Física universitaria — tercer año · Bachelor Year 3

12Espín y sistemas de dos niveles

En 1922, Stern y Gerlach enviaron un haz de átomos de plata a través de un imán asimétrico esperando o ninguna desviación o una mancha continua. El haz se partió limpiamente en dos. Ningún momento angular orbital puede hacer eso: $2l + 1$ es siempre impar. Los átomos anunciaban una posesión nueva y puramente cuántica — el espín, un momento angular intrínseco de $j = \tfrac12$ , el peldaño semientero que el álgebra del Capítulo 10 tenía preparado y que las órbitas nunca pudieron usar. El espín duplica todo estado electrónico (y completa el recuento que sostiene la tabla periódica), lleva el magnetismo del hierro y del protón, y es el sistema de dos niveles más limpio que ofrece la naturaleza: la física de este capítulo gobierna el escáner de resonancia magnética de todo hospital, el reloj de cesio que define el segundo, el susurro de 21 centímetros con el que se cartografían las galaxias, y el cúbit.

12.1 El experimento que lo encontró

Ejemplo 12.1 (Stern–Gerlach)

Un momento magnético $\vect\mu$ en un campo inhomogéneo siente la fuerza $F_z = \mu_z\,\partial B_z/\partial z$ : la desviación mide $\mu_z$ . Expectativa clásica: momentos orientados al azar y un abanico continuo. Expectativa cuántica para momentos orbitales: $2l + 1$ manchas: una, tres, cinco — siempre impar. Lo observado para la plata (y para el hidrógeno): dos manchas, simétricas y nada en medio. La componente medida toma exactamente dos valores — la firma de $j = \tfrac12$ , prohibida a las órbitas, y la exhibición directa de la cuantización: el aparato es un instrumento de medida de una componente del espín, y el haz se parte en sus dos valores propios.

El experimento de Stern–Gerlach: un campo inhomogéneo tira de los momentos opuestos en sentidos opuestos y convierte el imán en un aparato de medida de una componente del espín. Los átomos de plata aterrizan en dos manchas — un observable de dos valores, sorprendido en el acto.

Definición 12.2 (Espín un medio)

El electrón (y el protón, el neutrón, los quarks) lleva un momento angular intrínseco con $j = \tfrac12$ : un espacio de estados bidimensional generado por $\ket\uparrow, \ket\downarrow$ (estados propios de $\hat S_z$ con $\pm\hbar/2$ ), sobre el cual

\hat{\vect S} = \frac\hbar2\,\hat{\vect\sigma} , \qquad \sigma_x = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} ,\; \sigma_y = \begin{pmatrix}0&-\iu\\\iu&0\end{pmatrix} ,\; \sigma_z = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}

— las matrices de Pauli, que realizan el álgebra del momento angular en su hogar más pequeño posible. Un estado general $\alpha\ket\uparrow + \beta\ket\downarrow$ es un espinor. El momento magnético del electrón es

\hat{\vect\mu} = -g\,\frac{\mu_{\text{B}}}{\hbar}\,\hat{\vect S} , \qquad g \approx 2 :

el doble del ritmo orbital por unidad de momento angular — la anomalía que Einstein y de Haas habían medido (Ejercicio 10.12) y que la ecuación de Dirac predeciría más tarde. El espín no es la rotación de nada: ningún radio ni ninguna “bola que gira” sobreviven al escrutinio — es intrínseco, como la carga.

Ejemplo 12.3 (Filtros de Stern–Gerlach encadenados)

Selecciónese el haz con $S_z = +\hbar/2$ y mídase $S_z$ de nuevo: todos los átomos responden $+$ . Mídase $S_x$ en su lugar: mitad y mitad — el estado $\ket\uparrow$ es la superposición $(\ket{+x} + \ket{-x})/\sqrt2$ . Consérvese ahora el haz con $S_x = +$ y mídase $S_z$ una vez más: mitad y mitad otra vez — la medida de $S_x$ borró el $S_z$ antes bien definido. Tres imanes bastan para exhibir la incompatibilidad, el colapso y la regla de Born; esta cadena es el Ejemplo 8.7 ejecutado con átomos.

12.2 La esfera de Bloch

Proposición 12.4 (Espín según un eje cualquiera)

Para la dirección unitaria $\vect n = (\sin\theta\cos\varphi, \sin\theta\sin\varphi, \cos\theta)$ , el operador $\vect n\cdot\hat{\vect\sigma}$ tiene valores propios $\pm1$ , con

\ket{+\vect n} = \cos\tfrac\theta2\,\ket\uparrow + \eu^{\iu\varphi}\sin\tfrac\theta2\,\ket\downarrow .

Todo espinor puro es $\ket{+\vect n}$ para exactamente una dirección: el espacio de estados se aplica sobre una esfera — la esfera de Bloch — con los estados ortogonales en las antípodas (obsérvense los semiángulos: son ortogonales las direcciones opuestas, no las perpendiculares). Las rotaciones de la esfera son exactamente las evoluciones que genera un campo magnético: la geometría de toda manipulación de cúbits jamás realizada.

