Física universitaria — tercer año · Bachelor Year 3

10Momento angular cuántico

Apunte un radiotelescopio a un trozo oscuro de cielo y sintonícelo a $115\,\mathrm{GHz}$ : aparece una línea brillante y afiladísima — moléculas de monóxido de carbono, diez kelvin por encima del cero absoluto, que bajan un peldaño de una escalera de estados rotacionales. Su volteo, como todo lo que gira en mecánica cuántica, está cuantizado por partida doble: la magnitud del momento angular solo puede valer $\sqrt{l(l+1)}\,\hbar$ , y su componente sobre cualquier eje elegido, solo $m\hbar$ . Este capítulo deduce esa doble cuantización — una vez algebraicamente, a partir de los conmutadores heredados de los corchetes de Poisson del Capítulo 2, y otra concretamente, como los armónicos esféricos que dan forma a todo orbital atómico. El álgebra nos entregará más de lo que pedimos: permite valores semienteros que ningún movimiento orbital puede realizar, una vacante que la naturaleza llena dos capítulos más adelante con el espín. Por el camino encontramos las escaleras rotacionales de las moléculas — las líneas milimétricas con las que los astrónomos pesan el gas frío de las galaxias — y los momentos magnéticos por los que el momento angular se mostró desdoblado por primera vez.

10.1 El álgebra de la rotación

Definición 10.1 (Operadores de momento angular)

El momento angular orbital es el operador $\hat{\vect L} = \hat{\vect r}\wedge\hat{\vect p}$ , componente a componente $\hat L_z = \hat x\hat p_y - \hat y\hat p_x$ y sus cíclicas. A partir de $[\hat x, \hat p_x] = \iu\hbar$ :

[\hat L_x, \hat L_y] = \iu\hbar\,\hat L_z \quad\text{(y cíclicas)} , \qquad [\hat L^2, \hat L_z] = 0 :

las componentes son mutuamente incompatibles — ningún estado tiene dos de ellas bien definidas —, pero el cuadrado total es compatible con cualquiera de ellas: la pareja $(\hat L^2, \hat L_z)$ es la elección estándar de etiquetas. Estos conmutadores son exactamente $\iu\hbar$ por los corchetes de Poisson calculados en el Ejemplo 2.12: el diccionario de Dirac en acción.

Teorema 10.2 (El espectro, solo a partir del álgebra)

Sean $\hat J_x, \hat J_y, \hat J_z$ tres operadores hermíticos cualesquiera que obedezcan a las relaciones de conmutación anteriores. Entonces los valores propios conjuntos de $(\hat J^2, \hat J_z)$ son

\hat J^2:\ j(j+1)\hbar^2 , \qquad \hat J_z:\ m\hbar , \quad m = -j, -j+1, \dots, +j ,

donde $j$ es un entero o semientero no negativo: $2j + 1$ valores de $m$ para cada $j$ . Los operadores escalera $\hat J_\pm = \hat J_x \pm \iu\hat J_y$ desplazan $m$ en $\pm1$ a $j$ fijo:

\hat J_\pm\ket{j,m} = \hbar\sqrt{j(j+1) - m(m\pm1)}\,\ket{j,m\pm1} .

Demostración parcial. $[\hat J_z, \hat J_\pm] = \pm\hbar\hat J_\pm$ : actuar con $\hat J_\pm$ desplaza el valor propio de $\hat J_z$ en $\pm\hbar$ , a $\hat J^2$ fijo (que conmuta con todo lo construido a partir de los $\hat J_i$ ). La norma $\|\hat J_\pm\ket{j,m}\|^2 = \hbar^2[j(j+1) - m(m\pm1)]$ (calculada a partir de $\hat J_\mp\hat J_\pm = \hat J^2 - \hat J_z^2 \mp \hbar\hat J_z$ ) debe seguir siendo no negativa: la escalera debe terminar por arriba en cierto $m_{\max}$ con $m_{\max}(m_{\max}+1) = j(j+1)$ , es decir, $m_{\max} = j$ , y por abajo en $m_{\min} = -j$ . Subir de $-j$ a $+j$ en pasos unidad obliga a que $2j$ sea un entero no negativo. La notación $j(j+1)\hbar^2$ para el valor propio queda así justificada a posteriori. ∎

Observación 10.3 (Una vacante en el catálogo)

El álgebra permite $j = \tfrac12, \tfrac32, \dots$ — escaleras con un número par de peldaños. El movimiento orbital, como veremos enseguida, usa solo enteros. La naturaleza, sin embargo, no desperdicia nada: el propio electrón lleva $j = \tfrac12$ , sin órbita alguna detrás (Capítulo 12); el álgebra aquí deducida, sin cambio alguno, gobernará el magnetismo atómico, los espines nucleares y el cúbit.

