Mathematics · Book 2 · Grades 10–12

Matemáticas de secundaria

Matemáticas de secundaria · Grades 10–12

28Números complejos

El ecuación x2=−1x^2 = -1 no tiene una solución real. Ampliando R\R con un solo el nuevo número i\iu cuyo cuadrado es −1-1 produce el campo C\C de complejo numeros, en el cual el polinomio cada ecuación tiene soluciones — y cuya aritmética codifica la geometría del plano: traslaciones, rotaciones y las escalas se convierten en sumas y multiplicaciones.

28.1 forma algebraica

Definición 28.1 (Números complejos)

El conjunto de números complejos es

C={a+ib:a,b∈R},\C = \{a + \iu b : a, b \in \R\},

donde i\iu es un símbolo sujeto a la regla única i2=−1\iu^2 = -1; adición y las multiplicaciones se realizan como para polinomios reales en i\iu, reduciendo i2\iu^2 a −1-1. Los reales aa y bb son los parte real. Re⁡(z)\Rea(z) y parte imaginaria Im⁡(z)\Ima(z) de z=a+ibz = a + \iu b; esto La expresión es forma algebraica de zz y es única: a+ib=a′+ib′a + \iu b = a' + \iu b' si y sólo si a=a′a = a' y b=b′b = b'.

Ejemplo 28.2

(2+3i)(1−i)=2−2i+3i−3i2=5+i(2 + 3\iu)(1 - \iu) = 2 - 2\iu + 3\iu - 3\iu^2 = 5 + \iu.

Definición 28.3 (conjugado)

El conjugado de z=a+ibz = a + \iu b es z‾=a−ib\conj{z} = a - \iu b.

Proposición 28.4 (Propiedades de conjugación)

Para todos los z,w∈Cz, w \in \C:

z+w‾=z‾+w‾,zw‾=z‾ w‾,z‾‾=z,z+z‾=2Re⁡(z),z−z‾=2i Im⁡(z),\conj{z + w} = \conj z + \conj w, \quad \conj{zw} = \conj z\,\conj w, \quad \conj{\conj z} = z, \quad z + \conj z = 2\Rea(z), \quad z - \conj z = 2\iu\,\Ima(z),

y zz‾=a2+b2≥0z\conj z = a^2 + b^2 \geq 0 para z=a+ibz = a + \iu b. Además z∈Rz \in \R si y sólo si z=z‾z = \conj z.

Demostración. Todos son cálculos directos del formas algebraicas; por ejemplo zz‾=(a+ib)(a−ib)=a2−(ib)2=a2+b2z\conj z = (a + \iu b)(a - \iu b) = a^2 - (\iu b)^2 = a^2 + b^2. ∎

Método 28.5 (División de números complejos)

Para escribir un cociente en forma algebraica, multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador:

12+i=2−i(2+i)(2−i)=2−i5=25−15i.\frac{1}{2 + \iu} = \frac{2 - \iu}{(2+\iu)(2-\iu)} = \frac{2 - \iu}{5} = \frac25 - \frac15\iu .

Por lo tanto, todo numero complejo distinto de cero tiene una inversa: C\C es un campo.

28.2 El plano complejo, módulo y argumento.

Definición 28.6 (Afijo, módulo)

En el plano con ortonormal coordenadas, el punto M(a,b)M(a, b) es el imagen de z=a+ibz = a + \iu b, y zz es el afijo de MM. el módulo de zz es la distancia desde MM al origen:

∣z∣=a2+b2=zz‾.\abs{z} = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z\conj z}.
El punto M(a,b) de afijo z: el módulo z es el longitud OM, y el conjugado z es el reflejo de z en el eje real.
El punto M(a,b)M(a,b) de afijo zz: el módulo ∣z∣\abs z es el longitud OMOM, y el conjugado z‾\conj z es el reflejo de zz en el eje real.

Proposición 28.7 (Propiedades del módulo)

Para z,w∈Cz, w \in \C:

∣zw∣=∣z∣ ∣w∣,∣zw∣=∣z∣∣w∣ (w≠0),∣z‾∣=∣z∣,∣z+w∣≤∣z∣+∣w∣ (triangle inequality).\abs{zw} = \abs z\,\abs w, \qquad \abs{\tfrac zw} = \tfrac{\abs z}{\abs w}\ (w \neq 0), \qquad \abs{\conj z} = \abs z, \qquad \abs{z + w} \leq \abs{z} + \abs{w} \ \text{(triangle inequality)}.

Además ∣zB−zA∣\abs{z_B - z_A} es la distancia entre los puntos de afijos. zAz_A y zBz_B.

Demostración. ∣zw∣2=zw zw‾=zz‾ ww‾=∣z∣2∣w∣2\abs{zw}^2 = zw\,\conj{zw} = z\conj z\, w \conj w = \abs z^2 \abs w^2 da el primero; el segundo y el tercero son similares. para el triangulo desigualdad:

∣z+w∣2=(z+w)(z‾+w‾)=∣z∣2+∣w∣2+2Re⁡(zw‾)≤∣z∣2+∣w∣2+2∣zw‾∣=(∣z∣+∣w∣)2,\abs{z+w}^2 = (z+w)(\conj z + \conj w) = \abs z^2 + \abs w^2 + 2\Rea(z \conj w) \leq \abs z^2 + \abs w^2 + 2\abs{z\conj w} = \bigl(\abs z + \abs w\bigr)^2,

utilizando Re⁡(u)≤∣u∣\Rea(u) \leq \abs u. El enunciado de la distancia es el pitagórico. Fórmula aplicada al coordenadas de zB−zAz_B - z_A. ∎

Definición 28.8 (Argumento, formas trigonométricas y exponenciales)

Deje z≠0z \neq 0. Un argumento de zz, escrito arg⁡(z)\Arg(z), es cualquier medida θ\theta del ángulo desde el eje real positivo al rayo OMOM; está definido hasta 2kπ2k\pi. Escribiendo r=∣z∣r = \abs z,

z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)(trigonometric form).z = r(\cos\theta + \iu\sin\theta) \qquad\text{(trigonometric form)}.