Demostración parcial. Diagonalícese la matriz $2\times2$ $\vect n\cdot\vect\sigma = \begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\,\eu^{-\iu\varphi}\\ \sin\theta\,\eu^{\iu\varphi} & -\cos\theta\end{pmatrix}$ : traza $0$ , determinante $-1$ , valores propios $\pm1$ ; el espinor dado se comprueba por sustitución (identidades del ángulo mitad). Antípodas: $\theta \to \pi - \theta$ , $\varphi \to \varphi + \pi$ da $\braket{+\vect n'}{+\vect n} = 0$ . ∎

La esfera de Bloch: todo estado de espín 1/2 es un punto; los polos son ,, el ecuador alberga sus superposiciones a partes iguales y los estados ortogonales se sitúan en las antípodas. Los campos magnéticos hacen girar la esfera — el panel de mandos del cúbit. — La esfera de Bloch: todo estado de espín $\tfrac12$ es un punto; los polos son $\ket\uparrow, \ket\downarrow$ , el ecuador alberga sus superposiciones a partes iguales y los estados ortogonales se sitúan en las antípodas. Los campos magnéticos hacen girar la esfera — el panel de mandos del cúbit.

12.3 El espín en un campo: precesión y resonancia

Proposición 12.5 (Precesión de Larmor)

En un campo estático $\vect B_0 = B_0\vect e_z$ , el hamiltoniano $\hat H = -\hat{\vect\mu}\cdot\vect B_0$ separa los dos niveles en $\hbar\omega_0$ y hace precesar el espín medio en torno al campo:

\frac{\dd\langle\hat{\vect S}\rangle}{\dd t} = \gamma\,\langle\hat{\vect S}\rangle\wedge\vect B_0 , \qquad \omega_0 = |\gamma|B_0 ,

con la razón giromagnética $\gamma$ ( $\mu = \gamma S$ ). El vector de Bloch gira en torno a $z$ con $\omega_0$ , con su ángulo respecto del campo congelado — exactamente la imagen clásica del giróscopo, exacta aquí porque los conmutadores son lineales. Para el electrón: $28\,\mathrm{GHz}/\mathrm{T}$ ; para el protón (momento $2.79$ magnetones nucleares): $\gamma_p/2\pi = 42.6\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$ — la matrícula de toda máquina de resonancia magnética.

Demostración. Aplíquese la Proposición 8.12 con $\hat H = -\gamma B_0\hat S_z$ : los conmutadores dan $\dd\langle\hat S_x\rangle/\dd t = -\gamma B_0\langle\hat S_y\rangle$ , $\dd\langle\hat S_y\rangle/\dd t = +\gamma B_0\langle\hat S_x\rangle$ y $\dd\langle\hat S_z\rangle/\dd t = 0$ , que se ensamblan en el producto vectorial enunciado. ∎

Proposición 12.6 (Resonancia magnética)

Añádase un pequeño campo $B_1$ que gira en el plano transversal con frecuencia $\omega$ . En el sistema que gira con él, $B_0$ queda efectivamente reducido a $(\omega_0 - \omega)/|\gamma|$ ; en resonancia ( $\omega = \omega_0$ ) solo sobrevive $B_1$ , y el espín precesa en torno a él con la frecuencia de Rabi $\Omega_1 = |\gamma|B_1$ : partiendo de $\ket\uparrow$ , la probabilidad de haberse invertido es

\mathcal P_\downarrow(t) = \sin^2\Big(\frac{\Omega_1t}{2}\Big) .

Un pulso de duración $\pi/\Omega_1$ (un “pulso $\pi$ ”) invierte el espín; la mitad de él (un “pulso $\pi/2$ ”) lo tumba en el plano ecuatorial, donde precesa a $\omega_0$ y, por inducción de Faraday, emite su frecuencia hacia cualquier bobina cercana. Fuera de resonancia, la amplitud del vaivén se desploma como $\Omega_1^2/[\Omega_1^2 + (\omega - \omega_0)^2]$ : la respuesta es marcadamente selectiva — una resonancia —, que es lo que hace direccionables a los espines, especie por especie y, con un gradiente de campo, lugar por lugar (Problema 12.1).

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Izquierda: oscilaciones de Rabi — en resonancia el espín se invierte por completo y periódicamente; desintonizado, solo en parte y más deprisa. Derecha: entre pulsos, el espín medio precesa en torno a B_0 con la frecuencia de Larmor y radia su nota hacia la bobina receptora. — Izquierda: oscilaciones de Rabi — en resonancia el espín se invierte por completo y periódicamente; desintonizado, solo en parte y más deprisa. Derecha: entre pulsos, el espín medio precesa en torno a $\vect B_0$ con la frecuencia de Larmor y radia su nota hacia la bobina receptora.

Ejemplo 12.7 (Estructura hiperfina y la línea de 21 cm)

En el estado fundamental del hidrógeno, los espines del electrón y del protón interaccionan a través de sus momentos magnéticos: los cuatro estados de espín se desdoblan en un triplete y un singlete separados por solo $\Delta E = 5.9\,\text{µ}\mathrm{eV}$ — el desdoblamiento hiperfino, $\nu = 1420\,\mathrm{MHz}$ , $\lambda = 21\,\mathrm{cm}$ . La transición es absurdamente lenta (una inversión cada diez millones de años), pero la Galaxia contiene $10^{66}$ átomos de hidrógeno: la línea de 21 cm es lo bastante brillante como para haber cartografiado los brazos espirales, el alabeo del disco y — a través de sus desplazamientos Doppler — las curvas de rotación planas que abogan por la materia oscura. La misma física, en el estado fundamental del cesio, desdobla niveles en exactamente $9\,192\,631\,770\,\mathrm{Hz}$ : desde 1967, la definición del segundo es una inversión hiperfina de espín contada una a una (Ejercicio 12.12).