10.2 Momento angular orbital: los armónicos esféricos

Proposición 10.4 (Armónicos esféricos)

En coordenadas esféricas $\hat L_z = -\iu\hbar\,\partial_\varphi$ , y las funciones propias conjuntas de $(\hat L^2, \hat L_z)$ sobre la esfera son los armónicos esféricos $Y_l^m(\theta, \varphi)$ :

\hat L^2\,Y_l^m = l(l+1)\hbar^2\,Y_l^m , \qquad \hat L_z\,Y_l^m = m\hbar\,Y_l^m ,

con $l = 0, 1, 2, \dots$ entero — la univaluación de $\eu^{\iu m\varphi}$ obliga a que $m$ sea entero y, por tanto, también $l$ . Los primeros, salvo normalización: $Y_0^0 = \text{const}$ (la forma $s$ , una esfera); $Y_1^0 \propto \cos\theta$ y $Y_1^{\pm1} \propto \sin\theta\,\eu^{\pm\iu\varphi}$ (las formas $p$ , de dos lóbulos); $Y_2^0 \propto 3\cos^2\theta - 1$ y sus compañeros (la familia $d$ ). Paridad: $Y_l^m(-\vect r$ como dirección $) = (-1)^l\,Y_l^m$ .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Diagramas polares de |Y_lm( )| (sección en un plano que contiene al eje z; la forma completa es la figura de revolución). Estos esqueletos angulares, independientes de cualquier potencial, vestirán a todos los átomos del . — Diagramas polares de $|Y_l^m(\theta)|$ (sección en un plano que contiene al eje $z$ ; la forma completa es la figura de revolución). Estos esqueletos angulares, independientes de cualquier potencial, vestirán a todos los átomos del Capítulo 11.

Ejemplo 10.5 (El rotor rígido y su escalera)

Una molécula diatómica que voltea con momento de inercia $I$ tiene $\hat H = \hat L^2/2I$ : energías

E_J = \frac{\hbar^2}{2I}\,J(J+1) = B\,J(J+1) , \qquad J = 0, 1, 2, \dots

cada una con degeneración $(2J+1)$ . La absorción de fotones obedece a $\Delta J = \pm1$ , así que las frecuencias de absorción son $\nu_{J+1\leftarrow J} = 2B(J+1)/h$ : un peine de líneas igualmente espaciadas — la firma por la que se reconoce un espectro rotacional de un vistazo. Para el monóxido de carbono, $B/h = 57.6\,\mathrm{GHz}$ : la línea fundamental cae en $115\,\mathrm{GHz}$ ( $\lambda = 2.6\,\mathrm{mm}$ ), la línea de batalla de la radioastronomía milimétrica (Problema 10.1).

10.3 Potenciales centrales, completados

Teorema 10.6 (Separación en cualquier potencial central)

Para $V(r)$ , los estados estacionarios pueden tomarse como

\psi(\vect r) = \frac{u(r)}{r}\,Y_l^m(\theta, \varphi) ,

donde $u$ resuelve la ecuación radial unidimensional

-\frac{\hbar^2}{2m}\,u'' + \Big[V(r) + \frac{\hbar^2\,l(l+1)}{2mr^2}\Big]u = E\,u , \qquad u(0) = 0 .

El problema angular queda resuelto de una vez por todas por los $Y_l^m$ ; cada $l$ añade la barrera centrífuga repulsiva $\hbar^2l(l+1)/2mr^2$ — la versión cuántica del potencial efectivo del Ejemplo 1.12 — y todo nivel de $l$ dado tiene degeneración $(2l+1)$ , porque ninguna fuerza central puede importarle la orientación del eje $z$ . El truco de la onda $s$ de la Proposición 7.8 era la fila $l = 0$ de este teorema.

Demostración parcial. El laplaciano se separa como $\Delta = \tfrac1r\partial_r^2(r\,\cdot) - \hat L^2/\hbar^2r^2$ (admitido; es el enunciado de que $\hat L^2$ es la parte angular de $-\hbar^2\Delta$ ). Insértese $\psi = (u/r)Y_l^m$ y úsese el valor propio de $\hat L^2$ : se obtiene la ecuación enunciada. La degeneración se sigue de que $\hat H$ conmuta con los tres $\hat L_i$ , cuyos operadores escalera mueven $m$ sin cambiar la energía. ∎

Potenciales radiales efectivos del problema de Coulomb: la barrera centrífuga 2l(l+1)/2mr2 amuralla el origen para l 1. Solo los estados s tocan el núcleo — con consecuencias que van de los espectros atómicos a la captura electrónica radiactiva. — Potenciales radiales efectivos del problema de Coulomb: la barrera centrífuga $\hbar^2l(l+1)/2mr^2$ amuralla el origen para $l \ge 1$ . Solo los estados $s$ tocan el núcleo — con consecuencias que van de los espectros atómicos a la captura electrónica radiactiva.

10.4 Momentos magnéticos: el momento angular hecho visible

Proposición 10.7 (Momento magnético orbital y efecto Zeeman)

Una partícula de carga $q$ y masa $m$ con momento angular orbital $\hat{\vect L}$ lleva el momento magnético

\hat{\vect\mu} = \frac{q}{2m}\,\hat{\vect L} ;

para el electrón, la unidad natural es el magnetón de Bohr $\mu_{\text{B}} = e\hbar/2m_{\text{e}} = 5.79 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}/\mathrm{T}$ (compárese con el Ejercicio 7.5). En un campo $B\vect e_z$ , la energía $-\hat{\vect\mu}\cdot\vect B$ desplaza cada nivel en $+m\,\mu_{\text{B}}B$ (la carga del electrón es negativa): un nivel de $l$ dado se desdobla en sus $2l + 1$ componentes — el efecto Zeeman, la primera manifestación directa de la cuantización de $m$ , y la razón de que $m$ se llame número cuántico magnético. A $B = 1\,\mathrm{T}$ el desdoblamiento vale $58\,\text{µ}\mathrm{eV}$ : pequeño al lado de las energías ópticas, y fácilmente resoluble como un desplazamiento de líneas espectrales — y, leído al revés, un magnetómetro: el desdoblamiento Zeeman de las líneas de la luz solar cartografía los campos magnéticos de las manchas solares.

