projection কী?

Exemple 20.16 (Une projection et sa symétrie, explicitement)

Dans $\R^2$, projetons sur $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ parallèlement à $G = \operatorname{Vect}(0,1)$. Décomposons $(x, y) = a(1,1) + b(0,1)$ : la première coordonnée donne $a = x$, la seconde $b = y - x$. D’où

Vérifions l’algèbre : $p(p(x,y)) = p(x,x) = (x,x)$, et $s(s(x,y)) = s(x, 2x - y) = (x, 2x - (2x - y)) = (x, y)$. Géométriquement, $s$ est la « réflexion oblique » par rapport à la droite $y = x$ dans la direction verticale : elle fixe $F$ point par point et retourne $G$. Si nous avions projeté sur le même $F$ parallèlement à $G' = \operatorname{Vect}(1,-1)$, la formule deviendrait $p'(x,y) = \bigl(\frac{x+y}2, \frac{x+y}2\bigr)$ : une projection est déterminée par son image et par son noyau, jamais par la seule image.