Introduciendo la notación

eiθ=cos⁡θ+isin⁡θ,\eu^{\iu\theta} = \cos\theta + \iu\sin\theta,

esto se convierte en forma exponencial z=r eiθz = r\,\eu^{\iu\theta}.

forma exponencial: z está determinado por su distancia r al origen y el ángulo desde el eje real positivo.
forma exponencial: zz está determinado por su distancia rr al origen y el ángulo θ\theta desde el eje real positivo.

Teorema 28.9

Para todos los θ,θ′∈R\theta, \theta' \in \R:

eiθ eiθ′=ei(θ+θ′),eiθ‾=e−iθ,∣eiθ∣=1.\eu^{\iu\theta}\,\eu^{\iu\theta'} = \eu^{\iu(\theta + \theta')}, \qquad \conj{\eu^{\iu\theta}} = \eu^{-\iu\theta}, \qquad \abs{\eu^{\iu\theta}} = 1 .

En consecuencia, para z=reiθz = r\eu^{\iu\theta} y z′=r′eiθ′z' = r'\eu^{\iu\theta'} distinto de cero:

zz′=rr′ ei(θ+θ′),zz′=rr′ ei(θ−θ′):zz' = rr'\,\eu^{\iu(\theta+\theta')}, \qquad \frac{z}{z'} = \frac{r}{r'}\,\eu^{\iu(\theta - \theta')} :

moduli multiply, argumentos add.

Demostración. La primera identidad is el par de fórmulas de suma. (Proposición 24.3):

(cos⁡θ+isin⁡θ)(cos⁡θ′+isin⁡θ′)=(cos⁡θcos⁡θ′−sin⁡θsin⁡θ′)+i(sin⁡θcos⁡θ′+cos⁡θsin⁡θ′).(\cos\theta + \iu\sin\theta)(\cos\theta' + \iu\sin\theta') = (\cos\theta\cos\theta' - \sin\theta\sin\theta') + \iu(\sin\theta\cos\theta' + \cos\theta\sin\theta').

El resto se realiza mediante cálculo directo. ∎

Corolario 28.10 (Fórmula de Moivre)

Para θ∈R\theta \in \R y n∈Zn \in \Z: (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡nθ+isin⁡nθ\bigl(\cos\theta + \iu\sin\theta\bigr)^n = \cos n\theta + \iu \sin n\theta.

Demostración. Inducción en n≥0n \geq 0 usando Teorema 28.9; extender a n<0n < 0 tomando inversas. ∎

Método 28.11 (Cambio entre formularios)

De algebraico a exponencial: calcule r=∣z∣r = \abs z, luego encuentre θ\theta con cos⁡θ=ar\cos\theta = \frac ar, sin⁡θ=br\sin\theta = \frac br (ubique el cuadrante correcto antes de invocar un coseno inverso). De exponencial a algebraico: expandir rcos⁡θ+i rsin⁡θr\cos\theta + \iu\, r\sin\theta. Utilice el forma algebraica para sumas, el forma exponencial para productos, potencias y cocientes.

Ejemplo 28.12

z=1+iz = 1 + \iu: ∣z∣=2\abs z = \sqrt2 y cos⁡θ=sin⁡θ=12\cos\theta = \sin\theta = \frac{1}{\sqrt2}, entonces θ=π4\theta = \frac\pi4 y z=2 eiπ/4z = \sqrt2\,\eu^{\iu\pi/4}. Por lo tanto z20=210 e5iπ=−1024z^{20} = 2^{10}\,\eu^{5\iu\pi} = -1024.

28.3 Ecuaciones de segundo grado y raíces de la unidad.

Teorema 28.13 (Ecuaciones cuadráticas con coeficientes reales)

Sean a,b,c∈Ra, b, c \in \R, a≠0a \neq 0 y Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac. El ecuación az2+bz+c=0az^2 + bz + c = 0 tiene soluciones en C\C:

Δ>0: z=−b±Δ2a (two real);Δ=0: z=−b2a (double);Δ<0: z=−b±i−Δ2a (two conjugate).\begin{aligned} &\Delta > 0:\ z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \ (\text{two real}); \qquad \Delta = 0:\ z = \frac{-b}{2a} \ (\text{double}); \\ &\Delta < 0:\ z = \frac{-b \pm \iu\sqrt{-\Delta}}{2a} \ (\text{two conjugate}). \end{aligned}

Demostración. Completa el cuadrado: az2+bz+c=a((z+b2a)2−Δ4a2)az^2 + bz + c = a\left(\left(z + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right). Si Δ<0\Delta < 0, entonces Δ4a2=(i−Δ2a)2\frac{\Delta}{4a^2} = \left(\iu\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)^2, y el diferencia de factores de cuadrados como de costumbre. ∎

Definición 28.14 (Raíces de la unidad)

Para n≥1n \geq 1, nn-ésimas raíces de la unidad son las soluciones de zn=1z^n = 1.

Teorema 28.15

El ecuación zn=1z^n = 1 tiene exactamente soluciones nn:

ωk=e2ikπ/n,k=0,1,…,n−1.\omega_k = \eu^{2\iu k\pi/n}, \qquad k = 0, 1, \dots, n-1 .

