Qu'est-ce que « Puissance » ? — Mathématiques

Définition 56.1 Mathématiques du primaire et du collège · Chapitre 56 — Puissances

Pour un nombre $a$ et un entier $n \geq 1$ :

a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs}},

lu « $a$ à la (puissance) $n$ » ; $a$ est la base, $n$ l’exposant. Noms particuliers : $a^2$ se lit « $a$ au carré », $a^3$ « $a$ au cube ». Par convention :

a^1 = a, \qquad a^0 = 1 \ (a \neq 0), \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}.

Puissances de 2 : chaque barre est le double de la précédente. La croissance par multiplication répétée s’emballe bien plus vite que la croissance par addition répétée. — Puissances de $2$ : chaque barre est le double de la précédente. La croissance par multiplication répétée s’emballe bien plus vite que la croissance par addition répétée.

Exemples

Exemple 56.2

$3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$ ; $10^3 = 1000$ ; $5^{-2} = \frac{1}{25} = 0.04$ ; $(-2)^3 = -8$ et $(-2)^4 = +16$ (Exemple 54.5). Attention : $a^n$ n’est pas $a \times n$ : $2^5 = 32$ , et non $10$ .

Exemple 56.4

2^3 \times 2^5 = 2^8 = 256, \qquad \frac{7^6}{7^4} = 7^2 = 49, \qquad \left(5^2\right)^3 = 5^6, \qquad 2^4 \times 5^4 = 10^4 .

Un piège : les règles s’appliquent à une base commune (ou à un exposant commun, pour la dernière). Aucune règle ne simplifie $2^3 \times 5^2$ — il faut juste calculer : $8 \times 25 = 200$ .

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Définition 63.7 Mathématiques du primaire et du collège · Chapitre 63 — Fractions et puissances

Pour un nombre réel $a$ et un entier positif $n$ , la puissance $a^n$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$ :

a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs}} .

Par convention $a^0 = 1$ (pour $a \neq 0$ ), et les exposants négatifs désignent les inverses :

a^{-n} = \frac{1}{a^n}.

Exemples

Exemple 63.13

La distance Terre–Soleil est d’environ $149\,600\,000$ km $= 1.496 \times 10^8$ km. La taille d’une molécule d’eau est d’environ $0.000\,000\,000\,28$ m $= 2.8 \times 10^{-10}$ m. Pour calculer avec de tels nombres, regrouper les parties décimales et les puissances de dix :

(3 \times 10^5) \times (2.5 \times 10^{-2}) = (3 \times 2.5) \times 10^{5 + (-2)} = 7.5 \times 10^{3}.

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Définition 30.8 Mathématiques du lycée · Chapitre 30 — Matrices et graphes

Pour une matrice carrée $A$ et $k \in \N$ , $A^k = A \times \dots \times A$ ( $k$ facteurs), avec $A^0 = I$ .

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Exemples

Exemples

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