Matemáticas universitarias — Grado 2 · Bachelor Year 2

23Funciones generatrices de probabilidad

Las series de potencias del Capítulo 11 vuelven con una misión probabilista: a una variable aleatoria con valores en $\N$ le asociamos la serie de potencias de coeficientes $\P(X = n)$ . Esta función generatriz convierte las sumas de variables independientes en productos, los momentos en derivadas en $1$ y las identidades combinatorias difíciles en multiplicaciones de una línea. El capítulo cierra el libro con dos piezas de lucimiento: la aproximación de Poisson de los sucesos raros y el criterio de extinción de los procesos de ramificación, un cálculo probabilista genuinamente infinito resuelto por entero mediante la geometría de una curva convexa.

23.1 Definición y propiedades básicas

Definición 23.1 (Función generatriz de probabilidad)

Sea $X$ una variable aleatoria con valores en $\N$ , y $p_n = \P(X = n)$ . La función generatriz de probabilidad de $X$ es la suma de la serie de potencias

G_X(t) = \E\bigl(t^X\bigr) = \sum_{n=0}^{\infty} p_n\,t^n .

Ejemplo 23.2 (Primeros reflejos)

Una variable constante $X = c$ tiene $G_X(t) = t^c$ ; un desplazamiento obedece a $G_{X+c}(t) = t^c\,G_X(t)$ ; y evaluar en puntos especiales permite leer información sin desarrollo alguno: $G_X(0) = \P(X = 0)$ , $G_X(1) = 1$ y $G_X(-1) = \P(X\text{ par}) - \P(X\text{ impar})$ , el balance de paridades explotado en el Ejercicio 23.10. Estas fórmulas de una línea se usan calladamente en todo lo que sigue; y la evaluación $G_X(0)$ es exactamente cómo se extraerán las probabilidades de extinción de las funciones generatrices iteradas al final del capítulo.

Proposición 23.3 (Radio y primeras propiedades)

La serie que define $G_X$ tiene radio de convergencia $\geq 1$ ; $G_X$ está definida y es continua sobre $\intcc{-1}{1}$ y $\mathcal{C}^\infty$ sobre $\intoo{-1}{1}$ , con $G_X(1) = 1$ y $\abs{G_X(t)} \leq 1$ ahí. Además, $G_X$ determina la ley de $X$ :

p_n = \frac{G_X^{(n)}(0)}{n!} .

Demostración. Como $\sum p_n = 1$ converge, los términos $p_n\,1^n$ están acotados, de modo que el radio es $\geq 1$ (lema de Abel, Capítulo 11); en $t = \pm1$ la serie converge absolutamente ( $\sum p_n = 1$ la domina); mejor aún, sobre todo el intervalo $\intcc{-1}1$ ,

\sup_{\abs t\leq1}\,\abs{p_nt^n} = p_n \quad\text{con}\quad \sum_np_n < \infty :

la serie converge normalmente sobre $\intcc{-1}1$ , así que su suma es continua ahí (Teoremas 10.16 y 10.4). La regularidad en el interior y la fórmula de los coeficientes son la teoría general de las series de potencias; y como los coeficientes se recuperan, dos variables con la misma función generatriz tienen la misma ley. ∎

Ejemplo 23.4 (Las leyes clásicas)

Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ : $G(t) = 1 - p + pt$ .
Binomial $\mathcal{B}(n, p)$ : $G(t) = \sum_k \binom nk (pt)^k(1-p)^{n-k} = (1 - p + pt)^n$ (teorema del binomio).
Geométrica $\mathcal{G}(p)$ : $G(t) = \sum_{k\geq1}(1-p)^{k-1}p\,t^k = \dfrac{pt}{1 - (1-p)t}$ (radio $\frac{1}{1-p} > 1$ ).
Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ : $G(t) = \sum_k e^{-\lambda}\frac{(\lambda t)^k}{k!} = e^{\lambda(t - 1)}$ (radio $\infty$ ).

Ejemplo 23.5 (Integrar la función generatriz)

Las derivadas de $G_X$ en $1$ dan los momentos positivos; la integral da uno negativo. De $\int_0^1t^k\dd t = \frac1{k+1}$ y la integración término a término (convergencia normal sobre $\intcc01$ ):

\int_0^1G_X(t)\,\dd t = \sum_{k\geq0}\frac{\P(X = k)}{k+1} = \E\Bigl(\frac1{1+X}\Bigr).

Para $X \sim \mathcal P(\lambda)$ :

\E\Bigl(\frac1{1+X}\Bigr) = \int_0^1\eu^{\lambda(t-1)}\,\dd t = \frac{1 - \eu^{-\lambda}}{\lambda},

lo que recupera en una línea el cálculo con series del Ejemplo 22.10. La función generatriz es un instrumento de doble sentido: derívese en $1$ para los momentos $\E(X)$ , $\E(X(X-1))$ , e intégrese sobre $\intcc01$ para $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$ ; un único objeto analítico, interrogado en la dirección que el problema necesite.

Ejemplo 23.6 (Una ley de radio exactamente uno)

Sea $\P(X = k) = \dfrac{6}{\pi^2k^2}$ para $k \geq 1$ ; una ley de probabilidad por la identidad de Basilea (Ejemplo 14.12). Su función generatriz $G(t) = \frac6{\pi^2}\sum_{k\geq1}\frac{t^k}{k^2}$ tiene radio de convergencia exactamente $1$ : la cota general “radio $\geq 1$ ” de la Proposición 23.3 no puede mejorarse. Y la media es

\sum_{k\geq1}k\,\P(X = k) = \frac6{\pi^2}\sum_{k\geq1}\frac1k = \infty :

$G$ es continua sobre $\intcc{-1}1$ y regular en el interior, pero su derivada estalla en $1^-$ ; la gráfica llega al punto $(1, 1)$ con tangente vertical. Las colas pesadas son visibles geométricamente en la función generatriz, en el único punto $t = 1$ ; el teorema de los momentos de más abajo hace exacta esa correspondencia.

Teorema 23.7 (Momentos a partir de la función generatriz)

$X$ tiene esperanza si y solo si $G_X$ es diferenciable en $1^-$ (derivada por la izquierda, finita), y entonces $\E(X) = G_X'(1)$ . Análogamente, $X$ tiene momento de orden dos si y solo si $G_X$ es dos veces diferenciable en $1^-$ , y entonces

\E\bigl(X(X - 1)\bigr) = G_X''(1), \qquad V(X) = G_X''(1) + G_X'(1) - G_X'(1)^2 .

Demostración. Para $t \in \intoo{0}{1}$ , la derivación término a término dentro del disco da $G_X'(t) = \sum_{n\geq1} np_n t^{n-1}$ , una serie de coeficientes no negativos: $t \mapsto G_X'(t)$ es no decreciente sobre $\intoo{0}{1}$ y, por la convergencia monótona de las sumas parciales (o el teorema de Abel para coeficientes no negativos, Capítulo 11),

\lim_{t \to 1^-} G_X'(t) = \sum_{n\geq1} n\,p_n \in \intcc{0}{+\infty} ,

siendo cada miembro finito exactamente cuando lo es el otro. Cuando es finito, el teorema del valor medio encaja los cocientes incrementales $\frac{G_X(1) - G_X(t)}{1 - t}$ entre valores de $G_X'$ , de modo que $G_X$ es diferenciable en $1^-$ con $G_X'(1) = \sum np_n = \E(X)$ (por transferencia). El enunciado de segundo orden repite el argumento un nivel más arriba: $G''_X(t) = \sum_{n\geq2}n(n-1)p_nt^{n-2}$ es no decreciente sobre $\intoo01$ con límite monótono $\sum_nn(n-1)p_n = \E(X(X-1))$ , finito exactamente cuando $X$ tiene momento de orden dos. La fórmula de la varianza se sigue entonces de König–Huygens:

V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2 = \E\bigl(X(X-1)\bigr) + \E(X) - \E(X)^2 = G''_X(1) + G'_X(1) - G'_X(1)^2 .

∎

Ejemplo 23.8

Poisson: $G'(t) = \lambda e^{\lambda(t-1)}$ , luego $\E(X) = \lambda$ ; y $G''(1) = \lambda^2$ , luego $V(X) = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda$ ; los cálculos del Capítulo 22 en una línea cada uno.

Ejemplo 23.9 (La moda de una ley de Poisson)

¿Dónde es mayor $\P(X = k)$ para $X \sim \mathcal P(\lambda)$ ? Los pesos consecutivos se comparan mediante el cociente

\frac{\P(X = k+1)}{\P(X = k)} = \frac{\lambda}{k + 1} ,

que supera $1$ mientras $k < \lambda - 1$ y cae por debajo de $1$ en cuanto $k > \lambda - 1$ : los pesos suben y luego bajan, con moda $\floor\lambda$ (y un empate entre $\lambda - 1$ y $\lambda$ cuando $\lambda$ es entero: para $\lambda = 3$ , $\P(X = 2) = \P(X = 3) = \frac92\eu^{-3} \approx 0.224$ ). Los criterios del cociente sobre los coeficientes suelen ser la vía más rápida hacia los hechos cualitativos de una ley discreta; no hace falta ninguna función generatriz, pero los coeficientes son la función generatriz, leída término a término.

23.2 Sumas de variables independientes

Teorema 23.10 (Multiplicatividad)

Si $X$ e $Y$ son variables aleatorias independientes con valores en $\N$ , entonces

G_{X + Y}(t) = G_X(t)\,G_Y(t) \qquad (\abs t \leq 1),

y por inducción, $G_{X_1 + \dots + X_n} = \prod_i G_{X_i}$ para $X_1, \dots, X_n$ independientes.

Demostración. Dos demostraciones, ambas instructivas. Vía esperanzas: $t^X$ y $t^Y$ son variables acotadas independientes, de modo que (Teorema 22.11)

G_{X+Y}(t) = \E\bigl(t^{X+Y}\bigr) = \E\bigl(t^X t^Y\bigr) = \E\bigl(t^X\bigr)\E\bigl(t^Y\bigr) .

