coefficients de Fourier কী?

Exemple 14.3 (Meilleure approximation, mesurée)

Dans quelle mesure les polynômes trigonométriques de bas degré approchent-ils la dent de scie $f(t) = t$ (sur $\intoo{-\pi}{\pi}$) en moyenne quadratique ? D’après la Proposition 14.2, la meilleure approximation de degré $N$ est $S_N(f)$, avec pour erreur quadratique

Ici $\norm f_2^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\dd t = \frac{\pi^2}{3}$, et à partir de $b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$ (Exemple 14.12) : $\abs{c_n}^2 + \abs{c_{-n}}^2 = \frac{b_n^2}{2} = \frac{2}{n^2}$. Donc

pour $N = 1, 2, 3, 4$ — décroissante, mais lentement : le reste $\sum_{n>N}\frac2{n^2} \sim \frac2N$ est gouverné par la lente décroissance en $\frac1n$ des coefficients, elle-même la signature du saut (Exercice 14.6 lu à l’envers). Éclairage final : Parseval transforme la qualité d’approximation en un reste de série numérique — et prédit, avant tout dessin, que les sauts font converger les séries de Fourier à contrecœur.