Anneau intègre, corps কী?

Exemple 7.19 (Idempotents : des phénomènes nouveaux dans des anneaux nouveaux)

Dans $\Z$, l’équation $x^2 = x$, c’est-à-dire $x(x - 1) = 0$, n’a que les solutions $0$ et $1$. Dans $\Z/6\Z$, en testant toutes les classes : $\overline0^2 = \overline0$, $\overline1^2 = \overline1$, $\overline3^2 = \overline9 = \overline3$ et $\overline4^2 = \overline{16} = \overline4$ — quatre idempotents. Les deux exotiques proviennent de diviseurs de zéro : $\overline3\,(\overline3 - \overline1) = \overline3 \times \overline2 = \overline6 = \overline0$, sans qu’aucun des deux facteurs ne soit nul. De tels calculs recalibrent l’intuition : les faits familiers sur les équations survivent dans les anneaux intègres et dans les corps, mais un anneau quelconque peut se comporter — et se comporte — tout autrement ; voir aussi les anneaux de Boole de l’Exercice 7.10, où tout élément est idempotent.

Exemple 7.26 (Combien de racines carrées de $1$ ?)

Résolvons $x^2 = \overline 1$ dans $\Z/8\Z$ puis dans $\Z/7\Z$. En testant les huit classes modulo $8$ : $1^2 = 1$, $3^2 = 9 \equiv 1$, $5^2 = 25 \equiv 1$, $7^2 = 49 \equiv 1$ — quatre solutions $\{\overline1, \overline3, \overline5, \overline7\}$, alors même que le polynôme $X^2 - 1$ est de degré $2$. Dans le corps $\Z/7\Z$, en revanche, $x^2 = \overline1$ signifie $(x - \overline1)(x + \overline1) = \overline0$, et un corps n’a pas de diviseur de zéro : $x = \pm\overline1$, deux solutions seulement. L’échec modulo $8$ s’explique : $(3-1)(3+1) = 2 \times 4 = 8 \equiv 0$ sans qu’aucun des deux facteurs ne s’annule. Morale : la règle familière « une équation de degré $d$ a au plus $d$ racines » est un théorème sur les anneaux intègres (le Corollaire 8.8 le démontre sur un corps) ; dans un anneau à diviseurs de zéro, elle tombe en défaut sans prévenir — et c’est exactement pourquoi la démonstration par appariement du théorème de Wilson (Exercice 6.11) exigeait $p$ premier.