Método 12.8 (El oficio de los dos niveles)

(1) Escríbase todo hamiltoniano de dos niveles en matrices de Pauli: $\hat H = \epsilon_0\mathbb 1 + \vect h\cdot\hat{\vect\sigma}$ — entonces el vector de Bloch precesa en torno a $\vect h$ con $2|\vect h|/\hbar$ ; todo lo demás es geometría. (2) Estados propios según $\vect n$ : úsense los semiángulos. (3) Problemas de resonancia: pásese al sistema giratorio; en resonancia solo queda $B_1$ . (4) Pulsos: $\pi/2$ para arrancar una señal de precesión, $\pi$ para invertir (y para refocalizar — el eco de espín). (5) Escalas de energía: $\mu_{\text{B}}B$ para los electrones ( $58\,\text{µ}\mathrm{eV}/\mathrm{T}$ ), tres órdenes menos para los núcleos — radiofrecuencias, espectroscopia sin necesidad de kelvin.

Un escáner de resonancia magnética: un campo superconductor alinea los espines de los protones del cuerpo, unos pulsos de radio los inclinan y su precesión de Larmor se lee bobina a bobina — la física de dos niveles de este capítulo, fotografiando una rodilla.

12.4 Ejercicios

Ejercicio 12.1 ★

(a) Verifíquense $\sigma_x^2 = \sigma_y^2 = \sigma_z^2 = \mathbb 1$ y $\sigma_x\sigma_y = \iu\sigma_z$ . (b) Dedúzcase $[\hat S_x, \hat S_y] = \iu\hbar\hat S_z$ : el álgebra del momento angular en dimensión dos. (c) Muéstrese que $\hat S^2 = \tfrac34\hbar^2\,\mathbb 1$ y compruébese $j(j+1)$ para $j = \tfrac12$ . (d) Muéstrese que toda matriz hermítica $2\times2$ es una combinación real de $\mathbb 1$ y de las tres $\sigma_i$ .

Solución

Solución de Ejercicio 12.1.

(a) Multiplicación directa. (b) $[\hat S_x, \hat S_y] = (\hbar/2)^2\,2\iu\sigma_z = \iu\hbar\hat S_z$ . (c) $\hat S^2 = (\hbar/2)^2 \times 3\,\mathbb 1 = \tfrac34\hbar^2$ : en efecto, $\tfrac12\cdot\tfrac32\hbar^2$ . (d) $\{\mathbb 1, \sigma_x, \sigma_y, \sigma_z\}$ generan las cuatro dimensiones reales de las matrices hermíticas $2\times2$ ( $a + \vect b\cdot\vect\sigma$ con $a, \vect b$ reales).

Ejercicio 12.2 ★

(a) Hállense los estados propios normalizados de $\sigma_x$ y de $\sigma_y$ . (b) Un espín preparado en $\ket{+x}$ se mide según $z$ : ¿probabilidades de los resultados? (c) ¿Y según $y$ ? (d) Compruébense ambas con la imagen de Bloch (¿qué ángulos $\theta, \varphi$ ?).

Solución

Solución de Ejercicio 12.2.

(a) $\ket{\pm x} = (\ket\uparrow \pm \ket\downarrow)/\sqrt2$ ; $\ket{\pm y} = (\ket\uparrow \pm \iu\ket\downarrow)/\sqrt2$ . (b) Mitad y mitad. (c) De nuevo mitad y mitad: $|\braket{\pm y}{+x}|^2 = |1 \mp \iu|^2/4 = \tfrac12$ . (d) $\ket{+x}$ : ecuador con $\varphi = 0$ ; medir según $z$ o según $y$ proyecta sobre polos situados a $90^\circ$ — siempre $\cos^2(45^\circ) = \tfrac12$ .

Ejercicio 12.3 ★

Tres imanes de Stern–Gerlach encadenados, con ejes $z$ , luego $\vect n$ a un ángulo $\theta$ en el plano $xz$ , y luego $z$ otra vez; cada vez se conserva el haz $+$ . (a) Probabilidad de sobrevivir al segundo imán. (b) De sobrevivir a los tres. (c) Evalúese en $\theta = 90^\circ$ y compárese con el Ejemplo 12.3. (d) ¿Para qué $\theta$ es máxima la supervivencia a los tres imanes, y qué recuerda esa respuesta del Ejercicio 8.5?

Solución

Solución de Ejercicio 12.3.

(a) $\cos^2(\theta/2)$ . (b) $\cos^2(\theta/2) \times \cos^2(\theta/2) = \cos^4(\theta/2)$ . (c) $\theta = 90^\circ$ : $(\tfrac12)^2 = \tfrac14$ , la cifra de la cadena de polarizadores. (d) Trivialmente $\theta = 0$ ; la lección verdadera es que las medidas intermedias suaves son las que menos cuestan — el límite de pasos pequeños del Ejercicio 8.5, donde muchas rotaciones pequeñas dejan pasar el estado con pérdida evanescente.

Ejercicio 12.4 ★

Calcúlense el desdoblamiento de niveles $2|\mu|B$ y la frecuencia de resonancia en un campo de $1\,\mathrm{T}$ para (a) el electrón ( $g = 2$ ); (b) el protón ( $\mu_p = 2.79\,\mu_{\text{N}}$ , $\mu_{\text{N}} = e\hbar/2m_{\text{p}}$ ); (c) compárense ambos con $k_{\text{B}}T$ a $300\,\mathrm{K}$ : ¿cuán polarizados están a temperatura ambiente los espines electrónicos y los nucleares? (d) ¿Qué bandas del espectro habitan, por tanto, la RSE y la RMN?

Solución

Solución de Ejercicio 12.4.

