Física universitaria — tercer año · Bachelor Year 3

8El formalismo de la mecánica cuántica

Tómense tres filtros polarizadores. Dos de ellos, cruzados a $90^\circ$ , bloquean la luz por completo; deslícese el tercero entre ambos a $45^\circ$ y la luz pasa — añadir un obstáculo abre el camino. Ninguna imagen de los filtros como cedazos sobrevive a este experimento; lo que sí sobrevive es el álgebra lineal: la polarización de un fotón es un vector, cada filtro la mide a lo largo de un eje y la proyecta, y las probabilidades son componentes al cuadrado. Este capítulo instala esa álgebra como el fundamento efectivo de la mecánica cuántica. Las funciones de onda de los capítulos anteriores eran un disfraz concreto de un cuerpo más abstracto: los estados son vectores de un espacio de Hilbert, los observables son operadores hermíticos, los valores medidos son valores propios, las probabilidades son productos escalares al cuadrado y la evolución la genera el hamiltoniano. Cinco postulados, todos ellos ya en funcionamiento en cuanto hemos calculado — y, una vez enunciados con limpieza, lo bastante poderosos para tratar sistemas que ninguna onda sobre una recta puede describir: la polarización del fotón, el espín del electrón y los neutrinos cuya identidad oscila mientras cruzan la Tierra.

8.1 Los estados son vectores

Definición 8.1 (Espacio de estados, kets y corchetes)

Los estados de un sistema cuántico forman un espacio vectorial complejo con producto interno — un espacio de Hilbert $\mathcal H$ (la matemática se desarrolla en el volumen de matemáticas del Año 3). Un estado es un vector, escrito como un ket $\ket\psi$ , normalizado: $\braket\psi\psi = 1$ . El producto interno de dos estados es el número complejo $\braket\varphi\psi$ , antilineal en la primera ranura, con $\braket\varphi\psi = \braket\psi\varphi^*$ . En una base ortonormal $\{\ket{e_i}\}$ ,

\ket\psi = \sum_i c_i\ket{e_i} , \qquad c_i = \braket{e_i}\psi , \qquad \sum_i|c_i|^2 = 1 .

La función de onda de los capítulos anteriores es la familia de componentes de $\ket\psi$ a lo largo de la posición: $\psi(x) = \braket{x}{\psi}$ ; no se pierde nada, y los sistemas de espacio de estados finito — inimaginables como ondas — se vuelven descriptibles.

Ejemplo 8.2 (La polarización del fotón: un mundo bidimensional)

Un fotón que avanza por el eje $z$ lleva un estado de polarización en un espacio de Hilbert bidimensional, con base $\ket H$ (horizontal) y $\ket V$ (vertical). La luz polarizada con ángulo $\theta$ es la superposición

\ket\theta = \cos\theta\,\ket H + \sin\theta\,\ket V ,

y la polarización circular es la combinación compleja $(\ket H \pm \iu\ket V)/\sqrt2$ : que los coeficientes sean complejos no es adorno, sino física. Todo sistema cuántico de dos niveles — el espín, la molécula de amoniaco, un cúbit superconductor — es este mismo espacio vectorial con otro atuendo.

Un estado de polarización como vector: sus componentes al cuadrado sobre la base de un analizador son las probabilidades de resultado — la geometría hecha probabilidad.

8.2 Los observables son operadores

Definición 8.3 (Observables)

Un observable es un operador lineal $\hat A$ sobre $\mathcal H$ que es hermítico: $\braket{\varphi}{\hat A\psi} = \braket{\hat A\varphi}{\psi}$ para todos los estados (en lenguaje matricial, $A = A^{*\top}$ ). Sus vectores propios y sus valores propios, $\hat A\ket{a} = a\ket{a}$ , llevan la física: los $a$ son los valores medibles posibles. Casos conocidos: la posición ( $\hat x$ : multiplicación por $x$ ), el momento ( $\hat p = -\iu\hbar\,\dd/\dd x$ ), la energía ( $\hat H = \hat p^2/2m + V(\hat x)$ ) — y, en dos dimensiones, cualquier matriz hermítica $2\times2$ .

Teorema 8.4 (Por qué hermítico)

Un operador hermítico tiene valores propios reales, y los vectores propios de valores propios distintos son ortogonales; en los espacios de este libro, sus vectores propios forman una base ortonormal de $\mathcal H$ (el teorema espectral, demostrado en dimensión finita en el volumen de matemáticas del Año 2; para los operadores no acotados $\hat x$ , $\hat p$ y $\hat H$ , el enunciado completo pertenece a la teoría espectral del Año 3 y se admite). Los valores medidos deben ser reales y los resultados distinguibles deben ser ortogonales: la hermiticidad es exactamente la condición para que un operador pueda representar una medida.

Demostración parcial. $a\braket aa = \braket{a}{\hat Aa} = \braket{\hat Aa}{a} = a^*\braket aa$ : $a$ es real. Para $\hat A\ket a = a\ket a$ , $\hat A\ket b = b\ket b$ : $a\braket ba = \braket{b}{\hat Aa} = \braket{\hat Ab}{a} = b\braket ba$ , luego $(a - b)\braket ba = 0$ . ∎

Ejemplo 8.5 (Un observable de dos niveles)

En el espacio de polarización, en la base $(\ket H, \ket V)$ , considérese

\hat A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix} :

hermítica; valores propios $\pm1$ ; vectores propios $(\ket H \pm \ket V)/\sqrt2$ — las polarizaciones a $\pm45^\circ$ . Medir $\hat A$ significa preguntar “¿diagonal o antidiagonal?”, y la base propia es la pareja de respuestas a esas preguntas. Todo polarizador a $45^\circ$ del experimento inicial es esta matriz hecha vidrio.

