Mathematics · Book 1 · Grades 1–9

Mathématiques du primaire et du collège

Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

56Puissances

Plier une feuille de papier en deux 1010 fois (si l’on peut !) : son épaisseur double à chaque fois, et 1010 doublements la multiplient par 210=10242^{10} = 1024. Les puissances sont l’abréviation de la multiplication répétée ; ce chapitre fixe la notation et ses règles, avec un rôle particulier pour les puissances de 1010.

56.1 Définition

Définition 56.1 (Puissance)

Pour un nombre aa et un entier n≥1n \geq 1 :

an=a×a×⋯×a⏟n facteurs,a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs}},

lu « aa à la (puissance) nn » ; aa est la base, nn l’exposant. Noms particuliers : a2a^2 se lit « aa au carré », a3a^3 « aa au cube ». Par convention :

a1=a,a0=1 (a≠0),a−n=1an.a^1 = a, \qquad a^0 = 1 \ (a \neq 0), \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}.

Exemple 56.2

34=3×3×3×3=813^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81 ; 103=100010^3 = 1000 ; 5−2=125=0.045^{-2} = \frac{1}{25} = 0.04 ; (−2)3=−8(-2)^3 = -8 et (−2)4=+16(-2)^4 = +16 (Exemple 54.5). Attention : ana^n n’est pas a×na \times n : 25=322^5 = 32, et non 1010.

Puissances de 2 : chaque barre est le double de la précédente. La croissance par multiplication répétée s’emballe bien plus vite que la croissance par addition répétée.
Puissances de 22 : chaque barre est le double de la précédente. La croissance par multiplication répétée s’emballe bien plus vite que la croissance par addition répétée.

56.2 Les règles des exposants

Théorème 56.3 (Règles des exposants)

Pour une base non nulle aa et des exposants entiers mm, nn :

am×an=am+n,aman=am−n,(am)n=am×n,(ab)n=anbn.a^m \times a^n = a^{m+n}, \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \qquad \left(a^m\right)^n = a^{m \times n}, \qquad (ab)^n = a^n b^n .

Preuve en comptant les facteurs. am×ana^m \times a^n aligne mm facteurs aa suivis de nn autres : m+nm + n au total. (am)n\left(a^m\right)^n répète un bloc de mm facteurs nn fois : mnmn facteurs. (ab)n(ab)^n contient nn lettres aa et nn lettres bb, que l’on peut regrouper. La règle du quotient vient d’annuler nn des mm facteurs ; avec les conventions a0=1a^0 = 1 et a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n}, elle reste vraie même lorsque n≥mn \geq m. ∎

Exemple 56.4

23×25=28=256,7674=72=49,(52)3=56,24×54=104.2^3 \times 2^5 = 2^8 = 256, \qquad \frac{7^6}{7^4} = 7^2 = 49, \qquad \left(5^2\right)^3 = 5^6, \qquad 2^4 \times 5^4 = 10^4 .

Un piège : les règles s’appliquent à une base commune (ou à un exposant commun, pour la dernière). Aucune règle ne simplifie 23×522^3 \times 5^2 — il faut juste calculer : 8×25=2008 \times 25 = 200.

56.3 Puissances de dix

Proposition 56.5 (Puissances de dix)

Pour n≥1n \geq 1 : 10n=10…0⏟n10^n = 1\underbrace{0\dots0}_{n}, et 10−n=0.0…0⏟n−1110^{-n} = 0.\underbrace{0\dots0}_{n-1}1. Les règles des exposants se lisent : multiplier des puissances de dix, c’est additionner les exposants.

Exemple 56.6

104×103=10710^4 \times 10^3 = 10^7 ; 102105=10−3=0.001\dfrac{10^2}{10^5} = 10^{-3} = 0.001. Les grandes et petites quantités deviennent lisibles :

un milliard=109,un millionieˋme=10−6.\text{un milliard} = 10^9, \qquad \text{un millionième} = 10^{-6}.

Combiné avec les décimaux : 3.2×105=320 0003.2 \times 10^5 = 320\,000 et 4.7×10−3=0.00474.7 \times 10^{-3} = 0.0047 (décaler la virgule, Proposition 38.7). L’usage systématique de cette écriture — la notation scientifique — est développé au Chapitre 63.

