Mathématiques universitaires — Licence 1 · Bachelor Year 1

14Dérivation

On a calculé des dérivées tout au long du volume de Terminale ; ce qui manquait, c’est la chaîne de théorèmes qui transforme le calcul en information sur les fonctions : le théorème de Rolle, le théorème des accroissements finis, et leurs conséquences — critères de monotonie, majorations lipschitziennes, convexité. Tout ce chapitre concerne des fonctions définies sur un intervalle $I$ .

14.1 La dérivée

Définition 14.1

$f \colon I \to \R$ est dérivable en $x_0 \in I$ lorsque le taux d’accroissement $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ admet une limite (finie) quand $x \to x_0$ ; cette limite se note $f'(x_0)$ . De façon équivalente :

f(x_0 + h) = f(x_0) + f'(x_0)\,h + h\,\varepsilon(h), \qquad \varepsilon(h) \xrightarrow[h \to 0]{} 0 ,

le graphe admettant alors la tangente $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ . La dérivabilité en $x_0$ entraîne la continuité en $x_0$ (relire la formule affichée). $f$ est dérivable sur $I$ lorsqu’elle l’est en tout point ; $f$ est de classe $C^1$ lorsque de plus $f'$ est continue, et de classe $C^k$ lorsque $f$ peut être dérivée $k$ fois avec $f^{(k)}$ continue.

Exemple 14.2

La réciproque de « dérivable $\Rightarrow$ continue » est fausse : $\abs{\,\cdot\,}$ en $0$ . Plus surprenant, dérivable n’implique pas $C^1$ : la fonction $f(x) = x^2 \sin\frac 1x$ ( $f(0) = 0$ ) est dérivable partout, avec $f'(0) = 0$ , mais $f'(x) = 2x \sin\frac1x - \cos\frac 1x$ n’a pas de limite en $0$ (Exercice 14.2).

Exemple 14.3 (Dérivable en exactement un point)

Soit $f(x) = x^2$ pour $x \in \Q$ et $f(x) = 0$ pour $x \notin \Q$ . En $0$ : $\bigl|\frac{f(h) - 0}{h}\bigr| \leq \abs h \to 0$ , donc $f$ est dérivable en $0$ avec $f'(0) = 0$ . En tout $x_0 \neq 0$ , $f$ n’est même pas continue : des suites de rationnels et d’irrationnels convergeant vers $x_0$ envoient $f$ sur $x_0^2 \neq 0$ et sur $0$ respectivement (densité, Théorème 10.14). La dérivabilité est donc une notion authentiquement ponctuelle : elle peut avoir lieu en un point de $\R$ et nulle part ailleurs. La morale pour la pratique : des énoncés comme le critère de monotonie ou le théorème de Rolle exigent la dérivée sur un intervalle — posséder $f'(x_0)$ en des points isolés, si nombreux soient-ils, n’autorise absolument aucune conclusion globale.

Théorème 14.4 (Opérations)

Si $f, g$ sont dérivables en $x_0$ (et là où les formules ont un sens) :

(f + g)' = f' + g', \qquad (fg)' = f'g + fg', \qquad \Bigl(\frac fg\Bigr)' = \frac{f'g - fg'}{g^2},

et si $g$ est dérivable en $f(x_0)$ : $\;(g \circ f)'(x_0) = g'\bigl(f(x_0)\bigr)\, f'(x_0)$ (règle de la chaîne).

Démonstration. Somme : immédiat. Produit : écrivons

f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0) = \bigl(f(x) - f(x_0)\bigr) g(x) + f(x_0)\bigl(g(x) - g(x_0)\bigr),

divisons par $x - x_0$ et faisons tendre $x \to x_0$ ( $g$ est continue en $x_0$ ). Quotient : traitons $\frac 1g$ via $\frac{1/g(x) - 1/g(x_0)}{x - x_0} = \frac{-1}{g(x)g(x_0)}\cdot\frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}$ , puis appliquons la règle du produit. Composée : avec $y_0 = f(x_0)$ , posons $\theta(y) = \frac{g(y) - g(y_0)}{y - y_0}$ pour $y \neq y_0$ et $\theta(y_0) = g'(y_0)$ : $\theta$ est continue en $y_0$ , et pour $x \neq x_0$ ,

\frac{g(f(x)) - g(f(x_0))}{x - x_0} = \theta\bigl(f(x)\bigr)\cdot \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \longrightarrow g'(y_0)\, f'(x_0),

le premier facteur par composition des limites (ce procédé traite proprement le cas $f(x) = f(x_0)$ , où le naïf « multiplier et diviser par $f(x) - f(x_0)$ » s’effondre). ∎

Théorème 14.5 (Dérivée d’une fonction réciproque)

Soit $f$ continue et strictement monotone sur $I$ , dérivable en $x_0$ avec $f'(x_0) \neq 0$ . Alors $f^{-1}$ (Théorème 13.16) est dérivable en $y_0 = f(x_0)$ , avec

(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} = \frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(y_0)\bigr)} .

Si $f'(x_0) = 0$ , la réciproque admet une tangente verticale en $y_0$ .

Démonstration. Pour $y \to y_0$ , posons $x = f^{-1}(y)$ : la continuité de $f^{-1}$ donne $x \to x_0$ , et

\frac{f^{-1}(y) - f^{-1}(y_0)}{y - y_0} = \frac{x - x_0}{f(x) - f(x_0)} = \frac{1}{\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}} \longrightarrow \frac{1}{f'(x_0)} .

Tangente verticale : si $f'(x_0) = 0$ , le quotient affiché est l’inverse d’une quantité qui tend vers $0$ en gardant un signe constant (pour $f$ strictement croissante, $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} > 0$ pour tout $x \neq x_0$ ) : le taux d’accroissement de $f^{-1}$ tend donc vers $+\infty$ (vers $-\infty$ pour $f$ décroissante). La réciproque reste continue mais n’est pas dérivable en $y_0$ — son graphe, symétrique de celui de $f$ par rapport à la diagonale, se dresse à la verticale exactement là où celui de $f$ courait à l’horizontale, comme l’illustre $x^{1/3}$ en $0$ face à $x^3$ . ∎

Exemple 14.6 (Dérivées de réciproques, deux fois)

Le théorème recalcule les dérivées classiques sans aucun travail sur les limites. Pour $\ln = \exp^{-1}$ : en $y = \eu^x$ ,

(\ln)'(y) = \frac{1}{\exp'(x)} = \frac{1}{\eu^{x}} = \frac1y ,

valable pour tout $y > 0$ puisque $\exp' = \exp$ ne s’annule jamais. Pour $\arctan = \tan^{-1}$ : en $y = \tan x$ ,

(\arctan)'(y) = \frac{1}{1 + \tan^2 x} = \frac{1}{1 + y^2} ,

en utilisant $\tan' = 1 + \tan^2 > 0$ . L’idée à retenir : la formule convertit la connaissance d’une fonction en connaissance de sa réciproque au prix d’une seule substitution — et cette substitution ( $x = \ln y$ , $x = \arctan y$ ) dit exactement que les deux variables vivent de part et d’autre de la bijection.

14.2 Rolle et le théorème des accroissements finis

Proposition 14.7 (Extremum intérieur)

Si $f$ est dérivable en un point intérieur $x_0$ de $I$ et y présente un extremum local, alors $f'(x_0) = 0$ .

Démonstration. Disons un maximum local : il existe $r > 0$ tel que $f(x) \leq f(x_0)$ pour $\abs{x - x_0} \leq r$ , et l’intériorité garantit que les deux côtés de $x_0$ sont disponibles dans $I$ . Pour $0 < h \leq r$ , le quotient $\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ a un numérateur $\leq 0$ et un dénominateur $> 0$ : il est $\leq 0$ , et sa limite $f'(x_0)$ hérite du $\leq 0$ (les inégalités larges passent à la limite, Théorème 11.7) ; pour $-r \leq h < 0$ le quotient est $\geq 0$ , d’où $f'(x_0) \geq 0$ . Donc $f'(x_0) = 0$ . (À une extrémité, un seul signe est disponible : la conclusion y tombe en défaut — songeons à $x$ sur $\intcc{0}{1}$ , maximal en $1$ avec une dérivée égale à $1$ .) ∎

Théorème 14.8 (Rolle)

Soit $f$ continue sur $\intcc{a}{b}$ , dérivable sur $\intoo{a}{b}$ , avec $f(a) = f(b)$ . Alors $f'(c) = 0$ pour un certain $c \in \intoo{a}{b}$ .

Démonstration. D’après le théorème des bornes atteintes (Théorème 13.13), $f$ atteint son maximum et son minimum sur $\intcc{a}{b}$ . Si tous deux sont atteints aux extrémités, alors (puisque $f(a) = f(b)$ ) max $=$ min et $f$ est constante : n’importe quel $c$ intérieur convient. Sinon un extremum est atteint en un point intérieur $c$ , et la Proposition 14.7 donne $f'(c) = 0$ . ∎

Théorème 14.9 (Théorème des accroissements finis)

Soit $f$ continue sur $\intcc{a}{b}$ , dérivable sur $\intoo{a}{b}$ . Il existe $c \in \intoo{a}{b}$ tel que

f(b) - f(a) = f'(c)\,(b - a) .

Inégalité des accroissements finis : si de plus $m \leq f' \leq M$ sur $\intoo{a}{b}$ , alors $m(b-a) \leq f(b) - f(a) \leq M(b-a)$ ; en particulier $\abs{f'} \leq K$ entraîne que $f$ est $K$ -lipschitzienne.