8.3 Los postulados

Teorema 8.6 (Las reglas de la mecánica cuántica)

(P1) El estado de un sistema es un ket normalizado $\ket\psi$ de su espacio de Hilbert. (P2) Toda magnitud medible es un operador hermítico $\hat A$ . (P3) Los únicos resultados posibles de medir $\hat A$ son sus valores propios. (P4) Sobre un estado $\ket\psi$ , el resultado $a$ ocurre con probabilidad $\mathcal P(a) = |\braket a\psi|^2$ (regla de Born; para un valor propio degenerado, súmense las componentes al cuadrado sobre su subespacio propio). La media de muchas repeticiones es $\langle\hat A\rangle = \bra\psi\hat A\ket\psi$ . (P5) Inmediatamente después de una medida que da $a$ , el estado es la proyección (normalizada) de $\ket\psi$ sobre el subespacio propio de $a$ — el colapso: la medida es una interacción que deja al sistema en el estado que corresponde a su propia respuesta. (P6) Entre medidas, el estado evoluciona unitariamente según la ecuación de Schrödinger $\iu\hbar\,\dfrac{\dd}{\dd t}\ket{\psi(t)} = \hat H\ket{\psi(t)}$ .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Ejemplo 8.7 (Los tres polarizadores, calculados)

Luz vertical se encuentra con un analizador cruzado a $90^\circ$ : $|\braket HV|^2 = 0$ — extinción. Insértese un polarizador a $45^\circ$ : el estado $\ket V$ lo atraviesa con probabilidad $|\braket{45^\circ}{V}|^2 = \tfrac12$ y colapsa a $\ket{45^\circ}$ (P5); ese estado atraviesa después el analizador horizontal con probabilidad $|\braket{H}{45^\circ}|^2 = \tfrac12$ . Transmisión neta $\tfrac14$ en lugar de cero: el filtro intermedio no “abre un agujero” — realiza una medida, y el colapso vuelve a preparar el fotón. Ningún cedazo clásico hace esto; una proyección no hace otra cosa.

El experimento de los tres polarizadores como tres medidas sucesivas: proyectar, colapsar, proyectar de nuevo. Un filtro añadido aumenta la luz transmitida — imposible para unos cedazos y automático para unas proyecciones. — El experimento de los tres polarizadores como tres medidas sucesivas: proyectar, colapsar, proyectar de nuevo. Un filtro añadido *aumenta* la luz transmitida — imposible para unos cedazos y automático para unas proyecciones.

Observación 8.8 (Lo que el colapso no permite)

El colapso es instantáneo en el formalismo, y las correlaciones cuánticas entre partículas alejadas son reales y están medidas — pero ningún mensaje viaja sobre ellas: los resultados de un detector, leídos aisladamente, son indistinguibles de lanzamientos de moneda hágase lo que se haga lejos. La aleatoriedad cuántica es además irreducible: la regla de Born da probabilidades aun cuando el estado se conozca por completo — no hay nada más que saber. Ambos enunciados son teoremas del formalismo, comprobados con alta precisión; la inquietud que producen es respetable y ha impulsado un siglo de experimentos, todos ellos ganados por la mecánica cuántica.

8.4 Conmutadores e incertidumbre

Definición 8.9 (Conmutador; observables compatibles)

El conmutador de dos operadores es $[\hat A, \hat B] = \hat A\hat B - \hat B\hat A$ . El ejemplo fundacional, a partir de $\hat p = -\iu\hbar\,\dd/\dd x$ :

[\hat x, \hat p] = \iu\hbar .

Dos observables son compatibles cuando $[\hat A, \hat B] = 0$ : admiten entonces una base propia común y pueden conocerse simultáneamente; medir uno no perturba un estado bien definido en el otro. Un conjunto de observables que conmutan cuya base propia común es única (un CCOC) es lo que significa “etiquetar por completo un estado” — las etiquetas $(n_1, n_2, n_3)$ de la caja eran exactamente esto.

Teorema 8.10 (La relación de incertidumbre, en general)

En cualquier estado, las desviaciones típicas de dos observables cumplen

\Delta A\;\Delta B \ \ge\ \tfrac12\,\big|\langle[\hat A, \hat B]\rangle\big| .

Para $\hat x$ y $\hat p$ : $\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$ — la relación de Heisenberg, ahora un teorema de álgebra lineal y no una heurística. La incompatibilidad es cuantitativa: el tamaño del conmutador pone el suelo bajo la nitidez conjunta.

Demostración parcial. Sean $\hat\alpha = \hat A - \langle A\rangle$ y $\hat\beta = \hat B - \langle B\rangle$ . La desigualdad de Cauchy–Schwarz del volumen de matemáticas del Año 3 da $\Delta A^2\Delta B^2 = \|\hat\alpha\psi\|^2\|\hat\beta\psi\|^2 \ge |\braket{\hat\alpha\psi}{\hat\beta\psi}|^2$ ; la parte imaginaria de ese producto es $\tfrac1{2\iu}\langle[\hat A, \hat B]\rangle$ , y $|z|^2 \ge (\operatorname{Im}z)^2$ . ∎

Observación 8.11 (La sombra clásica)

Divídase por $\iu\hbar$ y hágase $\hbar \to 0$ : los conmutadores se convierten en los corchetes de Poisson del Capítulo 2, con $\{x, p\} = 1$ haciendo eco de $[\hat x, \hat p] = \iu\hbar$ , y los corchetes del momento angular allí calculados volverán como conmutadores, sin cambio, en el Capítulo 10. La regla de Dirac — corchete clásico por $\iu\hbar$ — es como el esqueleto de la mecánica sobrevivió a la revolución.

