): describe la aplicación z↦izz \mapsto \iu z y el conjunto ∣z−(1+i)∣=2\abs{z - (1 + \iu)} = 2.

Parte II — Cinco raíces, un pentágono. Sea ω=e2iπ/5\omega = \eu^{2\iu\pi/5} y consideremos 1,ω,ω2,ω3,ω41, \omega, \omega^2, \omega^3, \omega^4.

  1. Comprueba que son exactamente las soluciones de z5=1z^5 = 1 y describe la figura que dibujan en el plano.
  2. Demuestra que su suma es cero. (Progresión geométrica, o multiplica la suma por 1−ω1 - \omega.)

  3. Toma partes reales y deduce

    1+2cos⁡2π5+2cos⁡4π5=0.1 + 2\cos\frac{2\pi}{5} + 2\cos\frac{4\pi}{5} = 0 .

  4. Toma c=cos⁡2π5c = \cos\frac{2\pi}{5} y usa la fórmula del ángulo doble para cos⁡4π5\cos\frac{4\pi}{5} para convertir la pregunta 8 en una ecuación de segundo grado en cc; resuélvela y concluye que

    cos⁡72∘=5−14.\cos 72^\circ = \frac{\sqrt5 - 1}{4} .
  5. Compruébalo numéricamente y deja que el número áureo firme su obra: demuestra que c=12φc = \frac{1}{2\varphi}, donde φ=1+52\varphi = \frac{1 + \sqrt5}{2} (Problema 2.1), y enuncia el famoso eco geométrico: en un pentágono regular, la diagonal es φ\varphi veces el lado.

Parte III — Los atajos de De Moivre.

  1. El veredicto de constructibilidad: cos⁡72∘\cos 72^\circ solo necesita raíces cuadradas (pregunta 9), así que el pentágono es construible con regla y compás; cos⁡20∘\cos 20^\circ cumple una ecuación de tercer grado irrompible (Problema 24.1), así que el ángulo de 60∘60^\circ no se puede trisecar. Enuncia el criterio que se vislumbra (las raíces cuadradas se construyen, las cúbicas no), cuya teoría completa (Gauss, a los 19 años, y el polígono de 17 lados) vive en los volúmenes universitarios.
  2. Resuelve z4=−4z^4 = -4 en forma exponencial y recupera la factorización z4+4=(z2−2z+2)(z2+2z+2)z^4 + 4 = (z^2 - 2z + 2)(z^2 + 2z + 2) del Ejercicio 28.8 emparejando raíces conjugadas.
  3. Desarrolla (cos⁡θ+isin⁡θ)3(\cos\theta + \iu\sin\theta)^3 con el teorema del binomio y De Moivre, y vuelve a deducir cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta en tres líneas; compáralo con el camino de las fórmulas de adición del Problema 24.1.
  4. Contrasta con el Ejercicio 28.9: para θ=2π5\theta = \frac{2\pi}{5} y n=4n = 4, ¿cuánto vale la suma 1+cos⁡θ+⋯+cos⁡4θ1 + \cos\theta + \dots + \cos 4\theta y por qué es coherente con la pregunta 8?
  5. Calcula las tres raíces cúbicas de 8i8\iu en forma binómica.

Parte IV — El producto es geometría.

  1. Describe por completo la aplicación z↦(1+i)zz \mapsto (1 + \iu)z: ¿qué ángulo gira, por qué factor dilata y qué le hace al cuadrado unidad?
  2. Demuestra ∣z1z2∣=∣z1∣ ∣z2∣\abs{z_1 z_2} = \abs{z_1}\,\abs{z_2} con conjugados (Proposición 28.7), calcula después (1+i)n(1+\iu)^n para n=1,2,3,4n = 1, 2, 3, 4 y describe la espiral que trazan las potencias.
  3. El número j=e2iπ/3\mathrm{j} = \eu^{2\iu\pi/3}: demuestra que 1+j+j2=01 + \mathrm{j} + \mathrm{j}^2 = 0 y comprueba sobre el triángulo (1,j,j2)\left(1, \mathrm{j}, \mathrm{j}^2\right) el criterio clásico: a+jb+j2c=0a + \mathrm{j} b + \mathrm{j}^2 c = 0 se cumple para (una orientación de) un triángulo equilátero abcabc.
  4. El teorema fundamental del álgebra (que se admite: d’Alembert–Gauss): todo polinomio se factoriza por completo sobre C\C. Deduce el corolario aplicable al mundo real (todo polinomio real se factoriza en piezas reales de primer y segundo grado) y señala la pregunta 12 como ejemplo.
  5. Final: el retrato de C\C, una frase para cada cosa: los números se vuelven puntos; el producto se vuelve giro y dilatación; las raíces de la unidad se vuelven polígonos regulares; De Moivre convierte potencias en identidades trigonométricas; y la clausura algebraica garantiza que ninguna ecuación necesitará nunca un mundo mayor. Coda: ¿qué dos números célebres se encontraron en la pregunta 10?
Solución

Solución de Problema 28.1.