Démonstration. Appliquons Rolle à $g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$ : $g$ est continue sur $\intcc{a}{b}$ , dérivable à l’intérieur, et $g(a) = f(a) = g(b)$ . Au point $c$ où $g'(c) = 0$ : $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . L’inégalité s’obtient en encadrant $f'(c)$ ; l’énoncé lipschitzien l’applique à tout couple de points. ∎

Le théorème des accroissements finis : une tangente (en tirets) est parallèle à la corde (en gris). Son abscisse c est le point où le théorème de Rolle, appliqué à la fonction moins sa corde, trouve un point critique. — Le théorème des accroissements finis : une tangente (en tirets) est parallèle à la corde (en gris). Son abscisse $c$ est le point où le théorème de Rolle, appliqué à la fonction moins sa corde, trouve un point critique.

Exemple 14.10 (La méthode de Newton, c’est celle de Héron)

La méthode de Newton pour résoudre $f(x) = 0$ remplace la courbe par sa tangente au point courant $x_n$ et prend la racine de cette tangente comme point suivant :

0 = f(x_n) + f'(x_n)(x_{n+1} - x_n) \quad\Longrightarrow\quad x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} .

Faisons-la tourner sur $f(x) = x^2 - 2$ :

x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 2}{2x_n} = \frac{x_n}{2} + \frac{1}{x_n} = \frac12\Bigl(x_n + \frac{2}{x_n}\Bigr) :

c’est exactement l’itération de Héron (Exemple 11.24), avec deux millénaires d’avance. La vitesse quadratique qu’on y observait s’explique maintenant par l’image de la tangente : près d’une racine simple, la courbe et la tangente diffèrent d’une erreur du second ordre, de sorte que chaque étape élève à peu près l’erreur au carré — l’énoncé général découle des majorations de Taylor du Chapitre 16. L’idée à retenir : là où la dichotomie (Exemple 13.12) n’utilise que la continuité et gagne un bit par étape, Newton dépense une dérivée pour doubler le nombre de décimales correctes à chaque étape.

Exemple 14.11 (Le théorème des accroissements finis comme estimateur)

Quelle est la taille de $\sqrt{101}$ ? Appliquons le théorème à $f(t) = \sqrt t$ sur $\intcc{100}{101}$ : pour un certain $c \in \intoo{100}{101}$ ,

\sqrt{101} - 10 = \frac{1}{2\sqrt c}, \qquad\text{donc}\qquad \frac{1}{2\sqrt{101}} < \sqrt{101} - 10 < \frac{1}{20} = 0.05 ,

et puisque $\sqrt{101} < 10.05$ , la borne de gauche dépasse $\frac{1}{20.1} > 0.0497$ : ainsi $10.0497 < \sqrt{101} < 10.05$ (valeur exacte $10.049875\dots$ ) — trois décimales correctes pour une seule évaluation de dérivée. De même $\abs{\sin a - \sin b} \leq \abs{a - b}$ (majoration $\abs{\cos}\leq 1$ ) : les estimations lipschitziennes utilisées depuis le Chapitre 11 sont toutes ce théorème. L’idée à retenir : le théorème des accroissements finis est une formule de Taylor à l’ordre zéro — il échange un point inconnu $c$ contre une inégalité solide, et le Chapitre 16 itérera exactement cet échange.

Corollaire 14.12 (Critère de monotonie)

Soit $f$ continue sur $I$ , dérivable sur l’intérieur.

$f' \geq 0$ sur l’intérieur $\iff$ $f$ est croissante ; $f' = 0$ $\iff$ $f$ constante.
Si $f' > 0$ sauf en un nombre fini de points où elle s’annule, $f$ est strictement croissante.

Démonstration. Si $f' \geq 0$ : pour $x < y$ dans $I$ , le théorème des accroissements finis sur $\intcc{x}{y}$ donne $f(y) - f(x) = f'(c)(y - x) \geq 0$ . Réciproquement, les taux d’accroissement d’une fonction croissante sont $\geq 0$ , donc leurs limites aussi. Cas constant : appliquons ce qui précède à $f'$ et $-f' \geq 0$ . Version stricte : $f$ est croissante ; une égalité $f(x) = f(y)$ pour $x < y$ figerait $f$ sur $\intcc{x}{y}$ , y forçant $f' = 0$ — une infinité de points. ∎

Exemple 14.13 (Dérivées égales, fonctions différentes)

Sur $\R^* = \intoo{-\infty}{0} \cup \intoo{0}{+\infty}$ , les deux fonctions $f(x) = \ln\abs x$ et $g(x) = \ln\abs x + \mathbf{1}_{x>0}$ (on ajoute $1$ sur la seule demi-droite de droite) vérifient $f' = g' = \frac1x$ . Elles ne diffèrent pas d’une constante : le critère « $f' = 0 \implies f$ constante » est un énoncé d’intervalle — sa démonstration fait tourner le théorème des accroissements finis entre deux points, ce qui exige que tout le segment qui les joint soit dans le domaine. Sur chaque demi-droite séparément, les primitives de $\frac1x$ sont $\ln\abs x + c$ , avec une constante par demi-droite, soit deux constantes indépendantes en tout. Le Chapitre 15 hérite de cette clause en petits caractères : « la » primitive d’une fonction est bien définie à une constante près sur chaque intervalle de son domaine, et les tables de primitives supposent silencieusement la connexité.

Exemple 14.14 (La stricte monotonie gratuitement)

$x \mapsto x^3$ est strictement croissante sur $\R$ bien que sa dérivée s’annule en $0$ : la clause du critère « $f' > 0$ sauf en un nombre fini de points » est précisément conçue pour de tels points plats. En revanche, $f' \geq 0$ seul ne donne que la croissance au sens large (une fonction constante convient), et une dérivée nulle sur tout un sous-intervalle y fige bel et bien la fonction. La règle pratique : pour affirmer la stricte monotonie, dresser la liste des zéros de $f'$ ; un nombre fini (ou, plus généralement, aucun sur un sous-intervalle) est inoffensif, un intervalle de zéros est fatal.

Exemple 14.15 (Une étude de variations complète)

Étudions $f(x) = x^3 - 3x + 1$ sur $\R$ . Dérivée : $f'(x) = 3(x^2 - 1)$ , positive sur $\intoo{-\infty}{-1}$ , négative sur $\intoo{-1}{1}$ , positive sur $\intoo{1}{+\infty}$ : d’après le critère de monotonie, $f$ croît, puis décroît, puis croît, avec un maximum local $f(-1) = 3$ et un minimum local $f(1) = -1$ . Limites : $\mp\infty$ en $\mp\infty$ . Conséquences, lues sur le tableau de variations à l’aide du théorème des valeurs intermédiaires sur chaque branche monotone : $f$ s’annule exactement une fois dans chacun de

\intoo{-\infty}{-1}, \qquad \intoo{-1}{1}, \qquad \intoo{1}{+\infty}

(les valeurs aux jonctions sont de signes opposés : $3 > 0 > -1$ ), donc l’équation $x^3 - 3x + 1 = 0$ a exactement trois racines réelles ; numériquement, elles sont voisines de $-1.88$ , $0.35$ , $1.53$ . L’idée à retenir : un tableau de variations est un instrument de démonstration, non un croquis — branche monotone plus changement de signe égale exactement une racine, et le tableau énumère les branches de façon exhaustive.

Théorème 14.16 (Formule de Leibniz)

Si $f$ et $g$ sont $n$ fois dérivables, $fg$ l’est aussi, et

(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom nk f^{(k)}\, g^{(n-k)} .

Démonstration. Récurrence sur $n$ , exactement parallèle à celle de la formule du binôme. Le cas $n = 1$ est la règle du produit. En supposant la formule au rang $n$ , dérivons une fois de plus :

(fg)^{(n+1)} = \sum_{k=0}^{n} \binom nk \Bigl( f^{(k+1)} g^{(n-k)} + f^{(k)} g^{(n-k+1)} \Bigr),

puis réindexons la première somme avec $j = k + 1$ et regroupons le coefficient de $f^{(j)} g^{(n+1-j)}$ : c’est $\binom{n}{j-1} + \binom nj = \binom{n+1}{j}$ par la règle de Pascal (Proposition 2.15), les termes de bord $j = 0$ et $j = n + 1$ portant $\binom{n+1}{0} = \binom{n+1}{n+1} = 1$ comme il se doit. ∎

Exemple 14.17 (Leibniz à l’œuvre)

Calculons $\bigl(x^2 \eu^x\bigr)^{(n)}$ pour $n \geq 2$ . Prenons $f = x^2$ , dont les dérivées meurent vite ( $f' = 2x$ , $f'' = 2$ , $f^{(k)} = 0$ pour $k \geq 3$ ), et $g = \eu^x$ : seuls trois termes de la somme de Leibniz survivent,

\bigl(x^2\eu^x\bigr)^{(n)} = \binom n0 x^2 \eu^x + \binom n1 (2x)\,\eu^x + \binom n2\, 2\,\eu^x = \eu^x\bigl(x^2 + 2nx + n(n-1)\bigr).