8.5 Evolución y conservación

Proposición 8.12 (Evolución de las medias; magnitudes conservadas)

Para un observable sin dependencia temporal explícita,

\frac{\dd\langle\hat A\rangle}{\dd t} = \frac{\iu}{\hbar}\,\big\langle[\hat H, \hat A]\big\rangle .

Un observable que conmuta con el hamiltoniano se conserva — se congelan sus probabilidades, no solo su media; de nuevo las simetrías entregan leyes de conservación, ahora como conmutación. Los estados estacionarios son los vectores propios de $\hat H$ , que evolucionan solo por la fase $\eu^{-\iu Et/\hbar}$ ; una superposición de dos niveles late a la frecuencia de Bohr $(E_2 - E_1)/h$ , como ya mostraban los pozos del volumen del Año 2.

Demostración. Derívese $\bra\psi\hat A\ket\psi$ e insértese P6 junto con su conjugada:

\frac{\dd\langle\hat A\rangle}{\dd t} = \frac{\iu}{\hbar}\bra\psi\hat H\hat A\ket\psi - \frac{\iu}{\hbar}\bra\psi\hat A\hat H\ket\psi = \frac{\iu}{\hbar}\,\langle[\hat H, \hat A]\rangle . \qedhere

∎

Método 8.13 (Mecánica cuántica matricial)

Para cualquier problema de niveles finitos: (1) elíjase una base adecuada a la pregunta (los ejes del analizador, los estados propios de la energía); (2) escríbanse los estados como vectores columna y los observables como matrices hermíticas; (3) diagonalícese lo que se mide — los valores propios son los resultados y las componentes al cuadrado, las probabilidades; (4) hágase evolucionar los estados propios de la energía mediante fases $\eu^{-\iu E_it/\hbar}$ y reexprésense en la base de medida; (5) tras una medida, reiníciese desde el estado proyectado. Todo el Problema 8.1 es esta receta aplicada a un universo de dos niveles.

Tres polarizadores sobre una mesa: cada uno es una medida que proyecta el estado de la luz sobre un eje. Crúcense dos y no pasa nada; deslícese un tercero entre ellos formando un ángulo y la luz vuelve — los postulados de este capítulo, ejecutados sobre una mesa.

8.6 Ejercicios

Ejercicio 8.1 ★

En una base ortonormal $(\ket1, \ket2)$ , sean $\ket\psi = (2\ket1 + \iu\ket2)/\sqrt5$ y $\ket\varphi = (\ket1 - \ket2)/\sqrt2$ . (a) Compruébense las normalizaciones. (b) Calcúlense $\braket\varphi\psi$ y $\braket\psi\varphi$ . (c) La probabilidad de hallar $\ket\psi$ en el estado $\ket\varphi$ . (d) Constrúyase el estado ortogonal a $\ket\psi$ (salvo fase).

Solución

Solución de Ejercicio 8.1.

(a) $(4 + 1)/5 = 1$ y $(1 + 1)/2 = 1$ . (b) $\braket\varphi\psi = (2 - \iu)/\sqrt{10}$ ; $\braket\psi\varphi = (2 + \iu)/\sqrt{10}$ : conjugados. (c) $|(2 - \iu)|^2/10 = 1/2$ . (d) Resuélvase $\braket\psi\chi = 0$ : $\ket\chi = (\ket1 - 2\iu\ket2)/\sqrt5$ .

Ejercicio 8.2 ★

¿Cuáles de estas matrices son hermíticas, y cuáles son los valores propios y los vectores propios normalizados de las que lo son?

\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix} , \quad \begin{pmatrix}0 & -\iu\\ \iu & 0\end{pmatrix} , \quad \begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix} , \quad \begin{pmatrix}2 & 1-\iu\\ 1+\iu & 3\end{pmatrix} .

Solución

Solución de Ejercicio 8.2.

Primera: hermítica; $\pm1$ con $(\ket1 \pm \ket2)/\sqrt2$ . Segunda: hermítica; $\pm1$ con $(\ket1 \pm \iu\ket2)/\sqrt2$ . Tercera: no hermítica (la transpuesta conjugada difiere). Cuarta: hermítica; $\lambda^2 - 5\lambda + 4 = 0$ da $1$ y $4$ , con vectores propios $\big({-(1 - \iu)}\ket1 + \ket2\big)/\sqrt3$ y $\big(\ket1 + (1 + \iu)\ket2\big)/\sqrt3$ .

Ejercicio 8.3 ★

Luz polarizada con ángulo $\alpha$ se encuentra con un analizador de ángulo $\beta$ . (a) Escríbanse ambos estados en la base $(\ket H, \ket V)$ y calcúlese la probabilidad de transmisión. (b) Recupérese la ley de Malus. (c) Para un flujo de $N$ fotones, ¿cuál es la varianza del número transmitido? (d) Luz circular $(\ket H + \iu\ket V)/\sqrt2$ sobre un analizador lineal de ángulo cualquiera: ¿transmisión? Explíquese por qué la respuesta no depende del ángulo.

Solución

Solución de Ejercicio 8.3.