Demostración parcial. Clásicamente, una carga en una órbita es una espira de corriente: $\mu = IA = (qv/2\pi r)(\pi r^2) = qL/2m$ ; el enunciado operatorial lo hereda (y se sigue del acoplamiento con $\hat{\vect A}$ de la Proposición 1.16). El desplazamiento de energía es teoría de perturbaciones de primer orden, anticipada aquí y justificada en el Capítulo 13. ∎

“Cuantización espacial” para l = 2: el vector momento angular tiene longitud √l(l+1)\, = √6\,, pero solo puede ofrecer al eje z las cinco proyecciones m — nunca su longitud completa: como las componentes son incompatibles, L no puede alinearse jamás exactamente con ningún eje. — “Cuantización espacial” para $l = 2$ : el vector momento angular tiene longitud $\sqrt{l(l+1)}\,\hbar = \sqrt6\,\hbar$ , pero solo puede ofrecer al eje $z$ las cinco proyecciones $m\hbar$ — nunca su longitud completa: como las componentes son incompatibles, $\vect L$ no puede alinearse jamás exactamente con ningún eje.

Método 10.8 (El momento angular en la práctica)

(1) Etiquétense los estados por $(l, m)$ — o por $(j, m)$ para el álgebra abstracta — y no se pidan nunca dos componentes a la vez. (2) Elementos de matriz: úsense las fórmulas de escalera; $\hat L_x = (\hat L_+ + \hat L_-)/2$ . (3) Potencial central: cítense los $Y_l^m$ y resuélvase solo la ecuación radial con la barrera centrífuga. (4) Energías rotacionales: $BJ(J+1)$ , con líneas en $2B(J+1)$ — extráigase $B$ y, con él, las longitudes de enlace, a partir de los espaciados iguales. (5) Cuestiones magnéticas: conviértanse los momentos angulares en momentos magnéticos a razón de $\mu_{\text{B}}$ por $\hbar$ , y las energías a razón de $\mu_{\text{B}}B$ por unidad de $m$ .

10.5 Ejercicios

Ejercicio 10.1 ★

(a) Dedúzcase $[\hat L_x, \hat L_y] = \iu\hbar\hat L_z$ a partir de los conmutadores canónicos. (b) Muéstrese $[\hat L^2, \hat L_z] = 0$ . (c) Muéstrese $[\hat L_z, \hat x] = \iu\hbar\hat y$ : ¿qué genera $\hat L_z$ ? (d) ¿Por qué no admiten las tres componentes ninguna base propia común — salvo para un estado particular (cuál)?

Solución

Solución de Ejercicio 10.1.

(a) $[\hat y\hat p_z - \hat z\hat p_y,\ \hat z\hat p_x - \hat x\hat p_z]$ : solo sobreviven los términos que comparten una pareja $\hat z, \hat p_z$ , lo que da $\iu\hbar(\hat x\hat p_y - \hat y\hat p_x)$ . (b) $[\hat L^2, \hat L_z] = \sum_i[\hat L_i^2, \hat L_z] = \hat L_x[\hat L_x, \hat L_z] + [\hat L_x, \hat L_z]\hat L_x + (x \to y)$ : los cuatro términos se cancelan por parejas. (c) $[\hat L_z, \hat x] = \iu\hbar\hat y$ : $\hat L_z$ genera las rotaciones en torno a $z$ — tanto de operadores como de estados. (d) Que dos componentes estén simultáneamente bien definidas obliga (por el conmutador) a que la tercera también lo esté con valor nulo, y con ella las tres: solo $l = 0$ lo consigue.

Ejercicio 10.2 ★

Para $l = 1$ , en la base $\{\ket{1,1}, \ket{1,0}, \ket{1,-1}\}$ : (a) escríbase la matriz de $\hat L_z$ ; (b) úsese la fórmula de escalera para escribir $\hat L_+$ y $\hat L_-$ ; (c) ensámblese $\hat L_x$ y compruébese que sus valores propios son $\hbar, 0, -\hbar$ ; (d) un estado con $L_x = +\hbar$ se mide según $z$ : dense las probabilidades de los tres resultados.

Solución

Solución de Ejercicio 10.2.

(a) $\hat L_z = \hbar\operatorname{diag}(1, 0, -1)$ . (b) $\hat L_+ = \hbar\sqrt2\,\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0 \end{pmatrix}$ , $\hat L_-$ su traspuesta. (c) $\hat L_x = \dfrac{\hbar}{\sqrt2}\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0 \end{pmatrix}$ : polinomio característico $\lambda(\lambda^2 - \hbar^2)$ . (d) El vector propio de $L_x = +\hbar$ es $\tfrac12(1, \sqrt2, 1)$ : probabilidades $\tfrac14, \tfrac12, \tfrac14$ para $m = +1, 0, -1$ .

Ejercicio 10.3 ★

Monóxido de carbono: longitud de enlace $0.113\,\mathrm{nm}$ , masa reducida $1.14 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ . (a) Calcúlense $I$ y $B = \hbar^2/2I$ en meV. (b) La frecuencia y la longitud de onda de la línea $J = 1 \leftarrow 0$ . (c) Las dos líneas siguientes. (d) Una astrónoma mide el espaciado del peine con cinco cifras: ¿qué magnitud molecular obtiene y con qué precisión?

Solución

Solución de Ejercicio 10.3.