Vérification en $n = 1$ : $\eu^x(x^2 + 2x)$ , qui est bien $(x^2\eu^x)'$ . L’idée à retenir : employer Leibniz quand l’un des facteurs est un polynôme — la somme n’a alors que $\deg + 1$ termes, et la formule est une forme close, non une identité abstraite. (Pour deux facteurs infatigables comme $\eu^x\sin x$ , les exponentielles complexes du Chapitre 3 sont le meilleur outil.)

14.3 Convexité

Définition 14.18

$f \colon I \to \R$ est convexe lorsque toute corde est au-dessus du graphe :

\forall x, y \in I,\ \forall t \in \intcc{0}{1}, \quad f\bigl(tx + (1-t)y\bigr) \leq t f(x) + (1-t) f(y).

( $f$ est concave lorsque $-f$ est convexe.)

Théorème 14.19 (Caractérisations différentielles)

Soit $f$ dérivable sur $I$ . Les assertions suivantes sont équivalentes :

$f$ est convexe ;
$f'$ est croissante sur $I$ ;
le graphe est au-dessus de toute tangente : $f(y) \geq f(x) + f'(x)(y - x)$ pour tous $x, y \in I$ .

Si $f$ est deux fois dérivable : $f$ convexe $\iff f'' \geq 0$ .

Démonstration. (1 $\Rightarrow$ 3) La convexité s’écrit $\frac{f(x + t(y-x)) - f(x)}{t} \leq f(y) - f(x)$ pour $t \in \intoc{0}{1}$ ; faisons $t \to 0^+$ : $f'(x)(y - x) \leq f(y) - f(x)$ .

(3 $\Rightarrow$ 2) Pour $x < y$ , les deux inégalités de tangente en $x$ et en $y$ donnent $f'(x)(y-x) \leq f(y) - f(x) \leq f'(y)(y - x)$ , d’où $f'(x) \leq f'(y)$ .

(2 $\Rightarrow$ 1) Fixons $x < y$ et $t \in \intoo{0}{1}$ , et posons $z = tx + (1-t)y \in \intoo{x}{y}$ . Par le théorème des accroissements finis sur $\intcc{x}{z}$ et $\intcc{z}{y}$ : il existe $c_1 < z < c_2$ avec

\frac{f(z) - f(x)}{z - x} = f'(c_1) \leq f'(c_2) = \frac{f(y) - f(z)}{y - z} ,

et, en chassant les dénominateurs ( $z - x = (1-t)(y-x)$ , $y - z = t(y-x)$ ), on retrouve exactement l’inégalité de convexité.

Cas deux fois dérivable : $f'' \geq 0 \iff f'$ croissante (Corollaire 14.12). ∎

La convexité, deux fois : toute corde (en gris) est au-dessus du graphe, et le graphe est au-dessus de toute tangente (en tirets).

Exemple 14.20 (Inégalités de convexité classiques)

$\exp$ est convexe ( $\exp'' = \exp > 0$ ) : sa tangente en $0$ donne $\eu^x \geq 1 + x$ pour tout $x$ . $\ln$ est concave : sa tangente en $1$ donne $\ln x \leq x - 1$ ; ses cordes donnent, pour $0 < a \leq b$ , l’inégalité entre moyenne géométrique et moyenne arithmétique : en prenant $t = \frac12$ dans la concavité,

\ln\frac{a + b}{2} \geq \frac{\ln a + \ln b}{2} = \ln\sqrt{ab}, \qquad\text{donc}\qquad \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} .

L’inégalité arithmético-géométrique générale est l’Exercice 14.9.

Exemple 14.21 (Une inégalité de convexité fabriquée de toutes pièces)

La fonction $f(t) = t\ln t$ est convexe sur $\intoo{0}{+\infty}$ : $f''(t) = \frac1t > 0$ . Son inégalité de milieu, multipliée par $2$ , s’écrit : pour tous $a, b > 0$ ,

a\ln a + b\ln b \;\geq\; (a + b)\,\ln\frac{a + b}{2} ,

avec égalité si et seulement si $a = b$ (convexité stricte). Essai : $a = 1$ , $b = 3$ donne $3\ln 3 = 3.296$ contre $4\ln 2 = 2.773$ . Cette inégalité anodine est le cas à deux points de la comparaison d’entropie qui reparaît avec l’inégalité de Jensen (Exercice 14.9) et dans les asymptotiques de la théorie de l’information du volume de Licence 3. L’idée à retenir : pour fabriquer une inégalité, trouver une fonction dont la dérivée seconde a un signe et écrire ce que dit la convexité — la caractérisation différentielle transforme une seule vérification de signe en une infinité d’inégalités.

Remarque 14.22 (Pièges classiques avec les dérivées)

(i) Une dérivée strictement positive en un point ne donne pas la monotonie au voisinage de ce point : $f(x) = \frac x2 + x^2\sin\frac1x$ (avec $f(0) = 0$ ) vérifie $f'(0) = \frac12 > 0$ , et pourtant

f'(x) = \frac12 + 2x\sin\frac1x - \cos\frac1x

vaut $-\frac12$ en chaque $x_n = \frac{1}{2\pi n}$ : tout voisinage de $0$ contient des descentes. La monotonie exige $f' \geq 0$ sur un intervalle (Corollaire 14.12) ; le signe ponctuel ne contrôle que la traversée de la tangente. (ii) Les trois hypothèses de Rolle sont toutes actives : $\abs x$ sur $\intcc{-1}{1}$ (pas de dérivabilité à l’intérieur), $x$ sur $\intcc{0}{1}$ (valeurs aux bornes distinctes) et $x - \lfloor x\rfloor$ sur $\intcc{0}{1}$ (la continuité tombe en défaut en $1$ ) brisent chacune exactement une hypothèse et la conclusion. (iii) Les dérivées peuvent être discontinues, mais pas n’importe comment : $f'$ peut osciller (Exemple 14.2) tout en satisfaisant toujours la propriété des valeurs intermédiaires (Darboux, Exercice 14.10) : une dérivée ne saute jamais — si l’on calcule une « limite de dérivée » unilatérale présentant un saut, c’est qu’on a dérivé une fonction non dérivable. (iv) La formule de la réciproque exige $f' \neq 0$ : $x \mapsto x^3$ est une bijection lisse strictement croissante dont la réciproque $x^{1/3}$ a une tangente verticale en $0$ — la dérivabilité de la réciproque se perd exactement là où $f'$ s’annule (Théorème 14.5).

Remarque 14.23 (Où le théorème des accroissements finis travaille ensuite)

Presque tout énoncé quantitatif des chapitres à venir est le théorème des accroissements finis de ce chapitre déguisé : le théorème fondamental de l’analyse (Chapitre 15) dérive la fonction aire et conclut par le critère de monotonie ; l’inégalité de Taylor–Lagrange (Chapitre 16) est le théorème des accroissements finis itéré $n$ fois ; l’analyse d’erreur de la méthode de Newton et des itérations de point fixe (Exercice 14.11) en est la forme lipschitzienne ; et le devoir maison de ce chapitre (Problème 14.1) transforme la même majoration lipschitzienne en théorie des nombres — une inégalité de répulsion entre nombres algébriques et rationnels, qui livre le premier nombre transcendant de l’histoire. Dans le volume de Licence 2, l’inégalité des accroissements finis survit en plusieurs variables là où l’égalité ne survit pas.

Exemple 14.24 (L’inégalité de Young par la concavité)

Soient $p, q > 1$ avec $\frac1p + \frac1q = 1$ . Pour tous $a, b > 0$ :

ab \;\leq\; \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} .

Démonstration par une seule application de la concavité de $\ln$ avec les poids $\frac1p, \frac1q$ (l’inégalité de Jensen à deux points, comme dans l’Exercice 14.9) :

\ln\Bigl(\frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\Bigr) \;\geq\; \frac1p \ln(a^p) + \frac1q \ln(b^q) = \ln a + \ln b = \ln(ab),

et la croissance de $\ln$ convertit l’inégalité entre logarithmes en l’énoncé voulu ; égalité si et seulement si $a^p = b^q$ (concavité stricte). Le cas $p = q = 2$ est l’inégalité arithmético-géométrique $ab \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$ déguisée. L’idée à retenir : l’inégalité de Young est la graine algébrique des inégalités de Hölder et de Minkowski du volume de Licence 2 — un seul énoncé de concavité sur $\ln$ , moissonné pour les normes.

Remarque 14.25 (Perspectives à l’intérieur de ce volume)

La dérivée acquiert trois nouvelles vies avant la fin du volume. Au Chapitre 16, elle s’itère : $n$ dérivées en un point se compriment en un polynôme plus une erreur contrôlée, et le théorème des accroissements finis devient le reste de Lagrange. Au Chapitre 24, la dérivation devient géométrique : pour une courbe paramétrée $t \mapsto (x(t), y(t))$ , le couple $(x'(t), y'(t))$ est un vecteur vitesse, la tangence devient colinéarité, et les points critiques deviennent des points de rebroussement à classer. Au Chapitre 25, on gèle une variable à la fois : les dérivées partielles rejouent ce chapitre deux fois, et la tangente s’épanouit en plan tangent. Ces trois chapitres héritent de la même grammaire — approximation linéaire locale plus terme d’erreur — parlée ici pour la première fois.

14.4 Exercices

Exercice 14.1 ★

Dériver (en précisant les domaines) : $x^x$ ; $\;\ln\bigl(x + \sqrt{x^2+1}\bigr)$ ; $\;\arctan\frac{1}{x}$ ; $\;\sqrt{1 + \eu^{2x}}$ .

Solution

Solution de Exercice 14.1.