(a) $2\mu_{\text{B}}B = 116\,\text{µ}\mathrm{eV}$ : $\nu = 28\,\mathrm{GHz}$ . (b) $2 \times 2.79\,\mu_{\text{N}}B = 0.18\,\text{µ}\mathrm{eV}$ : $\nu = 42.6\,\mathrm{MHz}$ . (c) Frente a $k_{\text{B}}T = 25.9\,\mathrm{meV}$ : polarización electrónica $\sim2 \times 10^{-3}$ y protónica $\sim3 \times 10^{-6}$ — los conjuntos térmicos de espines están casi perfectamente desordenados. (d) RSE: microondas; RMN: radio — tres órdenes de magnitud de separación, una sola física.

Ejercicio 12.5 ★★

Dedúzcase la precesión de Larmor: con $\hat H = -\gamma B_0\hat S_z$ , (a) calcúlense $\dd\langle\hat S_x\rangle/\dd t$ , $\dd\langle\hat S_y\rangle/\dd t$ y $\dd\langle\hat S_z\rangle/\dd t$ a partir de los conmutadores; (b) resuélvase para $\langle\hat{\vect S}\rangle(t)$ con el espín inicial según $x$ ; (c) muéstrese que $\|\langle\hat{\vect S}\rangle\|$ y el ángulo respecto de $\vect B_0$ son constantes; (d) ¿por qué describen la misma física la imagen de los estados propios de la energía (dos niveles estacionarios) y la de la precesión (un vector que gira)? ¿Qué estado está precesando?

Solución

Solución de Ejercicio 12.5.

(a) $\dd\langle\hat S_x\rangle/\dd t = -\gamma B_0\langle\hat S_y\rangle$ , $\dd\langle\hat S_y\rangle/\dd t = \gamma B_0\langle\hat S_x\rangle$ , $\dd\langle\hat S_z\rangle/\dd t = 0$ . (b) $\langle\hat S_x\rangle = \tfrac\hbar2\cos\omega_0t$ , $\langle\hat S_y\rangle = \tfrac\hbar2\sin\omega_0t$ (con el signo según el de $\gamma$ ). (c) Ambas cosas son manifiestas a partir de (b). (d) El estado es una superposición de los dos estados propios de la energía; su fase relativa avanza a $\omega_0$ , y esa fase que gira es la precesión — niveles estacionarios y vector que gira son las dos lecturas de una misma evolución de dos niveles.

Ejercicio 12.6 ★★

(a) Verifíquese que $\ket{+\vect n}$ de la Proposición 12.4 es el vector propio anunciado. (b) Muéstrese que los estados antipodales son ortogonales. (c) ¿Dónde están sobre la esfera los estados propios de $\sigma_x$ y de $\sigma_y$ ? (d) Una puerta “NOT” de cúbit lleva $\ket\uparrow \leftrightarrow \ket\downarrow$ : ¿qué rotación de la esfera es, y qué pulso de la Proposición 12.6 la ejecuta?

Solución

Solución de Ejercicio 12.6.

(a) Sustitúyase y úsense las identidades del ángulo mitad. (b) $\cos\tfrac\theta2\cos\tfrac{\pi-\theta}2 + \eu^{\iu\pi}\sin\tfrac\theta2\sin\tfrac{\pi-\theta}2 = \cos\tfrac\theta2\sin\tfrac\theta2 - \sin\tfrac\theta2\cos\tfrac\theta2 = 0$ . (c) Sobre el ecuador, en $\varphi = 0, \pi$ (para $\sigma_x$ ) y en $\varphi = \pm\pi/2$ (para $\sigma_y$ ). (d) Una rotación de $180^\circ$ en torno a cualquier eje ecuatorial — el pulso $\pi$ de la resonancia magnética es la puerta NOT del cúbit.

Ejercicio 12.7 ★★

El sistema giratorio, con honradez. Con $\hat H(t) = -\gamma(B_0\hat S_z + B_1[\hat S_x\cos\omega t - \hat S_y\sin\omega t])$ : (a) explíquese por qué pasar al sistema que gira con $\omega$ en torno a $z$ sustituye $B_0$ por $B_0 - \omega/\gamma$ y congela $B_1$ ; (b) en resonancia, descríbase el movimiento del vector de Bloch en el sistema giratorio; (c) dedúzcase la duración del pulso $\pi$ para un protón con $B_1 = 10\,\text{µ}\mathrm{T}$ ; (d) esbócese lo que ve un observador del sistema del laboratorio durante ese pulso (dos rotaciones encajadas).

Solución

Solución de Ejercicio 12.7.

(a) En el sistema giratorio la excitación queda quieta, mientras que la rotación del sistema resta $\omega/\gamma$ del campo estático efectivo (la misma contabilidad que una fuerza de inercia en un sistema giratorio). (b) Solo sobrevive $B_1$ : el vector de Bloch precesa en torno al eje transversal (fijo) de $B_1$ con $\Omega_1 = |\gamma|B_1$ — una inversión regular. (c) $t_\pi = \pi/\gamma B_1 = 1/(2 \times 42.58\,\text{ MHz/T} \times 10\,\text{µ}\mathrm{T}) = 1.2\,\mathrm{ms}$ . (d) Una espiral rápida que va cerrando el cono: precesión a $128\,\mathrm{MHz}$ en torno a $z$ , con una lenta nutación descendente a $426\,\mathrm{Hz}$ — un sacacorchos de mil vueltas de polo a polo.