(a) $\braket\beta\alpha = \cos\beta\cos\alpha + \sin\beta\sin\alpha = \cos(\beta - \alpha)$ : probabilidad $\cos^2(\beta - \alpha)$ . (b) La intensidad es $\propto$ al número de fotones: Malus. (c) Cada fotón es un ensayo independiente: varianza $N\mathcal P(1 - \mathcal P)$ — el propio ruido certifica los fotones. (d) $|\cos\beta + \iu\sin\beta|^2/2 = 1/2$ para todo $\beta$ : la luz circular no privilegia ningún eje transversal.

Ejercicio 8.4 ★

(a) Muéstrese $[\hat x, \hat p] = \iu\hbar$ actuando sobre una función de prueba. (b) Calcúlense $[\hat x^2, \hat p]$ y $[\hat x, \hat p^2]$ . (c) Muéstrese que $[\hat A, \hat B\hat C] = [\hat A, \hat B]\hat C + \hat B[\hat A, \hat C]$ . (d) Dedúzcase $[\hat x, \hat p^n] = \iu\hbar\,n\hat p^{n-1}$ e interprétese: ¿qué operación clásica imita $[\hat x, \cdot\,]$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 8.4.

(a) $(\hat x\hat p - \hat p\hat x)f = -\iu\hbar(xf' - (xf)') = \iu\hbar f$ . (b) $[\hat x^2, \hat p] = 2\iu\hbar\hat x$ ; $[\hat x, \hat p^2] = 2\iu\hbar\hat p$ . (c) Súmese y réstese $\hat B\hat A \hat C$ . (d) Inducción con (c): $\iu\hbar\,n\hat p^{n-1}$ — $[\hat x, \cdot]$ actúa como $\iu\hbar\,\partial/\partial p$ , la sombra cuántica del corchete de Poisson con $x$ .

Ejercicio 8.5 ★★

Medidas sucesivas. Un fotón empieza como $\ket V$ . (a) Se encuentra con polarizadores a $45^\circ$ y luego a $0^\circ$ (horizontal): calcúlese la probabilidad de sobrevivir a ambos, explicitando el colapso intermedio. (b) Sustitúyase el polarizador central por dos a $30^\circ$ y $60^\circ$ : ¿transmisión? (c) Con $N - 1$ polarizadores intermedios que avanzan en pasos de $90^\circ/N$ : muéstrese que la probabilidad de supervivencia es $\cos^{2N}(\pi/2N)$ y evalúese para $N = 2, 5, 20$ . (d) El límite $N \to \infty$ gira la polarización sin pérdida alguna: coméntese (esta rotación “Zenón cuántica” se usa en cúbits reales).

Solución

Solución de Ejercicio 8.5.

(a) $|\braket{45^\circ}{V}|^2 = \tfrac12$ , colapso y luego $|\braket{H}{45^\circ}|^2 = \tfrac12$ : en total, $\tfrac14$ . (b) Tomándolos en el orden $60^\circ$ , $30^\circ$ (tres pasos de $30^\circ$ ): $(\cos^230^\circ)^3 = 27/64 \approx 0.42$ . (c) Cada paso de $\pi/2N$ se atraviesa con $\cos^2(\pi/2N)$ : supervivencia $[\cos^2(\pi/2N)]^N = 0.25$ , $0.60$ y $0.88$ para $N = 2, 5, 20$ . (d) Cuando $N \to \infty$ la supervivencia tiende a $1$ : muchas medidas suaves conducen el estado a lo largo de $90^\circ$ sin pérdida — la medida usada como volante.

Ejercicio 8.6 ★★

Sobre el espacio de dos niveles, $\hat A = \begin{pmatrix}0&1\\1&0 \end{pmatrix}$ , $\hat B = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ . (a) Calcúlese $[\hat A, \hat B]$ : ¿compatibles? (b) El estado es $\ket1$ : dese la estadística de resultados de medir $\hat B$ , y luego la de medir $\hat A$ después de que una medida de $\hat B$ diera $+1$ . (c) Mídase primero $\hat A$ (resultado $+1$ ), luego $\hat B$ , y luego $\hat A$ otra vez: ¿con qué probabilidad contradice la última medida de $\hat A$ a la primera? (d) ¿Qué habría implicado para (c) un conmutador nulo?

Solución

Solución de Ejercicio 8.6.

(a) $[\hat A, \hat B] = \begin{pmatrix}0 & -2\\ 2 & 0\end{pmatrix} \neq 0$ : incompatibles. (b) $\hat B$ sobre $\ket1$ : $+1$ con certeza, sin necesidad de colapso; $\hat A$ da después $\pm1$ con probabilidad $\tfrac12$ cada uno. (c) Tras $\hat A \to +1$ , el estado es $(\ket1 + \ket2)/\sqrt2$ ; $\hat B$ lo colapsa a $\ket1$ o a $\ket2$ (con $\tfrac12$ cada uno); en cualquier caso, la última medida de $\hat A$ da $\pm1$ con probabilidad $\tfrac12$ : contradicción con probabilidad $\tfrac12$ . (d) Los observables que conmutan comparten estados propios: la medida intermedia no perturbaría, y la repetición coincidiría con certeza.

Ejercicio 8.7 ★★

(a) Para el estado gaussiano del Ejercicio 7.1 restringido a una dimensión, calcúlense $\Delta x$ y $\Delta p$ (úsese la pareja de Fourier o intégrese) y verifíquese la igualdad en la relación de Heisenberg. (b) ¿Qué estados saturan el teorema general de incertidumbre (enúnciese la condición del caso de igualdad de Cauchy–Schwarz)? (c) Un electrón confinado a $\Delta x = 0.1\,\mathrm{nm}$ : ¿escala de energía cinética mínima? (d) Lo mismo para una canica de $10\,\mathrm{g}$ localizada en un micrómetro: conclúyase.