$x^x = \eu^{x\ln x}$ sur $\intoo{0}{+\infty}$ : dérivée $(\ln x + 1)\,x^x$ .

$\ln(x + \sqrt{x^2+1})$ sur $\R$ (l’argument est toujours $> 0$ ) : dérivée $\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ (calculée dans la Proposition 4.21 — c’est $\operatorname{arsinh}$ ).

$\arctan\frac1x$ sur $\R^*$ : dérivée $\frac{-1/x^2}{1 + 1/x^2} = \frac{-1}{1 + x^2}$ (cohérent avec la Proposition 4.12 (2) : la fonction vaut $\pm\frac\pi2 - \arctan x$ sur chaque demi-droite).

$\sqrt{1 + \eu^{2x}}$ sur $\R$ : dérivée $\frac{\eu^{2x}}{\sqrt{1 + \eu^{2x}}}$ .

Exercice 14.2 ★

Compléter l’Exemple 14.2 : démontrer que $f(x) = x^2 \sin\frac1x$ , $f(0) = 0$ , est dérivable en $0$ avec $f'(0) = 0$ , et que $f'$ n’a pas de limite en $0$ .

Solution

Solution de Exercice 14.2.

En $0$ : $\bigl|\frac{f(h) - 0}{h}\bigr| = \abs{h \sin\frac1h} \leq \abs h \to 0$ , donc $f'(0) = 0$ . Pour $x \neq 0$ , les règles usuelles donnent $f'(x) = 2x\sin\frac1x - \cos\frac1x$ . Le long de $x_n = \frac{1}{2\pi n}$ : $f'(x_n) = 0 - 1 \to -1$ ; le long de $y_n = \frac{1}{(2n+1)\pi}$ : $f'(y_n) = 0 + 1 \to 1$ . Deux suites tendant vers $0$ avec des limites différentes de $f'$ : pas de limite (Théorème 13.3), donc $f'$ n’est pas continue en $0$ et $f$ est dérivable sans être $C^1$ .

Exercice 14.3 ★

À l’aide du théorème des accroissements finis ou des inégalités de tangente, démontrer que pour tout $x > 0$ :

\frac{x}{1 + x} < \ln(1 + x) < x .

En déduire $\lim_{n\to\infty} \bigl(1 + \frac xn\bigr)^n = \eu^x$ pour tout $x > 0$ .

Solution

Solution de Exercice 14.3.

$\ln(1+x) < x$ pour $x > 0$ : inégalité de tangente issue de la concavité en $0$ (stricte hors du point de contact puisque $\ln$ est strictement concave ; ou bien appliquer le théorème des accroissements finis : $\ln(1+x) = \frac{x}{1+c}$ pour un certain $c \in \intoo{0}{x}$ , et $\frac{x}{1+c} < x$ ). La même identité des accroissements finis donne la minoration : $\frac{x}{1+c} > \frac{x}{1+x}$ .

Conséquence : avec $x/n$ à la place de $x$ ,

\frac{x/n}{1 + x/n} < \ln\Bigl(1 + \frac xn\Bigr) < \frac xn \quad\implies\quad \frac{x}{1 + x/n} < n \ln\Bigl(1 + \frac xn\Bigr) < x .

Le membre de gauche tend vers $x$ : par encadrement, $n\ln(1 + \frac xn) \to x$ , et par continuité de $\exp$ , $\bigl(1 + \frac xn\bigr)^n = \eu^{n\ln(1 + x/n)} \to \eu^x$ .

Exercice 14.4 ★

Soit $P$ un polynôme réel ayant $k$ racines réelles distinctes. Démontrer que $P'$ a au moins $k - 1$ racines réelles distinctes, entrelacées avec celles de $P$ . En déduire que si $P$ a toutes ses racines réelles, $P'$ aussi.

Solution

Solution de Exercice 14.4.

Soient $x_1 < x_2 < \dots < x_k$ des racines distinctes de $P$ . Sur chaque $\intcc{x_i}{x_{i+1}}$ , Rolle (Théorème 14.8) produit $c_i \in \intoo{x_i}{x_{i+1}}$ avec $P'(c_i) = 0$ : cela fait $k - 1$ racines de $P'$ , distinctes car les intervalles ouverts sont disjoints — et entrelacées par construction.

Si $P$ (de degré $n$ ) a toutes ses racines réelles, écrivons-les avec leurs multiplicités $m_1 + \dots + m_k = n$ . Chaque racine de multiplicité $m_i \geq 2$ est racine de $P'$ de multiplicité $m_i - 1$ (Proposition 8.11), ce qui contribue pour $\sum (m_i - 1) = n - k$ ; Rolle contribue pour $k - 1$ de plus, toutes distinctes de celles-là. Total $\geq n - 1 = \deg P'$ : toutes les racines de $P'$ sont réelles.

Exercice 14.5 ★★

Soit $f$ dérivable sur $\R$ avec $f' (x)\to \ell$ quand $x \to +\infty$ . Démontrer que $\frac{f(x)}{x} \to \ell$ (théorème des accroissements finis sur $\intcc{A}{x}$ ). A-t-on aussi $f(x+1) - f(x) \to \ell$ ?

Solution

Solution de Exercice 14.5.

Fixons $\varepsilon > 0$ et $A$ tel que $\abs{f'(t) - \ell} \leq \varepsilon$ pour $t \geq A$ . Pour $x > A$ , le théorème des accroissements finis sur $\intcc{A}{x}$ donne $c \in \intoo{A}{x}$ avec

f(x) = f(A) + f'(c)(x - A), \qquad\text{donc}\qquad \Bigl|\frac{f(x)}{x} - \ell\Bigr| \leq \frac{\abs{f(A)} + \abs\ell A}{x} + \abs{f'(c) - \ell} \cdot\frac{x - A}{x} \leq \frac{C_A}{x} + \varepsilon .

Pour $x$ grand, $\frac{C_A}{x} \leq \varepsilon$ : d’où $\frac{f(x)}{x} \to \ell$ .

Oui : $f(x+1) - f(x) = f'(c_x)$ avec $c_x \in \intoo{x}{x+1}$ (théorème des accroissements finis sur $\intcc{x}{x+1}$ ), et $c_x \to +\infty$ , donc $f(x+1) - f(x) \to \ell$ .

Exercice 14.6 ★★

(Un Rolle discret) Soit $f$ $n$ fois dérivable sur $I$ et s’annulant en $n + 1$ points distincts. Démontrer que $f^{(n)}$ s’annule au moins une fois. Application : un polynôme de degré $\leq n$ s’annulant en $n+1$ points est nul (encore une fois).

Solution

Solution de Exercice 14.6.

Récurrence sur $n$ . Pour $n = 1$ : Rolle. Si l’énoncé vaut pour $n - 1$ : $f$ s’annule en $n+1$ points, donc, Rolle appliqué sur les $n$ intervalles intermédiaires, $f'$ s’annule en $n$ points distincts ; l’hypothèse de récurrence appliquée à $f'$ ( $n-1$ fois dérivable, $n$ zéros) fait s’annuler $(f')^{(n-1)} = f^{(n)}$ quelque part.

Application : si $P$ de degré $\leq n$ s’annule en $n+1$ points, alors $P^{(n)}$ , constante égale à $n!$ fois le coefficient dominant, s’annule : le coefficient dominant est $0$ , et l’on conclut par récurrence descendante (ou directement : tous les coefficients s’annulent).

Exercice 14.7 ★★

Soit $f$ deux fois dérivable sur $\intcc{a}{b}$ avec $f(a) = f(b) = 0$ et $f(x_0) > 0$ pour un certain $x_0$ intérieur. Démontrer que $f''(c) < 0$ pour un certain $c \in \intoo{a}{b}$ . (Deux théorèmes des accroissements finis et une comparaison de pentes.)

Solution

Solution de Exercice 14.7.

Par le théorème des accroissements finis sur $\intcc{a}{x_0}$ et sur $\intcc{x_0}{b}$ :

f'(c_1) = \frac{f(x_0) - f(a)}{x_0 - a} = \frac{f(x_0)}{x_0 - a} > 0, \qquad f'(c_2) = \frac{f(b) - f(x_0)}{b - x_0} = \frac{-f(x_0)}{b - x_0} < 0,

avec $c_1 < x_0 < c_2$ . Alors le théorème des accroissements finis appliqué à $f'$ sur $\intcc{c_1}{c_2}$ donne $c$ tel que

f''(c) = \frac{f'(c_2) - f'(c_1)}{c_2 - c_1} < 0 . \qedhere

Exercice 14.8 ★★

Étudier la fonction $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ sur $\intoo{0}{+\infty}$ : variations, limites, maximum. En déduire que $a^b > b^a$ pour tous réels $\eu \leq a < b$ , et trancher le fameux cas particulier : lequel de $\eu^\pi$ , $\pi^\eu$ est le plus grand ? Confronter aux petits couples d’entiers $(2,3)$ et $(2,4)$ : pourquoi se comportent-ils différemment ?

Solution

Solution de Exercice 14.8.

$f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$ : $f$ croît sur $\intoc{0}{\eu}$ , décroît sur $\intco{\eu}{+\infty}$ , avec pour maximum $f(\eu) = \frac1\eu$ ; limites $-\infty$ en $0^+$ et $0$ en $+\infty$ (croissances comparées).