(a) $I = \mu r_0^2 = 1.46 \times 10^{-46}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ; $B = \hbar^2/2I = 3.8 \times 10^{-23}\,\mathrm{J} = 0.24\,\mathrm{meV}$ . (b) $2B/h = 115\,\mathrm{GHz}$ , $\lambda = 2.6\,\mathrm{mm}$ . (c) $231\,\mathrm{GHz}$ y $346\,\mathrm{GHz}$ . (d) El espaciado da $B$ y, con él, $I = \mu r_0^2$ : la longitud de enlace de una molécula situada a años luz, con aproximadamente la mitad de la precisión relativa del espaciado.

Ejercicio 10.4 ★

Una partícula está en un estado con $l = 2$ . (a) Enumérense los resultados posibles de medir $L_z$ . (b) El ángulo mínimo entre $\vect L$ y el eje $z$ , usando $\cos\theta = m/\sqrt{l(l+1)}$ : evalúese. (c) ¿Por qué no puede ser nunca nulo el ángulo? (d) Muéstrese que el ángulo mínimo tiende a cero cuando $l \to \infty$ : los vectores clásicos, recuperados.

Solución

Solución de Ejercicio 10.4.

(a) $m\hbar$ con $m = -2 \dots 2$ . (b) $\cos\theta = 2/\sqrt6$ : $\theta = 35.3^\circ$ . (c) Un alineamiento perfecto haría que $L_x = L_y = 0$ estuvieran bien definidos a la vez que $L_z$ — algo que prohíben los conmutadores salvo en el caso trivial $l = 0$ . (d) $l/\sqrt{l(l+1)} \to 1$ : para $l$ grande el cono se cierra sobre el eje y vuelve la flecha clásica.

Ejercicio 10.5 ★★

La parte angular de $-\hbar^2\Delta$ es $\hat L^2$ , con

\hat L^2 = -\hbar^2\Big[\frac{1}{\sin\theta}\,\partial_\theta (\sin\theta\,\partial_\theta) + \frac{1}{\sin^2\theta}\,\partial_\varphi^2\Big] .

(a) Verifíquese que $Y_1^0 \propto \cos\theta$ tiene valor propio de $\hat L^2$ igual a $2\hbar^2$ . (b) Verifíquese lo mismo para $Y_1^{\pm1} \propto \sin\theta\, \eu^{\pm\iu\varphi}$ , así como sus valores propios de $\hat L_z$ . (c) Compruébense las paridades. (d) ¿Por qué debe valer $\braket{Y_1^0}{Y_1^1} = 0$ sin calcular integral alguna?

Solución

Solución de Ejercicio 10.5.

(a) Sin dependencia en $\varphi$ , el operador da $-\hbar^2(\sin\theta)^{-1}\partial_\theta(\sin\theta\,(-\sin\theta)) = 2\hbar^2\cos\theta$ . (b) El mismo cálculo con el factor $\eu^{\pm\iu\varphi}$ : valor propio $2\hbar^2$ ; $\hat L_z$ da $\pm\hbar$ . (c) $\cos\theta$ y $\sin\theta\,\eu^{\pm\iu \varphi}$ cambian de signo bajo $\vect r \to -\vect r$ ( $\theta \to \pi - \theta$ , $\varphi \to \varphi + \pi$ ): paridad $-1 = (-1)^1$ . (d) Son vectores propios del operador hermítico $\hat L_z$ con valores propios distintos.

Ejercicio 10.6 ★★

¿Qué línea rotacional es la más brillante? La población del nivel $J$ es $\propto (2J+1)\,\eu^{-BJ(J+1)/k_{\text{B}}T}$ . (a) Explíquense los dos factores. (b) Muéstrese que el máximo se sitúa cerca de $J_{\max} \approx \sqrt{k_{\text{B}}T/2B} - \tfrac12$ . (c) Para el CO a $10\,\mathrm{K}$ (una nube oscura) y a $300\,\mathrm{K}$ : ¿qué líneas dominan? (d) Invirtiendo: una escalera de CO observada con máximo en $J = 7$ delata ¿qué temperatura?

Solución

Solución de Ejercicio 10.6.

(a) $2J + 1$ estados comparten el nivel (degeneración); el factor de Boltzmann grava su energía. (b) Maximícese el producto: $\dd/\dd J = 0$ da $2 = (2J+1)^2B/k_{\text{B}}T$ , el $J_{\max}$ enunciado. (c) A $10\,\mathrm{K}$ : $J_{\max} \approx 0.8$ , de modo que domina $J = 1$ y brillan las líneas de $115\,\mathrm{GHz}$ y $230\,\mathrm{GHz}$ ; a $300\,\mathrm{K}$ : $J_{\max} \approx 7$ . (d) $T \approx 2B(J_{\max} + \tfrac12)^2/ k_{\text{B}} \approx 310\,\mathrm{K}$ — un termómetro rotacional.

Ejercicio 10.7 ★★

Efecto Zeeman normal. Una línea espectral de $500\,\mathrm{nm}$ procede de una transición $l = 2 \to l = 1$ en un campo $B = 2\,\mathrm{T}$ ; ignórese el espín (válido para ciertos estados “singlete”). (a) Esbócese ahora los niveles desdoblados. (b) Con la regla de selección $\Delta m = 0, \pm1$ , muéstrese que aparecen solo tres posiciones de línea, en $0, \pm\mu_{\text{B}}B/h$ . (c) Calcúlese el desdoblamiento en GHz y en picómetros de longitud de onda. (d) La mayoría de las líneas reales se desdobla en más de tres componentes (Zeeman “anómalo”): ¿de qué ingrediente ausente, que lleva el propio electrón, fue eso prueba histórica?