Solución

Solución de Ejercicio 8.7.

(a) $\Delta x = \sigma$ y $\Delta p = \hbar/2\sigma$ (la transformada de Fourier de una gaussiana de anchura $\sigma$ tiene anchura $1/2\sigma$ en $k$ ): el producto vale exactamente $\hbar/2$ . (b) Igualdad en Cauchy–Schwarz: $\hat\beta\ket\psi \propto \hat\alpha\ket\psi$ con razón imaginaria pura — para $x, p$ esa ecuación diferencial solo tiene soluciones gaussianas. (c) $\Delta p \ge 5.3 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E \sim \Delta p^2/2m_{\text{e}} \approx 1\,\mathrm{eV}$ — los átomos son máquinas de electronvoltios porque son cajas de ángstroms. (d) $\Delta v \ge 5 \times 10^{-27}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : nada, jamás.

Ejercicio 8.8 ★★

(a) A partir de la Proposición 8.12, recupérese la pareja de Ehrenfest para $\hat x$ y $\hat p$ con $\hat H = \hat p^2/2m + V$ . (b) Muéstrese que la paridad $\hat\Pi$ ( $\hat\Pi\psi(x) = \psi(-x)$ ) es hermítica, que su cuadrado es la identidad y que tiene valores propios $\pm1$ . (c) Muéstrese que $[\hat H, \hat\Pi] = 0$ para un potencial simétrico y conclúyase que los niveles no degenerados tienen paridad definida. (d) ¿Qué hecho observado sobre los niveles de un pozo doble simétrico explica esto (recuérdese el doblete del amoniaco del volumen del Año 2)?

Solución

Solución de Ejercicio 8.8.

(a) $[\hat H, \hat x] = -\iu\hbar\hat p/m$ y $[\hat H, \hat p] = \iu\hbar V'(\hat x)$ dan $\dd\langle x\rangle/\dd t = \langle p\rangle/m$ y $\dd\langle p\rangle/\dd t = -\langle V'\rangle$ . (b) Un cambio de variable en el producto interno muestra la hermiticidad, y $\hat\Pi^2 = \mathbb 1$ obliga a valores propios $\pm1$ . (c) $V(-x) = V(x)$ hace a $\hat H$ ciego a la paridad; un estado propio no degenerado debe entonces ser también estado propio de $\hat\Pi$ : par o impar. (d) El doblete casi degenerado del pozo doble simétrico: un estado par y uno impar — la pareja de inversión del amoniaco, desdoblada por efecto túnel, que radia a $24\,\mathrm{GHz}$ .

Ejercicio 8.9 ★★

Un CCOC en acción. En la caja cuadrada bidimensional, el nivel $E \propto 5$ está generado por $\ket{1,2}$ y $\ket{2,1}$ . (a) Muéstrese que la energía por sí sola no etiqueta los estados. (b) Sea $\hat S$ el intercambio $x \leftrightarrow y$ : muéstrese que $\hat S$ es hermítico, que conmuta con $\hat H$ y hállense sus estados propios dentro del nivel. (c) Verifíquese que la pareja $(\hat H, \hat S)$ etiqueta de forma única todos los estados de ese nivel. (d) Dese la moraleja general: la degeneración significa que el conjunto de etiquetas no estaba todavía completo, y la simetría suministra la que falta.

Solución

Solución de Ejercicio 8.9.

(a) Ambos estados comparten $E$ : anunciar la energía deja dos posibilidades. (b) $\hat S$ intercambia las etiquetas: es hermítico, su cuadrado es la identidad y conmuta con el $\hat H$ simétrico; dentro del nivel, sus estados propios son $(\ket{1,2} \pm \ket{2,1})/\sqrt2$ con valores propios $\pm1$ . (c) $(E, +)$ y $(E, -)$ : etiquetas únicas. (d) Una degeneración es una dirección incompleta; la simetría que la causa proporciona también la cifra que falta.

Ejercicio 8.10 ★★★

Incertidumbre energía–tiempo, con honradez. Para un observable $\hat A$ cualquiera, defínase el tiempo de evolución $\tau_A = \Delta A\,/\,|\dd\langle\hat A\rangle/\dd t|$ — el tiempo que tarda la media en desplazarse una desviación típica. (a) A partir del Teorema 8.10 y de la Proposición 8.12, muéstrese que $\Delta E\;\tau_A \ge \hbar/2$ . (b) ¿Por qué no es esta una incertidumbre entre dos observables (qué es el tiempo, en el formalismo)? (c) Aplíquese a un estado atómico excitado de vida media $10\,\mathrm{ns}$ : anchura de línea. (d) Aplíquese a su reloj de pulsera: ¿con qué nitidez puede definirse la energía de un sistema si algo en él cambia visiblemente cada segundo?

Solución

Solución de Ejercicio 8.10.

(a) $\Delta E\,\Delta A \ge \tfrac12|\langle[\hat H, \hat A]\rangle| = \tfrac\hbar2|\dd\langle A\rangle/\dd t|$ ; divídase. (b) El tiempo es un parámetro de la teoría, no un operador: la relación acota lo deprisa que puede evolucionar cualquier magnitud medible, dada la dispersión de energía. (c) $\Delta E \sim \hbar/2\tau = 3.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$ : una anchura natural de línea de unos pocos megahercios. (d) Un cambio visible por segundo exige solo $\Delta E \gtrsim 5 \times 10^{-35}\,\mathrm{J}$ — para energías macroscópicas, ninguna restricción: los relojes pueden marchar.