Pour $\eu \leq a < b$ : $f$ y étant strictement décroissante, on a $\frac{\ln a}{a} > \frac{\ln b}{b}$ , c’est-à-dire $b \ln a > a \ln b$ , c’est-à-dire $a^b > b^a$ .

Avec $a = \eu < b = \pi$ : $\eu^\pi > \pi^\eu$ .

Petits couples : $(2, 3)$ : $2^3 = 8 < 9 = 3^2$ — inversé ! La raison : $2 < \eu$ , et sur $\intoo{0}{\eu}$ la fonction $f$ est croissante, de sorte que la comparaison bascule lorsque les deux nombres sont en dessous de $\eu$ , et est imprévisible de part et d’autre de $\eu$ ( $f(2) = f(4)$ explique l’égalité $2^4 = 4^2 = 16$ ).

Exercice 14.9 ★★

(Inégalité arithmético-géométrique) À l’aide de la concavité de $\ln$ avec des poids quelconques (inégalité de Jensen à $n$ points, à démontrer par récurrence sur $n$ ), montrer que pour des réels strictement positifs $a_1, \dots, a_n$ :

\sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \leq \frac{a_1 + \dots + a_n}{n},

avec égalité si et seulement si tous les $a_i$ sont égaux.

Solution

Solution de Exercice 14.9.

Jensen pour $\ln$ , par récurrence sur $n$ . Affirmation : pour des $x_i$ strictement positifs et des poids $\lambda_i > 0$ avec $\sum \lambda_i = 1$ : $\ln\bigl(\sum \lambda_i x_i\bigr) \geq \sum \lambda_i \ln x_i$ . Pour $n = 2$ , c’est la concavité. Hérédité : avec $\Lambda = \lambda_1 + \dots + \lambda_{n-1} = 1 - \lambda_n$ et $y = \sum_{i<n} \frac{\lambda_i}{\Lambda} x_i$ ,

\ln\Bigl(\sum_{i \leq n} \lambda_i x_i\Bigr) = \ln\bigl(\Lambda y + \lambda_n x_n\bigr) \geq \Lambda \ln y + \lambda_n \ln x_n \geq \Lambda \sum_{i<n} \frac{\lambda_i}{\Lambda}\ln x_i + \lambda_n \ln x_n,

en utilisant la concavité ( $n = 2$ ) puis l’hypothèse de récurrence.

Avec $\lambda_i = \frac 1n$ et $x_i = a_i$ : $\ln\frac{\sum a_i}{n} \geq \frac 1n \sum \ln a_i = \ln\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}$ ; il ne reste qu’à passer à l’exponentielle. Égalité : $\ln$ est strictement concave ( $\ln'' < 0$ ), donc l’égalité à chaque étape force les points moyennés à coïncider — c’est-à-dire tous les $a_i$ égaux ; et s’ils sont tous égaux, l’égalité est claire.

Exercice 14.10 ★★★

(Darboux : les dérivées prennent les valeurs intermédiaires) Soit $f$ dérivable sur $I$ et $a < b$ dans $I$ avec $f'(a) < v < f'(b)$ . En considérant $g(x) = f(x) - vx$ et le point où $g$ atteint son minimum sur $\intcc{a}{b}$ , démontrer que $f'(c) = v$ pour un certain $c \in \intoo{a}{b}$ — alors même que $f'$ n’est pas nécessairement continue (Exercice 14.2).

Solution

Solution de Exercice 14.10.

Posons $g(x) = f(x) - vx$ : dérivable, avec $g'(a) = f'(a) - v < 0$ et $g'(b) = f'(b) - v > 0$ . Par le théorème des bornes atteintes, $g$ atteint son minimum sur $\intcc{a}{b}$ en un certain $c$ . Ce n’est pas en $a$ : puisque $g'(a) < 0$ , les points juste à droite de $a$ vérifient $g < g(a)$ . Ce n’est pas en $b$ : puisque $g'(b) > 0$ , les points juste à gauche de $b$ vérifient $g < g(b)$ . Donc $c$ est intérieur, et la Proposition 14.7 donne $g'(c) = 0$ , c’est-à-dire $f'(c) = v$ .

Exercice 14.11 ★★★

Soit $f \colon \R \to \R$ dérivable avec $\abs{f'(x)} \leq k < 1$ pour tout $x$ (une contraction). Démontrer que $f$ a exactement un point fixe $\ell$ , et que toute suite $u_{n+1} = f(u_n)$ converge vers $\ell$ avec $\abs{u_n - \ell} \leq k^n\abs{u_0 - \ell}$ . (Existence : appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à $f(x) - x$ sur un grand segment, en utilisant la majoration lipschitzienne ; ou utiliser la complétude avec le critère de Cauchy.)

Solution

Solution de Exercice 14.11.

Unicité : deux points fixes $\ell \neq \ell'$ donneraient $\abs{\ell - \ell'} = \abs{f(\ell) - f(\ell')} \leq k\abs{\ell - \ell'} < \abs{\ell - \ell'}$ , absurde.

Existence : $g(x) = f(x) - x$ vérifie, par l’inégalité des accroissements finis, $f(x) \leq f(0) + k\abs x$ ; donc pour $x \geq \frac{\abs{f(0)}}{1 - k}$ , $g(x) \leq f(0) + kx - x \leq 0$ , et symétriquement $g(-x) \geq 0$ pour $x$ grand. Le théorème des valeurs intermédiaires donne un zéro $\ell$ de $g$ : un point fixe.

Convergence : de nouveau l’inégalité des accroissements finis :

\abs{u_{n+1} - \ell} = \abs{f(u_n) - f(\ell)} \leq k\abs{u_n - \ell},

donc par récurrence $\abs{u_n - \ell} \leq k^n \abs{u_0 - \ell} \to 0$ .

Exercice 14.12 ★★★

(Théorème des accroissements finis généralisé de Cauchy et règle de l’Hospital)

Soient $f, g$ continues sur $\intcc{a}{b}$ , dérivables sur $\intoo{a}{b}$ , avec $g'$ ne s’annulant jamais sur cet intervalle. Démontrer que $g(b) \neq g(a)$ et qu’un certain $c \in \intoo{a}{b}$ vérifie

$\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$

(appliquer Rolle à $h = f - \lambda g$ pour la bonne constante $\lambda$ ).
En déduire la règle de l’Hospital sous la forme $\frac00$ en un point : si $f(a) = g(a) = 0$ et $\frac{f'(x)}{g'(x)} \to \ell$ quand $x \to a^+$ , alors $\frac{f(x)}{g(x)} \to \ell$ .
Montrer que la réciproque est fausse : pour $f(x) = x^2\sin\frac1x$ ( $f(0) = 0$ ) et $g(x) = x$ , le quotient $\frac{f}{g}$ a une limite en $0$ mais $\frac{f'}{g'}$ n’en a pas.

Solution

Solution de Exercice 14.12.

Si $g(b) = g(a)$ , Rolle donnerait un zéro intérieur de $g'$ : exclu. Posons $\lambda = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$ et $h = f - \lambda g$ : $h$ est continue sur $\intcc{a}{b}$ , dérivable à l’intérieur, et $h(b) - h(a) = f(b) - f(a) - \lambda(g(b) - g(a)) = 0$ . Rolle fournit $c$ tel que $h'(c) = 0$ , c’est-à-dire $f'(c) = \lambda\,g'(c)$ ; il ne reste qu’à diviser par $g'(c) \neq 0$ .
Pour $x > a$ proche de $a$ , la partie (1) sur $\intcc{a}{x}$ (où $g' \neq 0$ ) donne $g(x) \neq 0$ et $c_x \in \intoo{a}{x}$ avec

$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(c_x)}{g'(c_x)} .$

Quand $x \to a^+$ , $c_x \to a^+$ (encadrement), donc le membre de droite tend vers $\ell$ : $\frac{f}{g} \to \ell$ .
$\frac{f(x)}{g(x)} = x\sin\frac1x \to 0$ , tandis que $\frac{f'(x)}{g'(x)} = 2x\sin\frac1x - \cos\frac1x$ n’a pas de limite en $0$ (Exercice 14.2) : la règle de l’Hospital ne transfère l’information que de $\frac{f'}{g'}$ vers $\frac fg$ , jamais en sens inverse.

14.5 Problème : l’inégalité de Liouville et le premier nombre transcendant

Problème 14.1

Devoir maison — les nombres algébriques repoussent les rationnels : $\abs{x - p/q} \geq C/q^d$ , et la transcendance de $\sum 10^{-n!}$

Un nombre réel est algébrique lorsqu’il est racine d’un polynôme non nul à coefficients entiers, et transcendant sinon. En 1844, Liouville produisit le premier nombre dont la transcendance ait jamais été démontrée, et le moteur de sa démonstration est le théorème des accroissements finis de ce chapitre : un nombre algébrique de degré $d$ ne peut pas être approché par des rationnels mieux que $C/q^d$ — de sorte qu’un nombre approchable plus vite que toute puissance ne peut pas être algébrique. Ce problème construit l’inégalité, construit le nombre de Liouville $L = 0.110001000\dots$ (des uns aux positions factorielles, via la machinerie des chiffres du Problème 10.1), démontre sa transcendance, et se termine par la démonstration rivale de Cantor et des bornes effectives pour $\sqrt2$ et $2^{1/3}$ .

Partie I — Avec quelle précision peut-on approcher les rationnels ?

