Física universitaria — tercer año · Bachelor Year 3

11El átomo de hidrógeno

Nueve de cada diez átomos del universo son hidrógeno: un protón que retiene un electrón, el único átomo que la física resuelve exactamente — y la llave que abrió todos los demás. La vieja teoría cuántica del Capítulo 2 adivinó sus energías; la maquinaria está ya dispuesta para deducirlas: el potencial de Coulomb entra en la ecuación radial del capítulo anterior y de ella salen los niveles $-E_{\text{I}}/n^2$ , el radio de Bohr, las capas y subcapas de la tabla periódica de la química y las series espectrales que los astrónomos leen en cualquier nebulosa. La misma solución, reescalada, describe el helio ionizado, los átomos muónicos, el positronio y los “átomos” de electrón–hueco del interior de los semiconductores; estirada hasta $n \approx 100$ describe átomos de Rydberg de medio micrómetro de anchura, cuyos susurros de radio cartografían las nubes ionizadas de la Galaxia y cuyas interacciones gobiernan hoy ordenadores cuánticos.

11.1 El problema de Coulomb, resuelto

Teorema 11.1 (Niveles del hidrógeno)

Para $V(r) = -e^2/4\pi\varepsilon_0 r$ (escribiendo $k = e^2/4\pi \varepsilon_0$ ), los estados ligados se etiquetan $(n, l, m)$ con

E_n = -\frac{E_{\text{I}}}{n^2} , \qquad E_{\text{I}} = \frac{m_{\text{e}}k^2}{2\hbar^2} = 13.6\,\mathrm{eV} , \qquad n = 1, 2, 3, \dots

y, para cada $n$ , los números orbitales $l = 0, 1, \dots, n-1$ y $m = -l, \dots, l$ . La longitud natural es el radio de Bohr $a_0 = \hbar^2/m_{\text{e}}k = 52.9\,\mathrm{pm}$ ; el estado fundamental es

\psi_{100} = \frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}\;\eu^{-r/a_0} .

La energía depende solo de $n$ : contando las $m$ y las $l$ , el nivel $n$ tiene degeneración $n^2$ (duplicada por el espín, Capítulo 12) — mucho más allá de la degeneración $(2l+1)$ que explica la isotropía.

Demostración parcial. Para el estado fundamental, pruébese $u = Cr\,\eu^{-r/a}$ en la ecuación radial con $l = 0$ : $u'' = (1/a^2 - 2/ar)u$ , de modo que $-\tfrac{\hbar^2}{2m_{\text{e}}}u'' - \tfrac kr u = Eu$ exige $\hbar^2/m_{\text{e}}a = k$ (igualando los términos en $1/r$ ) — es decir, $a = a_0$ — y $E = -\hbar^2/2m_{\text{e}}a_0^2 = -E_{\text{I}}$ . La solución general (polinomios de Laguerre, con $n - l - 1$ nodos radiales) se admite; cada paso de la construcción es elemental, pero largo. La degeneración “accidental” en $l$ refleja un secreto clásico de la fuerza $1/r$ pura — las elipses de Kepler no precesan, y un vector conservado adicional (el de Laplace–Runge–Lenz) apunta a lo largo del eje mayor fijo; su versión cuántica es lo que ata distintos $l$ a una sola energía (Ejercicio 11.12). ∎

Los niveles del hidrógeno -E_ I/n2, desplegados según l: todas las subcapas de un mismo n coinciden (el “accidente” de Coulomb). Los saltos hacia abajo que terminan en n = 1 forman la serie ultravioleta de Lyman; los que terminan en n = 2, la serie visible de Balmer que tiñe de rojo las nebulosas. — Los niveles del hidrógeno $-E_{\text{I}}/n^2$ , desplegados según $l$ : todas las subcapas de un mismo $n$ coinciden (el “accidente” de Coulomb). Los saltos hacia abajo que terminan en $n = 1$ forman la serie ultravioleta de Lyman; los que terminan en $n = 2$ , la serie visible de Balmer que tiñe de rojo las nebulosas.

11.2 Dónde está el electrón

Proposición 11.2 (Distribuciones radiales)

La probabilidad de hallar el electrón entre $r$ y $r + \dd r$ es $P(r)\,\dd r$ con $P(r) = |u(r)|^2$ , el cuadrado de la función radial normalizada del Teorema 10.6. Para los estados más bajos: $P_{1s} \propto r^2\eu^{-2r/a_0}$ , con máximo exactamente en $r = a_0$ y $\langle r\rangle = \tfrac32 a_0$ ; $P_{2s}$ muestra dos jorobas separadas por un nodo esférico; $P_{2p} \propto r^4\eu^{-r/a_0}$ , con máximo en $4a_0$ . En general, $\langle r\rangle \approx n^2a_0$ : los átomos crecen cuadráticamente con la excitación, mientras que su energía de enlace se encoge como $1/n^2$ — la palanca que hay tras los gigantes de Rydberg del Problema 11.1.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Densidades de probabilidad radial. El máximo del 1s se sitúa exactamente en a_0; el estado 2s lleva un nodo esférico y un lóbulo cerca del núcleo — la “penetración” que ordenará la tabla periódica —, mientras que el 2p, amurallado por la barrera centrífuga, se mantiene apartado. — Densidades de probabilidad radial. El máximo del $1s$ se sitúa exactamente en $a_0$ ; el estado $2s$ lleva un nodo esférico y un lóbulo cerca del núcleo — la “penetración” que ordenará la tabla periódica —, mientras que el $2p$ , amurallado por la barrera centrífuga, se mantiene apartado.