Ejercicio 12.8 ★★

La línea de 21 cm. (a) Compruébese que $\Delta E = 5.9\,\text{µ}\mathrm{eV}$ da $\nu = 1420\,\mathrm{MHz}$ y $\lambda = 21.1\,\mathrm{cm}$ . (b) El estado excitado vive $10^{7}\,\mathrm{yr}$ : ¿qué anchura de línea es esa y por qué son puramente Doppler las anchuras observadas ( $\sim$ kHz y más)? (c) El borde del disco de una galaxia se aleja a $220\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ respecto de su centro: calcúlese el intervalo de frecuencias de su perfil de 21 cm. (d) ¿Por qué traza la línea de 21 cm el gas atómico neutro allí donde el CO (Problema 10.1) traza el gas molecular, y por qué necesitan los astrónomos ambos?

Solución

Solución de Ejercicio 12.8.

(a) $\nu = \Delta E/h = 5.9 \times 10^{-6}/4.14 \times 10^{-15} = 1.42 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz}$ ; $\lambda = c/\nu = 21.1\,\mathrm{cm}$ . (b) $\Delta \nu \sim 1/2\pi\tau \sim 10^{-15}\,\mathrm{Hz}$ : absolutamente despreciable — toda anchura observada es movimiento. (c) $\Delta\nu = \nu\,(2v/c) = 1420\,\text{MHz} \times 1.5 \times 10^{-3} \approx 2\,\mathrm{MHz}$ : el perfil de dos cuernos de un disco en rotación. (d) Los 21 cm hablan allí donde el hidrógeno es atómico (cálido y difuso); el CO habla donde el hidrógeno se ha emparejado en H $_2$ invisible (frío y denso): juntos inventarían todo el medio interestelar de una galaxia.

Ejercicio 12.9 ★★

El nitrógeno de la molécula de amoniaco atraviesa por efecto túnel el plano de los H $_3$ : las dos configuraciones de “paraguas” se mezclan en estados simétrico y antisimétrico desdoblados en $\Delta E = 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ (el doblete de inversión del volumen del Año 2). (a) Justifíquese tratar el amoniaco como un sistema de dos niveles. (b) La frecuencia y la longitud de onda de la transición. (c) En el máser (1954), las moléculas seleccionadas por estado que cruzan una cavidad resonante amplifican esa microonda: ¿qué condición de población debe cumplir el haz entrante y en qué se diferencia de la térmica? (d) ¿Qué demostró el máser de amoniaco tres años antes que el láser óptico del volumen del Año 2?

Solución

Solución de Ejercicio 12.9.

(a) Dos configuraciones acopladas por efecto túnel: a baja energía el espacio es bidimensional — el amoniaco es un espín $\tfrac12$ disfrazado. (b) $\nu = \Delta E/h = 24\,\mathrm{GHz}$ , $\lambda = 1.25\,\mathrm{cm}$ . (c) El haz debe llegar con el estado superior superpoblado (seleccionado por desviación electrostática) — inversión de población, inalcanzable térmicamente, ya que Boltzmann favorece siempre el nivel inferior. (d) La amplificación estimulada por inversión de población — el principio de funcionamiento del láser, demostrado primero en frecuencias de microondas.

Ejercicio 12.10 ★★★

Acoplamiento espín–órbita, estimado. En el sistema propio del electrón, el núcleo gira a su alrededor: el electrón se sitúa en un campo magnético $B_{\text{int}}$ . (a) A partir del Ejercicio 11.10(d), tómese $B_{\text{int}} \sim 10\,\mathrm{T}$ para el hidrógeno con $n = 2$ y estímese el desplazamiento de nivel $\mu_{\text{B}}B_{\text{int}}$ : compárese con la escala de estructura fina del Ejercicio 11.11. (b) La línea D del sodio está desdoblada $0.6\,\mathrm{nm}$ en $589\,\mathrm{nm}$ : conviértase a meV y a un campo interno. (c) ¿Por qué crece bruscamente el desdoblamiento con $Z$ (el campo interno escala aproximadamente como $Z^4$ dividido por $n^3$ )? (d) Los estados se etiquetan por el $j = l \pm \tfrac12$ total: cuéntense los estados de un nivel $p$ y compruébese que no falta ninguno.

Solución

Solución de Ejercicio 12.10.

(a) $\mu_{\text{B}} \times 10\,\mathrm{T} = 0.58\,\mathrm{meV}$ — la escala $\alpha^2E_{\text{I}} \approx 0.7\,\mathrm{meV}$ del Ejercicio 11.11: la estructura fina es el espín encontrándose con el campo del movimiento. (b) $\Delta E = hc\,\Delta\lambda/ \lambda^2 = 2.1\,\mathrm{meV}$ : un campo interno $\Delta E/2\mu_{ \text{B}} \approx 18\,\mathrm{T}$ . (c) El campo interno crece como $Z^4$ (la carga nuclear al cubo en el campo, y una vez más en el radio de la órbita): los átomos pesados tienen una estructura fina visible con un espectroscopio de bolsillo. (d) $j = \tfrac32$ : cuatro estados; $j = \tfrac12$ : dos — seis en total, exactamente $2 \times (2l + 1)$ para $l = 1$ .