Vía productos de Cauchy: la ley de $X + Y$ es la convolución $\P(X + Y = n) = \sum_{k=0}^n \P(X = k)\P(Y = n - k)$ , y el teorema del producto de Cauchy para series absolutamente convergentes (Capítulo 7) multiplica las dos series de potencias exactamente a lo largo de esa convolución. ∎

Ejemplo 23.11 (Estabilidad de las leyes clásicas)

Las binomiales independientes con el mismo $p$ se suman: $(1 - p + pt)^m(1 - p + pt)^n = (1 - p + pt)^{m+n}$ , luego $\mathcal{B}(m, p) + \mathcal{B}(n, p) = \mathcal{B}(m + n, p)$ ; en particular, una suma de $n$ variables de Bernoulli independientes es binomial, lo que vuelve a demostrar la ley del número de éxitos. Las de Poisson independientes se suman: $e^{\lambda(t-1)}e^{\mu(t-1)} = e^{(\lambda + \mu)(t-1)}$ , luego $\mathcal{P}(\lambda) + \mathcal{P}(\mu) = \mathcal{P}(\lambda + \mu)$ ; el cálculo de convolución del Ejercicio 22.2, ahora sin cálculo.

Ejemplo 23.12 (Dos dados, un polinomio al cuadrado)

Para un dado equilibrado, $G(t) = \frac{t + t^2 + \dots + t^6}{6}$ ; para la suma de dos,

G(t)^2 = \frac{1}{36}\bigl(t^2 + 2t^3 + 3t^4 + 4t^5 + 5t^6 + 6t^7 + 5t^8 + 4t^9 + 3t^{10} + 2t^{11} + t^{12}\bigr) :

la ley triangular de las sumas de dados ( $7$ es la moda, con probabilidad $\frac6{36} = \frac16$ ), leída en un cuadrado de polinomio que se desarrolla una vez en la vida. La fórmula de la convolución habría exigido once argumentos de recuento por separado; la función generatriz los hace todos a la vez, porque multiplicar polinomios es convolucionar coeficientes. Esta traducción mecánica —leyes a coeficientes, sumas a productos— es todo el modelo de negocio del capítulo, y el Ejercicio 23.11 lo lleva hasta los sorprendentes dados de Sicherman.

Ejemplo 23.13 (Tres dados y una extracción de coeficiente)

Para la suma $S$ de tres dados equilibrados, $\P(S = 10)$ es el coeficiente de $t^{10}$ en $\bigl(\frac{t + \dots + t^6}6\bigr)^3$ . Factorícese y desarróllese con las series binomial y geométrica:

\Bigl(\frac{t(1 - t^6)}{6(1 - t)}\Bigr)^{\!3} = \frac{t^3}{216}\,\bigl(1 - 3t^6 + 3t^{12} - t^{18}\bigr)\sum_{j\geq0}\binom{j+2}2t^j .

El coeficiente de $t^{10}$ requiere un $t^7$ del producto: $j = 7$ con el término $1$ , y $j = 1$ con el término $-3t^6$ :

\P(S = 10) = \frac{1}{216}\Bigl(\binom92 - 3\binom32\Bigr) = \frac{36 - 9}{216} = \frac{27}{216} = \frac18 .

Enumerar directamente las $27$ ternas es propenso a errores; el álgebra es mecánica y escala a cualquier número de dados: la inclusión-exclusión visible en $(1 - t^6)^3$ hace el análisis de casos automáticamente.

Ejemplo 23.14 (Leer una ley en su función generatriz)

¿Qué ley tiene $G(t) = \dfrac1{2 - t}$ ? Desarróllese en serie de potencias:

\frac{1}{2 - t} = \frac12\cdot\frac1{1 - t/2} = \sum_{k\geq0}\frac{t^k}{2^{k+1}} :

coeficientes no negativos que suman $G(1) = 1$ , de modo que es una ley genuina, $\P(X = k) = 2^{-(k+1)}$ sobre $\N$ ; una ley geométrica que empieza en $0$ . Por la unicidad (Proposición 23.3), ninguna otra ley comparte esta $G$ . Reconocer leyes a partir de sus funciones generatrices es una destreza que conviene ejercitar: así se desenmascara el iterado crítico de ramificación $G_n(t) = \frac{n - (n-1)t}{n+1 - nt}$ del problema de fin de semana como una ley geométrica condicionada a la supervivencia.

Observación 23.15

La estabilidad va en un solo sentido: las sumas de variables de Poisson independientes son de Poisson, pero las diferencias no; $X - Y$ toma valores negativos, de modo que no tiene función generatriz en absoluto, y su ley (la distribución de Skellam) queda fuera de la caja de herramientas de este capítulo. Igualmente, $\mathcal B(m, p) + \mathcal B(n, p')$ con $p \neq p'$ no es binomial: el producto $(1 - p + pt)^m(1 - p' + p't)^n$ tiene dos localizaciones distintas de raíces, mientras que toda función generatriz binomial tiene una única raíz repetida. Leer la estabilidad en los patrones de raíces es un pequeño anticipo de cuánta estructura codifica el polinomio.

Observación 23.16 (El filtro de las raíces de la unidad)

Evaluar en $-1$ separa lo par de lo impar; evaluar en todas las raíces $m$ -ésimas de la unidad separa cada clase de restos: con $\omega = \eu^{2\iu\pi/m}$ ,

\P(X \equiv r \bmod m) = \frac1m\sum_{j=0}^{m-1}\omega^{-jr}\,G_X(\omega^j),

ya que promediar $\omega^{j(k-r)}$ sobre $j$ da $1$ si $k \equiv r$ y $0$ en caso contrario. Dividendo de muestra: para la suma $S$ de dos dados equilibrados, cada $G(\omega^j) = \frac16\sum_{k=1}^6 \omega^{jk} = -\frac16$ para $j \neq 0$ (las siete raíces séptimas de la unidad suman cero), de modo que

\P(7 \mid S) = \frac17\Bigl(1 + 6\cdot\frac1{36}\Bigr) = \frac16 ,

lo que confirma el recuento del Ejemplo 23.12; y el método escala a preguntas donde el recuento directo no llega.

Teorema 23.17 (Sumas aleatorias: la identidad de Wald para funciones generatrices)

Sean $(X_k)_{k\geq1}$ variables independientes con valores en $\N$ , la misma ley y función generatriz $G_X$ , y sea $N$ una variable con valores en $\N$ , independiente de las $X_k$ y de función generatriz $G_N$ . Entonces la suma aleatoria $S = X_1 + \dots + X_N$ (con $S = 0$ cuando $N = 0$ ) tiene función generatriz

G_S = G_N \circ G_X .

En particular, si $N$ y $X_1$ tienen esperanza, $\E(S) = \E(N)\,\E(X_1)$ .

Demostración. Condiciónese a $N$ (probabilidad total, Teorema 21.14): para $\abs t \leq 1$ ,

G_S(t) = \sum_{n=0}^\infty \P(N = n)\, \E\bigl(t^{X_1 + \dots + X_n}\bigr) = \sum_{n=0}^\infty \P(N = n)\,G_X(t)^n = G_N\bigl(G_X(t)\bigr),

usando la multiplicatividad para cada $n$ fijo y la sumabilidad de toda la familia doble ( $\abs{G_X(t)} \leq 1$ ). El intercambio de sumaciones es Fubini para familias sumables (Capítulo 7). Derivando en $1^-$ por la regla de la cadena y el Teorema 23.7: $\E(S) = G_N'(G_X(1))\,G_X'(1) = G_N'(1)G_X'(1) = \E(N)\E(X_1)$ . ∎

Ejemplo 23.18 (Poisson compuesta: las pérdidas anuales de una aseguradora)

Una aseguradora recibe $N \sim \mathcal P(\lambda)$ siniestros en un año, y cada siniestro cuesta $X_k$ (unidades enteras, i.i.d., con función generatriz $G_X$ , media $\mu$ e independiente de $N$ ). Por el Teorema 23.17, la pérdida total $S$ tiene

G_S(t) = \eu^{\lambda(G_X(t) - 1)}, \qquad \E(S) = \lambda\mu ,

y derivando dos veces en $1^-$ :

V(S) = \lambda\,G_X''(1) + \lambda^2\mu^2 + \lambda\mu - (\lambda\mu)^2 = \lambda\,\E(X^2) .

La varianza involucra el momento segundo de un siniestro aislado, y no su varianza: una suma de Poisson compuesta siente dos veces el siniestro grande ocasional, una por cuántos y otra por lo grande. Para $\lambda = 10$ siniestros de ley geométrica de media $2$ ( $\E X^2 = 6$ ): $\E S = 20$ , $V(S) = 60$ , y Chebyshev (Capítulo 22) ya rinde márgenes de solvencia utilizables. Este patrón de “suma detenida al azar” es el mismo que impulsará la recursión de ramificación de la Proposición 23.23: la composición de funciones generatrices es el álgebra de las poblaciones aleatorias.

Observación 23.19

La independencia de $N$ respecto de los sumandos no es decorativa. Tómense $X_k \in \{0, 2\}$ con igual probabilidad y hágase $N = X_1$ (flagrantemente dependiente): entonces $S = X_1 + \dots + X_N$ vale $0$ cuando $X_1 = 0$ , y $2 + X_2$ cuando $X_1 = 2$ , de modo que $\E(S) = \frac12(2 + 1) = \frac32$ , mientras que $\E(N)\E(X_1) = 1\cdot1 = 1$ : la identidad de Wald falla. Cuando se permite que el número de términos reaccione a los propios términos, la estructura limpia de producto se derrumba; la teoría completa de esas reglas de “parada” es el capítulo de martingalas del volumen del tercer año.

23.3 Aproximación de Poisson

Teorema 23.20 (Ley de los sucesos raros)

Sea $X_n \sim \mathcal{B}(n, p_n)$ con $n\,p_n \to \lambda > 0$ . Entonces, para todo $k \in \N$ :

\P(X_n = k) \xrightarrow[n\to\infty]{} e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} :

la ley binomial de muchos sucesos independientes raros converge a la ley de Poisson de parámetro $\lambda$ .

Demostración. Cálculo directo con $p_n = \frac{\lambda_n}{n}$ , $\lambda_n \to \lambda$ :

\P(X_n = k) = \binom nk p_n^k(1 - p_n)^{n-k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}\cdot \frac{\lambda_n^k}{k!}\, \bigl(1 - \tfrac{\lambda_n}{n}\bigr)^{n-k} .