Ejemplo 11.3 (Leer los tamaños)

Estado fundamental: $0.1\,\mathrm{nm}$ de anchura y $13.6\,\mathrm{eV}$ de profundidad — las escalas de toda la química. En $n = 10$ : radio $\sim5\,\mathrm{nm}$ y energía de enlace de $0.136\,\mathrm{eV}$ — retenido con flojedad. En $n = 100$ : un átomo de escala micrométrica ligado por $1.4\,\mathrm{meV}$ , destrozado por el campo más endeble — y, sin embargo, el espacio interestelar está lo bastante vacío para que tales átomos vivan y emitan (Problema 11.1).

11.3 El espectro

Proposición 11.4 (Series y reglas de selección)

Un salto $n' \to n$ emite la longitud de onda

\frac{1}{\lambda} = R_{\text{H}}\Big(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{n'^2}\Big) , \qquad R_{\text{H}} = \frac{E_{\text{I}}}{hc} = 1.097 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1} ,

sujeta a la regla de selección dipolar $\Delta l = \pm1$ (el fotón lleva $\hbar$ ). La serie de Lyman ( $\to n = 1$ ) cae en el ultravioleta lejano a partir de $121.6\,\mathrm{nm}$ ; la serie de Balmer ( $\to n = 2$ ) empieza en la línea roja $H\alpha$ , de $656.3\,\mathrm{nm}$ — el color de las nebulosas de emisión y de las protuberancias solares —; las series de Paschen y posteriores se retiran al infrarrojo, y entre $n = 110$ y $109$ la misma fórmula aterriza en $5.0\,\mathrm{GHz}$ : el hidrógeno habla desde el ultravioleta hasta el dial de radio.

Demostración. Conservación de la energía con el Teorema 11.1; $R_{\text{H}}$ como en el Problema 2.1, ahora deducido en lugar de postulado. ∎

Ejemplo 11.5 (Átomos hidrogenoides: una solución, muchos átomos)

Sustitúyase la carga del protón por $Ze$ y el electrón por cualquier masa $\mu$ en órbita: toda fórmula se reescala como

a \to a_0\,\frac{m_{\text{e}}}{\mu}\,\frac1Z , \qquad E_{\text{I}} \to E_{\text{I}}\,\frac{\mu}{m_{\text{e}}}\,Z^2 .

He $^+$ ( $Z = 2$ ): $54.4\,\mathrm{eV}$ . Electrones internos de los átomos pesados ( $Z \sim 30$ ): energías de la capa K en el keV — los rayos X característicos con los que Moseley ordenó los elementos (Ejercicio 11.5). Hidrógeno muónico ( $\mu = 207 m_{\text{e}}$ ): un átomo de escala femtométrica que sondea el protón mismo. Positronio ( $e^+e^-$ , $\mu = m_{\text{e}}/2$ ): la mitad de energía de enlace, el doble de tamaño y una vida breve que acaba en fotones de aniquilación. Y en un semiconductor, un electrón y un hueco se orbitan mutuamente con masas efectivas pequeñas dentro de un dieléctrico que apantalla: un excitón, el mismo átomo crecido hasta los diez nanómetros y los milielectronvoltios (Ejercicio 11.7) — el hidrógeno es menos un átomo que una plantilla.

Una solución, cuatro “átomos”: reescalar la masa, la carga y el entorno dieléctrico convierte al hidrógeno en sondas del protón, pruebas de electrodinámica cuántica pura y los cuasiátomos emisores de luz de los semiconductores.

Método 11.6 (Trabajar con sistemas hidrogenoides)

(1) Escalar primero: $a \propto 1/\mu Z$ y $E \propto \mu Z^2$ convierten cualquier respuesta del hidrógeno en la de cualquier hidrogenoide. (2) Tamaños: $\langle r\rangle \sim n^2a$ ; espaciados cerca del nivel $n$ : $\dd E/\dd n = 2E_{\text{I}}/n^3$ . (3) Espectros: fórmula de Rydberg más $\Delta l = \pm1$ . (4) Penetración: los estados $s$ sienten el núcleo y los de $l$ alto orbitan por fuera — la palanca de la química de muchos electrones. (5) Anclas de sensatez: $13.6\,\mathrm{eV}$ , $52.9\,\mathrm{pm}$ , $121.6\,\mathrm{nm}$ y $656.3\,\mathrm{nm}$ — cuatro números que merece la pena memorizar de por vida.

Un tubo de descarga de hidrógeno y un espectroscopio de bolsillo: el resplandor rosado, descompuesto, se convierte en las líneas de Balmer — la huella entera que este capítulo deduce del potencial de Coulomb.