Sus imágenes son los vértices de un gon nn regular inscrito en la unidad. círculo, y para n≥2n \geq 2 su suma es 00.

Demostración. Cada ωk\omega_k satisface ωkn=e2ikπ=1\omega_k^n = \eu^{2\iu k\pi} = 1 y son distintos por pares ya que su argumentos se encuentra en [0, 2π)\intco{0}{2\pi}. Por el contrario, si zn=1z^n = 1 entonces ∣z∣n=1\abs z^n = 1, entonces ∣z∣=1\abs z = 1 (positivo real) y z=eiθz = \eu^{\iu\theta} con nθ≡0(mod2π)n\theta \equiv 0 \pmod{2\pi}, i.e. θ=2kπn\theta = \frac{2k\pi}{n}; reduciendo kk módulo nn aterriza entre el ωk\omega_k. Los vértices están igualmente espaciados por el ángulo 2πn\frac{2\pi}{n}: un nn-gon normal. Finalmente, con ω=ω1\omega = \omega_1, ω≠1\omega \neq 1 y la suma geométrica da

∑k=0n−1ωk=∑k=0n−1ωk=ωn−1ω−1=0.\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k = \sum_{k=0}^{n-1}\omega^k = \frac{\omega^n - 1}{\omega - 1} = 0 . \qedhere

∎

El quinto raíces de la unidad, = 2 π/5: el vértices de un pentágono regular inscrito en el círculo unitario ().
El quinto raíces de la unidad, ω=e2iπ/5\omega = \eu^{2\iu\pi/5}: el vértices de un pentágono regular inscrito en el círculo unitario (Ejercicio 28.10).

Ejemplo 28.16

Las raíces cúbicas de la unidad son 11, j=e2iπ/3=−12+i32j = \eu^{2\iu\pi/3} = -\frac12 + \iu\frac{\sqrt3}{2} y j‾=j2\conj j = j^2, satisfaciendo 1+j+j2=01 + j + j^2 = 0.

28.4 Números complejos y geometría plana.

Proposición 28.17 (diccionario geométrico)

Sean A,B,C,DA, B, C, D puntos de afijos a,b,c,da, b, c, d (a≠ba \neq b, c≠dc \neq d).

  1. La traducción realizada por vector de afijo tt es z↦z+tz \mapsto z + t.
  2. La rotación del centro ω\omega (afijo) y el ángulo θ\theta es z↦ω+eiθ(z−ω)z \mapsto \omega + \eu^{\iu\theta}(z - \omega).
  3. La escala (homotetia) del centro ω\omega y la relación k∈R∗k \in \R^* es z↦ω+k(z−ω)z \mapsto \omega + k(z - \omega).
  4. d−cb−a\dfrac{d - c}{b - a} tiene módulo CDAB\dfrac{CD}{AB} y argumento el ángulo entre vectores AB→\vect{AB} y CD→\vect{CD}. en particular, AB⊥CDAB \perp CD si y sólo si d−cb−a\frac{d-c}{b-a} es puramente imaginario, y A,B,CA, B, C son colineal (C≠AC \ne A, C≠BC\ne B) si y sólo si c−ab−a∈R\frac{c-a}{b-a} \in \R.

Demostración. (1) y (3) reformulan las fórmulas de coordenadas. Para (2), el mapa w↦eiθww \mapsto \eu^{\iu\theta} w multiplica los módulos por 11 y suma θ\theta a argumentos: es la rotación del ángulo θ\theta con respecto al origen; conjugando por la traducción enviando ω\omega a 00 da el centro general. Para (4), módulos y argumentos de cocientes restan (Teorema 28.9). ∎

28.5 Ceremonias

Ejercicio 28.1 ★

Escribe en forma algebraica: (3−2i)(1+4i)(3 - 2\iu)(1 + 4\iu), 2+i1−i\dfrac{2 + \iu}{1 - \iu}, i2027\iu^{2027}.

Solución

Solución de Ejercicio 28.1.

(3−2i)(1+4i)=3+12i−2i−8i2=11+10i(3-2\iu)(1+4\iu) = 3 + 12\iu - 2\iu - 8\iu^2 = 11 + 10\iu.

2+i1−i=(2+i)(1+i)(1−i)(1+i)=1+3i2=12+32i\dfrac{2+\iu}{1-\iu} = \dfrac{(2+\iu)(1+\iu)}{(1-\iu)(1+\iu)} = \dfrac{1 + 3\iu}{2} = \dfrac12 + \dfrac32\iu.

i2027\iu^{2027}: desde i4=1\iu^4 = 1 y 2027=4×506+32027 = 4 \times 506 + 3, i2027=i3=−i\iu^{2027} = \iu^3 = -\iu.

Ejercicio 28.2 ★

Resuelva en C\C: (a) z2−4z+13=0z^2 - 4z + 13 = 0; (b) z2+z+1=0z^2 + z + 1 = 0. Consultar en cada caso de que las dos soluciones sean conjugados y calcule su producto.

Solución

Solución de Ejercicio 28.2.

(a)Δ=16−52=−36\Delta = 16 - 52 = -36: z=4±6i2=2±3iz = \dfrac{4 \pm 6\iu}{2} = 2 \pm 3\iu. Conjugado par; producto =4+9=13=ca= 4 + 9 = 13 = \frac ca. (b)Δ=1−4=−3\Delta = 1 - 4 = -3: z=−1±i32z = \dfrac{-1 \pm \iu\sqrt3}{2} (las raíces cúbicas de la unidad jj y j‾\conj j); producto =1+34=1= \frac{1 + 3}{4} = 1.