Cuando $n \to \infty$ con $k$ fijo: el primer factor tiende a $1$ (producto de $k$ factores $\to 1$ ); $\lambda_n^k \to \lambda^k$ ; y $\bigl(1 - \frac{\lambda_n}{n}\bigr)^{n-k} = \exp\bigl((n-k)\ln(1 - \frac{\lambda_n}{n})\bigr) \to e^{-\lambda}$ , pues $(n - k)\ln\bigl(1 - \frac{\lambda_n}{n}\bigr) \sim -\lambda_n \to -\lambda$ (Capítulo 6). Alternativamente, al nivel de las funciones generatrices: $G_{X_n}(t) = \bigl(1 + \frac{\lambda_n(t-1)}{n}\bigr)^n \to e^{\lambda(t - 1)} = G_{\mathcal{P}(\lambda)}(t)$ para cada $t \in [0, 1]$ fijo; la convergencia de las funciones generatrices, que (para variables con valores en $\N$ ) equivale a la convergencia de cada $\P(X_n = k)$ ; véase el Ejercicio 23.9. ∎

Observación 23.21

Por eso las leyes de Poisson modelan recuentos de sucesos raros —erratas por página, desintegraciones radiactivas por segundo, accidentes diarios en un cruce—: cada oportunidad es casi despreciable, las oportunidades son muchas y en el límite solo sobrevive la tasa media $\lambda$ .

Ejemplo 23.22 (Ver converger el límite de Poisson)

Fíjese $\lambda = 2$ y sea $X_n \sim \mathcal B(n, 2/n)$ . La probabilidad de ningún suceso es exactamente $\P(X_n = 0) = (1 - 2/n)^n$ :

n = 10:\ 0.107, \qquad n = 20:\ 0.122, \qquad n = 50:\ 0.130, \qquad n = 100:\ 0.133,

frente al límite $\eu^{-2} \approx 0.135$ . La convergencia es monótona y de velocidad $O(1/n)$ —desarrollando, $(1 - 2/n)^n = \eu^{-2}\bigl(1 - \tfrac2n + O(n^{-2})\bigr)$ —, de modo que para $n$ en los cientos el modelo de Poisson ya es preciso hasta la tercera cifra. Ese es el contenido práctico de la ley de los sucesos raros: quien modela nunca conoce $n$ y $p$ por separado (¿cuántas microoportunidades de errata alberga una página?), sino solo su producto $\lambda$ , y la ley límite, misericordiosamente, no depende de nada más.

23.4 Procesos de ramificación

Considérese una población que arranca de un único antepasado; cada individuo, de manera independiente, tiene un número aleatorio de hijos con ley $(p_k)_{k \in \N}$ y función generatriz $G$ (la distribución de la descendencia). Sea $Z_n$ el tamaño de la generación $n$ ( $Z_0 = 1$ ), y sea $m = G'(1) = \E(Z_1)$ el número medio de hijos.

Proposición 23.23

La función generatriz de $Z_n$ es el $n$ -ésimo iterado $G_{Z_n} = G \circ G \circ \dots \circ G$ ( $n$ veces), y las probabilidades de extinción $q_n = \P(Z_n = 0)$ cumplen

q_0 = 0, \qquad q_{n+1} = G(q_n),

y crecen hasta la probabilidad $q$ de extinción final, que es un punto fijo de $G$ .

Demostración. La generación $n + 1$ es la suma aleatoria de la descendencia de los $Z_n$ miembros de la generación $n$ , con recuentos independientes entre sí y de $Z_n$ : el Teorema 23.17 da $G_{Z_{n+1}} = G_{Z_n} \circ G$ , y la inducción desde $G_{Z_0}(t) = t$ rinde el iterado $n$ -ésimo, que, por la asociatividad de la composición, puede leerse igualmente como $G_{Z_{n+1}} = G \circ G_{Z_n}$ . Evaluando esta segunda forma en $0$ : $q_{n+1} = G_{Z_{n+1}}(0) = G\bigl(G_{Z_n}(0)\bigr) = G(q_n)$ . Los sucesos $\{Z_n = 0\}$ crecen (las poblaciones extinguidas siguen extinguidas), de modo que $q_n \uparrow q = \P\bigl(\bigcup_n\{Z_n = 0\}\bigr)$ por la continuidad monótona (Teorema 21.6), y la continuidad de $G$ sobre $[0, 1]$ convierte $q_{n+1} = G(q_n)$ en $q = G(q)$ al pasar al límite. ∎

Ejemplo 23.24 (Ver converger la extinción)

Para la ley de descendencia $(p_0, p_1, p_2) = (\tfrac14, \tfrac14, \tfrac12)$ del Ejemplo 23.27, $G(t) = \tfrac14 + \tfrac14t + \tfrac12t^2$ y la iteración $q_{n+1} = G(q_n)$ da

q_1 = 0.25, \quad q_2 = 0.34375, \quad q_3 \approx 0.39502, \quad q_4 \approx 0.42678, \quad q_5 \approx 0.44776,

subiendo hacia la probabilidad de extinción $q = \tfrac12$ . Las diferencias $q - q_n$ valen $0.25$ , $0.156$ , $0.105$ , $0.073$ , $0.052$ : cada una es aproximadamente $\tfrac34$ de la anterior y, en efecto, el teorema del valor medio da $q - q_{n+1} = G'(c_n)(q - q_n)$ con $G'(q) = \tfrac14 + q = \tfrac34$ . Dos moralejas: un linaje todavía vivo en la generación $n$ tiene, incorporada en el mismo cálculo, probabilidad $q - q_n$ de estar condenado más tarde; y el ritmo de convergencia de la escalera de la figura de más abajo es la derivada en el punto fijo. El problema de fin de semana convierte ambas observaciones en teoremas.

Teorema 23.25 (Criterio de extinción)

Supongamos $p_1 \neq 1$ . La probabilidad de extinción $q$ es el punto fijo más pequeño de $G$ en $\intcc{0}{1}$ , y:

si $m \leq 1$ (subcrítico o crítico), $q = 1$ : la extinción es cierta;
si $m > 1$ (supercrítico), $q < 1$ : la población sobrevive para siempre con probabilidad positiva $1 - q$ .

Demostración. $G$ es convexa sobre $\intcc{0}{1}$ (serie de potencias de coeficientes no negativos: $G'' \geq 0$ ), no decreciente, y con $G(1) = 1$ .

Punto fijo más pequeño: sea $r \in \intcc{0}{1}$ un punto fijo cualquiera. Entonces $q_0 = 0 \leq r$ y, por inducción, $q_{n+1} = G(q_n) \leq G(r) = r$ (monotonía): luego $q = \lim q_n \leq r$ .

Caso $m \leq 1$ : supóngase que $r < 1$ es un punto fijo. Por el teorema del valor medio sobre $[r, 1]$ , hay un $c \in \intoo{r}{1}$ con $G'(c) = \frac{G(1) - G(r)}{1 - r} = \frac{1 - r}{1 - r} = 1$ . Pero $G'$ es no decreciente (por convexidad) con $\lim_{t\to1^-}G'(t) = m \leq 1$ , de modo que $G' \leq 1$ sobre $\intoo{0}{1}$ ; la igualdad $G'(c) = 1$ fuerza entonces a $G'$ a ser constante igual a $1$ sobre $\intco{c}{1}$ , luego $G'' = \sum n(n-1)p_nt^{n-2} \equiv 0$ ahí. Una serie de potencias de coeficientes no negativos que se anula sobre un intervalo tiene todos esos coeficientes nulos: $p_n = 0$ para $n \geq 2$ , luego $G(t) = p_0 + p_1t$ y $1 = G'(c) = p_1$ , en contradicción con la hipótesis $p_1 \neq 1$ . Así pues, $1$ es el único punto fijo: $q = 1$ .

Caso $m > 1$ : cerca de $1$ , $G(t) - t$ tiene derivada $G'(t) - 1 \to m - 1 > 0$ cuando $t \to 1^-$ , de modo que $G(t) - t < G(1) - 1 = 0$ sobre algún intervalo $\intoo{1 - \delta}{1}$ : la función continua $G(t) - t$ es $\geq 0$ en $t = 0$ ( $G(0) = p_0 \geq 0$ ) y $< 0$ justo por debajo de $1$ , así que se anula en algún $r < 1$ (teorema del valor intermedio). El punto fijo más pequeño cumple entonces $q \leq r < 1$ . ∎

Las probabilidades de extinción como iteración de punto fijo q_n+1 = G(q_n) arrancando en q_0 = 0 (escalera roja). Izquierda: una ley de descendencia subcrítica; la curva convexa se mantiene por encima de la diagonal y la iteración sube hasta el único punto fijo 1. Derecha: una ley supercrítica; la curva cruza la diagonal en q < 1, donde la iteración se detiene: la supervivencia tiene probabilidad 1 - q > 0. — **Figura 23.1.** Las probabilidades de extinción como iteración de punto fijo $q_{n+1} = G(q_n)$ arrancando en $q_0 = 0$ (escalera roja). Izquierda: una ley de descendencia subcrítica; la curva convexa se mantiene por encima de la diagonal y la iteración sube hasta el único punto fijo $1$ . Derecha: una ley supercrítica; la curva cruza la diagonal en $q < 1$ , donde la iteración se detiene: la supervivencia tiene probabilidad $1 - q > 0$ .

Observación 23.26 (Cómo leer la telaraña)

En la figura, un movimiento vertical aplica $G$ (de $(q_n, q_n)$ a $(q_n, G(q_n))$ ) y un movimiento horizontal hasta la diagonal convierte la salida en entrada: la escalera es la recursión $q_{n+1} = G(q_n)$ . La convexidad de $G$ y $G(1) = 1$ dejan solo dos geometrías. O bien la curva se mantiene por encima de la diagonal sobre $\intco01$ (media $m \leq 1$ ): la escalera no tiene dónde detenerse antes de $1$ . O bien la curva cruza en algún $q < 1$ ( $m > 1$ ): la escalera queda atrapada por debajo del cruce y converge a él, al ritmo geométrico $G'(q) < 1$ cuantificado en el Ejemplo 23.24. Todo el análisis del teorema de extinción es visible en esta única imagen; por eso vale la pena dibujarla antes de calcular.

Ejemplo 23.27

Ley de descendencia: ningún hijo, un hijo o dos hijos con probabilidades $\frac14, \frac14, \frac12$ . Entonces $m = \frac14 + 1 = \frac54 > 1$ y $G(t) = \frac14 + \frac14 t + \frac12 t^2$ . Puntos fijos: $\frac12 t^2 - \frac34 t + \frac14 = 0$ , es decir, $2t^2 - 3t + 1 = (2t - 1)(t - 1) = 0$ : $q = \frac12$ . El linaje se extingue con probabilidad $\frac12$ y, con probabilidad $\frac12$ , vive para siempre.

