Qu'est-ce que « fonction en escalier » ? — Mathématiques

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Définition 15.1 Mathématiques universitaires — Licence 1 · অধ্যায় 15 — Intégration sur un segment

$\varphi \colon \intcc{a}{b} \to \R$ est une fonction en escalier lorsqu’il existe une subdivision $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ telle que $\varphi$ soit constante, égale à $c_i$ , sur chaque intervalle ouvert $\intoo{x_{i-1}}{x_i}$ (les valeurs aux nœuds sont quelconques). Son intégrale est

\int_a^b \varphi = \sum_{i=1}^{n} c_i\,(x_i - x_{i-1}),

indépendante de la subdivision choisie (on raffine deux subdivisions par leur subdivision commune : chaque membre est inchangé par raffinement).

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Exemple 15.5 (Continue par morceaux, sans drame)

La fonction partie entière sur $\intcc{0}{3}$ est une fonction en escalier déguisée : en coupant à ses sauts,

\int_0^3 \lfloor t \rfloor\,\dd t = \int_0^1 0 + \int_1^2 1 + \int_2^3 2 = 0 + 1 + 2 = 3 ,

et les valeurs aux points de saut $1, 2$ n’ont aucune importance : modifier une fonction en un nombre fini de points ne change aucune intégrale (les fonctions en escalier qui l’encadrent n’en sont pas affectées). C’est tout le contenu de l’extension « continue par morceaux » : couper aux discontinuités, en nombre fini, intégrer chaque morceau continu, additionner — Chasles comme définition.

Exemple 15.6 (La définition calcule, une fois)

Soit $f(x) = x$ sur $\intcc{0}{1}$ , découpé en $n$ morceaux égaux. Les meilleures fonctions en escalier constantes sur les morceaux sont $\varphi = \frac{k-1}{n}$ et $\psi = \frac kn$ sur le $k$ -ième morceau, avec

\int_0^1 \varphi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k-1}{n}\cdot\frac1n = \frac{n-1}{2n}, \qquad \int_0^1 \psi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n}\cdot\frac1n = \frac{n+1}{2n} .

Toute intégrale inférieure est $\leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq$ à toute intégrale supérieure, donc $\frac{n-1}{2n} \leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq \frac{n+1}{2n}$ pour tout $n$ : les deux sont enserrées sur $\frac12$ , et $\int_0^1 x\,\dd x = \frac12$ directement à partir de la définition. L’idée à retenir : c’est la première et la dernière fois que nous intégrons à partir de la définition — le théorème fondamental ci-dessous remplace tous ces calculs par la lecture d’une primitive, ce qui est tout l’intérêt économique de ce chapitre.

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