Ejercicio 8.11 ★★★

Demostración del teorema de incertidumbre. Con $\hat\alpha, \hat\beta$ como en el texto: (a) justifíquese $\Delta A^2 = \|\hat\alpha\ket\psi\|^2$ usando la hermiticidad; (b) aplíquese Cauchy–Schwarz y sepárese $\braket{\hat\alpha\psi}{\hat\beta\psi}$ en sus partes hermítica y antihermítica, identificándolas con las medias del anticonmutador y del conmutador; (c) conclúyase y enúnciese cuándo se da la igualdad; (d) muéstrese que para $[\hat A, \hat B] = \iu\hbar$ ningún estado puede ser vector propio de ninguno de los dos observables manteniendo finitas ambas desviaciones — y reconcíliese con las ondas planas.

Solución

Solución de Ejercicio 8.11.

(a) $\|\hat\alpha\psi\|^2 = \braket{\psi}{\hat\alpha^2\psi} = \Delta A^2$ por la hermiticidad de $\hat\alpha$ . (b) $\braket{\hat\alpha \psi}{\hat\beta\psi} = \tfrac12\langle\{\hat\alpha, \hat\beta\}\rangle + \tfrac12\langle[\hat A, \hat B]\rangle$ : el primer término es real (parte hermítica) y el segundo, imaginario puro. (c) $|z|^2 \ge (\operatorname{Im}z)^2$ da el teorema; la igualdad exige vectores proporcionales y media nula del anticonmutador. (d) Un estado propio de $\hat A$ tiene $\Delta A = 0$ , lo que obliga a $0 \ge \hbar/2$ : imposible para estados normalizables. Las ondas planas solo lo “consiguen” por ser idealizaciones no normalizables, fuera del espacio de Hilbert.

Ejercicio 8.12 ★★★

La olla vigilada. Un sistema de dos niveles empieza en $\ket1$ y su hamiltoniano impulsa una oscilación tipo Rabi: al cabo del tiempo $t$ , el estado es $\cos(\omega t)\ket1 + \sin(\omega t)\ket2$ (tómese como dato). (a) Sin ninguna medida, ¿cuándo es completa la transferencia a $\ket2$ ? (b) Mídase “¿en qué estado?” en los instantes $T/N, 2T/N, \dots$ con $T = \pi/2\omega$ : muéstrese que la probabilidad de hallar el sistema todavía en $\ket1$ en cada comprobación es $[\cos^2(\pi/2N)]^N$ . (c) Evalúese para $N = 1, 4, 20, 100$ y muéstrese que tiende a $1$ : la observación frecuente congela la evolución (el efecto Zenón cuántico, observado con iones atrapados en 1990). (d) Explíquese en una frase qué postulado produce esa congelación.

Solución

Solución de Ejercicio 8.12.

(a) En $\omega t = \pi/2$ , es decir, $t = T$ . (b) En cada comprobación, el estado ha girado $\pi/2N$ ; se lo halla en $\ket1$ con $\cos^2(\pi/2N)$ y colapsa de vuelta a $\ket1$ ; las comprobaciones son independientes, de ahí el producto. (c) $0$ , $0.53$ , $0.88$ y $0.98$ : vigilada lo bastante de cerca, la olla nunca hierve. (d) El postulado de proyección (P5): cada observación devuelve la evolución a su línea de salida.

El congreso Solvay de 1927 (fotografía de Benjamin Couprie, dominio público): las personas que construyeron los postulados de este capítulo, en una misma sala — y discutiendo todavía, esa misma semana, sobre qué significa medir.

8.7 Problema: los neutrinos se cambian de traje en pleno vuelo

Problema 8.1

Problema de fin de semana — oscilaciones de dos niveles a través de la Tierra

Los neutrinos nacen en las reacciones nucleares como estados de sabor — neutrino electrónico $\ket{\nu_e}$ o neutrino muónico $\ket{\nu_\mu}$ —, pero se propagan como estados propios de la energía (de la masa) $\ket{\nu_1}, \ket{\nu_2}$ . Las dos bases no coinciden: están giradas un ángulo de mezcla $\theta$ ,

\ket{\nu_e} = \cos\theta\,\ket{\nu_1} + \sin\theta\,\ket{\nu_2} , \qquad \ket{\nu_\mu} = -\sin\theta\,\ket{\nu_1} + \cos\theta\,\ket{\nu_2} .

El descubrimiento de que los neutrinos, por tanto, oscilan entre sabores en pleno vuelo — y de que tienen masa — mereció el Premio Nobel de 2015. Este problema deduce el efecto sin nada más que este capítulo. Un neutrino ultrarrelativista de momento $p$ y masa $m_i$ tiene energía $E_i \approx pc + m_i^2c^4/2pc \approx E + m_i^2c^4/2E$ .

Parte I — Montar el formalismo.

Compruébese que, si $(\ket{\nu_1}, \ket{\nu_2})$ es ortonormal, $(\ket{\nu_e}, \ket{\nu_\mu})$ también lo es.
¿Por qué debe ser la base de propagación la base propia de la energía, cualquiera que sea la base en la que nació el neutrino? (¿Qué postulado gobierna el vuelo libre?).
Un neutrino muónico nace en $t = 0$ . Escríbase $\ket{\psi(0)}$ en la base de masa.
Escríbase $\ket{\psi(t)}$ , con cada componente de masa llevando su fase $\eu^{-\iu E_it/\hbar}$ .
Muéstrese que una fase global es irrelevante y sáquese factor común $\eu^{-\iu E_1t/\hbar}$ : solo la fase relativa $\Delta\phi = (E_2 - E_1)t/\hbar$ mueve la física.
Exprésese $E_2 - E_1$ en función de $\Delta m^2 = m_2^2 - m_1^2$ y de $E$ , para neutrinos ultrarrelativistas.