11.4 Ejercicios

Ejercicio 11.1 ★

(a) Verifíquese por sustitución que $u = Cr\eu^{-r/a_0}$ resuelve la ecuación radial con $l = 0$ y $E = -E_{\text{I}}$ , siempre que $a_0 = \hbar^2/m_{\text{e}}k$ . (b) Normalícese ( $\int_0^\infty x^2\eu^{-x}\dd x = 2$ ). (c) Compruébense las dimensiones de $a_0$ y de $E_{\text{I}}$ . (d) ¿Por qué no hay ningún estado por debajo de $-E_{\text{I}}$ (arguméntese con el Ejercicio 7.12)?

Solución

Solución de Ejercicio 11.1.

(a) $u'' = (1/a^2 - 2/ar)u$ ; los términos en $1/r$ coinciden cuando $\hbar^2/m_{\text{e}}a = k$ , es decir, $a = a_0$ , y los términos constantes dan $E = -\hbar^2/2m_{\text{e}}a_0^2 = -E_{\text{I}}$ . (b) $C = 2/a_0^{3/2}$ . (c) $[\hbar^2/mk] = \mathrm{m}$ ; $[mk^2/\hbar^2] = \mathrm{J}$ . (d) El argumento variacional del Ejercicio 7.12 muestra que $-E_{\text{I}}$ es la energía mínima que puede alcanzar cualquier estado normalizado: el principio de incertidumbre pone suelo al átomo.

Ejercicio 11.2 ★

Calcúlense (a) las longitudes de onda de Lyman $\alpha$ y del límite de Lyman; (b) las tres primeras líneas de Balmer y el límite de Balmer — ¿cuáles son visibles y de qué colores?; (c) el rango de la serie de Paschen; (d) la frecuencia de la transición $n = 110 \to 109$ .

Solución

Solución de Ejercicio 11.2.

(a) $121.6\,\mathrm{nm}$ ; límite $91.2\,\mathrm{nm}$ . (b) $656.3$ (roja), $486.1$ (azul verdosa) y $434.0\,\mathrm{nm}$ (violeta); límite $364.6\,\mathrm{nm}$ — las tres primeras son visibles. (c) Desde $1875\,\mathrm{nm}$ hasta $820\,\mathrm{nm}$ : infrarrojo cercano. (d) $R_{\text{H}}c\,(1/109^2 - 1/110^2) = 5.01\,\mathrm{GHz}$ .

Ejercicio 11.3 ★

Para el estado fundamental: (a) localícese el máximo de $P_{1s}(r)$ ; (b) calcúlese $\langle r\rangle$ ; (c) calcúlese la probabilidad de hallar el electrón más allá de $2a_0$ ( $\int_x^\infty t^2\eu^{-t}\dd t = (x^2 + 2x + 2)\eu^{-x}$ ); (d) ¿por qué inducen a error las imágenes de una “órbita” de radio exactamente $a_0$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 11.3.

(a) $\dd(r^2\eu^{-2r/a_0})/\dd r = 0$ en $r = a_0$ . (b) $\langle r\rangle = (4/a_0^3)\int_0^\infty r^3\eu^{-2r/a_0}\dd r = (4/a_0^3)\times 3!\,(a_0/2)^4 = \tfrac32 a_0$ . (c) Con $x = 4$ : $\tfrac12(16 + 8 + 2)\eu^{-4} = 0.24$ : una cuarta parte del tiempo el electrón está más allá de $2a_0$ . (d) El electrón no tiene radio: $P(r)$ es una distribución con moda, media y colas largas — el átomo es difuso al nivel de un factor dos.

Ejercicio 11.4 ★

(a) Enumérense las parejas $(l, m)$ de $n = 3$ y verifíquese el recuento $n^2 = 9$ . (b) Con el espín, ¿cuántos estados hay en las capas $n = 1, 2, 3$ ? (c) Hágase corresponder esos números con las longitudes $2, 8, 18$ de las filas de la tabla periódica. (d) ¿Qué degeneración (en $m$ o en $l$ ) sobrevive en el electrón externo del sodio, y por qué se rompe la otra?

Solución

Solución de Ejercicio 11.4.

(a) $l = 0$ : uno; $l = 1$ : tres; $l = 2$ : cinco — nueve. (b) $2$ , $8$ y $18$ . (c) Exactamente las longitudes de las tres primeras filas: la tabla periódica es el registro del llenado de estas capas. (d) La degeneración en $m$ sobrevive (el espacio sigue siendo isótropo); la degeneración en $l$ se rompe porque el potencial apantallado que ve el electrón de valencia ya no es $1/r$ puro — Ejercicio 11.8.

Ejercicio 11.5 ★★

La escalera de Moseley. Un electrón interno (de la capa K) de un elemento $Z$ se mueve en un campo nuclear casi desnudo, apantallado por el otro electrón K: carga efectiva $\approx Z - 1$ . (a) Muéstrese que la energía del rayo X $2p \to 1s$ vale aproximadamente $\tfrac34(Z-1)^2E_{\text{I}}$ . (b) Evalúese para el cobre ( $Z = 29$ ) y compárese con la K $\alpha$ medida en $8.05\,\mathrm{keV}$ . (c) Moseley (1913) representó $\sqrt{\nu}$ frente a $Z$ y obtuvo rectas: ¿qué demostró eso sobre el significado del número atómico? (d) Predígase la energía K $\alpha$ del entonces ausente elemento $Z = 43$ .