Observación 23.28 (Perspectivas dentro de este volumen)

El capítulo es la encrucijada del libro, y cada ingrediente llegó de un lugar con nombre: el álgebra de series, del Capítulo 7 y del Capítulo 11; la probabilidad, del Capítulo 21 (la continuidad monótona demuestra $q_n \uparrow q$ ) y del Capítulo 22 ( $G_X = \E(t^X)$ es una esperanza, y la multiplicatividad es el teorema del producto); y la convexidad, del Capítulo 8 a través del Capítulo 17. Hasta las patologías de cola pesada conectan: la variable de San Petersburgo del capítulo anterior tiene $G(t) = \sum_k2^{-k}t^{2^k}$ , una serie perfectamente convergente sobre $\intcc01$ cuya derivada en $1^-$ diverge; media infinita, visible de un vistazo. Un solo objeto, todas las herramientas del año: un último capítulo apropiado.

Observación 23.29 (Errores frecuentes)

(i) Las funciones generatrices solo se aplican a variables con valores en $\N$ : para variables con signo o no enteras, el objeto $\E(t^X)$ pierde su estructura de serie de potencias (el tercer año lo sustituye por transformadas adaptadas a $\R$ ). (ii) La primera comprobación de sensatez de toda $G$ calculada es $G(1) = 1$ ; la segunda, que los coeficientes sean no negativos: un coeficiente negativo significa un desliz algebraico, no una ley nueva. (iii) En las sumas aleatorias importa el orden de composición: $G_S = G_N \circ G_X$ , con la función exterior contando los términos; componer al revés carece de sentido ( $G_X \circ G_N$ contaría elementos de elementos). (iv) La multiplicatividad necesita independencia y fuentes de aleatoriedad distintas: $G_{2X}(t) = G_X(t^2)$ , y no $G_X(t)^2$ . (v) Derivar en $1$ es una operación de frontera: cuando el radio es exactamente $1$ , como en el Ejemplo 23.6, $G'(1^-)$ puede ser infinita, y la formulación con límite monótono del teorema de los momentos no es una sutileza pedante, sino el enunciado honesto.

Cierre del volumen

La función generatriz es un objeto final apropiado para este libro: es simultáneamente una serie de potencias (Capítulo 11), una herramienta de familias sumables (Capítulo 7), una esperanza (Capítulo 22), una función convexa cuya geometría decide la extinción (Capítulo 8) y una iteración de punto fijo (Capítulo 4). La matemática del segundo año es una sola materia. El volumen del tercer año abrirá las puertas deliberadamente dejadas cerradas aquí: la integración de Lebesgue (saldando el teorema de convergencia dominada del Capítulo 9), la probabilidad en el marco de la teoría de la medida sobre espacios no numerables y la demostración completa del teorema de la función inversa (Capítulo 15) en el marco de la geometría diferencial.

23.5 Ejercicios

Ejercicio 23.1 ★

Calcula la función generatriz de la ley uniforme sobre $\{1, 2, \dots, 6\}$ (un dado equilibrado). Prueba que la suma de dos dados equilibrados no puede ser uniforme sobre $\{2, \dots, 12\}$ : factoriza $G_{X+Y}$ y cuenta raíces. (Una suma uniforme forzaría $G_X(t)G_Y(t) = \frac{t^2}{11}\sum_{k=0}^{10}t^k$ , cuyas raíces no nulas son las raíces $11$ -ésimas de la unidad distintas de $1$ —ninguna de ellas real—, mientras que $G_X/t$ y $G_Y/t$ son polinomios reales de grado $5$ , cada uno con al menos una raíz real.)

Solución

Solución de Ejercicio 23.1.

Dado equilibrado: $G(t) = \frac16(t + t^2 + \dots + t^6) = \frac t6(1 + t + \dots + t^5)$ . Si la suma de dos dados equilibrados fuera uniforme sobre $\{2, \dots, 12\}$ , entonces

G(t)^2 = \frac{t^2}{36}\,h(t)^2 = \frac{t^2}{11}\sum_{k=0}^{10}t^k , \qquad h(t) = 1 + t + \dots + t^5 .

Ahora bien, $h$ es un polinomio real de grado impar $5$ , luego tiene una raíz real (teorema del valor intermedio; en concreto, $h(-1) = 0$ ), y por tanto $h^2$ también. Pero $\sum_{k=0}^{10}t^k$ no tiene ninguna: es positivo para $t \geq 0$ y, para $t < 0$ , vale $\frac{t^{11} - 1}{t - 1}$ , un cociente de dos números negativos. Contradicción; la suma de dos dados equilibrados nunca es uniforme (como confirma la familiar distribución triangular de las sumas de dados).

Ejercicio 23.2 ★

Usando funciones generatrices, recupera $\E$ y $V$ para las leyes binomial y geométrica (Teorema 23.7).

Solución

Solución de Ejercicio 23.2.

Binomial: $G(t) = (1 - p + pt)^n$ , $G'(t) = np(1 - p + pt)^{n-1}$ , $G''(t) = n(n-1)p^2(1 - p + pt)^{n-2}$ , de modo que

\E(X) = G'(1) = np, \qquad V(X) = G''(1) + G'(1) - G'(1)^2 = n(n-1)p^2 + np - n^2p^2 = np(1-p).

Geométrica ( $q = 1 - p$ ): $G(t) = \frac{pt}{1 - qt}$ , luego $G'(t) = \frac{p}{(1 - qt)^2}$ y $G''(t) = \frac{2pq}{(1 - qt)^3}$ ; en $t = 1$ (usando $1 - q = p$ ):

\E(X) = \frac{p}{p^2} = \frac1p, \qquad V(X) = \frac{2q}{p^2} + \frac1p - \frac{1}{p^2} = \frac{2q + p - 1}{p^2} = \frac{q}{p^2} ,

que coincide con el Ejercicio 22.1 con menos trabajo.

Ejercicio 23.3 ★

Dos dados trucados: ¿es posible trucar dos dados (de manera independiente, igual o no) para que su suma sea uniforme sobre $\{2, \dots, 12\}$ ? (La misma obstrucción de factorización del Ejercicio 23.1: la respuesta es no ni siquiera con trucajes distintos, porque cada factor $G_X(t)/t$ tiene grado impar $5$ y, por tanto, una raíz real, mientras que el objetivo no tiene ninguna.)

Solución

Solución de Ejercicio 23.3.

No, ni siquiera con trucajes distintos. Supongamos que $X, Y$ son leyes sobre $\{1, \dots, 6\}$ con suma uniforme. Entonces $G_X(t) = t\,a(t)$ y $G_Y(t) = t\,b(t)$ con $a, b$ polinomios reales de grado a lo sumo $5$ ; y sus grados han de sumar $10$ (la suma alcanza $12$ con probabilidad positiva), de modo que $\deg a = \deg b = 5$ , ambos impares. Como en el Ejercicio 23.1,

a(t)\,b(t) = \frac{1}{11}\sum_{k=0}^{10}t^k

forzaría una raíz real en el miembro izquierdo (todo polinomio real de grado impar tiene una) y ninguna en el derecho. Así pues, ningún trucaje de dos dados independientes —iguales o no— produce una suma uniforme.

Ejercicio 23.4 ★★

Sean $X_1, X_2, \dots$ de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ independientes y $N \sim \mathcal{P}(\lambda)$ independiente de ellas. Prueba, vía el Teorema 23.17, que $S = X_1 + \dots + X_N \sim \mathcal{P}(\lambda p)$ : un número de Poisson de elementos, cada uno conservado con probabilidad $p$ , deja un número de Poisson; el adelgazamiento. Calcula también la ley del recuento descartado y admira: es $\mathcal{P}(\lambda(1-p))$ , y puede probarse que es independiente de $S$ .

Solución

Solución de Ejercicio 23.4.

Por el Teorema 23.17 con $G_N(s) = e^{\lambda(s-1)}$ y $G_X(t) = 1 - p + pt$ :

G_S(t) = e^{\lambda(1 - p + pt - 1)} = e^{\lambda p(t - 1)} :

$S \sim \mathcal{P}(\lambda p)$ . El recuento descartado $D = N - S$ cuenta los mismos elementos conservados con probabilidad $1 - p$ , así que, por el mismo cálculo, $D \sim \mathcal{P}(\lambda(1 - p))$ . Independencia, directamente: para $j, k \in \N$ ,

\begin{align*} \P(S = j,\ D = k) &= \P(N = j + k)\,\binom{j+k}{j}p^jq^k = e^{-\lambda}\frac{\lambda^{j+k}}{(j+k)!}\, \frac{(j+k)!}{j!\,k!}\,p^jq^k\\ &= \Bigl(e^{-\lambda p}\frac{(\lambda p)^j}{j!}\Bigr) \Bigl(e^{-\lambda q}\frac{(\lambda q)^k}{k!}\Bigr) \end{align*}

con $q = 1 - p$ : la ley conjunta factoriza como $\mathcal{P}(\lambda p) \otimes \mathcal{P}(\lambda q)$ . Un flujo de Poisson dividido al azar rinde flujos de Poisson independientes; un pequeño milagro usado constantemente en teoría de colas.

Ejercicio 23.5 ★★

(Binomial negativa) Sea $T_r$ el número de lanzamientos para obtener $r$ caras (con probabilidad de cara $p$ ). Escribe $T_r$ como suma de $r$ variables geométricas independientes, deduce

G_{T_r}(t) = \Bigl(\frac{pt}{1 - (1-p)t}\Bigr)^{r}, \qquad \E(T_r) = \frac rp, \qquad V(T_r) = \frac{r(1-p)}{p^2},

y desarrolla $G_{T_r}$ para hallar $\P(T_r = n) = \binom{n-1}{r-1} p^r(1-p)^{n-r}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 23.5.

Los tiempos de espera entre caras consecutivas son variables geométricas $\mathcal{G}(p)$ independientes (ausencia de memoria: tras cada cara el juego recomienza), de modo que $T_r = W_1 + \dots + W_r$ y la multiplicatividad (Teorema 23.10) da

G_{T_r}(t) = \Bigl(\frac{pt}{1 - qt}\Bigr)^{r}, \qquad \E(T_r) = r\,\E(W_1) = \frac rp, \qquad V(T_r) = r\,V(W_1) = \frac{rq}{p^2}

( $q = 1 - p$ ; las varianzas se suman por independencia). Desarrollo: por la serie binomial generalizada (Capítulo 11), $(1 - qt)^{-r} = \sum_{m\geq0} \binom{m + r - 1}{r - 1}q^mt^m$ , de modo que el coeficiente de $t^n$ en $p^rt^r(1 - qt)^{-r}$ es (con $m = n - r$ )

\P(T_r = n) = \binom{n-1}{r-1}p^r(1-p)^{n-r}, \qquad n \geq r ,

la ley binomial negativa; combinatoriamente: la $r$ -ésima cara cae en el lanzamiento $n$ si y solo si las $r - 1$ caras anteriores eligen sus posiciones entre los $n - 1$ primeros lanzamientos.