Parte II — La fórmula de la oscilación.

Calcúlese la amplitud $\braket{\nu_e}{\psi(t)}$ .
Muéstrese que la probabilidad de aparición es

$\mathcal P_{\nu_\mu \to \nu_e}(t) = \sin^2(2\theta)\,\sin^2\Big(\frac{\Delta\phi}{2}\Big) .$

(Úsese $2\sin\theta\cos\theta = \sin2\theta$ ).
Compruébense los dos límites de sensatez: $\theta = 0$ y $m_1 = m_2$ . ¿Qué demuestra, por tanto, cualquier oscilación observada?
Con $t \approx L/c$ , muéstrese que

$\mathcal P = \sin^2(2\theta)\, \sin^2\Big(\frac{\Delta m^2c^4}{4\hbar c}\,\frac{L}{E}\Big) ,$

y defínase la longitud de oscilación $L_{\text{osc}} = 4\pi\hbar cE/\Delta m^2c^4$ .
Muéstrese que la probabilidad de supervivencia es $\mathcal P_{\nu_\mu \to \nu_\mu} = 1 - \mathcal P_{\nu_\mu\to\nu_e}$ : ¿dónde se ha usado la unitariedad?
¿Por qué mide la oscilación solo $\Delta m^2$ y nunca las masas mismas?

Parte III — Leer los experimentos. Neutrinos muónicos atmosféricos ( $E \approx 1\,\mathrm{GeV}$ ) llueven sobre un detector desde arriba ( $L \approx 15\,\mathrm{km}$ ) y desde abajo, atravesando la Tierra ( $L \approx 12\,800\,\mathrm{km}$ ). Super-Kamiokande (1998) halló el flujo de abajo reducido a la mitad y el de arriba intacto.

Usando $\hbar c = 197\,\mathrm{MeV}\,\mathrm{fm}$ , muéstrese la forma práctica $\dfrac{\Delta m^2c^4\,L}{4\hbar cE} = 1.27\, \dfrac{\Delta m^2c^4\,[\mathrm{eV}^{2}]\ L\,[\mathrm{km}]} {E\,[\mathrm{GeV}]}$ .
Si la oscilación ha de estar bien desarrollada en $L = 12\,800\,\mathrm{km}$ pero ser despreciable a $15\,\mathrm{km}$ para $E = 1\,\mathrm{GeV}$ , acótese aproximadamente $\Delta m^2c^4$ .
El valor medido es $\Delta m^2c^4 \approx 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2}$ : calcúlese la longitud de oscilación a $1\,\mathrm{GeV}$ y contrástela con ambas distancias.
La supresión desde abajo se acerca a $1/2$ , no a $0$ : muéstrese que promediar $\sin^2$ sobre muchas longitudes de oscilación (y sobre energías) da $\tfrac12\sin^22\theta$ , y dedúzcase que la mezcla atmosférica es casi máxima ( $\theta \approx 45^\circ$ ).
¿Qué da $\Delta m^2c^4 = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2}$ para la masa más pesada por sí sola si la más ligera es despreciable? Compárese con la masa del electrón: ¿qué extrañamente ligeros son los neutrinos?
Los antineutrinos de reactor tienen $E \approx 4\,\mathrm{MeV}$ . Con la misma fórmula del $1.27$ , muéstrese que una distancia de uno o dos kilómetros está sintonizada con el desdoblamiento de $2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2}$ (el experimento Daya Bay), mientras que $L \approx 180\,\mathrm{km}$ (KamLAND) lo está con el desdoblamiento “solar”, menor, de $7.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}^{2}$ — verifíquense ambos numéricamente.

Parte IV — Qué significa.

El Sol emite $\nu_e$ ; durante décadas los detectores contaron solo un tercio de lo previsto. Explíquense el “problema de los neutrinos solares” y su resolución, en una frase cada uno.
¿Por qué obligaron las oscilaciones a concluir que los neutrinos tienen masa, contra la contabilidad original del modelo estándar?
Un sistema cuántico que mantiene coherencia de fase a lo largo de $12800$ kilómetros: ¿qué dice esto sobre lo débilmente que interaccionan los neutrinos y por qué debe ser enorme el detector?
El sabor es un observable: ¿por qué no conmuta su operador con el hamiltoniano libre, y qué ley de conservación no está, por tanto, disponible para el sabor (mientras que la energía y el momento siguen conservándose)?
La naturaleza tiene tres sabores y tres masas: ¿por qué describe, aun así, tan bien cada experimento el tratamiento de dos niveles? (Considérese la jerarquía de los dos $\Delta m^2$ y cuál resuelve cada distancia).
En el formalismo de este capítulo, nombre exactamente qué ingredientes produjeron la oscilación: qué desajuste de bases, qué postulado, qué fase.
Resúmase el resultado con nombre propio: un ángulo de rotación cercano a $45^\circ$ y un desdoblamiento $\Delta m^2c^4 = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2}$ hacen desaparecer a un neutrino muónico de GeV con una longitud de oscilación $\sim1000\,\mathrm{km}$ — álgebra lineal de dos niveles, confirmada a través del cuerpo de la Tierra.

Solución

Solución de Problema 8.1.