Solución

Solución de Ejercicio 11.5.

(a) Hidrogenoide con $Z - 1$ : $h\nu = (Z-1)^2E_{\text{I}}(1 - \tfrac14)$ . (b) $784 \times 10.2\,\mathrm{eV} = 8.0\,\mathrm{keV}$ — coincide con la K $\alpha$ medida del cobre. (c) Que el entero que ordena los elementos es la carga nuclear y no el peso atómico: los huecos en las líneas de Moseley localizaron elementos aún no descubiertos. (d) $42^2 \times 10.2 = 18.0\,\mathrm{keV}$ — el tecnecio, hallado décadas después, obedeció.

Ejercicio 11.6 ★★

Positronio. (a) Justifíquese $\mu = m_{\text{e}}/2$ y dense su energía de energía de enlace y su radio de Bohr. (b) Su longitud de onda Lyman $\alpha$ . (c) El parapositronio se aniquila en dos fotones: sus energías y sus direcciones relativas (a partir del Capítulo 5). (d) ¿Dónde detecta la medicina exactamente esta firma a diario?

Solución

Solución de Ejercicio 11.6.

(a) Dos masas iguales: $\mu = m_{\text{e}}/2$ : energía de enlace de $6.8\,\mathrm{eV}$ y radio $2a_0 = 0.106\,\mathrm{nm}$ . (b) $\tfrac34 \times 6.8 = 5.1\,\mathrm{eV}$ : $243\,\mathrm{nm}$ . (c) Dos fotones de $511\,\mathrm{keV}$ , en sentidos opuestos (conservación del momento en reposo). (d) La tomografía por emisión de positrones: la pareja de fotones colineales de $511\,\mathrm{keV}$ es la señal que triangula todo anillo PET.

Ejercicio 11.7 ★★

Excitones. En el arseniuro de galio, $\varepsilon_{\text{r}} = 12.9$ y la masa efectiva reducida es $\mu = 0.058\,m_{\text{e}}$ . (a) Muéstrese que $a_{\text{ex}} = a_0\,\varepsilon_{\text{r}}\,m_{\text{e}}/\mu$ y evalúese. (b) La energía de enlace del excitón. (c) Compárese $a_{\text{ex}}$ con los radios de punto cuántico del Problema 7.1 y justifíquese, por fin, despreciar el término de Coulomb en los puntos pequeños. (d) ¿Por qué aparecen las líneas excitónicas solo en semiconductores puros y fríos ( $k_{\text{B}}T$ frente a su respuesta al apartado (b))?

Solución

Solución de Ejercicio 11.7.

(a) $a_{\text{ex}} = 0.0529 \times 12.9/0.058 = 11.8\,\mathrm{nm}$ . (b) $E = 13.6 \times 0.058/12.9^2 = 4.7\,\mathrm{meV}$ . (c) El tamaño natural del par supera al del punto: es la pared, y no la atracción, la que da forma al estado — el $1/R^2$ vence al $1/R$ , como se prometió. (d) A temperatura ambiente, $k_{\text{B}}T$ es cinco veces la energía de enlace: los pares se ionizan; la física excitónica vive por debajo de $\sim50\,\mathrm{K}$ en cristales limpios.

Ejercicio 11.8 ★★

Penetración y los metales alcalinos. El sodio es un electrón de valencia hidrogenoide fuera de un tronco cerrado de carga efectiva $+e$ . (a) ¿Cuál de los estados $3s$ , $3p$ o $3d$ siente más el núcleo incompletamente apantallado, y por qué (recuérdese la figura radial)? (b) Los niveles medidos son $E_{3s} = -5.14\,\mathrm{eV}$ , $E_{3p} = -3.04\,\mathrm{eV}, E_{3d} = -1.52\,\mathrm{eV}$ : compruébese que el $3d$ es casi hidrogenoide ( $n = 3$ ) mientras que el $3s$ es mucho más profundo, y explíquese. (c) Calcúlese la longitud de onda de $3p \to 3s$ : ¿qué color célebre es ese? (d) Escríbanse los niveles alcalinos como $-E_{\text{I}}/(n - \delta_l)^2$ y extráiganse los “defectos cuánticos” $\delta_s$ y $\delta_p$ del sodio.

Solución

Solución de Ejercicio 11.8.

(a) El $3s$ : su lóbulo más interno se sumerge dentro del tronco, donde el $+11$ nuclear apenas está apantallado. (b) $-13.6/9 = -1.51\,\mathrm{eV}$ coincide casi exactamente con el $3d$ : el $3d$ orbita fuera del tronco y ve un $+1$ neto; el $3s$ (y en parte el $3p$ ) prueban el potencial profundo y se hunden. (c) $\Delta E = 2.10\,\mathrm{eV}$ : $\lambda = 590\,\mathrm{nm}$ — el amarillo del sodio de las farolas. (d) $n_{\text{ef}} = \sqrt{13.6/|E|}$ : $1.63$ y $2.11$ , de modo que $\delta_s = 1.37$ y $\delta_p = 0.89$ .