Ejercicio 28.3 ★

Introduzca forma exponencial: z1=−1+iz_1 = -1 + \iu, z2=3−iz_2 = \sqrt3 - \iu y calcule z1z2\dfrac{z_1}{z_2} en exponencial y luego forma algebraica. deducir el exacto valor de cos⁡11π12\cos\dfrac{11\pi}{12}.

Solución

Solución de Ejercicio 28.3.

∣z1∣=2\abs{z_1} = \sqrt2, argumento 3π4\frac{3\pi}{4} (segundo cuadrante): z1=2 e3iπ/4z_1 = \sqrt2\,\eu^{3\iu\pi/4}. ∣z2∣=2\abs{z_2} = 2, argumento −π6-\frac\pi6: z2=2 e−iπ/6z_2 = 2\,\eu^{-\iu\pi/6}. Por lo tanto

z1z2=22 ei(3π4+π6)=22 e11iπ/12.\frac{z_1}{z_2} = \frac{\sqrt2}{2}\,\eu^{\iu\left(\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{6}\right)} = \frac{\sqrt2}{2}\,\eu^{11\iu\pi/12}.

Algebraicamente,

z1z2=−1+i3−i=(−1+i)(3+i)4=−3−1+i(3−1)4.\frac{z_1}{z_2} = \frac{-1+\iu}{\sqrt3 - \iu} = \frac{(-1+\iu)(\sqrt3+\iu)}{4} = \frac{-\sqrt3 - 1 + \iu(\sqrt3 - 1)}{4}.

Identificando piezas reales: 22cos⁡11π12=−3−14\frac{\sqrt2}{2}\cos\frac{11\pi}{12} = \frac{-\sqrt3-1}{4}, entonces

cos⁡11π12=−6+24.\cos\frac{11\pi}{12} = -\frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}.

Ejercicio 28.4 ★★

Describir geométricamente el conjunto de puntos MM de afijo zz tal que: (a)∣z−2∣=∣z+i∣\abs{z - 2} = \abs{z + \iu}; (b)∣z−1−i∣=3\abs{z - 1 - \iu} = 3; (c) z−1z+1\dfrac{z - 1}{z + 1} es puramente imaginario.

Solución

Solución de Ejercicio 28.4.

(a) ∣z−2∣=∣z−(−i)∣\abs{z - 2} = \abs{z - (-\iu)} significa que MM está equidistante de A(2,0)A(2, 0) y B(0,−1)B(0, -1): el bisectriz perpendicular de [AB][AB].

(b) Distancia 33 del punto (1,1)(1,1): el círculo del centro 1+i1 + \iu y radio 33.

(c) Por Proposición 28.17(4), z−1z+1\frac{z-1}{z+1} puramente imaginario significa el vectores de A(1,0)A(1,0) a MM y de B(−1,0)B(-1,0) a MM son ortogonal: MM ve el segmento [AB][AB] bajo un ángulo recto. el conjunto es el círculo de diámetro [AB][AB] (el círculo unitario) menos el puntos AA y BB.

Ejercicio 28.5 ★★

Utilizando la fórmula de De Moivre y el teorema del binomio, exprese cos⁡3θ\cos 3\theta como polinomio en cos⁡θ\cos\theta, y sin⁡3θ\sin 3\theta en términos de sin⁡θ\sin\theta.

Solución

Solución de Ejercicio 28.5.

De Moivre: cos⁡3θ+isin⁡3θ=(cos⁡θ+isin⁡θ)3\cos3\theta + \iu\sin3\theta = (\cos\theta + \iu\sin\theta)^3. En expansión por el teorema del binomio con c=cos⁡θc = \cos\theta, s=sin⁡θs = \sin\theta:

(c+is)3=c3+3ic2s−3cs2−is3=(c3−3cs2)+i(3c2s−s3).(c + \iu s)^3 = c^3 + 3\iu c^2 s - 3 c s^2 - \iu s^3 = (c^3 - 3cs^2) + \iu(3c^2 s - s^3).

Identificación de piezas y uso de s2=1−c2s^2 = 1 - c^2, c2=1−s2c^2 = 1 - s^2:

cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ,sin⁡3θ=3sin⁡θ−4sin⁡3θ.\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta, \qquad \sin3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta .

Ejercicio 28.6 ★★

(Linealización.) Usando cos⁡θ=eiθ+e−iθ2\cos\theta = \frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}, linealizar cos⁡3θ\cos^3\theta (escríbalo como una combinación de cos⁡kθ\cos k\theta) y deduzca ∫0π/2cos⁡3θ  ⁣dθ\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\,\dd\theta.

Solución

Solución de Ejercicio 28.6.

cos⁡3θ=(eiθ+e−iθ2) ⁣3=e3iθ+3eiθ+3e−iθ+e−3iθ8=cos⁡3θ+3cos⁡θ4.\cos^3\theta = \left(\frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}\right)^{\!3} = \frac{\eu^{3\iu\theta} + 3\eu^{\iu\theta} + 3\eu^{-\iu\theta} + \eu^{-3\iu\theta}}{8} = \frac{\cos3\theta + 3\cos\theta}{4}.

Por lo tanto

∫0π/2cos⁡3θ  ⁣dθ=14[sin⁡3θ3+3sin⁡θ]0π/2=14(−13+3)=23.\int_0^{\pi/2}\cos^3\theta\,\dd\theta = \frac14\left[\frac{\sin3\theta}{3} + 3\sin\theta\right]_0^{\pi/2} = \frac14\left(-\frac13 + 3\right) = \frac{2}{3}.