Ejercicio 12.11 ★★★

Dos espines juntos. Para dos partículas de espín $\tfrac12$ , el espín total es $\hat{\vect S} = \hat{\vect S}_1 + \hat{\vect S}_2$ . (a) Muéstrese que los cuatro estados producto se reorganizan en un triplete ( $S = 1$ : $\ket{\uparrow\uparrow}$ , $(\ket{\uparrow\downarrow} + \ket{\downarrow\uparrow})/\sqrt2$ , $\ket{\downarrow\downarrow}$ ) y un singlete ( $S = 0$ : $(\ket{\uparrow\downarrow} - \ket{\downarrow\uparrow})/\sqrt2$ ) — verifíquense los recuentos de $S_z$ y, para los dos estados intermedios, el efecto de $\hat S^2$ (úsese $\hat S^2 = \hat S_1^2 + \hat S_2^2 + 2\hat{\vect S}_1\cdot\hat{\vect S}_2$ y $\hat{\vect S}_1\cdot\hat{\vect S}_2 = \tfrac12(\hat S_{1+}\hat S_{2-} + \hat S_{1-}\hat S_{2+}) + \hat S_{1z}\hat S_{2z}$ ). (b) ¿Cuál de los cuatro está entrelazado, es decir, no puede escribirse como producto? (c) La pareja hiperfina del hidrógeno (Ejemplo 12.7) es exactamente este triplete/singlete: ¿cuál tiene más energía, dado que la línea se emite a 21 cm? (d) Los espines del singlete están perfectamente anticorrelacionados según cualquier eje: mídase uno según cualquier $\vect n$ y el otro responde lo contrario. ¿Por qué no transmite señal alguna esa correlación, por llamativa que sea?

Solución

Solución de Ejercicio 12.11.

(a) Recuentos de $S_z$ : $+\hbar, 0, 0, -\hbar$ ; actuar con $\hat S^2$ (por la identidad de escalera) sobre la combinación simétrica da $2\hbar^2$ ( $S = 1$ ), y sobre la antisimétrica, $0$ ( $S = 0$ ). (b) Solo el singlete (y el estado intermedio del triplete) no puede escribirse como producto — el singlete es la pareja máximamente entrelazada. (c) Que haya emisión significa que el triplete está por encima: la configuración de espines paralelos es la más energética, por $5.9\,\text{µ}\mathrm{eV}$ . (d) Cada observador ve por separado resultados perfectamente aleatorios; la correlación aparece solo cuando las dos listas se juntan — ninguna estadística local cambia, de modo que nada se propaga (el argumento de la Observación 8.8).

Ejercicio 12.12 ★★★

El reloj que define el segundo. El desdoblamiento hiperfino del estado fundamental del cesio vale exactamente $9\,192\,631\,770\,\mathrm{Hz}$ (por definición del segundo). En un reloj de fuente, los átomos reciben un pulso $\pi/2$ , vuelan libremente durante $T = 0.5\,\mathrm{s}$ y reciben un segundo pulso $\pi/2$ ; la fracción transferida oscila como $\cos^2(\pi\,\delta\,T)$ con desintonía $\delta$ (franjas de Ramsey — acéptese). (a) Explíquese en lenguaje de Bloch qué hacen cada pulso $\pi/2$ y el vuelo libre. (b) Anchura de la franja central. (c) Con una relación señal/ruido que permita dividir el centro de la franja en $10^4$ , ¿qué exactitud relativa en frecuencia resulta? (d) ¿Por qué superan los relojes ópticos (transiciones de petahercios) a los de microondas con la misma capacidad de división de franjas — y en qué factor, aproximadamente?

Solución

Solución de Ejercicio 12.12.

(a) El primer $\pi/2$ tumba el vector de Bloch sobre el ecuador; durante $T$ precesa con el $\nu_0$ propio del átomo mientras el oscilador local gira a $\nu$ : la diferencia de ángulo acumulada es $2\pi\delta T$ ; el segundo $\pi/2$ convierte esa fase en una población — un interferómetro en el tiempo. (b) $\Delta\delta \sim 1/2T = 1\,\mathrm{Hz}$ . (c) $10^{-4}\,\mathrm{Hz}/9.19 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz} \approx 10^{-14}$ — un segundo cada tres millones de años. (d) La misma división absoluta de franjas sobre una portadora $10^5$ veces más alta gana $10^5$ en exactitud relativa: de ahí los relojes ópticos de estroncio e iterbio a $10^{-18}$ , y una redefinición pendiente del segundo.

12.5 Problema: ver el interior del cuerpo

Problema 12.1

Problema de fin de semana — la imagen por resonancia magnética, del espín al escáner

Dos tercios de un ser humano son agua; cada molécula de agua lleva dos protones, cada uno un imán de espín $\tfrac12$ . Colóquese a una persona en un campo intenso, cosquilléense los protones a su frecuencia de Larmor y escúchese: eso es la imagen por resonancia magnética, física del espín como medicina. Datos: $\gamma_{\text{p}}/2\pi = 42.58\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$ ; $B_0 = 3.0\,\mathrm{T}$ ; densidad de protones del tejido $n \approx 6.6 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; $k_{\text{B}}T$ a $310\,\mathrm{K}$ vale $26.7\,\mathrm{meV}$ ; $h = 4.14 \times 10^{-15}\,\mathrm{eV}\,\mathrm{s}$ .

Parte I — Espines en el imán.

Calcúlese la frecuencia de Larmor a $3.0\,\mathrm{T}$ y la energía del fotón $h\nu$ en eV.
Calcúlese el desequilibrio de poblaciones entre los dos niveles del protón, $\Delta n/n \approx h\nu/2k_{\text{B}}T$ .
Solo ese exceso — partes por millón — aporta señal: ¿cuántos protones “útiles” hay por centímetro cúbico de tejido?
¿Por qué es tan endeble aquí la polarización térmica cuando el haz de Stern–Gerlach se partía por completo? (¿Qué mide cada experimento: valores propios de un solo átomo o un promedio térmico?).
¿Qué le hace a la señal duplicar $B_0$ (dos efectos: la polarización y la fem inducida a mayor frecuencia)? ¿Por qué pagan los hospitales por imanes mayores?
El imán es superconductor y está siempre encendido: ¿por qué es una botella de oxígeno de acero suelta en la sala un proyectil letal? (¿Qué fuerza del Ejemplo 12.1 actúa sobre ella?)