Exemple 56.7 (Ordres de grandeur)

La lumière parcourt environ 3×1083 \times 10^8 m/s ; une année compte environ 3.2×1073.2 \times 10^7 secondes. Une année-lumière mesure donc environ

3×3.2×108+7≈10×1015=1016 m3 \times 3.2 \times 10^{8+7} \approx 10 \times 10^{15} = 10^{16} \text{ m}

— dix millions de milliards de mètres. Les puissances de dix font tenir les calculs astronomiques sur une ligne.

Méthode 56.8 (Simplifier une expression avec des puissances)

  1. Grouper les facteurs base par base ;
  2. appliquer les règles d’exposants au sein de chaque base ;
  3. calculer les petites puissances restantes, ou laisser la réponse sous forme de puissance si elle est grande.

Exemple 56.9

35×3−2×4232=35+(−2)32×16=33−2×16=3×16=48.\frac{3^5 \times 3^{-2} \times 4^2}{3^2} = \frac{3^{5 + (-2)}}{3^2} \times 16 = 3^{3 - 2} \times 16 = 3 \times 16 = 48 .

56.4 Exercices

Exercice 56.1 ★

Calculer :

26,33,105,1100,0.12,60.2^6, \qquad 3^3, \qquad 10^5, \qquad 1^{100}, \qquad 0.1^2, \qquad 6^0 .
Solution

Solution de Exercice 56.1.

26=642^6 = 64 ; 33=273^3 = 27 ; 105=100 00010^5 = 100\,000 ; 1100=11^{100} = 1 ; 0.12=0.010.1^2 = 0.01 ; 60=16^0 = 1.

Exercice 56.2 ★

Calculer :

(−3)2,−32,(−1)15,(−5)3,(23)2.(-3)^2, \qquad -3^2, \qquad (-1)^{15}, \qquad (-5)^3, \qquad \left(\tfrac{2}{3}\right)^2 .
Solution

Solution de Exercice 56.2.

(−3)2=9(-3)^2 = 9 ; −32=−9-3^2 = -9 ; (−1)15=−1(-1)^{15} = -1 ; (−5)3=−125(-5)^3 = -125 ; (23)2=49\left(\frac23\right)^2 = \frac49.

Exercice 56.3 ★

Écrire comme une seule puissance :

74×75,2923,(103)4,56×5−2,34×74.7^4 \times 7^5, \qquad \frac{2^9}{2^3}, \qquad \left(10^3\right)^4, \qquad 5^6 \times 5^{-2}, \qquad 3^4 \times 7^4 .
Solution

Solution de Exercice 56.3.

74×75=797^4 \times 7^5 = 7^9 ; 2923=26\dfrac{2^9}{2^3} = 2^6 ; (103)4=1012\left(10^3\right)^4 = 10^{12} ; 56×5−2=545^6 \times 5^{-2} = 5^4 ; 34×74=2143^4 \times 7^4 = 21^4 (même exposant : multiplier les bases).

Exercice 56.4 ★

Écrire comme un nombre décimal : 10−210^{-2} ; 4×1034 \times 10^3 ; 2.5×10−42.5 \times 10^{-4} ; 10010^0.

Solution

Solution de Exercice 56.4.

10−2=0.0110^{-2} = 0.01 ; 4×103=40004 \times 10^3 = 4000 ; 2.5×10−4=0.000252.5 \times 10^{-4} = 0.00025 ; 100=110^0 = 1.

Exercice 56.5 ★

Écrire avec une puissance de dix : cent mille ; un dixième ; dix milliards ; 0.000 0010.000\,001.

Solution

Solution de Exercice 56.5.

10510^5 ; 10−110^{-1} ; 101010^{10} ; 10−610^{-6}.

Exercice 56.6 ★

Simplifier, puis calculer :

107×10−3102,25×2426,(22)3×2−4.\frac{10^7 \times 10^{-3}}{10^2}, \qquad \frac{2^5 \times 2^4}{2^6}, \qquad \left(2^2\right)^3 \times 2^{-4} .
Solution

Solution de Exercice 56.6.

107×10−3102=104102=102=100\dfrac{10^7 \times 10^{-3}}{10^2} = \dfrac{10^4}{10^2} = 10^2 = 100.

25×2426=2926=23=8\dfrac{2^5 \times 2^4}{2^6} = \dfrac{2^9}{2^6} = 2^3 = 8.

