Mathematics · Livre 1 · Grades 1–9

Mathématiques du primaire et du collège

Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

63Fractions et puissances

Fractions et puissances sont les outils quotidiens du calcul : partager des quantités, comparer des proportions, écrire des nombres très grands ou très petits. Ce chapitre consolide les règles pour calculer avec elles — avec chaque étape intermédiaire écrite — et introduit la notation scientifique.

63.1 Calculer avec des fractions

Définition 63.1 (Fraction)

Une fraction ab\dfrac ab (avec b≠0b \neq 0) est le quotient de aa par bb. Deux fractions sont égales lorsque l’une s’obtient de l’autre en multipliant (ou divisant) numérateur et dénominateur par le même nombre non nul :

ab=a×kb×k(k≠0).\frac ab = \frac{a \times k}{b \times k} \qquad (k \neq 0).

Exemple 63.2

Simplifier 4256\dfrac{42}{56} étape par étape :

4256=42÷256÷2=2128=21÷728÷7=34.\frac{42}{56} = \frac{42 \div 2}{56 \div 2} = \frac{21}{28} = \frac{21 \div 7}{28 \div 7} = \frac34 .

(Au Chapitre 64 le plus grand commun diviseur fera cela en une seule étape.)

Méthode 63.3 (Additionner et soustraire des fractions)

  1. Mettre les deux fractions sur un dénominateur commun (un multiple commun des deux dénominateurs) ;
  2. additionner ou soustraire les numérateurs, en gardant le dénominateur ;
  3. simplifier le résultat si possible.

Exemple 63.4

Calculer 56+34\dfrac56 + \dfrac34. Un dénominateur commun de 66 et 44 est 1212 :

56+34=5×26×2+3×34×3=1012+912=1912.\frac56 + \frac34 = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} + \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{10}{12} + \frac{9}{12} = \frac{19}{12}.

Calculer 2−372 - \dfrac37. Écrire 22 comme fraction sur 77 :

2−37=147−37=117.2 - \frac37 = \frac{14}{7} - \frac37 = \frac{11}{7}.
Pourquoi un dénominateur commun : découper les deux entiers en 12 cases égales rend les fractions comparables et additionnables — ensemble, 10 + 9 = 19 douzièmes.
Pourquoi un dénominateur commun : découper les deux entiers en 1212 cases égales rend les fractions comparables et additionnables — ensemble, 10+9=1910 + 9 = 19 douzièmes.

Méthode 63.5 (Multiplier et diviser des fractions)

  1. Pour multiplier, multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : ab×cd=acbd\dfrac ab \times \dfrac cd = \dfrac{ac}{bd} (simplifier avant de multiplier dès que possible) ;
  2. pour diviser, multiplier par l’inverse du diviseur : ab÷cd=ab×dc\dfrac ab \div \dfrac cd = \dfrac ab \times \dfrac dc.

Exemple 63.6

715×2514=7×2515×14=7×2515×2×7=2530=56,\frac{7}{15} \times \frac{25}{14} = \frac{7 \times 25}{15 \times 14} = \frac{7 \times 25}{15 \times 2 \times 7} = \frac{25}{30} = \frac56,

où l’on a simplifié par le facteur commun 77, puis par 55. Et une division :

34÷98=34×89=3×84×9=2436=23.\frac{3}{4} \div \frac{9}{8} = \frac34 \times \frac89 = \frac{3 \times 8}{4 \times 9} = \frac{24}{36} = \frac23 .

63.2 Puissances

Définition 63.7 (Puissance)

Pour un nombre réel aa et un entier positif nn, la puissance ana^n est le produit de nn facteurs égaux à aa :

an=a×a×⋯×a⏟n facteurs.a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs}} .

Par convention a0=1a^0 = 1 (pour a≠0a \neq 0), et les exposants négatifs désignent les inverses :

a−n=1an.a^{-n} = \frac{1}{a^n}.

Exemple 63.8

24=2×2×2×2=162^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 ; (−3)2=9(-3)^2 = 9 mais −32=−(32)=−9-3^2 = -(3^2) = -9 (l’exposant lie avant le signe moins) ; 10−3=11000=0.00110^{-3} = \frac{1}{1000} = 0.001 ; 51=55^1 = 5 et 50=15^0 = 1.

Théorème 63.9 (Règles des exposants)

Pour tous aa, bb non nuls et tous entiers mm, nn :

am×an=am+n,aman=am−n,(am)n=amn,(ab)n=anbn.a^m \times a^n = a^{m+n}, \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \qquad \left(a^m\right)^n = a^{mn}, \qquad (ab)^n = a^n b^n .