Montrer que deux rationnels distincts $\frac ab \neq \frac pq$ (écrits avec $b, q \geq 1$ ) vérifient $\bigl|\frac ab - \frac pq\bigr| \geq \frac{1}{bq}$ . En déduire : si $x = \frac ab$ et $0 < \bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{1}{bq}$ , aucun tel $\frac pq$ n’existe — un rationnel repousse tous les autres rationnels à l’échelle $\frac 1q$ .
Démontrer que pour tout rationnel $\frac pq$ ( $q \geq 1$ ) : $\bigl|\sqrt2 - \frac pq\bigr| \geq \frac{1}{4q^2}$ (si la distance dépasse $1$ , c’est clair ; sinon, majorer $\abs{\sqrt2 + p/q} < 4$ et utiliser l’entier non nul $\abs{p^2 - 2q^2} \geq 1$ ).
Dans l’autre sens : vérifier que $(p, q) \mapsto (p + 2q, p + q)$ préserve $\abs{p^2 - 2q^2} = 1$ , engendrer à partir de $(1,1)$ les couples $(3,2)$ , $(7,5)$ , $(17,12)$ , $(41,29)$ , $(99,70)$ , et montrer que chacun vérifie

$\Bigl|\sqrt2 - \frac pq\Bigr| = \frac{1}{q^2\,(\sqrt2 + p/q)} < \frac{1}{2q^2} :$

soit une infinité d’approximations d’ordre $2$ . Avec la question 2 : l’exposant d’approximation de $\sqrt 2$ vaut exactement $2$ .
(Dirichlet) Soit $x$ irrationnel et $N \in \N^*$ . Considérer les $N + 1$ parties fractionnaires de $0, x, 2x, \dots, Nx$ dans les $N$ boîtes $\intco{\frac kN}{\frac{k + 1}{N}}$ : par le principe des tiroirs (Corollaire 2.3), deux d’entre elles tombent dans une même boîte. En déduire $q \leq N$ et $p$ avec $\abs{qx - p} < \frac 1N$ , donc une infinité de rationnels avec $\bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{1}{q^2}$ : tout irrationnel est approchable à l’ordre $2$ .

Partie II — L’inégalité de Liouville. Soit $x$ irrationnel et algébrique.

Montrer que parmi les polynômes non nuls à coefficients entiers s’annulant en $x$ il y en a un, disons $P$ de degré $d$ , sans racine rationnelle ; et vérifier $d \geq 2$ (factoriser un facteur $X - \frac ab$ sur $\Q$ et chasser les dénominateurs ; un degré $1$ rendrait $x$ rationnel).
Montrer que pour tout rationnel $\frac pq$ ( $q \geq 1$ ) : $\bigl|P\bigl(\frac pq\bigr)\bigr| \geq \frac{1}{q^d}$ ( $q^d P(p/q)$ est un entier non nul).
Soit $M = \max_{\intcc{x-1}{x+1}} \abs{P'}$ (Théorème 13.13). À l’aide du théorème des accroissements finis entre $x$ et $\frac pq$ , démontrer l’inégalité de Liouville : avec $C = \min\bigl(1, \frac 1M\bigr) > 0$ ,

$\Bigl| x - \frac pq \Bigr| \geq \frac{C}{q^{\,d}} \qquad\text{pour tout rationnel } \frac pq,\ q \geq 1 .$
On dit que $x$ est un nombre de Liouville lorsque, pour tout $n \in \N$ , il existe un rationnel $\frac pq$ avec $q \geq 2$ et $0 < \bigl|x - \frac pq\bigr| < q^{-n}$ . Démontrer qu’un nombre de Liouville est irrationnel (question 1 : choisir $n$ tel que $2^{\,n-1} > b$ ).
Démontrer le théorème de Liouville : un nombre de Liouville est transcendant (combiner les questions 7 et 8 : l’inégalité $C < q^{\,d-n}$ tombe en défaut pour $n$ grand).

Partie III — Le nombre $L$ .

Soit $L$ la valeur (au sens du Problème 10.1) de la suite de chiffres décimaux valant $1$ aux positions $n!$ ( $n = 1, 2, 3, \dots$ ) et $0$ ailleurs, c’est-à-dire $L = \sup_k t_k$ avec $t_k = \sum_{n=1}^{k} 10^{-n!}$ . Écrire les $25$ premiers chiffres de $L$ .
Démontrer l’encadrement du reste, pour tout $k \geq 1$ :

$10^{-(k+1)!} \;\leq\; L - t_k \;\leq\; \frac{10}{9}\,10^{-(k+1)!} \;<\; 2\cdot 10^{-(k+1)!}$

(majorer toute somme partielle au-delà de $t_k$ par une somme géométrique finie).
Écrire $t_k = \frac{p_k}{q_k}$ avec $q_k = 10^{k!}$ . Montrer $0 < L - \frac{p_k}{q_k} < \frac{2}{q_k^{\,k+1}}$ , et conclure que $L$ est un nombre de Liouville au sens de la question 8.
Conclure : $L$ est transcendant — le premier exemple explicite de l’histoire (Liouville, 1844). Recouper directement son irrationalité : ses chiffres ne sont pas périodiques à partir d’un certain rang (écarts croissants, comme au Problème 10.1, question 20).
Généraliser : remplacer chaque chiffre $1$ par un chiffre non nul quelconque $d_n \in \intint{1}{9}$ . Montrer que la valeur est encore un nombre de Liouville, et en déduire — par l’argument diagonal du Problème 10.1 (question 22) appliqué à ces choix de chiffres — qu’il existe une infinité non dénombrable de nombres transcendants de cette forme.

Partie IV — La hiérarchie des ordres d’approximation. On dit que $x$ est approchable à l’ordre $\mu$ lorsque, pour une certaine constante $c > 0$ , une infinité de rationnels vérifient $\bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{c}{q^{\mu}}$ .

Assembler la hiérarchie à partir des parties I à III : les rationnels sont approchables à l’ordre $1$ et pas mieux ; $\sqrt 2$ à l’ordre $2$ et pas mieux ; tout irrationnel à l’ordre $2$ au moins ; un nombre algébrique de degré $d$ à aucun ordre au-delà de $d$ ; les nombres de Liouville à tout ordre. Justifier chaque affirmation en citant la question pertinente.
Montrer que $L + r$ est un nombre de Liouville pour tout rationnel $r = \frac ab$ (translater les approximants : les nouveaux dénominateurs sont $b\,q_k$ ). En déduire que les nombres de Liouville — donc les nombres transcendants — sont denses dans $\R$ .
(Cantor, 1874) Démontrer que l’ensemble des nombres algébriques est dénombrable : il n’y a qu’un nombre fini de polynômes à coefficients entiers dont le degré plus la somme des $\abs{\text{coefficients}}$ est majoré par $h$ , chacun ayant au plus $\deg$ racines ; une réunion dénombrable d’ensembles finis est dénombrable. Puisqu’aucune suite n’épuise $\R$ (Problème 10.1, question 22), il existe des nombres transcendants — ils forment même un ensemble non dénombrable. Comparer les deux démonstrations : que donne celle de Liouville que celle de Cantor ne peut pas donner ?
Démontrer directement, à partir de la question 2, que $\sqrt 2$ n’est pas un nombre de Liouville (pour $n \geq 3$ , l’inégalité $q^{-n} > \frac{1}{4q^2}$ borne $q$ ; il ne reste alors qu’un nombre fini de rationnels candidats, tous à distance strictement positive de $\sqrt2$ ). Généraliser : aucun nombre algébrique n’est de Liouville.

Partie V — Constantes effectives.

Pour le couple de Pell $(99, 70)$ : vérifier $99^2 - 2\cdot70^2 = 1$ et évaluer l’erreur exacte

$\sqrt2 - \frac{99}{70} = \frac{-1}{70^2\,\bigl(\sqrt2 + \frac{99}{70}\bigr)}, \qquad \Bigl|\sqrt 2 - \frac{99}{70}\Bigr| \approx 7.2\cdot 10^{-5} :$

cinq chiffres corrects pour une fraction à trois chiffres.
Faire tourner la partie II sur $x = 2^{1/3}$ , $P = X^3 - 2$ : vérifier que $P$ n’a pas de racine rationnelle, majorer $M = \max_{\intcc{x-1}{x+1}} 3t^2 \leq 3\,(1 + 2^{1/3})^2 < 16$ , et conclure l’inégalité effective

$\Bigl| 2^{1/3} - \frac pq \Bigr| \geq \frac{1}{16\,q^3} \qquad \text{pour tout } \frac pq .$
Le gain : montrer que tout rationnel approchant $2^{1/3}$ à $10^{-6}$ près doit avoir un dénominateur $q \geq 40$ .
Montrer que la base $10$ n’y est pour rien : l’analogue binaire $\sum_{n\geq1} 2^{-n!}$ (valeur de la suite binaire ayant des uns aux positions factorielles) est aussi un nombre de Liouville, donc transcendant.

Partie VI — Frontières et synthèse.