Ejercicio 11.9 ★★

Un protón de una nebulosa captura un electrón en $n = 100$ . (a) ¿Cuánta energía se libera en el fotón de captura si el electrón llegó casi libre? (b) El átomo desciende en cascada, preferentemente por pasos con $\Delta n = 1$ a $n$ alto: ¿en qué banda caen esos fotones? (c) El último paso de la cascada es Lyman $\alpha$ ; la luz visible de las nebulosas está dominada por H $\alpha$ : rastréese a qué paso de la cascada corresponde. (d) Explíquese por qué las nebulosas de emisión brillan en rojo aunque la línea más intensa del hidrógeno (Lyman $\alpha$ ) sea ultravioleta.

Solución

Solución de Ejercicio 11.9.

(a) Aproximadamente la energía de enlace de $n = 100$ , $\sim1.4\,\mathrm{meV}$ , más la pequeña energía térmica del electrón: un fotón de infrarrojo lejano o de radio. (b) Los pasos con $\Delta n = 1$ cerca de $n \approx 100$ caen en la banda de radio de los GHz — las líneas de recombinación. (c) H $\alpha$ es el paso $3 \to 2$ , cerca del final de la cascada. (d) Lyman $\alpha$ , aunque es la más intensa, es ultravioleta y, en una nebulosa llena de hidrógeno en el estado fundamental, se dispersa resonantemente y queda atrapada; H $\alpha$ escapa sin trabas y pinta de rojo la nebulosa.

Ejercicio 11.10 ★★★

Promedios y virial. Para el estado fundamental, calcúlese (a) $\langle 1/r\rangle$ y compruébese que $\langle E_p\rangle = -2E_{\text{I}} = 2E_1$ ; (b) $\langle E_k\rangle = +E_{\text{I}}$ , verificando la razón del virial del Ejercicio 2.4; (c) la velocidad cuadrática media del electrón y $v/c$ ; (d) el orden de magnitud del campo magnético que experimenta el protón debido al movimiento del electrón (una espira de corriente $ev/2\pi a_0$ vista a distancia $a_0$ ) — un número que la estructura hiperfina necesitará.

Solución

Solución de Ejercicio 11.10.

(a) $\langle 1/r\rangle = 1/a_0$ : $\langle E_p\rangle = -k/a_0 = -27.2\,\mathrm{eV} = 2E_1$ . (b) $\langle E_k\rangle = E_1 - \langle E_p\rangle = +13.6\,\mathrm{eV}$ : la razón del virial $-\tfrac12$ de toda órbita en $1/r$ . (c) $v = \sqrt{2E_k/m_{\text{e}}} = \alpha c = 2.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (d) $I = ev/2\pi a_0 \approx 1\,\mathrm{mA}$ circulando a $53\,\mathrm{pm}$ : $B \sim \mu_0I/2a_0 \approx 12\,\mathrm{T}$ — el enorme campo interno del que se alimentará la estructura hiperfina.

Ejercicio 11.11 ★★★

Cuán fina es la estructura fina. (a) Muéstrese que la escala de velocidad del estado fundamental es $\langle v^2\rangle^{1/2}/c = \alpha \approx 1/137$ y, para un hidrogenoide de carga $Z$ : $Z\alpha/n$ . (b) Las correcciones relativistas entran en el orden relativo $(v/c)^2$ : estímense la escala de la estructura fina $\alpha^2E_{\text{I}}$ en meV, y el orden del desdoblamiento para $n = 2$ en GHz. (c) Para el uranio hidrogenoide ( $Z = 92$ ): $v/c$ en $n = 1$ — ¿es sostenible el tratamiento no relativista? (d) ¿Qué anuncia físicamente la divergencia formal en $Z\alpha \to 1$ ( $Z \approx 137$ )?

Solución

Solución de Ejercicio 11.11.

(a) Del Ejercicio 11.10(c), $v/c = \alpha$ ; al escalar: $Z\alpha/n$ . (b) $\alpha^2E_{\text{I}} = 0.72\,\mathrm{meV}$ ; en $n = 2$ los desdoblamientos salen de decenas de $\text{µ}\mathrm{eV}$ — unos $10\,\mathrm{GHz}$ , medibles por radio (y medidos). (c) $Z\alpha = 0.67$ : dos tercios de la velocidad de la luz — el tratamiento de Schrödinger falla y toma el relevo la ecuación de Dirac. (d) Cuando $Z\alpha \to 1$ , la energía del estado fundamental se hunde formalmente por debajo de $-2m_{\text{e}}c^2$ : el propio vacío chisporrotearía pares electrón–positrón — campos supercríticos, buscados en las colisiones de iones pesados.