Ejercicio 23.6 ★★

Para la ley de descendencia $p_0 = \frac18$ , $p_1 = \frac38$ , $p_2 = \frac38$ , $p_3 = \frac18$ : calcula $m$ , decide la supercriticalidad y calcula exactamente la probabilidad de extinción $q$ . (Sáquese factor la raíz $t = 1$ de $G(t) - t$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 23.6.

$m = 1\cdot\frac38 + 2\cdot\frac38 + 3\cdot\frac18 = \frac{3 + 6 + 3}{8} = \frac32 > 1$ : supercrítico. La función generatriz es

G(t) = \frac{1 + 3t + 3t^2 + t^3}{8} = \frac{(1 + t)^3}{8} ,

así que los puntos fijos resuelven $(1 + t)^3 = 8t$ , es decir, $t^3 + 3t^2 - 5t + 1 = 0$ . Sacando factor la raíz garantizada $t = 1$ :

t^3 + 3t^2 - 5t + 1 = (t - 1)\bigl(t^2 + 4t - 1\bigr),

y $t^2 + 4t - 1 = 0$ da $t = -2 \pm \sqrt5$ . La raíz de $\intco{0}{1}$ es $\sqrt5 - 2 \approx 0.236$ : por el Teorema 23.25,

q = \sqrt 5 - 2 .

(Una comprobación agradable: la ley de descendencia es la de $3$ monedas equilibradas independientes, $Z_1 \sim \mathcal{B}(3, \frac12)$ .)

Ejercicio 23.7 ★★★

(Descendencia total) En un proceso de ramificación subcrítico ( $m < 1$ ), sea $Y = \sum_{n\geq0} Z_n$ el número total de individuos nacidos alguna vez. Prueba que $\E(Y) = \sum_n m^n = \frac{1}{1 - m}$ (justifica el intercambio de sumaciones) y demuestra que la función generatriz $H = G_Y$ satisface la ecuación funcional $H(t) = t\,G(H(t))$ . (El antepasado, más las descendencias totales de cada uno de sus hijos, que son copias independientes de $Y$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 23.7.

Esperanza. Primero, $\E(Z_n) = m^n$ : por el Teorema 23.17, $\E(Z_{n+1}) = \E(Z_n)\,m$ , y $\E(Z_0) = 1$ . La familia $\bigl(Z_n(\omega)\P(\{\omega\}) \bigr)_{n, \omega}$ es no negativa, así que Fubini para familias se aplica incondicionalmente:

\E(Y) = \sum_{n=0}^{\infty}\E(Z_n) = \sum_{n=0}^\infty m^n = \frac{1}{1 - m} < \infty

(en particular, $Y$ es finita casi seguramente, coherentemente con la extinción cierta del caso subcrítico).

Ecuación funcional. Descompóngase la población según los hijos del antepasado: si el antepasado tiene $Z_1 = k$ hijos, la descendencia total es $Y = 1 + Y_1 + \dots + Y_k$ , donde $Y_i$ es la descendencia total del linaje del $i$ -ésimo hijo; y las $Y_i$ son copias independientes de $Y$ , independientes de $Z_1$ (linajes distintos usan sucesos de reproducción disjuntos e independientes). Condicionando a $Z_1$ como en el Teorema 23.17:

H(t) = \E\bigl(t^Y\bigr) = t\sum_{k=0}^\infty \P(Z_1 = k)\,H(t)^k = t\,G\bigl(H(t)\bigr),

donde el factor $t$ da cuenta del propio antepasado. (Para la ley $p_0 = 1 - p$ , $p_2 = p$ de la ramificación binaria, esta ecuación cuadrática en $H$ puede resolverse explícitamente y desarrollarse: los números de Catalan del Capítulo 11 cuentan los árboles genealógicos.)

Ejercicio 23.8 ★★★

Sea $X$ con función generatriz $G$ de radio de convergencia $> 1$ . Demuestra la cota exponencial de la cola: existen $C > 0$ y $\rho \in \intoo{0}{1}$ con $\P(X \geq n) \leq C\rho^n$ . (Markov aplicado a $t^X$ para un $t > 1$ fijo dentro del disco.) Recíprocamente, prueba que si $\P(X \geq n) \leq C\rho^n$ con $\rho < 1$ , el radio de $G$ es $\geq 1/\rho > 1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 23.8.

Sea $R > 1$ el radio y fíjese $t \in \intoo{1}{R}$ . Entonces $\E(t^X) = G(t) < \infty$ , y la desigualdad de Markov (Teorema 22.15) aplicada a la variable no negativa $t^X$ al nivel $t^n$ :

\P(X \geq n) = \P\bigl(t^X \geq t^n\bigr) \leq \frac{G(t)}{t^n} = C\rho^n, \qquad C = G(t),\quad \rho = \frac1t \in \intoo{0}{1}.

Recíproco: si $\P(X \geq n) \leq C\rho^n$ , entonces $p_n \leq \P(X \geq n) \leq C\rho^n$ , de modo que para $\abs t < \frac1\rho$ la serie $\sum p_n\abs t^n$ está dominada por la serie geométrica convergente $C\sum(\rho\abs t)^n$ : el radio es al menos $\frac1\rho > 1$ . El radio de la función generatriz y el decaimiento geométrico de la cola son dos caras de una misma propiedad.

Ejercicio 23.9 ★★★

(Teorema de continuidad, caso elemental) Sean $X, X_1, X_2, \dots$ con valores en $\N$ y tales que $G_{X_n}(t) \to G_X(t)$ para todo $t \in \intco{0}{1}$ . Prueba que $\P(X_n = k) \to \P(X = k)$ para todo $k$ . (Inducción sobre $k$ : para $k = 0$ , hágase $t \to 0$ , pero con cuidado: fíjese $t$ pequeño y úsese $\abs{\P(X_n = 0) - G_{X_n}(t)} \leq \frac{t}{1-t}$ , válido porque la cola $\sum_{j \geq 1}p_jt^j \leq \frac{t}{1 - t}$ ; después, diagonalícese. Para el paso de inducción, considérese $\frac{G(t) - \P(X = 0)}{t}$ , la función generatriz de una ley desplazada.)

Solución

Solución de Ejercicio 23.9.

Escríbanse $p_k^{(n)} = \P(X_n = k)$ y $p_k = \P(X = k)$ .

Caso $k = 0$ . Para $t \in \intoo{0}{1}$ y cualquier ley $(q_j)$ con $\sum_j q_j \leq 1$ :

\Bigl|\,q_0 - \sum_j q_jt^j\Bigr| = \sum_{j \geq 1} q_j t^j \leq \sum_{j\geq1}t^j = \frac{t}{1 - t} .

De ahí,

\abs{p_0^{(n)} - p_0} \leq \frac{2t}{1 - t} + \abs{G_{X_n}(t) - G_X(t)} .

Dado $\varepsilon > 0$ , elíjase $t$ con $\frac{2t}{1-t} < \frac\varepsilon2$ y después $n_0$ tal que el último término sea $< \frac\varepsilon2$ para $n \geq n_0$ : así, $p_0^{(n)} \to p_0$ .

Paso de inducción. Supongamos $p_j^{(n)} \to p_j$ para $j < k$ . Considérense las funciones desplazadas

g_n(t) = \frac{G_{X_n}(t) - p^{(n)}_0}{t} = \sum_{j\geq0} p^{(n)}_{j+1}t^j, \qquad g(t) = \frac{G_X(t) - p_0}{t} ,

funciones generatrices de las sucesiones subprobabilísticas $(p^{(n)}_{j+1})_j$ (masa total $\leq 1$ , que es todo lo que usaba el argumento del caso $k = 0$ ). Para $t \in \intoo{0}{1}$ fijo, $g_n(t) \to g(t)$ por hipótesis y por el caso $k = 0$ . Aplicando el argumento del caso $k = 0$ a $g_n$ resulta $p_1^{(n)} \to p_1$ ; e iterando el desplazamiento $k$ veces se obtiene $p_k^{(n)} \to p_k$ para todo $k$ . (Esta es la instancia discreta y elemental del teorema de continuidad de Lévy, cuya forma general —para funciones características— es un hito del tercer año.)

Ejercicio 23.10 ★

(El truco de la paridad) Prueba que, para una variable $X$ con valores en $\N$ ,

\P(X \text{ par}) = \frac{1 + G_X(-1)}{2} ,

y calcula esta probabilidad para $X \sim \mathcal P(\lambda)$ y para $X \sim \mathcal B(n, p)$ . ¿Qué significa probabilísticamente $G_X(-1) \to 0$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 23.10.

Punto a punto, $\frac{1 + (-1)^X}{2}$ vale $1$ cuando $X$ es par y $0$ cuando es impar, de modo que, tomando esperanzas (transferencia),

\P(X \text{ par}) = \frac{1 + \E\bigl((-1)^X\bigr)}2 = \frac{1 + G_X(-1)}2 .

Poisson: $\frac{1 + \eu^{-2\lambda}}2 \to \frac12$ cuando $\lambda$ crece. Binomial: $\frac{1 + (1 - 2p)^n}2$ . En ambos casos, $G_X(-1) \to 0$ dice que la paridad de $X$ se vuelve una moneda equilibrada: la ley se reparte sobre muchos enteros y olvida su paridad.

Ejercicio 23.11 ★★

(Dados de Sicherman) Verifica la factorización de la función generatriz del dado equilibrado

\frac{t + t^2 + \dots + t^6}{6} = \frac{t\,(1 + t)(1 + t + t^2)(1 - t + t^2)}{6},

y prueba que los dos dados de caras $\{1, 2, 2, 3, 3, 4\}$ y $\{1, 3, 4, 5, 6, 8\}$ tienen funciones generatrices $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)}6$ y $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)(1-t+t^2)^2}6$ , cuyo producto es el de dos dados estándar: esos dados exóticos producen cada total $2, \dots, 12$ exactamente con las probabilidades estándar.

Solución

Solución de Ejercicio 23.11.