Solución

Solución de Ejercicio 10.7.

(a) El nivel superior se desdobla en cinco y el inferior en tres, todos con el mismo espaciado $\mu_{\text{B}}B$ . (b) Con espaciados iguales, $h\nu = h\nu_0 + (\Delta m)\mu_{\text{B}}B$ y $\Delta m \in \{0, \pm1\}$ : solo tres posiciones. (c) $\mu_{\text{B}}/h = 14\,\mathrm{GHz}/\mathrm{T}$ , de modo que a $B = 2\,\mathrm{T}$ el desdoblamiento vale $28\,\mathrm{GHz}$ , es decir, $\Delta\lambda = \lambda^2\Delta\nu/c \approx 23\,\mathrm{pm}$ — resoluble desde las redes de difracción de Zeeman de 1896. (d) El espín propio del electrón, con su factor anómalo $g \approx 2$ : los patrones “anómalos” fueron las huellas dactilares del espín antes de que el espín tuviera nombre (Capítulo 12).

Ejercicio 10.8 ★★

La muralla centrífuga. Para el hidrógeno ( $V = -e^2/4\pi\varepsilon_0r$ ), escríbase $U_{\text{ef}}$ para $l = 1$ en unidades de $E_{\text{I}}$ y $a_0$ . (a) Localícense su mínimo y su valor. (b) Muéstrese que $U_{\text{ef}} > 0$ para $r < \dots$ — hállese el radio por debajo del cual domina la barrera. (c) Compárese $|\psi|^2$ cerca de $r = 0$ para los estados $s$ y $p$ ( $u \sim r^{l+1}$ , admitido): ¿qué estados “tocan” el núcleo? (d) La captura electrónica — un núcleo que se traga uno de los electrones de su átomo — procede de forma abrumadora desde las capas $s$ : explíquese en una frase.

Solución

Solución de Ejercicio 10.8.

En las unidades enunciadas, $U_{\text{ef}} = -2/x + l(l+1)/x^2$ . (a) Para $l = 1$ : mínimo en $x = 2$ ( $r = 2a_0$ ), de profundidad $-E_{\text{I}}/2$ . (b) $U_{\text{ef}} > 0$ para $x < 1$ : dentro de un radio de Bohr gana la muralla. (c) $\psi \sim r^l$ cerca del origen: solo los estados $l = 0$ tienen densidad no nula en $r = 0$ . (d) Capturar un electrón exige densidad electrónica en el núcleo: los electrones $s$ , los únicos no vedados por la muralla centrífuga, son los que se tragan.

Ejercicio 10.9 ★★

Sobre $\ket{l, m}$ : (a) muéstrese que $\langle\hat L_x\rangle = \langle\hat L_y\rangle = 0$ ; (b) muéstrese que $\langle\hat L_x^2\rangle = \langle\hat L_y^2\rangle = \tfrac12[l(l+1) - m^2]\hbar^2$ ; (c) verifíquese la relación de incertidumbre $\Delta L_x\,\Delta L_y \ge \tfrac\hbar2 |\langle\hat L_z\rangle|$ sobre el estado estirado $m = l$ ; (d) interprétese la imagen del “cono” de la figura a la luz de (a) y de (b).

Solución

Solución de Ejercicio 10.9.

(a) $\hat L_x = (\hat L_+ + \hat L_-)/2$ cambia $m$ : los elementos diagonales se anulan. (b) Por simetría, los dos cuadrados transversales son iguales, y su suma vale $\langle\hat L^2 - \hat L_z^2\rangle$ . (c) En $m = l$ : $\Delta L_x\Delta L_y = l\hbar^2/2 = \tfrac\hbar2 \,l\hbar$ : igualdad — el estado estirado está tan alineado como el álgebra permite. (d) El cono: $L_z$ bien definido, medias transversales nulas y dispersiones transversales iguales — un vector de longitud y proyección definidas, difuminado democráticamente en acimut.

Ejercicio 10.10 ★★★

Bandas de vibración–rotación. Una transición vibracional infrarroja ( $\hbar\omega_0$ ) de una diatómica cambia $J$ en $\pm1$ simultáneamente. (a) Muéstrese que las líneas de absorción caen en $h\nu = \hbar\omega_0 + 2B(J+1)$ (la rama $R$ , de $J \to J+1$ ) y en $h\nu = \hbar\omega_0 - 2BJ$ (la rama $P$ , de $J \to J-1$ ), con $J \ge 1$ . (b) ¿Por qué hay un hueco justo en $\hbar\omega_0$ ? (c) Esbócese la banda: dos peines que flanquean una línea central ausente, con la intensidad de cada línea siguiendo el Ejercicio 10.6. (d) La banda de $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ del Problema 9.1 tiene exactamente esta anatomía: ¿qué fija su anchura global y, con ella, las “alas” que hacen eficaz al dióxido de carbono añadido?

Solución

Solución de Ejercicio 10.10.

(a) Contabilidad energética con $E_J = BJ(J+1)$ : $J \to J + 1$ suma $2B(J+1)$ ; $J \to J - 1$ resta $2BJ$ . (b) $\Delta J = 0$ está prohibido, y las dos ramas arrancan en $\pm 2B$ : nada cae en la frecuencia vibracional pura. (c) Dos peines de espaciado $2B$ que flanquean un hueco, con intensidades que crecen hasta $J_{\max}$ y luego caen. (d) La anchura de la banda es la extensión poblada de los peines, que crece como $\sqrt{T}$ : esas alas pobladas térmicamente son precisamente donde una banda de invernadero saturada sigue absorbiendo.