1. Una rotación lleva una pareja ortonormal a otra ortonormal: $\braket{\nu_e}{\nu_\mu} = -\cos\theta\sin\theta + \sin\theta\cos\theta = 0$ . 2. P6: el vuelo libre lo genera $\hat H$ , cuyos estados propios evolucionan de forma autónoma mediante fases — sea cual sea la base que eligió la producción. 3. $\ket{\psi(0)} = \ket{\nu_\mu} = -\sin\theta\ket{\nu_1} + \cos\theta\ket{\nu_2}$ . 4. $\ket{\psi(t)} = -\sin\theta\,\eu^{-\iu E_1t/\hbar} \ket{\nu_1} + \cos\theta\,\eu^{-\iu E_2t/\hbar}\ket{\nu_2}$ . 5. Las fases globales desaparecen de todo $|\braket\cdot\cdot|^2$ : queda $\Delta\phi = (E_2 - E_1)t/\hbar$ . 6. $E_2 - E_1 = (m_2^2 - m_1^2)c^4/2E = \Delta m^2c^4/2E$ . 7. $\braket{\nu_e}{\psi(t)} = \eu^{-\iu E_1t/\hbar} \sin\theta\cos\theta\,(\eu^{-\iu\Delta\phi} - 1)$ . 8. $|\cdots|^2 = \sin^2\theta\cos^2\theta\,|{\eu^{-\iu \Delta\phi} - 1}|^2 = \sin^22\theta\,\sin^2(\Delta\phi/2)$ . 9. Sin mezcla, o sin desdoblamiento de masas: no hay oscilación. Toda oscilación observada demuestra $\theta \neq 0$ y $m_1 \neq m_2$ — los neutrinos pesan. 10. Sustitúyase $\Delta\phi = \Delta m^2c^4L/2\hbar cE$ ; $L_{\text{osc}}$ hace que el argumento valga $\pi$ . 11. Las dos probabilidades de sabor son componentes al cuadrado en una base ortonormal de un estado normalizado: suman $1$ — la unitariedad de la evolución conservó la norma. 12. Solo es observable la fase relativa, y contiene $E_2 - E_1 \propto m_2^2 - m_1^2$ : las masas absolutas se cancelan. 13. $\dfrac{L}{4\hbar cE}$ en las unidades enunciadas: $10^{3}\,\mathrm{m}/(4 \times 1.973 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}\,\mathrm{m} \times 10^{9}) = 1.27$ por $\mathrm{eV}^{2}$ . 14. Bien desarrollada desde abajo: $1.27\,\Delta m^2 \times 12800 \gtrsim 1$ , es decir, $\Delta m^2c^4 \gtrsim 6 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}^{2}$ ; despreciable desde arriba: $1.27\,\Delta m^2 \times 15 \ll 1$ , es decir, $\ll 5 \times 10^{-2}$ : en torno a $10^{-4}$ – $10^{-2}\,\mathrm{eV}^{2}$ . 15. $L_{\text{osc}} = \pi E/(1.27\,\Delta m^2c^4) \approx 990\,\mathrm{km}$ a $1\,\mathrm{GeV}$ : los $15\,\mathrm{km}$ quedan intactos y los $12\,800\,\mathrm{km}$ son trece longitudes completas — exactamente el patrón observado. 16. A lo largo de muchas longitudes y de un abanico de energías, $\langle\sin^2\rangle = \tfrac12$ : supresión $\tfrac12\sin^22 \theta$ ; la mitad medida obliga a $\sin^22\theta \approx 1$ y $\theta \approx 45^\circ$ — la naturaleza eligió mezcla máxima. 17. $m_2c^2 \approx \sqrt{2.5 \times 10^{-3}} = 0.05\,\mathrm{eV}$ : diez millones de veces más ligero que el electrón — la materia más ligera conocida, y nadie sabe todavía por qué. 18. Daya Bay: $1.27 \times 2.5 \times 10^{-3} \times 1.5/0.004 \approx 1.2$ — del orden de la unidad, sintonizado; KamLAND: $1.27 \times 7.5 \times 10^{-5} \times 180/0.004 \approx 4.3$ — del orden de la unidad para el desdoblamiento solar: cada distancia es un interferómetro ajustado a un $\Delta m^2$ . 19. Problema: solo llegaba un tercio de los $\nu_e$ previstos del Sol. Resolución: los dos tercios que faltan llegan como otros sabores, a los que han rotado los $\nu_e$ (SNO contó el total y declaró inocente al Sol). 20. La oscilación exige $\Delta m^2 \neq 0$ : al menos un neutrino tiene masa — la primera física de laboratorio más allá del modelo estándar original. 21. Mantener la coherencia de fase a lo largo de $10^7$ metros significa que prácticamente nada interaccionó por el camino: secciones eficaces tan pequeñas que hacen falta kilotoneladas de agua para capturar un puñado — de ahí las cincuenta mil toneladas de Super-Kamiokande. 22. Los operadores de sabor son diagonales en la base de sabor, que no es la base de energía: $[\hat H, \text{sabor}] \neq 0$ — el sabor sencillamente no es una magnitud conservada del vuelo libre, mientras que la energía y el momento sí lo son. 23. Los dos desdoblamientos difieren en un factor treinta: para un $L/E$ dado, una oscilación está activa y la otra o congelada o completamente promediada — cada experimento ve un sistema efectivo de dos niveles. 24. Base de producción $\neq$ base de propagación (la rotación $\theta$ ); P6 suministra las dos fases; la regla de Born convierte la fase relativa en una probabilidad. 25. $\theta \approx 45^\circ$ y $\Delta m^2c^4 = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2}$ dan a un neutrino muónico de GeV una longitud de oscilación cercana a $1000\,\mathrm{km}$ : álgebra lineal de dos niveles, verificada a través del planeta, y un Premio Nobel por la desaparición de medio flujo.

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