1. (2+i)(3−i)=6−2i+3i+1=7+i(2 + \iu)(3 - \iu) = 6 - 2\iu + 3\iu + 1 = 7 + \iu. 1+i1−i=(1+i)22=2i2=i\frac{1 + \iu}{1 - \iu} = \frac{(1 + \iu)^2}{2} = \frac{2\iu}{2} = \iu. ∣3+4i∣=5\abs{3 + 4\iu} = 5.

2. 1+i=2 eiπ/41 + \iu = \sqrt2\,\eu^{\iu\pi/4}; −2=2eiπ-2 = 2\eu^{\iu\pi}; 1−i3=2e−iπ/31 - \iu\sqrt3 = 2\eu^{-\iu\pi/3}.

3. (1+i)8=(2)8e8iπ/4=16 e2iπ=16(1 + \iu)^8 = \left(\sqrt2\right)^8 \eu^{8\iu\pi/4} = 16\,\eu^{2\iu\pi} = 16.

4. z2=eiπ/2z^2 = \eu^{\iu\pi/2}: z=±eiπ/4=±22(1+i)z = \pm\eu^{\iu\pi/4} = \pm\frac{\sqrt2}{2}(1 + \iu). Y Δ=4−20=−16\Delta = 4 - 20 = -16: z=1±2iz = 1 \pm 2\iu.

5. z↦izz \mapsto \iu z: giro de un cuarto de vuelta alrededor del origen. ∣z−(1+i)∣=2\abs{z - (1 + \iu)} = 2: la circunferencia de centro 1+i1 + \iu y radio 22.

6. (ωk)5=e2iπk=1\left(\omega^k\right)^5 = \eu^{2\iu\pi k} = 1, y los cinco puntos e2ikπ/5\eu^{2\iu k\pi/5} son distintos: son las cinco soluciones de z5=1z^5 = 1. Están sobre la circunferencia unidad a ángulos iguales de 72∘72^\circ: un pentágono regular con un vértice en 11.

7. S=1+ω+⋯+ω4S = 1 + \omega + \dots + \omega^4 cumple (1−ω)S=1−ω5=0(1 - \omega)S = 1 - \omega^5 = 0, y ω≠1\omega \neq 1: S=0S = 0. (El punto de equilibrio del pentágono es su centro.)

8. ω4=ω‾\omega^4 = \overline\omega y ω3=ω2‾\omega^3 = \overline{\omega^2}: emparejando conjugados, la parte real de la suma se lee 1+2cos⁡2π5+2cos⁡4π5=01 + 2\cos\frac{2\pi}{5} + 2\cos\frac{4\pi}{5} = 0.

9. cos⁡4π5=2c2−1\cos\frac{4\pi}{5} = 2c^2 - 1, luego 1+2c+4c2−2=01 + 2c + 4c^2 - 2 = 0, es decir, 4c2+2c−1=04c^2 + 2c - 1 = 0: c=−1+54c = \frac{-1 + \sqrt5}{4} (la raíz positiva, porque 72∘72^\circ es agudo): cos⁡72∘=5−14\cos 72^\circ = \frac{\sqrt5 - 1}{4}.

10. Numéricamente, c≈0.30902c \approx 0.30902: coincide con la calculadora. Y 12φ=11+5=5−14\frac{1}{2\varphi} = \frac{1}{1 + \sqrt5} = \frac{\sqrt5 - 1}{4} (racionalizando): c=12φc = \frac{1}{2\varphi}. El pentágono es áureo de arriba abajo: su diagonal corta a su lado en la razón φ\varphi, la autosemejanza sin fin del pentagrama.

11. Las raíces cuadradas se construyen con compás (la máquina de la semicircunferencia de la media geométrica del volumen anterior), así que un número construido a partir de racionales solo con raíces cuadradas, como cos⁡72∘\cos 72^\circ, es construible; las raíces cúbicas no lo son, y cos⁡20∘\cos 20^\circ necesita una: el pentágono se rinde y la trisección resiste. El criterio de Gauss resuelve el caso de todos los polígonos regulares; su polígono de 17 lados, a los diecinueve años, le hizo elegir las matemáticas.