(Consistente con W3=23W_3 = \frac23 en Ejercicio 25.9, ya que ∫0π/2cos⁡3=∫0π/2sin⁡3\int_0^{\pi/2}\cos^3 = \int_0^{\pi/2}\sin^3 por la simetría θ↦π2−θ\theta \mapsto \frac\pi2 - \theta.)

Ejercicio 28.7 ★★

Dejemos que AA y BB tengan afijos a=1+ia = 1 + \iu y b=3+2ib = 3 + 2\iu. determinar el dos puntos CC que hacen que el triángulo ABCABC sea equilátero, como el imágenes de BB bajo las rotaciones del centro AA y los ángulos ±π3\pm\frac{\pi}{3}.

Solución

Solución de Ejercicio 28.7.

c=a+e±iπ/3(b−a)c = a + \eu^{\pm\iu\pi/3}(b - a) con b−a=2+ib - a = 2 + \iu y e±iπ/3=12±i32\eu^{\pm\iu\pi/3} = \frac12 \pm \iu\frac{\sqrt3}{2}:

eiπ/3(2+i)=(12+i32)(2+i)=(1−32)+i(12+3),\eu^{\iu\pi/3}(2+\iu) = \left(\tfrac12 + \iu\tfrac{\sqrt3}{2}\right)(2+\iu) = \left(1 - \tfrac{\sqrt3}{2}\right) + \iu\left(\tfrac12 + \sqrt3\right),

entonces c1=(2−32)+i(32+3)c_1 = \left(2 - \frac{\sqrt3}{2}\right) + \iu\left(\frac32 + \sqrt3\right), y de manera similar con el ángulo −π3-\frac\pi3: c2=(2+32)+i(32−3)c_2 = \left(2 + \frac{\sqrt3}{2}\right) + \iu\left(\frac32 - \sqrt3\right).

Ejercicio 28.8 ★★★

Resuelva z4=−4z^4 = -4 en C\C y trace las soluciones. factores z4+4z^4 + 4 en dos polinomios cuadráticos con coeficientes reales.

Solución

Solución de Ejercicio 28.8.

−4=4 eiπ-4 = 4\,\eu^{\iu\pi}, por lo que las soluciones de z4=−4z^4 = -4 son

zk=2 ei(π4+kπ2),k=0,1,2,3,z_k = \sqrt2\,\eu^{\iu\left(\frac\pi4 + \frac{k\pi}{2}\right)}, \quad k = 0, 1, 2, 3,

i.e. 1+i1 + \iu, −1+i-1 + \iu, −1−i-1 - \iu, 1−i1 - \iu: los vértices de una cuadrado de circunradio 2\sqrt 2. Agrupación conjugado raíces,

z4+4=(z−(1+i))(z−(1−i))(z+(1−i))(z+(1+i))=(z2−2z+2)(z2+2z+2).z^4 + 4 = \bigl(z - (1{+}\iu)\bigr)\bigl(z - (1{-}\iu)\bigr) \bigl(z + (1{-}\iu)\bigr)\bigl(z + (1{+}\iu)\bigr) = (z^2 - 2z + 2)(z^2 + 2z + 2).

Ejercicio 28.9 ★★★

Para θ∈(0, 2π)\theta \in \intoo{0}{2\pi} y n∈Nn \in \N, calcule

S=1+cos⁡θ+cos⁡2θ+⋯+cos⁡nθS = 1 + \cos\theta + \cos 2\theta + \dots + \cos n\theta

sumando la progresión geométrica ∑k=0neikθ\sum_{k=0}^n \eu^{\iu k\theta} y tomando piezas reales. (Respuesta: S=sin⁡(n+1)θ2sin⁡θ2cos⁡nθ2S = \dfrac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} \cos\frac{n\theta}{2}.)

Solución

Solución de Ejercicio 28.9.

Con q=eiθ≠1q = \eu^{\iu\theta} \neq 1:

∑k=0neikθ=ei(n+1)θ−1eiθ−1=ei(n+1)θ/2eiθ/2⋅ei(n+1)θ/2−e−i(n+1)θ/2eiθ/2−e−iθ/2=einθ/2 sin⁡(n+1)θ2sin⁡θ2,\sum_{k=0}^{n} \eu^{\iu k\theta} = \frac{\eu^{\iu(n+1)\theta} - 1}{\eu^{\iu\theta} - 1} = \frac{\eu^{\iu(n+1)\theta/2}}{\eu^{\iu\theta/2}} \cdot\frac{\eu^{\iu(n+1)\theta/2} - \eu^{-\iu(n+1)\theta/2}}{\eu^{\iu\theta/2} - \eu^{-\iu\theta/2}} = \eu^{\iu n\theta/2}\, \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}},

usando eiα−e−iα=2isin⁡α\eu^{\iu\alpha} - \eu^{-\iu\alpha} = 2\iu\sin\alpha (el half-angle factorización). Tomando piezas reales:

S=sin⁡(n+1)θ2sin⁡θ2 cos⁡nθ2.S = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\, \cos\frac{n\theta}{2}.

Ejercicio 28.10 ★★★

Deje ω=e2iπ/5\omega = \eu^{2\iu\pi/5}.

  1. Justifique que 1+ω+ω2+ω3+ω4=01 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0.
  2. Dejemos u=ω+ω4u = \omega + \omega^4 y v=ω2+ω3v = \omega^2 + \omega^3. mostrar eso u+v=−1u + v = -1 y uv=−1uv = -1, y deducir que u=−1+52u = \frac{-1+\sqrt5}{2}.
  3. Concluya que cos⁡2π5=5−14\cos\dfrac{2\pi}{5} = \dfrac{\sqrt5 - 1}{4}.
Solución

Solución de Ejercicio 28.10.