Soit $x^\dagger$ la valeur de la suite décimale ayant des uns exactement aux positions $3^k$ ( $k \geq 0$ ). Montrer que $x^\dagger$ est approchable à l’ordre $3$ , et déduire de l’inégalité de Liouville que $x^\dagger$ n’est ni rationnel ni un irrationnel quadratique. Expliquer pourquoi la méthode s’arrête là : l’ordre $3$ est compatible avec l’algébricité de degré $\geq 3$ , et combler cet écart (tout exposant $> 2$ suffit, pour tout nombre algébrique) est le théorème de Roth, bien au-delà de ce volume.
Quantifier Cantor : montrer que les nombres algébriques de degré $\leq d$ fournis par des polynômes à coefficients dans $\intint{-H}{H}$ sont au plus $d\,(2H + 1)^{d+1}$ . (C’est cette finitude qui a fait fonctionner la question 17.)
Synthèse, une phrase pour chaque point : (i) localiser l’unique ingrédient analytique de la démonstration de Liouville (quel théorème de ce chapitre, utilisé où) ; (ii) énoncer la tension qui l’alimente (le caractère entier force $\abs{P(p/q)} \geq q^{-d}$ , la régularité interdit $\abs{P(p/q)} > M\abs{x - p/q}$ ) ; (iii) opposer les démonstrations de Liouville et de Cantor de l’existence de nombres transcendants ; (iv) nommer l’endroit où ce volume retrouve le thème — le devoir maison du Chapitre 15 démontre l’irrationalité de $\pi$ par le même étau « caractère entier contre petitesse », avec des intégrales à la place des dérivées.

Solution

Solution de Problème 14.1.

1. $\bigl|\frac ab - \frac pq\bigr| = \frac{\abs{aq - bp}}{bq}$ , et $aq - bp$ est un entier non nul lorsque les fractions diffèrent : la distance est $\geq \frac{1}{bq}$ . Donc aucun rationnel autre que $x$ lui-même n’entre dans l’intervalle épointé de rayon $\frac{1}{bq}$ autour de $x = \frac ab$ .

2. Si $\bigl|\sqrt2 - \frac pq\bigr| \geq 1 \geq \frac{1}{4q^2}$ , c’est fini. Sinon $\frac pq \in \intoo{\sqrt2 - 1}{\sqrt2 + 1}$ , donc $0 < \sqrt2 + \frac pq < 2\sqrt2 + 1 < 4$ . Puisque $\sqrt 2 \notin \Q$ , $p^2 - 2q^2$ est un entier non nul, et

\Bigl|\sqrt2 - \frac pq\Bigr| = \frac{\abs{2q^2 - p^2}}{q^2\,\bigl(\sqrt2 + \frac pq\bigr)} \geq \frac{1}{4q^2} .

3. $(p + 2q)^2 - 2(p + q)^2 = -(p^2 - 2q^2)$ : la valeur $\pm1$ se propage. À partir de $(1,1)$ :

(3,2),\ (7,5),\ (17,12),\ (41,29),\ (99,70),

avec $p^2 - 2q^2$ alternant $-1, +1, \dots$ Pour ces couples, $\frac pq \geq 1$ , donc $\sqrt2 + \frac pq > 2$ et

\Bigl|\sqrt2 - \frac pq\Bigr| = \frac{1}{q^2(\sqrt2 + p/q)} < \frac{1}{2q^2} ,

avec $q \to \infty$ : une infinité d’approximations d’ordre $2$ . Avec la question 2, l’exposant $2$ est exact pour $\sqrt 2$ .

4. Les $N + 1$ nombres $kx - \lfloor kx\rfloor$ ( $0 \leq k \leq N$ ) sont dans les $N$ boîtes $\intco{\frac jN}{\frac{j+1}{N}}$ : deux partagent une boîte (Corollaire 2.3), disons pour $i < j$ . Avec $q = j - i \leq N$ et $p = \lfloor jx\rfloor - \lfloor ix\rfloor$ : $\abs{qx - p} < \frac1N$ , donc $\bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{1}{Nq} \leq \frac{1}{q^2}$ . En faisant $N \to \infty$ : puisque $x$ est irrationnel, chaque fraction fixée est à distance strictement positive de $x$ , tandis que $\frac{1}{Nq} \leq \frac 1N \to 0$ force de nouvelles fractions à apparaître : une infinité de $\frac pq$ distincts avec $\bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{1}{q^2}$ .

5. Partons d’un polynôme non nul $P_0$ à coefficients entiers avec $P_0(x) = 0$ . Si $P_0$ a une racine rationnelle $\frac ab$ , le théorème de factorisation (Théorème 8.7) écrit $P_0 = \bigl(X - \frac ab\bigr)Q$ avec $Q \in \Q[X]$ ; puisque $x \neq \frac ab$ ( $x$ irrationnel), $Q(x) = 0$ , et chasser les dénominateurs donne un polynôme à coefficients entiers non nul de degré plus petit s’annulant en $x$ . Le degré décroît à chaque étape, donc le processus s’arrête : on atteint $P \in \Z[X]$ , $P(x) = 0$ , sans racine rationnelle, d’un certain degré $d$ . Si $d \leq 1$ , $P = uX + v$ rendrait $x = -\frac vu$ rationnel : donc $d \geq 2$ .

6. $q^d\,P\bigl(\frac pq\bigr) = a_d p^d + a_{d-1} p^{d-1} q + \dots + a_0 q^d$ est un entier, et il est non nul parce que $P$ n’a pas de racine rationnelle : $\bigl|P\bigl(\frac pq\bigr)\bigr| \geq q^{-d}$ .

7. Remarquons que $M > 0$ : $P'$ est un polynôme non nul ( $d \geq 2$ ), il ne peut donc pas s’annuler identiquement sur $\intcc{x-1}{x+1}$ . Si $\bigl|x - \frac pq\bigr| > 1$ , alors la quantité dépasse trivialement $\frac{C}{q^d}$ . Sinon $\frac pq \in \intcc{x-1}{x+1}$ et le théorème des accroissements finis (Théorème 14.9) donne $c$ entre $x$ et $\frac pq$ tel que

\Bigl|P\Bigl(\frac pq\Bigr)\Bigr| = \Bigl|P\Bigl(\frac pq\Bigr) - P(x)\Bigr| = \abs{P'(c)}\,\Bigl|x - \frac pq\Bigr| \leq M\,\Bigl|x - \frac pq\Bigr| ,

donc, avec la question 6 : $\bigl|x - \frac pq\bigr| \geq \frac{1}{Mq^d} \geq \frac{C}{q^d}$ .

8. Supposons que $x = \frac ab$ soit de Liouville. Choisissons $n$ tel que $2^{n-1} > b$ et le $\frac pq$ correspondant, $q \geq 2$ :

0 < \Bigl|x - \frac pq\Bigr| < \frac{1}{q^n} = \frac{1}{q^{n-1}\,q} \leq \frac{1}{2^{n-1} q} < \frac{1}{bq} ,

en contradiction avec la question 1. Les nombres de Liouville sont donc irrationnels.

9. Si un nombre de Liouville $x$ était algébrique : il est irrationnel (question 8), donc les questions 5 à 7 fournissent $d \geq 2$ et $C > 0$ avec $\bigl|x - \frac pq\bigr| \geq \frac{C}{q^d}$ toujours. Pour chaque $n$ , l’approximant de Liouville donne $\frac{C}{q^d} < q^{-n}$ , c’est-à-dire $C < q^{d-n} \leq 2^{d-n}$ (car $q \geq 2$ ). Pour $n$ grand, $2^{d-n} < C$ : contradiction. Les nombres de Liouville sont transcendants.

10. Des uns aux positions $1, 2, 6, 24$ ; tous les autres chiffres parmi les $25$ premiers sont nuls :

L = 0.1100010000\,0000000000\,00010\dots

11. Pour $m > k$ , les positions $n!$ avec $n > k$ sont des entiers distincts $\geq (k+1)!$ , donc la somme géométrique finie donne

t_m - t_k = \sum_{n=k+1}^{m} 10^{-n!} \leq \sum_{j = (k+1)!}^{m!} 10^{-j} < 10^{-(k+1)!}\,\frac{1}{1 - \frac1{10}} = \frac{10}{9}\,10^{-(k+1)!} ;

en prenant la borne supérieure sur $m$ : $L - t_k \leq \frac{10}{9}10^{-(k+1)!} < 2\cdot10^{-(k+1)!}$ . Minoration : $L \geq t_{k+1} = t_k + 10^{-(k+1)!}$ .

12. $p_k = 10^{k!}\,t_k \in \N$ , $q_k = 10^{k!}$ , et $(k+1)! = (k+1)\,k!$ donne $10^{-(k+1)!} = q_k^{-(k+1)}$ : la question 11 s’écrit

0 < L - \frac{p_k}{q_k} < \frac{2}{q_k^{\,k+1}} .

Étant donné $n$ : pour $k \geq n$ , $2\,q_k^{-(k+1)} \leq q_k^{-n}$ (en effet $q_k^{\,k+1-n} \geq q_k \geq 10 > 2$ ), et $q_k \geq 2$ : la définition de la question 8 est satisfaite. $L$ est un nombre de Liouville.

13. Par la question 9, $L$ est transcendant — le premier nombre de l’histoire dont la transcendance ait été démontrée (Liouville, 1844). Recoupement par les chiffres : la suite a une infinité de uns avec des écarts consécutifs $(k+1)! - k! = k\cdot k! \to \infty$ , elle n’est donc pas périodique à partir d’un certain rang, et $L \notin \Q$ par le critère de périodicité du Problème 10.1 (question 18) — cohérent.