12. −4=4eiπ-4 = 4\eu^{\iu\pi}: las raíces cuartas tienen módulo 2\sqrt2 y argumentos π4+kπ2\frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}: los cuatro números ±1±i\pm 1 \pm \iu. Emparejando conjugados: (z−1−i)(z−1+i)=z2−2z+2(z - 1 - \iu)(z - 1 + \iu) = z^2 - 2z + 2 y (z+1−i)(z+1+i)=z2+2z+2(z + 1 - \iu)(z + 1 + \iu) = z^2 + 2z + 2: la factorización del Ejercicio 28.8.

13. (cos⁡θ+isin⁡θ)3=cos⁡3θ+3icos⁡2θsin⁡θ−3cos⁡θsin⁡2θ−isin⁡3θ(\cos\theta + \iu\sin\theta)^3 = \cos^3\theta + 3\iu\cos^2\theta\sin\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta - \iu\sin^3\theta; y por De Moivre esto es igual a cos⁡3θ+isin⁡3θ\cos 3\theta + \iu \sin 3\theta. Partes reales: cos⁡3θ=cos⁡3θ−3cos⁡θ(1−cos⁡2θ)=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\cos 3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta(1 - \cos^2\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta; y las partes imaginarias entregan sin⁡3θ\sin 3\theta de propina.

14. Es la parte real de 1+ω+⋯+ω4=01 + \omega + \dots + \omega^4 = 0: la suma vale 00; exactamente la pregunta 8, vista a través del núcleo del Ejercicio 28.9.

15. 8i=8eiπ/28\iu = 8\eu^{\iu\pi/2}: las raíces son 2eiπ/6=3+i2\eu^{\iu\pi/6} = \sqrt3 + \iu; 2e5iπ/6=−3+i2\eu^{5\iu\pi/6} = -\sqrt3 + \iu; y 2e3iπ/2=−2i2\eu^{3\iu\pi/2} = -2\iu.

16. 1+i=2 eiπ/41 + \iu = \sqrt2\,\eu^{\iu\pi/4}: la aplicación gira el plano 45∘45^\circ y lo dilata por 2\sqrt2. El cuadrado unidad se convierte en un cuadrado inclinado de lado 2\sqrt2: el doble de área y un octavo de vuelta girado.

17. ∣z1z2∣2=z1z2z1z2‾=z1z1‾ z2z2‾=∣z1∣2∣z2∣2\abs{z_1 z_2}^2 = z_1 z_2 \overline{z_1 z_2} = z_1\overline{z_1}\, z_2\overline{z_2} = \abs{z_1}^2\abs{z_2}^2: se toman raíces cuadradas. Potencias de 1+i1 + \iu: 1+i1 + \iu, 2i2\iu, −2+2i-2 + 2\iu, −4-4: cada una girada 45∘45^\circ más y 2\sqrt2 veces más larga; una espiral hacia fuera por los módulos 2,2,22,4,…\sqrt2, 2, 2\sqrt2, 4, \dots

18. j\mathrm{j} es una raíz cúbica de la unidad distinta de 11, así que (con el argumento de la pregunta 7 y n=3n = 3) 1+j+j2=01 + \mathrm{j} + \mathrm{j}^2 = 0. Criterio sobre el triángulo estándar: a+jb+j2c=1+j⋅j+j2⋅j2=1+j2+j4=1+j2+j=0a + \mathrm{j}b + \mathrm{j}^2 c = 1 + \mathrm{j}\cdot\mathrm{j} + \mathrm{j}^2 \cdot \mathrm{j}^2 = 1 + \mathrm{j}^2 + \mathrm{j}^4 = 1 + \mathrm{j}^2 + \mathrm{j} = 0: se cumple, como exige el triángulo equilátero (1,j,j2)\left(1, \mathrm{j}, \mathrm{j}^2\right).

19. Sobre C\C, un polinomio real se descompone en factores de primer grado; sus raíces no reales vienen en parejas conjugadas (basta conjugar la ecuación), y cada pareja se multiplica dando un polinomio real de segundo grado z2−2Re⁡(z0) z+∣z0∣2z^2 - 2\operatorname{Re}(z_0)\,z + \abs{z_0}^2: de ahí la factorización real en piezas de grado 11 y de grado 22; la pregunta 12 la realizó sobre z4+4z^4 + 4.

20. Puntos; giro y dilatación; polígonos regulares; identidades trigonométricas por desarrollo; y un mundo cerrado donde toda ecuación de grado nn tiene sus nn raíces. Coda: en la pregunta 10, el pentágono de π\pi le dio la mano al número áureo; los dos invitados más célebres de Euclides, presentados por fin por una suma de cinco flechas igual a cero.

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