1. ω\omega es un 55-ésimo raíz de unidad diferente de 11, por lo que la suma de los cinco raíces desaparece (Teorema 28.15), que dice 1+ω+ω2+ω3+ω4=01 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0.

2. u+v=ω+ω2+ω3+ω4=−1u + v = \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = -1 por el punto 1. Para el producto, utilizando ω5=1\omega^5 = 1:

uv=(ω+ω4)(ω2+ω3)=ω3+ω4+ω6+ω7=ω3+ω4+ω+ω2=−1.uv = (\omega + \omega^4)(\omega^2 + \omega^3) = \omega^3 + \omega^4 + \omega^6 + \omega^7 = \omega^3 + \omega^4 + \omega + \omega^2 = -1 .

Entonces u,vu, v son los raíces de X2+X−1=0X^2 + X - 1 = 0: {−1+52,−1−52}\left\{\frac{-1+\sqrt5}{2}, \frac{-1-\sqrt5}{2}\right\}. ahora u=ω+ω‾=2cos⁡2π5>0u = \omega + \conj\omega = 2\cos\frac{2\pi}{5} > 0 (desde 2π5<π2\frac{2\pi}{5} < \frac{\pi}{2}), entonces u=−1+52u = \frac{-1 + \sqrt5}{2}.

3. cos⁡2π5=u2=5−14\cos\frac{2\pi}{5} = \frac u2 = \frac{\sqrt5 - 1}{4}.

28.6 Problema: el pentágono en el espejo de la unidad

Problema 28.1

Problema del fin de semana — las quintas raíces de la unidad calcular cos⁡72∘\cos 72^\circ exactamente, la proporción áurea firma el resultado, y la multiplicación resulta ser rotación

Euclides pudo construir el pentágono regular pero la razón por qué se somete a regla y compás — mientras el humilde 20∘20^\circ el ángulo no — permaneció oculto durante dos mil años. Se esconde en este capítulo: el quinto quinto raíces de la unidad (Teorema 28.15) suma cero, y ese línea de álgebra exprime cos⁡72∘\cos 72^\circ de una cuadrática ecuación — solo raíces cuadradas, por lo tanto construibles y con signo, por supuesto, por la proporción áurea. Alrededor de esta joya: fluidez, de El atajo de Moivre hacia la trigonometría y la multiplicación desenmascarada como geometría.

Parte I — Fluency.

  1. Calcular (2+i)(3−i)(2 + \iu)(3 - \iu), 1+i1−i\dfrac{1 + \iu}{1 - \iu} (Método 28.5), y ∣3+4i∣\abs{3 + 4\iu}.
  2. Poner forma exponencial: 1+i1 + \iu; −2-2; 1−i31 - \iu\sqrt3.
  3. Calcule (1+i)8(1 + \iu)^8 utilizando forma exponencial.
  4. Resuelve z2=iz^2 = \iu, luego z2−2z+5=0z^2 - 2z + 5 = 0 (Teorema 28.13).
  5. Diccionario geométrico (Proposición 28.17): describe el mapa z↦izz \mapsto \iu z, y el conjunto ∣z−(1+i)∣=2\abs{z - (1 + \iu)} = 2.

Parte II — Five raíces, one pentagon. Dejemos ω=e2iπ/5\omega = \eu^{2\iu\pi/5} y consideremos 1,ω,ω2,ω3,ω41, \omega, \omega^2, \omega^3, \omega^4.

  1. Compruebe que estas son exactamente las soluciones de z5=1z^5 = 1, y describir la figura que dibujan en el avión.
  2. Demuestre que su suma es cero. (Progresión geométrica — o multiplicar la suma por 1−ω1 - \omega.)

  3. Tome piezas reales y deduzca

    1+2cos⁡2π5+2cos⁡4π5=0.1 + 2\cos\frac{2\pi}{5} + 2\cos\frac{4\pi}{5} = 0 .

  4. Configure c=cos⁡2π5c = \cos\frac{2\pi}{5} y use el ángulo doble. fórmula para cos⁡4π5\cos\frac{4\pi}{5} para convertir la pregunta 8 en una ecuación cuadrática para cc; resolverlo y concluir

    cos⁡72∘=5−14.\cos 72^\circ = \frac{\sqrt5 - 1}{4} .
  5. Verifique numéricamente, luego deje que la proporción áurea firme su trabajo: mostrar c=12φc = \frac{1}{2\varphi} donde φ=1+52\varphi = \frac{1 + \sqrt5}{2} (Problema 2.1) — y declarar el famoso eco geométrico: en un pentágono regular, la diagonal es φ\varphi veces el lado.

Parte III — De Moivre’s shortcuts.

  1. El veredicto de construcción: cos⁡72∘\cos 72^\circ solo necesita raíces cuadradas (pregunta 9), por lo que el pentágono es construible con regla y compás; cos⁡20∘\cos 20^\circ satisface una cúbica irrompible (Problema 24.1), por lo que el ángulo 60∘60^\circ no puede ser trisecado. Indique el criterio emergente (cuadrado raíces edificables, raíces cúbicas no), cuya teoría completa — Gauss, 19 años, y el 17-gon — vive en el volúmenes universitarios.
  2. Resolver z4=−4z^4 = -4 por forma exponencial y recuperar Factorización de Ejercicio 28.8 z4+4=(z2−2z+2)(z2+2z+2)z^4 + 4 = (z^2 - 2z + 2)(z^2 + 2z + 2) por emparejamiento conjugadoraíces.
  3. Expanda (cos⁡θ+isin⁡θ)3(\cos\theta + \iu\sin\theta)^3 con el teorema del binomio y de Moivre, y volver a derivar cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta en tres líneas — comparar con la ruta de la fórmula de suma de Problema 24.1.
  4. Verificación cruzada con Ejercicio 28.9: para θ=2π5\theta = \frac{2\pi}{5} y n=4n = 4, ¿qué significa el suma 1+cos⁡θ+⋯+cos⁡4θ1 + \cos\theta + \dots + \cos 4\theta igual, y ¿Por qué eso es consistente con la pregunta 8?
  5. Calcule las tres raíces cúbicas de 8i8\iu en algebraico forma.