Ejercicio 11.12 ★★★

La degeneración irrazonable. (a) En mecánica clásica, muéstrese que para $V = -k/r$ la órbita se cierra (sin precesión) citando el vector conservado de Laplace–Runge–Lenz $\vect A = \vect p\wedge\vect L - mk\,\vect e_r$ — verifíquese $\dd\vect A/\dd t = 0$ usando la ley de Newton. (b) Arguméntese: un vector conservado que fija el eje de la elipse es una simetría adicional más allá de las rotaciones — y una simetría adicional significa degeneración adicional (recuérdese el Ejercicio 8.9). (c) Añádase una pequeña corrección en $1/r^2$ al potencial y muéstrese que la elipse precesa: el eje gira y $\vect A$ deja de conservarse. (d) Conéctese: en los átomos multielectrónicos el potencial efectivo no es $1/r$ puro, y la degeneración en $l$ se rompe (¡el sodio!); en el hidrógeno mismo, la relatividad suministra la pequeña corrección — ¿qué rasgo observado del Ejercicio 11.11 es ese?

Solución

Solución de Ejercicio 11.12.

(a) Derivando: $\dot{\vect p}\wedge\vect L = -(mk/r^3)\vect r\wedge(\vect r\wedge\dot{\vect r}\,m)$ ; al desarrollar el doble producto vectorial se obtiene exactamente $mk\,\dd\vect e_r/\dd t$ : $\dot{\vect A} = \vect 0$ . (b) Un eje conservado es una simetría más allá de la isotropía; la degeneración es un etiquetado incompleto, y la etiqueta adicional (la prima cuántica de $\vect A$ ) conecta las $l$ dentro de un mismo $n$ . (c) Con $V = -k/r + \epsilon/r^2$ , el momento angular efectivo se desplaza, el periodo angular deja de coincidir con el radial y el eje de la elipse gira con un ritmo $\propto\epsilon$ . (d) Las correcciones relativistas hacen el papel de $\epsilon$ en el propio hidrógeno: la estructura fina del Ejercicio 11.11 es precisamente la ruptura de la degeneración en $l$ .

11.5 Problema: átomos gigantes

Problema 11.1

Problema de fin de semana — átomos de Rydberg, del resplandor de radio de la Galaxia a los ordenadores cuánticos

Estírese el hidrógeno hasta $n \approx 100$ y se convertirá en otra clase de objeto: de micrómetros de anchura, ligado por milielectronvoltios, absurdamente sensible — y absurdamente útil. Este problema escala la solución del hidrógeno hacia arriba, primero hasta las nubes interestelares que emiten en longitudes de onda centimétricas y luego hasta los arreglos de laboratorio en los que tales gigantes se entrelazan formando procesadores. Datos: $E_{\text{I}} = 13.6\,\mathrm{eV}$ , $a_0 = 52.9\,\mathrm{pm}$ , $R_{\text{H}}c = 3.29 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$ ; $k_{\text{B}}T$ a $300\,\mathrm{K}$ vale $25.9\,\mathrm{meV}$ .

Parte I — Las leyes de escala.

Dense las cuatro dependencias básicas con $n$ : el tamaño $\langle r\rangle$ , la energía de enlace $|E_n|$ , el espaciado $E_{n+1} - E_n$ (para $n$ grande) y la frecuencia orbital clásica de la órbita de Bohr correspondiente.
Muéstrese que, para $n$ grande, la frecuencia de transición $n+1 \to n$ tiende a $2R_{\text{H}}c/n^3$ , y verifíquese que es igual a la frecuencia orbital clásica (el principio de correspondencia del Problema 2.1, completado).
Evalúense el tamaño y la energía de enlace en $n = 50$ y en $n = 100$ .
El dipolo eléctrico de un átomo de Rydberg va como $n^2ea_0$ : evalúese en $n = 50$ en debyes ( $1\,\text{D} = 3.34 \times 10^{-30}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ ) y compárese con los $1.85\,\mathrm{D}$ de una molécula de agua.
Estímese el campo eléctrico que desgarra el átomo con $n = 50$ , como $F \sim |E_n|/(e\,\langle r\rangle)$ , en V/cm.
¿Por qué no pueden sobrevivir tales átomos a la química ordinaria del vacío de laboratorio y sí lo hacen sin problema en el espacio interestelar (compárense los ritmos de colisión)?

Parte II — Las líneas de recombinación de la Galaxia. En las nebulosas ionizadas, los protones capturan electrones en $n$ altos; la cascada radia un peine de “líneas de recombinación de radio”.

Calcúlese la frecuencia de la transición $n = 110 \to 109$ (llamada H109 $\alpha$ ).
¿En qué banda cae y qué clase de telescopio la recibe?
Calcúlese la longitud de onda de H109 $\alpha$ y compárese con el tamaño del átomo emisor: ¿cuántos átomos caben en una longitud de onda?
Estas líneas miden la temperatura de la nebulosa por su anchura Doppler: a $T = 10^{4}\,\mathrm{K}$ , la velocidad térmica del hidrógeno es $\sim12.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — calcúlense la anchura relativa de línea $\Delta\nu/\nu$ y la anchura de H109 $\alpha$ en kHz.
Las ondas de radio atraviesan el polvo que ennegrece el cielo óptico: ¿qué permite eso cartografiar a los astrónomos de líneas de recombinación que los de líneas de Balmer no pueden?
Por encima de aproximadamente $n \sim 1000$ (¡átomos de $0.05$ milímetros de anchura!), los niveles se difuminan en un continuo incluso en el espacio: nómbrense dos efectos que ensanchan o destruyen tales estados.

