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Mathématiques · 术语表

什么是 mesure de Lebesgue？

Définition 9.10 Mathématiques universitaires — Licence 3 · 第 9 章 — Théorie de la mesure

La mesure extérieure de Lebesgue de $A \subseteq \R$ est

\lambda^*(A) = \inf\Bigl\{\sum_{n} (b_n - a_n) : A \subseteq \bigcup_n \intoo{a_n}{b_n}\Bigr\}

(recouvrements dénombrables par intervalles ouverts).

示例

Exemple 9.14

L’ensemble de Cantor (Exercice 6.10) a $\lambda(C) = 0$ : $C \subseteq C_n$ , une union de $2^n$ intervalles de longueur $3^{-n}$ , donc $\lambda(C) \leq (2/3)^n \to 0$ . Un ensemble nul non dénombrable — la cardinalité ne voit pas la mesure. Réciproquement, les ensembles de Cantor gras (Exercice 9.5) sont d’intérieur vide et de mesure positive : la topologie ne voit pas non plus la mesure. Le problème du week-end pousse ce jeu jusqu’à sa conclusion frappante : il existe des ensembles Lebesgue-mesurables qui ne sont pas boréliens.

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