(22)3×2−4=26×2−4=22=4\left(2^2\right)^3 \times 2^{-4} = 2^6 \times 2^{-4} = 2^2 = 4.

Exercice 56.7 ★

Vrai ou faux ? Corriger les faux.

23×24=212;52+53=55;(32)4=38;103×103=1003.2^3 \times 2^4 = 2^{12}; \qquad 5^2 + 5^3 = 5^5; \qquad (3^2)^4 = 3^8; \qquad 10^3 \times 10^3 = 100^3 .
Solution

Solution de Exercice 56.7.

23×24=2122^3 \times 2^4 = 2^{12} : faux — les exposants s’additionnent : 272^7.

52+53=555^2 + 5^3 = 5^5 : faux — pas de règle pour les sommes : 25+125=15025 + 125 = 150, tandis que 55=31255^5 = 3125.

(32)4=38(3^2)^4 = 3^8 : vrai.

103×103=100310^3 \times 10^3 = 100^3 : vrai — les deux valent 10610^6 (gauche : 103+310^{3+3} ; droite : (102)3(10^2)^3).

Exercice 56.8 ★★

Une rumeur se propage : le jour 1, trois personnes la connaissent ; chaque jour, chaque personne qui la connaît en informe trois nouvelles. Écrire avec une puissance le nombre de nouvelles personnes informées le jour 44, et calculer combien de personnes connaissent la rumeur à la fin du jour 4 (y compris les trois d’origine).

Solution

Solution de Exercice 56.8.

Nouvelles personnes le jour 44 : chacune des 33=273^3 = 27 personnes informées le jour 3 en informe trois autres : 34=813^4 = 81. Connaissant à la fin du jour 4 : 3+9+27+81=1203 + 9 + 27 + 81 = 120 personnes.

Exercice 56.9 ★★

Une feuille de papier a 0.10.1 mm d’épaisseur, soit 10−410^{-4} m. La plier double son épaisseur à chaque fois.

  1. Exprimer l’épaisseur après 1010 plis comme un produit, et la calculer en centimètres (210=10242^{10} = 1024).
  2. Après 4242 plis l’épaisseur serait 242×10−42^{42} \times 10^{-4} m, avec 242≈4.4×10122^{42} \approx 4.4 \times 10^{12}. Montrer que cela dépasse la distance Terre–Lune, environ 3.8×1083.8 \times 10^8 m.
Solution

Solution de Exercice 56.9.

1. Épaisseur : 210×10−42^{10} \times 10^{-4} m =1024×10−4= 1024 \times 10^{-4} m ≈0.1\approx 0.1 m =10= 10 cm.

2. 242×10−4≈4.4×1012×10−4=4.4×1082^{42} \times 10^{-4} \approx 4.4 \times 10^{12} \times 10^{-4} = 4.4 \times 10^8 m, plus grand que 3.8×1083.8 \times 10^8 m : après 4242 plis (théoriques !), la liasse de papier dépasserait la Lune.

Exercice 56.10 ★★

Ranger du plus petit au plus grand, sans calculatrice :

210,103,36,54.2^{10}, \qquad 10^3, \qquad 3^6, \qquad 5^4 .

(Calculer chacun ; 2102^{10} et 10310^3 sont des voisins célèbres.)

Solution

Solution de Exercice 56.10.

210=10242^{10} = 1024 ; 103=100010^3 = 1000 ; 36=7293^6 = 729 ; 54=6255^4 = 625. Ordre :

54<36<103<210.5^4 < 3^6 < 10^3 < 2^{10} .

Exercice 56.11 ★★★

Lequel est plus grand, 21002^{100} ou 103010^{30} ? Utiliser 210=1024>1032^{10} = 1024 > 10^3 pour comparer 2100=(210)102^{100} = \left(2^{10}\right)^{10} avec (103)10\left(10^3\right)^{10}.

Solution

Solution de Exercice 56.11.

2100=(210)10=1024102^{100} = \left(2^{10}\right)^{10} = 1024^{10} et 1030=(103)10=10001010^{30} = \left(10^3\right)^{10} = 1000^{10}. Puisque 1024>10001024 > 1000, multiplier dix copies de chacun conserve l’inégalité : 2100>10302^{100} > 10^{30}.