Parte III — Gigantes en el laboratorio.

Unos láseres llevan átomos de rubidio hasta $n \approx 70$ en arreglos de pinzas ópticas separadas por micrómetros. Dos de esos átomos separados una distancia $R$ interaccionan por sus dipolos inducidos (recuérdese el Ejercicio 9.10): con dipolo $\propto n^2$ , muéstrese que la intensidad de van der Waals escala como un colosal $n^{11}$ (úsese $C_6 \propto d^4/\Delta E$ con un espaciado de niveles $\Delta E \propto n^{-3}$ ).
El “bloqueo”: dentro de un radio $R_{\text{b}}$ , la interacción saca de la resonancia del láser al estado doblemente excitado, de modo que dos átomos no pueden excitarse a la vez. Explíquese en una frase por qué eso realiza una puerta de dos cúbits.
Los radios de bloqueo llegan a varios micrómetros — miles de veces el tamaño de los átomos en su estado fundamental —: ¿por qué es ese alcance largo (compárese con el rango nanométrico de la química) exactamente lo que quiere un procesador escalable?
Un estado de Rydberg con $n = 70$ vive $\sim100\,\text{µ}\mathrm{s}$ mientras que una puerta dura $\sim0.5\,\text{µ}\mathrm{s}$ : ¿cuántas operaciones caben aproximadamente en una vida media, y por qué importa esa razón y no la vida media por sí sola?
La radiación de cuerpo negro a temperatura ambiente, con su pico cerca de $100\,\mathrm{meV}$ pero rica en una cola de baja energía, induce transiciones entre niveles de Rydberg vecinos separados solo $\sim0.1\,\mathrm{meV}$ : ¿por qué deben los experimentos de precisión encerrar los átomos en pantallas frías?
Estímese cuántas transiciones dipolares tipo antena ( $\propto n^2$ ) induce por segundo un baño de fotones a $300\,\mathrm{K}$ en comparación con un átomo con $n = 1$ : ¿qué dependencia hace de los átomos de Rydberg sensores exquisitos de campos de microondas y de terahercios?

Parte IV — El panorama general.

Una sola fórmula, $E_n = -E_{\text{I}}\mu Z^2/m_{\text{e}}n^2$ , abarca ¿cuántos órdenes de magnitud de energía de enlace, desde el uranio hidrogenoide ( $Z = 92$ , $n = 1$ ) hasta un estado de Rydberg con $n = 1000$ ? Calcúlense ambos extremos.
Las vidas medias radiativas de los estados de $l$ bajo escalan como $n^3$ : a partir de la vida media del $2p$ , de $1.6\,\mathrm{ns}$ , estímese la de un estado $100p$ — y compárese con el problema de la radiación de cuerpo negro a temperatura ambiente de la parte III.
En el CERN se hace hoy espectroscopia de antiátomos de antihidrógeno sobre el intervalo $1s \to 2s$ con quince cifras: ¿qué simetría fundamental pone a prueba la coincidencia con el hidrógeno ordinario, y por qué es el hidrógeno el átomo adecuado para la comparación?
Con $n \sim 100$ , la onda de De Broglie del electrón envuelve una órbita casi clásica; con $n = 1$ no existe órbita alguna: en una frase, ¿dónde se enciende la imagen clásica?
Las constantes de Rydberg se miden con quince cifras: ¿por qué es el hidrógeno, de entre todos los sistemas, el ancla natural de precisión de la física atómica?
El Premio Nobel de 2012 (Haroche) usó átomos de Rydberg como contadores de fotones que no destruyen el fotón: ¿qué dos propiedades de las partes I y III los convierten en sondas ideales de no demolición de campos de microondas?
Resúmase el resultado con nombre propio: las dependencias $n^2$ , $n^{-2}$ , $n^{-3}$ y $n^{11}$ de un único átomo resuelto exactamente estiran el hidrógeno de $52.9\,\mathrm{pm}$ a medio micrómetro, afinan su voz de $121.6\,\mathrm{nm}$ a $6\,\mathrm{cm}$ y lo convierten a la vez en la baliza de radio de la Galaxia y en la puerta de dos cúbits de los ordenadores cuánticos de átomos neutros.

Solución

Solución de Problema 11.1.