Ejercicio 10.11 ★★★

Rematar el álgebra. (a) A partir de $\hat J_\mp\hat J_\pm = \hat J^2 - \hat J_z^2 \mp \hbar\hat J_z$ , calcúlense $\|\hat J_\pm\ket{j,m}\|^2$ y los coeficientes de escalera. (b) Muéstrese que, si la escalera no terminara, alguna norma se haría negativa: exhíbase el estado culpable. (c) Conclúyase que $m_{\max} - m_{\min} = 2j$ debe ser un entero no negativo y enumérense los $j$ permitidos. (d) ¿Dónde exactamente no logra el argumento excluir los semienteros, y qué requisito adicional (la univaluación sobre la esfera) los excluye solo para el movimiento orbital?

Solución

Solución de Ejercicio 10.11.

(a) $\|\hat J_\pm\ket{j,m}\|^2 = \bra{j,m}\hat J_\mp\hat J_\pm \ket{j,m} = \hbar^2[j(j+1) - m(m\pm1)]$ . (b) Subir más allá de $m = j$ daría $j(j+1) - j(j+1) = 0$ y, un paso más allá, normas negativas: la cadena debe contener el estado superior aniquilado. (c) La cima y el fondo difieren en un número entero de pasos unidad: $2j \in \mathbb N$ : $j = 0, \tfrac12, 1, \tfrac32, \dots$ (d) El álgebra no usa funciones de onda en ningún momento; solo la exigencia de que $\eu^{\iu m\varphi}$ sea univaluada sobre la circunferencia obliga a que $m$ sea entero — una condición que ata al movimiento orbital y deja libres a los momentos angulares intrínsecos (de espín) para ser semienteros.

Ejercicio 10.12 ★★★

Einstein–de Haas: el momento angular es mecánico. Un cilindro de hierro (radio $a = 1.0\,\mathrm{cm}$ , densidad $\rho = 7.9 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , densidad atómica $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ) cuelga de un hilo de torsión; invertir su imanación voltea alrededor de un $\hbar$ de momento angular por átomo. (a) Por conservación, la barra debe retroceder: calcúlese el momento angular por unidad de volumen transferido. (b) Con un momento de inercia de la barra $\tfrac12 M a^2$ , muéstrese que la barra adquiere $\omega = 2n\hbar/\rho a^2$ y evalúese. (c) El experimento de 1915 impulsaba la inversión en la resonancia del hilo para acumular los diminutos impulsos: estímese la amplitud de oscilación tras $Q \sim 100$ inversiones resonantes, tomando su $\omega$ por impulso. (d) La razón medida momento magnético/momento angular resultó ser el doble de la predicción orbital $e/2m_{\text{e}}$ : ¿qué anunciaba ese factor dos?

Solución

Solución de Ejercicio 10.12.

(a) $n\hbar$ por unidad de volumen. (b) $\omega = n\hbar V/(\tfrac12 Ma^2) = 2n\hbar/\rho a^2 = 2 \times 8.5 \times 10^{28} \times 1.055 \times 10^{-34}/ (7900 \times 10^{-4}) \approx 2.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ — invisible de una sola vez. (c) Invertir al compás de la resonancia del hilo acumula $\sim Q$ impulsos: $\omega \sim 2 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , oscilaciones de milirradián con un periodo de segundos — visibles con un espejo y un haz de luz, como vieron Einstein y de Haas. (d) La razón giromagnética medida fue $e/m_{\text{e}}$ , el doble de la orbital $e/2m_{\text{e}}$ : el magnetismo del hierro no son corrientes orbitales, sino el espín del electrón, cuyo $g \approx 2$ explican los capítulos siguientes.

10.6 Problema: pesar galaxias a 2,6 milímetros

Problema 10.1

Problema de fin de semana — monóxido de carbono, radioastronomía y el universo frío

La mayor parte de la materia con la que una galaxia fabrica estrellas es hidrógeno molecular frío — y es invisible: el H $_2$ , simétrico, no tiene dipolo ni líneas rotacionales a las temperaturas de las nubes frías. La solución de la astronomía es su fiel compañero. Una molécula de CO por cada $10^{4}$ de H $_2$ , con su escalera de $115\,\mathrm{GHz}$ , ilumina todas las nubes moleculares del cielo. Datos: para el CO, $B/h = 57.6\,\mathrm{GHz}$ ( $B = 0.238\,\mathrm{meV}$ ); longitud de enlace $r_0 = 0.113\,\mathrm{nm}$ ; masa reducida $\mu = 1.14 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ ; $k_{\text{B}}T$ a $10\,\mathrm{K}$ vale $0.862\,\mathrm{meV}$ .

Parte I — El rotor cuántico.

A partir de $\hat H = \hat L^2/2I$ , dense las energías $E_J$ y sus degeneraciones.
Verifíquese $B = \hbar^2/2I$ para el CO a partir de $r_0$ y $\mu$ .
Con la regla de selección $\Delta J = \pm1$ , dedúzcanse las frecuencias de absorción $\nu_{J+1\leftarrow J} = 2B(J+1)/h$ y enumérense las tres primeras.
¿Por qué están las líneas igualmente espaciadas, y qué le entrega al astrónomo un espaciado medido (a través de $I$ )?
Calcúlese la longitud de onda de la línea fundamental y explíquese por qué observarla exige emplazamientos altos y secos (¿qué absorbe las ondas milimétricas en nuestra propia atmósfera — recuérdese a la vecina de la molécula del Problema 9.1, el agua?).
El fotón de la línea $1 \to 0$ lleva $\hbar$ de momento angular: ¿por qué no es $\Delta J = \pm1$ una mera regla práctica, sino una ley de conservación?