$t + \dots + t^6 = t\,\frac{1 - t^6}{1 - t}$ y $1 - t^6 = (1 - t)(1 + t)(1 + t + t^2)(1 - t + t^2)$ , lo que da la factorización enunciada. Para el primer dado, $(1 + t)(1 + t + t^2) = 1 + 2t + 2t^2 + t^3$ , de modo que $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)}6 = \frac{t + 2t^2 + 2t^3 + t^4}6$ : caras $\{1, 2, 2, 3, 3, 4\}$ . Para el segundo, desarrollando

(1 + 2t + 2t^2 + t^3)(1 - t + t^2)^2 = 1 + t^2 + t^3 + t^4 + t^5 + t^7,

resulta $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)(1-t+t^2)^2}6 = \frac{t + t^3 + t^4 + t^5 + t^6 + t^8}6$ : caras $\{1, 3, 4, 5, 6, 8\}$ . El producto de las dos funciones generatrices reagrupa los seis factores en $\bigl(\frac{t(1+t)(1+t+t^2)(1-t+t^2)}6 \bigr)^2$ , el cuadrado de la función del dado estándar: el par de Sicherman tiene exactamente la ley estándar para el total; las funciones generatrices clasifican todas esas reagrupaciones.

Ejercicio 23.12 ★★★

(Esperando dos caras seguidas) Se lanza una moneda con probabilidad de cara $p$ hasta que aparecen dos caras consecutivas; sea $T$ el número de lanzamientos (el juego del Ejercicio 21.6). Condicionando a los primeros lanzamientos, deduce un sistema lineal para las funciones generatrices desde los estados “sin cara actual” y “con una cara actual”, y concluye que

G_T(t) = \frac{p^2t^2}{1 - qt - pqt^2} \qquad (q = 1 - p);

comprueba $G_T(1) = 1$ y $\E(T) = \dfrac{1 + p}{p^2}$ ( $= 6$ para una moneda equilibrada).

Solución

Solución de Ejercicio 23.12.

Sean $A$ y $B$ las funciones generatrices de la duración restante arrancando desde “sin cara actual” y desde “con una cara actual”. Se gasta un lanzamiento y entonces: desde el estado $0$ , una cruz devuelve al estado $0$ y una cara pasa al estado $1$ ; desde el estado $1$ , una cara termina el juego y una cruz devuelve al estado $0$ :

A(t) = t\bigl(q\,A(t) + p\,B(t)\bigr), \qquad B(t) = t\bigl(p + q\,A(t)\bigr).

Sustituyendo: $A(1 - qt) = pt\,B = pt(pt + qtA)$ , de donde

G_T(t) = A(t) = \frac{p^2t^2}{1 - qt - pq\,t^2} .

En $t = 1$ el denominador vale $1 - q - pq = p(1 - q) = p^2$ : $G_T(1) = 1$ , el juego termina casi seguramente (como mostraba el Ejercicio 21.6 por recursión). Derivación logarítmica en $1$ : $\E(T) = 2 - \frac{D'(1)}{D(1)}$ con $D(t) = 1 - qt - pqt^2$ y $D'(1) = -q - 2pq$ :

\E(T) = 2 + \frac{q + 2pq}{p^2} = \frac{2p^2 + q + 2pq}{p^2} = \frac{1 + p}{p^2},

que vale $6$ para $p = \frac12$ .

23.6 Problema: el proceso de Galton–Watson, resuelto

Problema 23.1

Problema de fin de semana — ritmos de crecimiento, soluciones exactas, descendencia total y la estimación crítica de Kolmogórov

El criterio de extinción (Teorema 23.25) reparte los procesos de ramificación en subcríticos, críticos y supercríticos; pero no dice nada de los ritmos: cuán deprisa muere un linaje condenado, cuánto crece uno que sobrevive. Este problema los calcula. Mantenemos la notación del capítulo: ley de descendencia $(p_k)$ con función generatriz $G$ , media $m = G'(1)$ , tamaños de generación $Z_n$ ( $Z_0 = 1$ ), iterados $G_n = G_{Z_n}$ y probabilidades de extinción $q_n = \P(Z_n = 0) \uparrow q$ ; suponemos siempre $p_1 \neq 1$ y, donde aparezcan momentos de orden dos, $G''(1) < \infty$ , y escribimos $\sigma^2 = V(Z_1)$ .

Parte I — Momentos de las generaciones.

Prueba que $\E(Z_n) = m^n$ (regla de la cadena sobre $G_n = G \circ G_{n-1}$ en $1^-$ , usando $G_{n-1}(1) = 1$ y el Teorema 23.7).
Establece la recursión $G_n''(1) = G''(1)\,m^{2(n-1)} + m\,G_{n-1}''(1)$ y resuélvela: $G_n''(1) = G''(1)\,m^{n-1}\dfrac{m^n - 1}{m - 1}$ para $m \neq 1$ , y $G_n''(1) = n\,G''(1)$ para $m = 1$ .
Deduce que

$V(Z_n) = \sigma^2m^{n-1}\,\frac{m^n - 1}{m - 1} \quad (m \neq 1), \qquad V(Z_n) = n\,\sigma^2 \quad (m = 1).$
(Ritmo subcrítico, cota superior) Para $m < 1$ , prueba que $\P(Z_n > 0) \leq m^n$ (Markov sobre la $Z_n$ de valores enteros): la extinción es cierta con ritmo geométrico; un refinamiento cuantitativo del criterio del capítulo.
(Ritmo subcrítico, cota inferior) Usando Cauchy–Schwarz sobre $Z_n\mathbf 1_{Z_n > 0}$ , prueba que

$\P(Z_n > 0) \geq \frac{\E(Z_n)^2}{\E(Z_n^2)} \geq c\,m^{n} \quad\text{con}\quad c = \Bigl(\frac{\sigma^2}{m(1-m)} + 1\Bigr)^{-1} :$

el ritmo geométrico $m^n$ es exacto salvo constantes.

Parte II — La familia geométrica, resuelta exactamente. Sea la ley de descendencia geométrica sobre $\N$ : $p_k = qp^k$ ( $k \geq 0$ ), con $0 < p < 1$ y $q = 1 - p$ .

Calcula $G(t) = \dfrac{q}{1 - pt}$ y $m = \dfrac pq$ ; sitúa los tres regímenes en términos de $p$ .
Resuelve $G(t) = t$ : prueba que los puntos fijos son $1$ y $q/p = 1/m$ , y recupera la probabilidad de extinción $q_{\mathrm{ext}} = \min(1, 1/m)$ .
Demuestra por inducción las formas cerradas

$q_n = \frac{m^n - 1}{m^{n+1} - 1} \quad (m \neq 1), \qquad q_n = \frac{n}{n+1} \quad (m = 1).$
Deduce los ritmos exactos: $1 - q_n \sim (1 - m)\,m^n$ en el caso subcrítico, y $q_{\mathrm{ext}} - q_n \sim \dfrac{m - 1}{m^{2}}\cdot m^{-n}$ en el supercrítico; comprueba que la razón de contracción supercrítica es $G'(q_{\mathrm{ext}}) = 1/m$ .
Caso crítico ( $p = \tfrac12$ ): calcula $\sigma^2 = 2$ y obsérvese que $1 - q_n = \frac1{n+1}$ : la supervivencia decae como $\frac1n$ ; ni geométricamente ni de manera sumable.
Todavía en el caso crítico: demuestra por inducción el iterado completo

$G_n(t) = \frac{n - (n-1)t}{n + 1 - nt},$

y deduce que, condicionada a la supervivencia, $Z_n$ es geométrica sobre $\N^*$ de parámetro $\frac1{n+1}$ :

$\P(Z_n = k \mid Z_n > 0) = \frac1{n+1} \Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{k-1}, \qquad \E(Z_n \mid Z_n > 0) = n + 1 .$

El linaje medio muere, pero los que sobreviven tienen tamaño de orden $n$ .

Parte III — Descendencia total. Sea $Y = \sum_{n\geq0}Z_n \in \N^* \cup \{\infty\}$ el número total de individuos nacidos alguna vez, y $H(t) = \sum_{k\geq1}\P(Y = k)t^k$ .

Justifica que $\P(Y < \infty) = q_{\mathrm{ext}}$ , y recuerda del Ejercicio 23.7 la ecuación funcional $H(t) = t\,G(H(t))$ (cuya deducción no usaba $m < 1$ ).
(Ramificación binaria) Para $p_0 = p_2 = \frac12$ (crítico), resuelve la ecuación funcional:

$H(t) = \frac{1 - \sqrt{1 - t^2}}{t},$

y desarróllala con el Ejemplo 11.21 para obtener

$\P(Y = 2k + 1) = \frac{C_k}{2^{2k+1}}, \qquad C_k = \frac1{k+1}\binom{2k}k ;$

comprueba los valores $\P(Y = 1) = \frac12$ y $\P(Y = 3) = \frac18$ por recuento directo.
Derivando la ecuación funcional en $1^-$ , prueba que $\E(Y) = \frac{1}{1-m}$ para $m < 1$ , mientras que la criticidad fuerza $\E(Y) = \infty$ : la descendencia total crítica es finita casi seguramente, con media infinita.
Con las asintóticas del coeficiente binomial central (Ejemplo 6.14), prueba que

$\P(Y = 2k+1) \sim \frac{1}{2\sqrt\pi\,k^{3/2}},$

una cola pesada $k^{-3/2}$ , y deduce que $\P(Y > n) \asymp n^{-1/2}$ (bastan cotas superior e inferior de ese orden).
Compara con el paseo aleatorio equilibrado (el problema de fin de semana del Capítulo 21): allí, tiempos de retorno ciertos y de media infinita; aquí, descendencia total cierta y de media infinita, ambos con leyes locales $n^{-3/2}$ . Un párrafo sobre por qué la criticidad produce esta firma.

Parte IV — La estimación de Kolmogórov en la criticidad. Supongamos $m = 1$ y $0 < \sigma^2 = G''(1) < \infty$ .

Prueba que $G''$ se extiende de manera continua a $\intcc01$ (no negativa, creciente y con límite finito) y deduce el desarrollo de Taylor en $1$ :

$G(t) = t + b\,(1-t)^2 + o\bigl((1-t)^2\bigr), \qquad b = \frac{G''(1)}2 = \frac{\sigma^2}2 .$
Para $t \in \intco01$ , póngase $h(t) = \dfrac1{1 - G(t)} - \dfrac1{1 - t}$ . Prueba que

$h(t) = \frac{G(t) - t}{(1 - G(t))(1 - t)} \xrightarrow[t\to1^-]{} b .$
Telescopa a lo largo de la iteración $q_{j+1} = G(q_j)$ :

$\frac1{1 - q_n} = 1 + \sum_{j=0}^{n-1}h(q_j),$

y concluye con un argumento de Cesàro que

$\P(Z_n > 0) = 1 - q_n \sim \frac{2}{\sigma^2\,n}$

—la estimación de Kolmogórov: todo proceso de ramificación crítico muere al ritmo universal $1/n$ , y solo la constante recuerda la ley de descendencia.
Comprueba la estimación contra el caso geométrico crítico de la pregunta 10.
Deduce que $\E(Z_n \mid Z_n > 0) = \dfrac{1}{1 - q_n} \sim \dfrac{\sigma^2 n}{2}$ (obsérvese que $\E(Z_n \mathbf 1_{Z_n>0}) = \E(Z_n) = 1$ ), y contrástalo con la pregunta 11: condicionada a la supervivencia, la población crece linealmente; la cuerda floja crítica entre la muerte y la explosión.