1. $\langle r\rangle \sim n^2a_0$ ; $|E_n| = E_{\text{I}}/n^2$ ; espaciado $\approx 2E_{\text{I}}/n^3$ ; frecuencia orbital $\propto 1/n^3$ (Kepler sobre la órbita de Bohr). 2. $E_{n+1} - E_n \to 2E_{\text{I}}/n^3$ , y $h$ por la frecuencia clásica $v_n/2\pi r_n$ da la misma expresión (el cálculo del Problema 2.1, apartado 20). 3. $n = 50$ : $132\,\mathrm{nm}$ , $5.4\,\mathrm{meV}$ ; $n = 100$ : $0.53\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $1.4\,\mathrm{meV}$ . 4. $n^2ea_0 = 2.1 \times 10^{-26}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m} \approx 6300\,\text{D}$ : el dipolo de tres mil moléculas de agua sobre un solo átomo. 5. $F \sim 5.4 \times 10^{-3}/1.32 \times 10^{-7} \approx 4 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m} = 400\,\mathrm{V}/\mathrm{cm}$ ; el umbral exacto de ionización clásica es unas ocho veces menor ( $\sim50\,\mathrm{V}/\mathrm{cm}$ ): en cualquier caso, un susurro de campo. 6. Con secciones eficaces geométricas $\sim\pi n^4a_0^2$ , incluso el vacío ultraalto de laboratorio hace chocar a un átomo así en microsegundos; las densidades interestelares ( $\sim10^{6}$ partículas por $\mathrm{m}^{3}$ ) le dejan días — el espacio es mejor cámara de vacío. 7. $\nu = R_{\text{H}}c\,(1/109^2 - 1/110^2) = 5.01\,\mathrm{GHz}$ . 8. Radio centimétrica: un radiotelescopio — una antena grande y un receptor silencioso. 9. $\lambda = 6.0\,\mathrm{cm}$ ; el átomo con $n = 110$ mide $\sim0.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ : cien mil átomos por longitud de onda — holgadamente un régimen de “antena”. 10. $\Delta\nu/\nu \sim v/c = 4.3 \times 10^{-5}$ : unos $200\,\mathrm{kHz}$ sobre $5\,\mathrm{GHz}$ — y la anchura medida devuelve la temperatura de la nebulosa. 11. La Galaxia interior ionizada: regiones HII escondidas tras polvo que extingue todo fotón de Balmer — las líneas de recombinación de radio cartografiaron la estructura espiral que la astronomía óptica no podía ver. 12. Los microcampos eléctricos de los iones vecinos (ensanchamiento Stark) difuminan los niveles, y la radiación de cuerpo negro y cósmica, más las colisiones, ionizan o mezclan en $l$ esos estados frágiles. 13. $C_6 \sim d^4/\Delta E \propto (n^2)^4/n^{-3} = n^{11}$ : súbase $n$ de $1$ a $70$ y la interacción crece veinte órdenes de magnitud. 14. Dentro de $R_{\text{b}}$ , el estado de la pareja queda fuera de resonancia, de modo que la excitación de un átomo condiciona la respuesta de su vecino: exactamente la lógica controlada que necesita una puerta de dos cúbits. 15. Unas interacciones de alcance micrométrico permiten que cada átomo ocupe su propia pinza direccionable, muy lejos según los cánones atómicos y aun así fuertemente acoplado — el alcance de la interacción ajustado a la resolución óptica. 16. $\sim 200$ puertas por vida media: la razón acota la fidelidad alcanzable, y es la razón, y no los microsegundos en bruto, de lo que vive un procesador. 17. A $300\,\mathrm{K}$ , el baño de fotones es denso en torno a $\sim0.1\,\mathrm{meV}$ : baraja e ioniza los niveles de Rydberg dentro de sus vidas medias radiativas; unas pantallas frías ( $4\,\mathrm{K}$ ) dejan sin alimento esas transiciones. 18. Los ritmos de transición escalan como $d^2 \propto n^4$ : en $n = 50$ , seis millones de veces el acoplamiento de un átomo ordinario — razón por la cual una celda de vapor de átomos de Rydberg es hoy un sensor calibrado de campos de microondas y de terahercios. 19. $92^2 \times 13.6\,\mathrm{eV} = 115\,\mathrm{keV}$ hasta $13.6/10^6\,\mathrm{eV} = 13.6\,\text{µ}\mathrm{eV}$ : diez órdenes de magnitud a partir de una sola fórmula. 20. La clasicidad amanece donde el espaciado se convierte en una fracción evanescente de la energía, $n \gg 1$ — el límite de correspondencia propio del átomo. 21. Es el único átomo calculable desde primeros principios hasta la precisión del experimento: toda discrepancia es un descubrimiento, de modo que el hidrógeno ancla las constantes fundamentales. 22. $\tau \approx 1.6\,\mathrm{ns} \times 50^3 = 0.2\,\mathrm{ms}$ — generosa, pero la redistribución por cuerpo negro (parte III) se la come, otra razón para las pantallas frías. 23. La simetría CPT — los átomos de materia y de antimateria deben coincidir línea a línea; el hidrógeno es el ancla porque solo ahí llega la teoría a la decimoquinta cifra junto con el experimento. 24. El dipolo $n^2$ hace que el átomo sienta el campo de un solo fotón de microondas, mientras que su larga vida media y su estructura de niveles le permiten adquirir una fase medible sin absorber el fotón: detección cuántica de no demolición. 25. Las dependencias $n^2$ , $n^{-2}$ , $n^{-3}$ y $n^{11}$ estiran el único átomo resuelto de $52.9\,\mathrm{pm}$ a medio micrómetro y de $121.6\,\mathrm{nm}$ a $6\,\mathrm{cm}$ — la misma solución de Schrödinger emitiendo desde las regiones HII de la Galaxia y marcando el ritmo de las puertas de dos cúbits en arreglos de pinzas ópticas.