Parte II — Por qué el CO y no el H $_2$ .

El H $_2$ es homonuclear: dígase por qué no emite radiación dipolar rotacional en absoluto.
El H $_2$ es además ligero: calcúlese la constante rotacional del H $_2$ ( $\mu = m_{\text{p}}/2$ , $r_0 = 0.074\,\mathrm{nm}$ ) y la energía de su primera transición accesible; compárese con $k_{\text{B}}T$ a $10\,\mathrm{K}$ : aun por las puertas traseras cuadrupolares, ¿podría radiar el H $_2$ frío?
El primer peldaño del CO cuesta $2B = 0.48\,\mathrm{meV}$ frente a $k_{\text{B}}T = 0.86\,\mathrm{meV}$ : ¿está viva la escalera a $10\,\mathrm{K}$ ?
Calcúlese la razón de poblaciones $n_1/n_0$ a $10\,\mathrm{K}$ (degeneración incluida).
¿Cerca de qué $J$ tiene su máximo la población a $10\,\mathrm{K}$ (úsese $J_{\max} \approx \sqrt{k_{\text{B}}T/2B} - \tfrac12$ )?
Resúmase en una frase el pacto del oficio: qué aporta el CO y qué hay que suponer sobre la proporción entre CO y H $_2$ .

Parte III — Leer el cielo.

La línea de una nube llega a $115.156\,\mathrm{GHz}$ en lugar de los $115.271\,\mathrm{GHz}$ de laboratorio: calcúlense la velocidad de la nube en la línea de visión, y su sentido.
La línea está ensanchada por efecto Doppler debido a movimientos internos de $\pm2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : calcúlese la anchura de línea en MHz y compárese con la anchura térmica esperada a $10\,\mathrm{K}$ ( $v_{\text{term}} \sim \sqrt{k_{\text{B}}T/m_{\text{CO}}} \approx 55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): ¿qué domina el ensanchamiento?
Cartografiar el desplazamiento Doppler del CO por el disco de una galaxia espiral da su curva de rotación $v(r)$ . Las curvas se mantienen planas mucho más allá del disco visible: recuérdese (volumen del Año 1, gravitación) qué debería hacer $v(r)$ alrededor de una masa concentrada en el centro, y dígase qué implica esa planitud.
La razón entre el brillo de la línea $2\to1$ y el de la $1\to0$ mide las poblaciones de los niveles: ¿qué única magnitud física de la nube entrega?
ALMA resuelve el CO en galaxias cuya luz partió cuando el universo era joven; la frecuencia observada de la línea $1 \to 0$ de una galaxia con “desplazamiento al rojo $z = 1$ ” llega a la mitad de su valor en reposo — ¿a qué frecuencia y (recordando el Ejemplo 4.13) qué la estiró?
A partir de la luminosidad medida de la línea de CO, los astrónomos dan masas de nubes en masas solares: enumérese la cadena de conversiones (fotones de la línea $\to$ recuento de CO $\to$ masa de H $_2$ ) y el eslabón más débil.

Parte IV — Las guarderías frías.

Los núcleos de formación estelar están a $10\,\mathrm{K}$ : por la ley de Wien, su resplandor térmico tiene su pico cerca de $290\,\text{µ}\mathrm{m}$ — invisible para todo telescopio óptico. En una frase: ¿por qué es la escalera rotacional el único termómetro y la única balanza que ofrece un núcleo así?
El nivel $J = 1$ está $5.5\,\mathrm{K}$ (en unidades de temperatura) por encima del fundamental: ¿por qué hace eso de la línea $1\to0$ un termómetro exquisito justo en el régimen de $10\,\mathrm{K}$ (y no, digamos, una línea óptica de $2\,\mathrm{eV}$ $\sim 23\,000\,\mathrm{K}$ )?
¿Por qué acaba dejando de verse en CO ( $1\to0$ ) un núcleo que colapsa? Considérese qué le hacen a la línea y a su escape la alta densidad y el polvo.
Las nubes moleculares muestran además líneas de NH $_3$ , HCN y docenas más, cada una con su propio $B$ y su dipolo: ¿qué permite desenredar a los astrónomos la riqueza de este “dial de radio químico”?
Todo el cielo brilla a $2.7\,\mathrm{K}$ (el fondo cósmico de microondas): ¿qué le ocurre al contraste de las líneas de CO de una nube cuando su propia temperatura se acerca a $2.7\,\mathrm{K}$ , y por qué es ese un suelo duro para este termómetro?
Una antena milimétrica debe conservar su forma con precisión de aproximadamente $\lambda/20$ : calcúlese esa tolerancia a $115\,\mathrm{GHz}$ y compárese con la que debe cumplir un espejo óptico ( $500\,\mathrm{nm}$ ) — ¿por qué pudieron construirse al aire libre las antenas de doce metros de ALMA?
Resúmase el resultado con nombre propio: una escalera $BJ(J+1)$ con $B/h = 57.6\,\mathrm{GHz}$ , poblada a diez kelvin y leída en $2.6\,\mathrm{mm}$ , es como se miden la masa, la temperatura, la velocidad y la rotación del universo frío — y la evidencia de materia oscura alrededor de las galaxias espirales.

Solución

Solución de Problema 10.1.