Parte V — Aplicaciones y síntesis.

(Epidemias, reacciones en cadena) Para una ley de descendencia de Poisson $\mathcal P(\lambda)$ —cada caso contagia a $\mathcal P(\lambda)$ casos nuevos—, escribe la ecuación de extinción $q = \eu^{\lambda(q-1)}$ y resuélvela numéricamente para $\lambda = 1.5$ ( $q \approx 0.417$ ) y $\lambda = 2$ ( $q \approx 0.203$ ): partiendo de un solo caso, un brote grande no es seguro ni siquiera cuando $\lambda > 1$ . Explica por qué la iteración $q_{n+1} = \eu^{\lambda(q_n - 1)}$ desde $q_0 = 0$ converge a la raíz correcta.
Partiendo de $k$ antepasados en vez de uno, prueba que la probabilidad de extinción es $q^k$ . Aplicación: con $\lambda = 1.5$ , ¿cuántos casos iniciales hacen que un brote sea al menos un $99\,\%$ probable?
(Condicionar a la extinción un proceso supercrítico) Para $m > 1$ con probabilidad de extinción $q \in \intoo01$ : demuestra primero, por convexidad, que $G'(q) < 1$ en el punto fijo más pequeño, y deduce que $q_{\mathrm{ext}} - q_n = O\bigl(G'(q)^n\bigr)$ (convergencia geométrica, como ejemplificaba la pregunta 9). Prueba después que $\widehat G(t) = G(qt)/q$ es la función generatriz de una ley de descendencia legítima, de media $\widehat m = G'(q) < 1$ : un proceso compañero subcrítico. Verifícalo sobre la familia geométrica: condicionar a la extinción el proceso supercrítico $(p, q)$ intercambia $p$ y $q$ . (El enunciado completo —que el proceso condicionado es el proceso compañero— se demuestra en el volumen del tercer año; aquí has verificado su sombra en las funciones generatrices.)
Síntesis: redacta la tabla de la tricotomía —para $m < 1$ , $m = 1$ y $m > 1$ : valor de $q$ ; ritmo de $\P(Z_n > 0)$ o de $q - q_n$ ; $\E(Y)$ ; tamaño de una generación que sobrevive. Enuncia, en una frase por herramienta, cómo la composición de funciones generatrices, la convexidad, Taylor en $1^-$ y el promedio de Cesàro sostuvieron todo el problema, y qué añade el volumen del tercer año (la martingala $Z_n/m^n$ y la ley límite exponencial de Yaglom).

Solución

Solución de Problema 23.1.

1. Para $t \in \intoo01$ , la regla de la cadena sobre $G_n = G \circ G_{n-1}$ da $G_n'(t) = G'\bigl(G_{n-1}(t)\bigr)G_{n-1}'(t)$ . Cuando $t \to 1^-$ , $G_{n-1}(t) \uparrow 1$ , y $G'$ es no decreciente con límite por la izquierda $m$ en $1$ , de modo que el primer factor tiende a $m$ ; y por inducción, el segundo tiende a $m^{n-1}$ . Por el Teorema 23.7, $\E(Z_n) = G_n'(1^-) = m^n$ .

2. Derivando una vez más,

G_n'' = G''(G_{n-1})\,(G_{n-1}')^2 + G'(G_{n-1})\,G_{n-1}'',

y haciendo $t \to 1^-$ : $a_n = G''(1)m^{2(n-1)} + m\, a_{n-1}$ con $a_n = G_n''(1)$ y $a_1 = G''(1)$ . Para $m \neq 1$ se comprueba por inducción que $a_n = G''(1)\,m^{n-1} \frac{m^n - 1}{m - 1}$ (la recursión suma $G''(1)m^{2n-2}$ a $m\cdot G''(1)m^{n-2}\frac{m^{n-1}-1}{m-1}$ , y $m^{n-1} + \frac{m^{n-1}-1}{m-1} = \frac{m^n - 1}{m-1}$ ); para $m = 1$ , $a_n = a_{n-1} + G''(1) = n\,G''(1)$ .

3. $V(Z_n) = a_n + m^n - m^{2n}$ y $G''(1) = \sigma^2 + m^2 - m$ . Para $m \neq 1$ , la pieza $(m^2 - m)m^{n-1}\frac{m^n-1}{m-1} = m^n(m^n - 1)$ cancela exactamente $m^n - m^{2n}$ , y queda $V(Z_n) = \sigma^2m^{n-1}\frac{m^n-1}{m-1}$ . Para $m = 1$ : $V(Z_n) = nG''(1) = n\sigma^2$ .

4. $Z_n$ es una variable entera no negativa, de modo que $\P(Z_n > 0) = \P(Z_n \geq 1) \leq \E(Z_n) = m^n$ por Markov (Teorema 22.15). Para $m < 1$ esto decae geométricamente —y de manera sumable—, así que Borel–Cantelli da incluso que solo un número finito de generaciones son no vacías, que es de nuevo la extinción.

5. Cauchy–Schwarz: $\E(Z_n)^2 = \E(Z_n\mathbf 1_{Z_n>0})^2 \leq \E(Z_n^2)\,\P(Z_n > 0)$ . Con la pregunta 3 y $m < 1$ :

\E(Z_n^2) = V(Z_n) + m^{2n} \leq \frac{\sigma^2m^{n-1}}{1-m} + m^{2n},

de modo que, dividiendo $m^{2n}$ por esta cota y simplificando por $m^n$ ,

\P(Z_n > 0) \geq \frac{m^n}{\frac{\sigma^2}{m(1-m)} + m^n} \geq \Bigl(\frac{\sigma^2}{m(1-m)} + 1\Bigr)^{-1}m^n ,

usando $m^n \leq 1$ en el denominador. Con la pregunta 4: $\P(Z_n > 0) \asymp m^n$ .

6. $G(t) = q\sum_k(pt)^k = \frac{q}{1 - pt}$ , y $m = G'(1) = \frac{pq}{(1-p)^2} = \frac pq$ . Subcrítico para $p < \frac12$ , crítico para $p = \frac12$ y supercrítico para $p > \frac12$ .

7. $G(t) = t$ se lee $pt^2 - t + q = 0$ , con raíces $\frac{1 \pm \abs{p - q}}{2p}$ , es decir, $1$ y $\frac qp = \frac1m$ . La probabilidad de extinción es el punto fijo más pequeño de $\intcc01$ (Teorema 23.25): $q_{\mathrm{ext}} = 1$ si $m \leq 1$ , y $\frac1m$ si $m > 1$ .

8. Para $m \neq 1$ , con $p = \frac m{m+1}$ y $q = \frac1{m+1}$ : si $q_n = \frac{m^n - 1}{m^{n+1} - 1}$ , entonces

1 - p\,q_n = \frac{(m+1)(m^{n+1} - 1) - m(m^n - 1)} {(m+1)(m^{n+1} - 1)} = \frac{m^{n+2} - 1}{(m+1)(m^{n+1} - 1)},

luego $q_{n+1} = \frac{q}{1 - pq_n} = \frac{m^{n+1} - 1}{m^{n+2} - 1}$ ; y el caso base $q_0 = 0$ se cumple. Para $m = 1$ : $G(t) = \frac1{2 - t}$ y $q_{n+1} = \frac1{2 - \frac{n}{n+1}} = \frac{n+1}{n+2}$ , con $q_0 = 0$ .

9. $1 - q_n = \frac{m^n(m - 1)}{m^{n+1} - 1}$ . Para $m < 1$ el denominador tiende a $-1$ : $1 - q_n \sim (1 - m)\,m^n$ . Para $m > 1$ :

q_{\mathrm{ext}} - q_n = \frac1m - \frac{m^n - 1}{m^{n+1} - 1} = \frac{m - 1}{m\,(m^{n+1} - 1)} \sim \frac{m - 1}{m^{2}}\;m^{-n} .

Y $G'(t) = \frac{pq}{(1 - pt)^2}$ evaluada en $t = \frac qp$ (donde $1 - pt = 1 - q = p$ ) da $G'(q_{\mathrm{ext}}) = \frac qp = \frac1m$ : la razón observada $m^{-1}$ es exactamente la derivada en el punto fijo atractor.

10. Para $p = \frac12$ : $G''(t) = \frac{1/4}{(1 - t/2)^3}$ , de modo que $G''(1) = 2$ y $\sigma^2 = G''(1) + m - m^2 = 2$ . La forma cerrada da $1 - q_n = \frac1{n+1}$ : la probabilidad de supervivencia decae como $1/n$ ; demasiado despacio para ser sumable, a diferencia de cualquier ritmo subcrítico.

11. Inducción: $G_1(t) = \frac1{2-t}$ casa con la fórmula para $n = 1$ , y

G(G_n(t)) = \cfrac{1}{2 - \cfrac{n - (n-1)t}{n+1 - nt}} = \frac{n + 1 - nt}{2(n+1) - 2nt - n + (n-1)t} = \frac{n+1 - nt}{n + 2 - (n+1)t} .

Entonces

\frac{G_n(t) - q_n}{1 - q_n} = (n+1)\,\Bigl(\frac{n - (n-1)t}{n+1 - nt} - \frac{n}{n+1}\Bigr) = \frac{t}{n + 1 - nt} = \frac{\frac{t}{n+1}}{1 - \frac{n}{n+1}t} ,

la función generatriz de la ley geométrica $\mathcal G\bigl(\frac1{n+1} \bigr)$ sobre $\N^*$ (Ejemplo 23.4): dada la supervivencia, $\P(Z_n = k \mid Z_n > 0) = \frac1{n+1}\bigl(\frac n{n+1}\bigr)^{k-1}$ , con media condicionada $n + 1$ . La media incondicionada $1 = \E(Z_n)$ es el producto de una probabilidad de supervivencia evanescente por un tamaño condicionado que crece linealmente.