14. Avec des chiffres $d_n \in \intint{1}{9}$ aux positions factorielles : la majoration du reste de la question 11 est multipliée par au plus $9$ : $0 < L' - t'_k \leq 9\cdot\frac{10}{9}\,10^{-(k+1)!} = 10\,q_k^{-(k+1)}$ (positivité parce que le chiffre à la position $(k+1)!$ est non nul). Pour $k \geq n$ : $10\,q_k^{-(k+1)} \leq q_k^{-n}$ puisque $q_k^{\,k+1-n} \geq 10$ : de nouveau un nombre de Liouville, donc transcendant. Ces valeurs sont deux à deux distinctes pour des choix de chiffres distincts (les suites sont propres — les zéros y abondent — et les suites propres déterminent leur valeur, Problème 10.1, question 10). Étant donné une liste quelconque $k \mapsto x_k$ de ces nombres, choisissons le $k$ -ième chiffre factoriel dans $\intint{1}{9}$ différent de celui de $x_k$ : on obtient un nombre de la même forme absent de la liste. Une infinité non dénombrable de transcendants explicites.

15. D’abord un lemme : si $\bigl|x - \frac pq\bigr| \geq \frac{C}{q^s}$ pour tout $\frac pq \neq x$ , alors $x$ n’est approchable à aucun ordre $\mu > s$ . En effet, une infinité de $\frac pq \neq x$ avec $\bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{c}{q^\mu}$ forcerait $\frac{C}{q^s} < \frac{c}{q^\mu}$ , c’est-à-dire $q^{\mu - s} < \frac cC$ : les $q$ sont bornés, et seul un nombre borné de fractions se trouve à distance au plus $1$ de $x$ — un nombre fini de candidats, non une infinité. Passons à la hiérarchie : les rationnels sont approchables à l’ordre $1$ ( $\frac pq$ avec $p = \lfloor qx\rfloor + 1$ donne une erreur $\leq \frac1q < \frac2q$ ) et à aucun ordre $\mu > 1$ (la question 1 donne l’hypothèse du lemme avec $s = 1$ , $C = \frac1b$ ) ; $\sqrt2$ : ordre $2$ (question 3) et pas plus (question 2 et le lemme) ; tout irrationnel : au moins $2$ (question 4) ; un algébrique de degré $d$ : au plus $d$ (question 7 et le lemme) ; les nombres de Liouville : tout ordre (la formule affichée de la question 12, avec $c = 2$ ).

16. Avec $r = \frac ab$ : $\frac{p_k}{q_k} + \frac ab = \frac{b p_k + a q_k}{b q_k} =: \frac{P_k}{Q_k}$ , $Q_k = b q_k \geq 2$ , et

\Bigl|(L + r) - \frac{P_k}{Q_k}\Bigr| = L - \frac{p_k}{q_k} < 2\,q_k^{-(k+1)} = 2\,b^{\,k+1} Q_k^{-(k+1)} .

Étant donné $n$ : pour $k$ grand, $Q_k^{\,k+1-n} \geq Q_k = b\,10^{k!} \geq 2\,b^{\,k+1}$ (la factorielle écrase la puissance), donc l’erreur est $< Q_k^{-n}$ : $L + r$ est de Liouville. Puisque $\Q$ est dense et que chaque $L + r$ est transcendant, les nombres transcendants sont denses dans $\R$ .

17. Pour $h \geq 1$ il n’y a qu’un nombre fini de $P \in \Z[X]$ avec $\deg P + \sum_i \abs{a_i} \leq h$ (degré $\leq h$ et chaque coefficient dans $\intint{-h}{h}$ : au plus $(2h+1)^{h+1}$ ). Tout polynôme non nul à coefficients entiers a une telle hauteur, et a au plus $\deg P$ racines réelles : les nombres algébriques forment une réunion dénombrable (sur $h$ ) d’ensembles finis, ils peuvent donc être listés en une seule suite. Si les transcendants pouvaient eux aussi être listés, entrelacer les deux listes listerait $\R$ , en contradiction avec le Problème 10.1 (question 22). Donc les nombres transcendants forment un ensemble non dénombrable. Comparaison : Cantor démontre que la plupart des réels sont transcendants sans en exhiber aucun ; Liouville en exhibe un, avec des constantes effectives (partie V) — existence par abondance contre existence par construction.

18. D’après la question 2, l’hypothèse du lemme est vérifiée avec $s = 2$ , $C = \frac14$ . Si $\sqrt2$ était de Liouville, alors pour $n = 3$ : $\frac{1}{4q^2} < q^{-3}$ force $q < 4$ , donc $q \in \{2, 3\}$ ; seul un nombre fini de $\frac pq$ avec ces $q$ se trouve à distance au plus $1$ de $\sqrt2$ , chacun à une distance strictement positive $\geq \varepsilon_0$ ( $\sqrt2$ irrationnel) ; choisir $n$ tel que $2^{-n} < \varepsilon_0$ ne laisse plus aucun $\frac pq$ admissible : contradiction. Le même argument avec $\frac{C}{q^d}$ montre qu’aucun nombre algébrique n’est de Liouville — la question 9 en habits effectifs.

19. $99^2 - 2\cdot70^2 = 9801 - 9800 = 1$ . D’où

\sqrt2 - \frac{99}{70} = \frac{2 - (99/70)^2}{\sqrt2 + 99/70} = \frac{-1}{4900\,\bigl(\sqrt2 + \tfrac{99}{70}\bigr)} , \qquad \Bigl|\sqrt2 - \frac{99}{70}\Bigr| = \frac{1}{4900 \times 2.8284\dots} \approx 7.2\cdot10^{-5} :

$\frac{99}{70} = 1.414285\dots$ contre $\sqrt2 = 1.414213\dots$ — cinq chiffres corrects.

20. Test des racines rationnelles pour $P = X^3 - 2$ : les candidats $\pm1, \pm2, \pm\frac12$ ne sont pas racines. Donc $d = 3$ et la partie II s’applique à $x = 2^{1/3} = 1.2599\dots$ Sur $\intcc{x - 1}{x + 1} \subseteq \intcc{0.25}{2.26}$ : $\abs{P'(t)} = 3t^2 \leq 3\,(1 + 2^{1/3})^2 < 3\times(2.26)^2 = 15.32 < 16$ , donc $M < 16$ et $C \geq \frac{1}{16}$ :

\Bigl|2^{1/3} - \frac pq\Bigr| \geq \frac{1}{16\,q^3} \qquad\text{pour tout rationnel.}

21. Si $\bigl|2^{1/3} - \frac pq\bigr| < 10^{-6}$ , alors $\frac{1}{16 q^3} < 10^{-6}$ , c’est-à-dire $q^3 > \frac{10^6}{16} = 62\,500$ ; puisque $39^3 = 59\,319 < 62\,500 \leq 64\,000 = 40^3$ : $q \geq 40$ .

22. Refaisons tourner la partie III en base $2$ : $B = \sup_k \sum_{n\leq k} 2^{-n!}$ , $q_k = 2^{k!}$ , et le reste géométrique (de raison $\frac12$ ) donne $0 < B - \frac{p_k}{q_k} \leq 2\cdot2^{-(k+1)!} = 2\,q_k^{-(k+1)} \leq q_k^{-n}$ pour $k \geq n$ . Donc $B$ est de Liouville, donc transcendant : rien dans l’argument n’est décimal.

23. Avec des uns aux positions $3^k$ : $q_k = 10^{3^k}$ et la majoration du reste donne $0 < x^\dagger - \frac{p_k}{q_k} < 2\cdot10^{-3^{k+1}} = 2\,q_k^{-3}$ (car $3^{k+1} = 3\cdot3^k$ ) : une infinité d’approximations d’ordre $3$ . Par le lemme de la question 15 : l’ordre $3 > 1$ exclut la rationalité, et l’ordre $3 > 2$ exclut d’être un irrationnel quadratique (dont l’inégalité de Liouville a $s = d = 2$ ). Mais un nombre algébrique de degré $\geq 3$ n’est repoussé qu’à l’ordre $d \geq 3$ : la méthode de Liouville ne peut pas séparer $x^\dagger$ des cubiques. L’écart est comblé par le théorème de Roth — tout irrationnel algébrique a un ordre d’approximation exactement égal à $2$ — un résultat du vingtième siècle bien au-delà de ce volume ; en l’admettant, $x^\dagger$ est lui aussi transcendant.

24. Il y a au plus $(2H+1)^{d+1}$ uplets $(a_0, \dots, a_d)$ à entrées dans $\intint{-H}{H}$ , et chaque polynôme non nul parmi eux a au plus $d$ racines réelles : au plus $d\,(2H+1)^{d+1}$ nombres algébriques apparaissent — la finitude qui a permis à la question 17 de tous les énumérer.

25. (i) L’unique ingrédient analytique est le théorème des accroissements finis, à la question 7, qui convertit l’annulation $P(x) = 0$ en la répulsion lipschitzienne $\abs{P(p/q)} \leq M\abs{x - p/q}$ . (ii) La tension : le caractère entier pousse $\abs{P(p/q)}$ vers le haut, jusqu’à $q^{-d}$ , la régularité le tire vers le bas, jusqu’à $M\abs{x - p/q}$ — un rationnel trop proche de $x$ serait écrasé entre les deux. (iii) Liouville construit un transcendant avec des constantes effectives ; Cantor montre que presque tous les réels sont transcendants sans en nommer aucun : construction contre cardinalité. (iv) Le devoir maison du Chapitre 15 démontre l’irrationalité de $\pi$ par le même étau — une intégrale qui serait un entier strictement positif tout en étant piégée dans $\intoo{0}{1}$ — avec l’intégration remplaçant la dérivation comme moitié analytique.