1. $E_J = BJ(J+1)$ , con degeneración $2J + 1$ . 2. $I = \mu r_0^2 = 1.46 \times 10^{-46}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ : $B = \hbar^2/2I = 3.8 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}$ , es decir, $B/h = 57.7\,\mathrm{GHz}$ — la constante medida. 3. $115$ , $231$ y $346\,\mathrm{GHz}$ . 4. $E_{J+1} - E_J = 2B(J+1)$ crece linealmente: líneas consecutivas difieren en la constante $2B$ . El espaciado da $I$ y, con él, la longitud de enlace — química estructural por radio. 5. $\lambda = c/\nu = 2.6\,\mathrm{mm}$ . El vapor de agua atmosférico absorbe con avidez las ondas milimétricas; de ahí Atacama, Mauna Kea o el Polo Sur — altos, fríos y secos. 6. El fotón es una partícula de espín $1$ que lleva $\hbar$ : la conservación del momento angular total obliga al $J$ de la molécula a cambiar en una unidad. 7. Su distribución de carga es simétrica para cualquier ángulo de rotación: sin dipolo oscilante no hay línea dipolar — camuflaje perfecto. 8. $B_{\text{H}_2} = \hbar^2/2\mu r_0^2 \approx 7.6\,\mathrm{meV}$ ; las débiles transiciones cuadrupolares de la molécula simétrica exigen $\Delta J = 2$ , con un coste de $6B \approx 46\,\mathrm{meV}$ — cincuenta veces $k_{\text{B}}T$ a $10\,\mathrm{K}$ : el hidrógeno frío no puede radiar en absoluto. 9. $2B = 0.48\,\mathrm{meV} < k_{\text{B}}T = 0.86\,\mathrm{meV}$ : las colisiones mantienen poblados los primeros peldaños — la escalera funciona justo donde viven las nubes. 10. $n_1/n_0 = 3\,\eu^{-0.478/0.862} = 1.7$ : el nivel emisor está bien surtido. 11. $J_{\max} \approx \sqrt{0.86/0.48} - 0.5 \approx 0.8$ : la población tiene su máximo en $J = 1$ . 12. El CO entrega los fotones; convertirlos en masa total de gas descansa en una abundancia supuesta de CO respecto del H $_2$ — mensajero luminoso, rescate calibrado. 13. $\Delta\nu = 115\,\mathrm{MHz}$ : $v = c\,\Delta\nu/\nu \approx 300\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , alejándose (la frecuencia ha bajado) — velocidades orbitales galácticas. 14. Los $\pm2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ abarcan $1.5\,\mathrm{MHz}$ ; el movimiento térmico a $10\,\mathrm{K}$ da solo $\sim40\,\mathrm{kHz}$ : la anchura es turbulencia, no temperatura — las anchuras de línea cartografían la meteorología interna de una nube. 15. En torno a una masa central, $v \propto 1/\sqrt r$ debería caer (Kepler); la planitud medida significa que la masa encerrada sigue creciendo con el radio — materia invisible que envuelve al disco luminoso: materia oscura. 16. La razón de poblaciones, es decir, la temperatura de excitación del gas. 17. A $57.6\,\mathrm{GHz}$ : la expansión cósmica ha duplicado toda longitud de onda en vuelo — el corrimiento al rojo cosmológico al que vuelve el último capítulo de este libro. 18. Flujo de fotones $\to$ luminosidad de CO (hace falta la distancia) $\to$ recuento de CO (modelo de excitación) $\to$ masa de H $_2$ (el “factor X” de CO a H $_2$ : el eslabón más débil, calibrado localmente y exportado con prudencia). 19. Un núcleo a $10\,\mathrm{K}$ no emite nada que pueda ver un telescopio óptico; sus líneas rotacionales son a la vez su único termómetro, su velocímetro y su balanza. 20. Un termómetro es sensible donde el espaciado de niveles es $\sim k_{\text{B}}T$ : un espaciado de $5.5\,\mathrm{K}$ responde con fuerza entre $5$ y $50$ K, mientras que un nivel óptico de $2\,\mathrm{eV}$ no lo poblaría absolutamente nada. 21. La línea se satura (se vuelve ópticamente gruesa) y, peor aún, el CO se congela sobre los granos de polvo en el gas más denso y frío: los astrónomos pasan entonces a isotopólogos más raros ( $^{13}$ CO, C $^{18}$ O) y a otras moléculas. 22. Cada especie necesita su propia densidad y temperatura para brillar: juntas hacen una tomografía de la nube — las envolturas exteriores en CO, los núcleos densos en NH $_3$ y HCN. 23. Una línea se ve por contraste frente al fondo cósmico; cuando la temperatura del gas se acerca a $2.7\,\mathrm{K}$ , su excitación se equilibra con el fondo y el contraste se desvanece: ninguna nube más fría puede leerse así. 24. $\lambda/20 = 130\,\text{µ}\mathrm{m}$ frente a $25\,\mathrm{nm}$ para el trabajo óptico: cinco mil veces más indulgente — por eso las antenas milimétricas de doce metros están al aire libre en el desierto mientras los espejos ópticos viven en cúpulas. 25. Una escalera $BJ(J+1)$ con $B/h = 57.6\,\mathrm{GHz}$ , viva a diez kelvin y leída en $2.6\,\mathrm{mm}$ , mide la masa, la temperatura, la turbulencia y la rotación del universo frío — y sus curvas de rotación planas son una exposición permanente sobre la materia oscura.

Términos definidos en este capítulo

Operadores de momento angular

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