Parte II — Pulsos y ecos.

Una bobina transversal aplica $B_1 = 10\,\text{µ}\mathrm{T}$ en resonancia: calcúlense la frecuencia de Rabi y las duraciones de los pulsos $\pi/2$ y $\pi$ .
Tras el pulso $\pi/2$ , ¿qué hace la imanación y qué induce la ley de Faraday en la bobina receptora (¿a qué frecuencia?)?
La señal transversal decae con la constante de tiempo $T_2$ (los espines se desfasan en los campos de los demás y en las inhomogeneidades locales); la imanación longitudinal vuelve a crecer con $T_1$ (la energía fluye hacia el tejido). Valores típicos: $T_1 \approx 1\,\mathrm{s}$ , $T_2 \approx 0.1\,\mathrm{s}$ . ¿Por qué no puede el tiempo de coherencia superar de largo al de relajación energética (¿qué le hace a la fase toda inversión que intercambia energía?)?
El eco de espín: tras el pulso $\pi/2$ y un retardo $\tau$ , se aplica un pulso $\pi$ y, en $2\tau$ , los espines desfasados vuelven a alinearse y la señal regresa. Explíquese el truco con corredores en una pista a los que se hace dar media vuelta.
¿Qué decaimiento deshace el eco — el desfase por inhomogeneidades estáticas del campo o el debido a campos moleculares fluctuantes — y por qué solo ese?
Los distintos tejidos tienen $T_1$ y $T_2$ distintos (la grasa: $T_1$ corto; el agua y los fluidos: largo; muchos tumores: $T_2$ más largo que el tejido que los alberga). En una frase: ¿cómo convierte el ajuste temporal de la secuencia de pulsos los tiempos de relajación en contraste de imagen?

Parte III — De la señal a la imagen.

Superpóngase un gradiente $G = 40\,\mathrm{mT}/\mathrm{m}$ según $z$ : la frecuencia de Larmor pasa a depender de la posición. Calcúlese $\dd\nu/\dd z$ en kHz por milímetro.
Un pulso de radiofrecuencia conformado que contenga solo la banda $\nu_0 \pm 1\,\mathrm{kHz}$ excita ¿qué rebanada del cuerpo? (Selección de corte).
Durante la lectura, un gradiente según $x$ hace que cada columna del corte emita su propia frecuencia: ¿qué operación matemática convierte la señal temporal recibida en un perfil espacial (recuérdense las herramientas de Fourier del volumen del Año 2)?
Estímese la información total del examen: una imagen de $256 \times 256$ a 12 bits, y por qué adquirirla línea a línea (un eco por línea, con tiempo de repetición $\sim T_1$ ) hace que un examen dure minutos.
El paciente oye fuertes golpeteos: ¿qué golpea mecánicamente (piénsese en las bobinas de gradiente conmutando en el campo de $3\,\mathrm{T}$ — qué fuerza)?
La radiografía contrasta densidad electrónica; la resonancia magnética contrasta densidad de protones y relajación: ¿por qué es la resonancia la herramienta de elección para los tejidos blandos y el cerebro, y qué dosis ionizante entrega?

Parte IV — Los otros oficios del espín.

Los químicos hacen el mismo experimento con resolución de $10\,\mathrm{ppm}$ : las nubes electrónicas apantallan levemente cada núcleo y desplazan su resonancia (el “desplazamiento químico”). ¿Por qué convierte eso a la RMN en una huella dactilar molecular?
La resonancia magnética funcional cartografía el pensamiento: la hemoglobina desoxigenada es paramagnética y acorta el $T_2^*$ local. Rastréese la cadena desde la actividad neuronal hasta el brillo de la imagen.
La misma física de Larmor con el momento del electrón funciona a $84\,\mathrm{GHz}$ en $3\,\mathrm{T}$ : ¿por qué es inútil la resonancia electrónica dentro de un ser humano y preciosa para estudiar radicales y defectos?
Compárese la energía del fotón del apartado 1 con las energías típicas de enlace químico: justifíquese la expresión “no ionizante” y contrástela con un fotón de rayos X de $60\,\mathrm{keV}$ .
La polarización de diez partes por millón puede aumentarse: el gas xenón polarizado por láser alcanza una polarización del orden de la unidad y se inhala para obtener imágenes de los espacios aéreos pulmonares. ¿En qué factor sube aproximadamente la señal por núcleo, y por qué sigue siendo necesario el truco dada la baja densidad del gas?
Un solo espín electrónico en una trampa de silicio parecida a un transistor se lee y se manipula hoy como cúbit con exactamente los pulsos de este capítulo: nómbrense las dos propiedades del espín (el tamaño de su espacio de Hilbert y la debilidad de su acoplamiento al ruido) que lo recomiendan.
Resúmase el resultado con nombre propio: una precesión de espín de $128\,\mathrm{MHz}$ , una polarización térmica de diez partes por millón, dos relojes de relajación y tres gradientes de campo bastan para fotografiar por rebanadas un cerebro vivo — las dos manchas de Stern y Gerlach, convertidas en un hospital.

Solución

Solución de Problema 12.1.