12. Si el linaje se extingue en la generación $n$ , entonces $Y = Z_0 + \dots + Z_{n-1}$ es finito; y si no se extingue nunca, $Y \geq \sum_n 1 = \infty$ . Así pues, $\{Y < \infty\}$ es el suceso de extinción y $\P(Y < \infty) = q_{\mathrm{ext}}$ . La deducción de $H(t) = tG(H(t))$ del Ejercicio 23.7 —el antepasado aporta el factor $t$ , y sus hijos fundan copias independientes de $Y$ contabilizadas por $G$ — solo usó el Teorema 23.17, válido en todos los regímenes.

13. Con $G(s) = \frac{1 + s^2}2$ , la ecuación se lee $tH^2 - 2H + t = 0$ , luego $H = \frac{1 - \sqrt{1 - t^2}}{t}$ (la raíz con $H(0) = 0$ ). Comparando con la serie de Catalan $C(x) = \frac{1 - \sqrt{1 - 4x}}{2x}$ (Ejemplo 11.21): $H(t) = \frac t2\,C\bigl(\frac{t^2}4\bigr) = \sum_{k\geq0}C_k\,\frac{t^{2k+1}}{2^{2k+1}}$ , es decir, $\P(Y = 2k+1) = C_k2^{-2k-1}$ . Comprobaciones: $\P(Y = 1) = C_0/2 = \frac12$ (el antepasado no tiene hijos); $\P(Y = 3) = C_1/8 = \frac18$ (dos hijos, ambos sin descendencia: $\frac12\cdot\frac12\cdot \frac12$ ).

14. Derivando $H = tG(H)$ sobre $\intoo01$ y haciendo $t \to 1^-$ (límites monótonos como en el Teorema 23.7): $H'(1)\bigl(1 - G'(H(1))\bigr) = G(H(1))$ . En el caso subcrítico, $H(1) = 1$ y $\E(Y) = H'(1) = \frac1{1 - m}$ . En el caso crítico, $G'(1) = 1$ anula el factor de la izquierda mientras que el miembro derecho vale $1$ : no puede existir ningún $H'(1)$ finito, luego $\E(Y) = \infty$ ; y sin embargo $\P(Y < \infty) = q = 1$ .

15. $C_k = \frac1{k+1}\binom{2k}k \sim \frac{4^k}{\sqrt\pi\,k^{3/2}}$ por el Ejemplo 6.14, de modo que

\P(Y = 2k+1) = \frac{C_k}{2\cdot4^{k}} \sim \frac1{2\sqrt\pi\,k^{3/2}} .

Sumando la cola (por comparación con $\int_K^\infty k^{-3/2}\dd k = 2K^{-1/2}$ , por arriba y por abajo): $\P(Y > 2K) \asymp K^{-1/2}$ , es decir, $\P(Y > n) \asymp n^{-1/2}$ ; una cola pesada con media infinita, que cuantifica la pregunta 14.

16. Ambos objetos críticos —el tiempo de retorno del paseo equilibrado (el problema de fin de semana del Capítulo 21) y la descendencia total crítica— son finitos casi seguramente y de media infinita, con leyes locales de exponente $-3/2$ y colas de exponente $-1/2$ . No es casualidad: explorar un árbol genealógico hijo a hijo produce un camino de $\pm1$ (un paso arriba por nacimiento, uno abajo por muerte) que es exactamente un paseo equilibrado, e $Y$ se convierte en un tiempo de primer paso. La criticidad significa deriva nula: el proceso está siempre al borde tanto de la extinción como de la explosión, y las fluctuaciones a escala $\sqrt{}$ de una aleatoriedad sin deriva producen precisamente esos exponentes.

17. $G''(t) = \sum_{n\geq2}n(n-1)p_nt^{n-2}$ tiene términos no negativos, así que es no decreciente sobre $\intco01$ con límite finito $G''(1) = \sigma^2$ (la criticidad hace $\E Z_1(Z_1 - 1) = \sigma^2$ ); y una función no decreciente cuyo límite coincide con el valor en la frontera es continua en $1$ . Taylor con resto integral en el punto $1$ :

G(t) = 1 + (t - 1) + \int_1^t(t - s)G''(s)\,\dd s = t + \frac{G''(1)}2(1-t)^2 + o\bigl((1-t)^2\bigr),

puesto que $G''(s) = G''(1) + o(1)$ cuando $s \to 1^-$ .

18. Reduciendo a común denominador, $h(t) = \frac{G(t) - t}{(1 - G(t))(1 - t)}$ . Por la pregunta 17, el numerador es $b(1-t)^2 + o((1-t)^2)$ y $1 - G(t) = (1 - t)\bigl(1 - b(1-t) + o(1-t)\bigr)$ , de modo que $h(t) \to b$ .

19. Por la definición de $h$ en $t = q_j$ y $G(q_j) = q_{j+1}$ : $\frac1{1 - q_{j+1}} - \frac1{1-q_j} = h(q_j)$ ; sumando desde $j = 0$ ( $q_0 = 0$ ) se obtiene la fórmula mostrada. Como el proceso crítico se extingue, $q_j \uparrow 1$ , luego $h(q_j) \to b$ y la media de Cesàro $\frac1n\sum_{j<n}h(q_j) \to b$ : $\frac1{1-q_n} \sim bn$ , es decir,

\P(Z_n > 0) \sim \frac1{bn} = \frac{2}{\sigma^2 n} .

20. Caso geométrico crítico: $\sigma^2 = 2$ (pregunta 10), de modo que Kolmogórov predice $1 - q_n \sim \frac1n$ ; y el valor exacto es $\frac1{n+1}$ .

21. Como $Z_n\mathbf 1_{Z_n > 0} = Z_n$ , $\E(Z_n \mid Z_n > 0) = \frac{\E(Z_n)}{\P(Z_n > 0)} = \frac1{1 - q_n} \sim \frac{\sigma^2n}2$ . En el caso geométrico esto vale $n + 1$ , lo que casa exactamente con la pregunta 11 ( $\sigma^2 = 2$ ). La imagen crítica: la extinción es cierta, el tamaño medio está congelado en $1$ , y los raros linajes que sobreviven tienen tamaño creciendo linealmente; cada factor equilibrando al otro.

22. Para una descendencia $\mathcal P(\lambda)$ , $G(t) = \eu^{\lambda(t-1)}$ y la probabilidad de extinción es la menor raíz de $q = \eu^{\lambda(q-1)}$ . Numéricamente: $\lambda = 1.5$ da $q \approx 0.417$ (itérese $q \mapsto \eu^{1.5(q-1)}$ : $0, 0.223, 0.312, 0.356, \dots \to 0.4172$ ); y $\lambda = 2$ da $q \approx 0.203$ . Así pues, un caso índice desencadena un brote grande con probabilidad del $58\,\%$ ( $\lambda = 1.5$ ) o del $80\,\%$ ( $\lambda = 2$ ): probable, no seguro. La iteración desde $q_0 = 0$ converge a la raíz menor porque $G$ es no decreciente: por inducción, $q_n \leq r$ para todo punto fijo $r$ , y $(q_n)$ crece (es $\P(Z_n = 0)$ ), de modo que su límite es un punto fijo por debajo de todos los demás.

23. Los $k$ antepasados fundan árboles genealógicos independientes, y la extinción total es la intersección de $k$ sucesos de extinción independientes: probabilidad $q^k$ . Para $\lambda = 1.5$ : que la probabilidad de brote $1 - q^k$ sea $\geq 0.99$ exige $q^k \leq 0.01$ , es decir, $k \geq \frac{\ln 0.01}{\ln 0.417} \approx 5.3$ : seis casos iniciales hacen el brote seguro al $99\,\%$ .

24. $G'(q) < 1$ : $G - \mathrm{id}$ es convexa y se anula en $q$ y en $1$ , así que es $\leq 0$ sobre $\intcc q1$ ; si $G'(q) = 1$ , la tangente en $q$ (que la convexidad sitúa por debajo de $G$ ) forzaría $G(t) \geq t$ sobre $\intcc q1$ , luego $G \equiv \mathrm{id}$ ahí, matando todos los coeficientes $p_n$ ( $n \geq 2$ ) y contradiciendo $m > 1$ . Convergencia geométrica: $q_n < q$ para todo $n$ (inducción, con $G$ creciente), y el teorema del valor medio da $q - q_{n+1} = G'(c_n)(q - q_n)$ con $c_n \in \intoo{q_n}q$ , de modo que $G'(c_n) \leq G'(q) < 1$ y $q - q_n \leq q\,G'(q)^n$ . Proceso compañero: $\widehat G(t) = G(qt)/q = \sum_kp_kq^{k-1}t^k$ tiene coeficientes no negativos y $\widehat G(1) = G(q)/q = 1$ : es una función generatriz; y su media es $\widehat G'(1) = G'(q) < 1$ : subcrítica. Familia geométrica: $G(t) = \frac{q}{1-pt}$ , $q_{\mathrm{ext}} = \frac qp$ , y

\widehat G(t) = \frac pq\cdot\frac{q}{1 - p\frac qp t} = \frac{p}{1 - qt} :

la ley de descendencia geométrica con $p$ y $q$ intercambiados; el proceso supercrítico visto sobre su suceso de extinción es el subcrítico especular.

25. La tabla: $m < 1$ : $q = 1$ , $\P(Z_n > 0) \asymp m^n$ (preguntas 4–5), $\E(Y) = \frac1{1-m}$ , y generaciones supervivientes de media condicionada acotada. $m = 1$ : $q = 1$ , $\P(Z_n > 0) \sim \frac2{\sigma^2n}$ (Kolmogórov), $\E(Y) = \infty$ con $\P(Y > n) \asymp n^{-1/2}$ , y supervivientes de tamaño $\sim \frac{\sigma^2n}2$ . $m > 1$ : $q < 1$ es el punto fijo más pequeño, $q - q_n = O(G'(q)^n)$ , crecimiento $\E(Z_n) = m^n$ , y, condicionado a morir, el proceso es el compañero subcrítico (pregunta 24). Las herramientas: la composición de funciones generatrices convirtió la recursión de poblaciones en iteración de funciones; la convexidad fijó la geometría de los puntos fijos; Taylor en $1^-$ convirtió las hipótesis de momentos en desarrollos locales; y el promedio de Cesàro extrajo el $1/n$ de Kolmogórov de una suma telescópica. El volumen del tercer año añade la martingala $Z_n/m^n$ —cuyo límite casi seguro refina $\E(Z_n) = m^n$ en un ritmo de crecimiento trayectoria a trayectoria— y el teorema de Yaglom, la ley límite que hay tras la geometría condicionada observada en la pregunta 11.