Parte IV — Multiplication is geometry.

  1. Describe completamente el mapa z↦(1+i)zz \mapsto (1 + \iu)z: ¿En qué ángulo gira, en qué factor gira? escala, y ¿qué le hace al cuadrado unitario?
  2. Demuestre ∣z1z2∣=∣z1∣ ∣z2∣\abs{z_1 z_2} = \abs{z_1}\,\abs{z_2} con conjugados (Proposición 28.7), luego calcular (1+i)n(1+\iu)^n para n=1,2,3,4n = 1, 2, 3, 4 y describir la espiral que trazan los poderes.
  3. El número j=e2iπ/3\mathrm{j} = \eu^{2\iu\pi/3}: mostrar 1+j+j2=01 + \mathrm{j} + \mathrm{j}^2 = 0, y verifica en el triángulo (1,j,j2)\left(1, \mathrm{j}, \mathrm{j}^2\right) el criterio clásico: a+jb+j2c=0a + \mathrm{j} b + \mathrm{j}^2 c = 0 se mantiene durante (una orientación de) un triángulo equilátero abcabc.
  4. El teorema fundamental del álgebra (admitido: d’Alembert–Gauss): cada polinomio se factoriza completamente sobre C\C. Deduzca el corolario del mundo real: cada factores polinomiales reales en lineales reales y cuadráticos piezas — y señale la pregunta 12 como ejemplo.
  5. Finale — retrato de C\C, una frase cada uno: números convertirse en puntos; la multiplicación se convierte rotación y escala; el raíces de la unidad se vuelve regular polígonos; de Moivre convierte las potencias en trigonométricas identidades; y el cierre algebraico garantiza que no ecuación siempre necesita un mundo más grande. Coda: cuales dos ¿Los números famosos se reunieron en la pregunta 10?
Solución

Solución de Problema 28.1.

1. (2+i)(3−i)=6−2i+3i+1=7+i(2 + \iu)(3 - \iu) = 6 - 2\iu + 3\iu + 1 = 7 + \iu. 1+i1−i=(1+i)22=2i2=i\frac{1 + \iu}{1 - \iu} = \frac{(1 + \iu)^2}{2} = \frac{2\iu}{2} = \iu. ∣3+4i∣=5\abs{3 + 4\iu} = 5.

2. 1+i=2 eiπ/41 + \iu = \sqrt2\,\eu^{\iu\pi/4}; −2=2eiπ-2 = 2\eu^{\iu\pi}; 1−i3=2e−iπ/31 - \iu\sqrt3 = 2\eu^{-\iu\pi/3}.

3. (1+i)8=(2)8e8iπ/4=16 e2iπ=16(1 + \iu)^8 = \left(\sqrt2\right)^8 \eu^{8\iu\pi/4} = 16\,\eu^{2\iu\pi} = 16.

4.z2=eiπ/2z^2 = \eu^{\iu\pi/2}: z=±eiπ/4=±22(1+i)z = \pm\eu^{\iu\pi/4} = \pm\frac{\sqrt2}{2}(1 + \iu). y Δ=4−20=−16\Delta = 4 - 20 = -16: z=1±2iz = 1 \pm 2\iu.

5. z↦izz \mapsto \iu z: rotación de un cuarto de vuelta sobre el origen. ∣z−(1+i)∣=2\abs{z - (1 + \iu)} = 2: el círculo de centro 1+i1 + \iu y radio 22.

6.(ωk)5=e2iπk=1\left(\omega^k\right)^5 = \eu^{2\iu\pi k} = 1, y los cinco puntos e2ikπ/5\eu^{2\iu k\pi/5} son distintos: los cinco soluciones de z5=1z^5 = 1. Se sientan en el círculo unitario a iguales ángulos de 72∘72^\circ: un pentágono regular con un vértice en 11.

7. S=1+ω+⋯+ω4S = 1 + \omega + \dots + \omega^4 satisface (1−ω)S=1−ω5=0(1 - \omega)S = 1 - \omega^5 = 0 y ω≠1\omega \neq 1: S=0S = 0. (El punto de equilibrio del pentágono es su centro).

8. ω4=ω‾\omega^4 = \overline\omega y ω3=ω2‾\omega^3 = \overline{\omega^2}: emparejamiento conjugados, se lee el real parte de la suma 1+2cos⁡2π5+2cos⁡4π5=01 + 2\cos\frac{2\pi}{5} + 2\cos\frac{4\pi}{5} = 0.

9. cos⁡4π5=2c2−1\cos\frac{4\pi}{5} = 2c^2 - 1, entonces 1+2c+4c2−2=01 + 2c + 4c^2 - 2 = 0, es decir 4c2+2c−1=04c^2 + 2c - 1 = 0: c=−1+54c = \frac{-1 + \sqrt5}{4} (el positivo raíz, ya que 72∘72^\circ es agudo): cos⁡72∘=5−14\cos 72^\circ = \frac{\sqrt5 - 1}{4}.