1. $\nu = 42.58 \times 3.0 = 127.7\,\mathrm{MHz}$ ; $h\nu = 5.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ . 2. $\Delta n/n = h\nu/2k_{\text{B}}T = 5.3 \times 10^{-7}/(2 \times 0.0267) \approx 10^{-5}$ : diez partes por millón. 3. $6.6 \times 10^{22}\,\mathrm{cm}^{-3} \times 10^{-5} \approx 7 \times 10^{17}$ protones portadores de señal por centímetro cúbico — endebles uno a uno, poderosos en número. 4. Stern y Gerlach medían cada átomo y lo separaban por valor propio; la resonancia magnética escucha un promedio térmico de $10^{23}$ espines, y Boltzmann mantiene ese promedio a microvoltios de cero. 5. La polarización va $\propto B_0$ y la fem inducida, $\propto \omega \propto B_0$ : la señal es aproximadamente $\propto B_0^2$ — el argumento a favor de $3\,\mathrm{T}$ frente a $1.5\,\mathrm{T}$ y de las máquinas de investigación de $7\,\mathrm{T}$ . 6. Un ferroimán en el gradiente de fuga siente $F = \mu\,\partial B/\partial z$ escalado a kilogramos de hierro: cientos de newtons apareciendo en el vano de una puerta — la razón del blindaje y de las listas de comprobación. 7. $\nu_1 = \gamma B_1/2\pi = 426\,\mathrm{Hz}$ : pulso $\pi/2$ de $0.59\,\mathrm{ms}$ y pulso $\pi$ de $1.2\,\mathrm{ms}$ . 8. Precesa en el plano transversal a $127.7\,\mathrm{MHz}$ ; el flujo de la imanación giratoria a través de la bobina induce (Faraday) una fem de radio exactamente a esa frecuencia — la señal de resonancia en bruto. 9. Toda inversión que intercambia energía aleatoriza también la fase del espín invertido: cuanto causa $T_1$ contribuye a $T_2$ , y el desfase tiene además canales propios — la coherencia muere primero. 10. En $\tau$ cada corredor da media vuelta: los rápidos, que van más adelantados, tienen ahora más camino de vuelta; en $2\tau$ todos cruzan a la vez la línea de salida — el desfase se rebobina y suena el eco. 11. Solo la parte estática: un espín que mantuvo una frecuencia constante (aunque equivocada) recorre su fase hacia atrás exactamente; los campos moleculares fluctuantes cambian entre las dos mitades y no se rebobinan — su decaimiento es el $T_2$ verdadero y propio de cada tejido. 12. Muestrear pronto y a menudo (TR corto, TE corto) hace brillar el $T_1$ corto de la grasa; esperar mucho y ecoar tarde hace resplandecer los fluidos de $T_2$ largo: los ajustes de reloj de la secuencia eligen qué constante de relajación pinta el cuadro. 13. $\dd\nu/\dd z = 42.58\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T} \times 0.04\,\mathrm{T}/\mathrm{m} = 1.7\,\mathrm{kHz}/\mathrm{mm}$ . 14. La rebanada en la que la frecuencia de Larmor local cae dentro de la banda: espesor $2\,\mathrm{kHz}/1.7\,\mathrm{kHz}/\mathrm{mm} \approx 1.2\,\mathrm{mm}$ — un corte seleccionado. 15. Una transformada de Fourier: la frecuencia etiqueta la posición, de modo que el espectro del eco es la proyección del corte. 16. $256^2 \times 12 \approx 100\,\mathrm{kB}$ ; a una línea codificada por tiempo de repetición del orden de $T_1$ , $256$ líneas cuestan minutos — de ahí que se pida al paciente que no se mueva. 17. Las bobinas de gradiente llevan corrientes conmutadas de escala kiloamperio dentro de $3\,\mathrm{T}$ : la fuerza de Laplace las martillea contra sus soportes en cada conmutación — la banda sonora de ametralladora de todo examen. 18. Los rayos X proyectan la sombra de la densidad electrónica — hueso frente a aire — y depositan dosis ionizante; la resonancia lee la densidad de protones y dos relojes de relajación, que difieren con gran riqueza entre los tejidos blandos: el cerebro, el cartílago y los tumores, todos iguales para los rayos X, son distintos para los espines, y con dosis ionizante nula. 19. Cada entorno químico apantalla su protón en unas pocas partes por millón: los protones de una molécula se presentan como un peine resuelto de líneas desplazadas — determinación estructural en un tubo. 20. La actividad eleva el flujo sanguíneo local y la oxigenación; la desoxihemoglobina paramagnética se diluye; el $T_2^*$ local se alarga; y el vóxel se aclara unos segundos después del pensamiento. 21. A $84\,\mathrm{GHz}$ el tejido es opaco (las microondas milimétricas apenas penetran la piel) y la relajación electrónica es de microsegundos — inservible in vivo, pero perfecta para contar radicales y defectos en materiales y para dosimetría. 22. $5 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ frente a enlaces de eV: diez millones de veces demasiado débil para romper nada — no ionizante; un fotón de rayos X de $60\,\mathrm{keV}$ lleva $10^{11}$ veces más. 23. De $10^{-5}$ al orden de la unidad: una ganancia de $\sim10^5$ por núcleo — necesaria porque el gas inhalado es miles de veces más diluido que los protones del agua. 24. Un espín $\tfrac12$ es un sistema de dos niveles perfecto (sin niveles de fuga) y se acopla al ruido de carga solo débilmente, a través de momentos magnéticos: coherencia larga en un material industrial. 25. Una precesión de $128\,\mathrm{MHz}$ , una polarización de $10^{-5}$ , dos relojes de relajación y tres gradientes: física del espín fotografiando un cerebro vivo, rebanada a rebanada, con dosis ionizante nula — las dos manchas de plata de 1922 convertidas en un servicio hospitalario.

Términos definidos en este capítulo

Espín un medio

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