10. Numéricamente c≈0.30902c \approx 0.30902: coincide con el calculadora. Y 12φ=11+5=5−14\frac{1}{2\varphi} = \frac{1}{1 + \sqrt5} = \frac{\sqrt5 - 1}{4} (racionalizar): c=12φc = \frac{1}{2\varphi}. El pentágono es dorado de principio a fin: sus cortes diagonales su lado en la proporción φ\varphi — el infinito del pentagrama autosimilitud.

11. Las raíces cuadradas se pueden construir con un compás (las máquina de semicírculo de la geometría del volumen de la escuela secundaria significar), por lo que un número construido a partir de racionales sólo mediante raíces cuadradas — como cos⁡72∘\cos 72^\circ — es construible; las raíces cúbicas son no, y cos⁡20∘\cos 20^\circ necesita uno: el pentágono cede, la trisección resiste. El criterio de Gauss resuelve todo regular. polígono — su 17-gon a los diecinueve lo hizo elegir matemáticas.

12. −4=4eiπ-4 = 4\eu^{\iu\pi}: el cuarto raíces tiene módulo 2\sqrt2 y argumentos π4+kπ2\frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}: los cuatro números ±1±i\pm 1 \pm \iu. Emparejamiento conjugados: (z−1−i)(z−1+i)=z2−2z+2(z - 1 - \iu)(z - 1 + \iu) = z^2 - 2z + 2 y (z+1−i)(z+1+i)=z2+2z+2(z + 1 - \iu)(z + 1 + \iu) = z^2 + 2z + 2: el factorización de Ejercicio 28.8.

13.(cos⁡θ+isin⁡θ)3=cos⁡3θ+3icos⁡2θsin⁡θ−3cos⁡θsin⁡2θ−isin⁡3θ(\cos\theta + \iu\sin\theta)^3 = \cos^3\theta + 3\iu\cos^2\theta\sin\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta - \iu\sin^3\theta; por de Moivre esto es igual cos⁡3θ+isin⁡3θ\cos 3\theta + \iu \sin 3\theta. partes reales: cos⁡3θ=cos⁡3θ−3cos⁡θ(1−cos⁡2θ)=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\cos 3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta(1 - \cos^2\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta — y el partes imaginarias entrega sin⁡3θ\sin 3\theta gratis.

14. Es el parte real de 1+ω+⋯+ω4=01 + \omega + \dots + \omega^4 = 0: la suma es igual a 00 — exactamente la pregunta 8, vista a través El núcleo de Ejercicio 28.9.

15. 8i=8eiπ/28\iu = 8\eu^{\iu\pi/2}: raíces 2eiπ/6=3+i2\eu^{\iu\pi/6} = \sqrt3 + \iu; 2e5iπ/6=−3+i2\eu^{5\iu\pi/6} = -\sqrt3 + \iu; 2e3iπ/2=−2i2\eu^{3\iu\pi/2} = -2\iu.

16. 1+i=2 eiπ/41 + \iu = \sqrt2\,\eu^{\iu\pi/4}: el mapa gira el avión en 45∘45^\circ y lo escala en 2\sqrt2. el el cuadrado unitario se convierte en un cuadrado inclinado de lado 2\sqrt2 — duplicó su área, giró un octavo de vuelta.

17. ∣z1z2∣2=z1z2z1z2‾=z1z1‾ z2z2‾=∣z1∣2∣z2∣2\abs{z_1 z_2}^2 = z_1 z_2 \overline{z_1 z_2} = z_1\overline{z_1}\, z_2\overline{z_2} = \abs{z_1}^2\abs{z_2}^2: sacar raíces cuadradas. poderes de 1+i1 + \iu: 1+i1 + \iu, 2i2\iu, −2+2i-2 + 2\iu, −4-4: cada uno 45∘45^\circ gira más y 2\sqrt2 veces más — un espiral hacia afuera a través de módulos 2,2,22,4,…\sqrt2, 2, 2\sqrt2, 4, \dots

18. j\mathrm{j} es un tercer raíz de la unidad distinto de 11, por lo que (pregunta 7 argumento con n=3n = 3) 1+j+j2=01 + \mathrm{j} + \mathrm{j}^2 = 0. Criterio sobre la norma. triángulo: a+jb+j2c=1+j⋅j+j2⋅j2=1+j2+j4=1+j2+j=0a + \mathrm{j}b + \mathrm{j}^2 c = 1 + \mathrm{j}\cdot\mathrm{j} + \mathrm{j}^2 \cdot \mathrm{j}^2 = 1 + \mathrm{j}^2 + \mathrm{j}^4 = 1 + \mathrm{j}^2 + \mathrm{j} = 0: satisfecho, como el triángulo equilátero (1,j,j2)\left(1, \mathrm{j}, \mathrm{j}^2\right) demandas.

19. Durante C\C, un polinomio real se divide en lineal factores; su raíces no real viene en pares conjugado (conjugado el ecuación), y cada par se multiplica en una cuadrática real z2−2Re⁡(z0) z+∣z0∣2z^2 - 2\operatorname{Re}(z_0)\,z + \abs{z_0}^2: de ahí el factorización real en piezas de grado-11 y grado-22 — La pregunta 12 la realizó en z4+4z^4 + 4.

20. Puntos; rotación y escala; polígonos regulares; identidades trigonométricas por expansión; y un mundo cerrado donde cada ecuación de grado nn tiene su nn raíces. Coda: en la pregunta 10, el pentágono de π\pi estrechó la mano del dorado ratio — los dos invitados más famosos de Euclides, presentados por fin por una suma de cinco flechas igual a cero.