Démonstration. Pour les exposants positifs, compter les facteurs. Pour la première règle : am×ana^m \times a^n est mm facteurs aa suivis de nn facteurs aa, au total m+nm + n facteurs. Pour la troisième : (am)n\left(a^m\right)^n répète nn fois un bloc de mm facteurs, donnant mnmn facteurs. Les deux autres règles sont analogues ; l’extension aux exposants nuls et négatifs se vérifie à partir de a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n} (et rend la convention a0=1a^0 = 1 le seul choix cohérent, puisque an×a0a^n \times a^0 doit valoir an+0=ana^{n+0} = a^n). ∎

Exemple 63.10

Simplifier étape par étape :

37×3−234=37+(−2)34=3534=35−4=31=3.\frac{3^7 \times 3^{-2}}{3^4} = \frac{3^{7 + (-2)}}{3^4} = \frac{3^5}{3^4} = 3^{5-4} = 3^1 = 3 .

Et avec deux lettres : (2a3)2×a=4a6×a=4a7(2a^3)^2 \times a = 4 a^6 \times a = 4a^7.

63.3 Puissances de dix et notation scientifique

Proposition 63.11 (Puissances de dix)

Pour un entier positif nn : 10n10^n s’écrit « 11 suivi de nn zéros », et 10−n=0.0…0110^{-n} = 0.0\dots01 avec le 11 à la nn-ième place décimale. Multiplier un nombre décimal par 10n10^n (resp. 10−n10^{-n}) décale sa virgule de nn places vers la droite (resp. la gauche).

Définition 63.12 (Notation scientifique)

La notation scientifique d’un nombre décimal positif est la façon unique de l’écrire sous la forme

a×10n,avec 1≤a<10 et n un entier.a \times 10^n, \qquad\text{avec } 1 \leq a < 10 \text{ et } n \text{ un entier.}

Exemple 63.13

La distance Terre–Soleil est d’environ 149 600 000149\,600\,000 km =1.496×108= 1.496 \times 10^8 km. La taille d’une molécule d’eau est d’environ 0.000 000 000 280.000\,000\,000\,28 m =2.8×10−10= 2.8 \times 10^{-10} m. Pour calculer avec de tels nombres, regrouper les parties décimales et les puissances de dix :

(3×105)×(2.5×10−2)=(3×2.5)×105+(−2)=7.5×103.(3 \times 10^5) \times (2.5 \times 10^{-2}) = (3 \times 2.5) \times 10^{5 + (-2)} = 7.5 \times 10^{3}.

Méthode 63.14 (Mettre un nombre en notation scientifique)

  1. Déplacer la virgule juste après le premier chiffre non nul ; cela donne le facteur aa avec 1≤a<101 \leq a < 10 ;
  2. compter le nombre de places dont la virgule a bougé : ce décompte est nn, positif si le nombre d’origine était ≥10\geq 10, négatif s’il était <1< 1 ;
  3. vérifier : a×10na \times 10^n doit reproduire le nombre d’origine.

63.4 Exercices

Exercice 63.1 ★

Calculer et donner le résultat sous forme de fraction entièrement simplifiée :

13+15,72−53,512+38,3−45.\frac13 + \frac15, \qquad \frac72 - \frac53, \qquad \frac{5}{12} + \frac38, \qquad 3 - \frac45 .
Solution

Solution de Exercice 63.1.

13+15=515+315=815\dfrac13 + \dfrac15 = \dfrac{5}{15} + \dfrac{3}{15} = \dfrac{8}{15}.

72−53=216−106=116\dfrac72 - \dfrac53 = \dfrac{21}{6} - \dfrac{10}{6} = \dfrac{11}{6}.

512+38=1024+924=1924\dfrac{5}{12} + \dfrac38 = \dfrac{10}{24} + \dfrac{9}{24} = \dfrac{19}{24}.

3−45=155−45=1153 - \dfrac45 = \dfrac{15}{5} - \dfrac45 = \dfrac{11}{5}.

Exercice 63.2 ★

Calculer et simplifier :

59×2735,815÷45,23×34×45.\frac59 \times \frac{27}{35}, \qquad \frac{8}{15} \div \frac{4}{5}, \qquad \frac23 \times \frac34 \times \frac45 .
Solution

Solution de Exercice 63.2.

59×2735=5×279×35=279×535=3×17=37\dfrac59 \times \dfrac{27}{35} = \dfrac{5 \times 27}{9 \times 35} = \dfrac{27}{9} \times \dfrac{5}{35} = 3 \times \dfrac17 = \dfrac37 (simplifier par 99 et par 55).

815÷45=815×54=8×515×4=4060=23\dfrac{8}{15} \div \dfrac45 = \dfrac{8}{15} \times \dfrac54 = \dfrac{8 \times 5}{15 \times 4} = \dfrac{40}{60} = \dfrac23.

23×34×45=2×3×43×4×5=25\dfrac23 \times \dfrac34 \times \dfrac45 = \dfrac{2 \times 3 \times 4} {3 \times 4 \times 5} = \dfrac25 (les 33 et les 44 s’annulent).

Exercice 63.3 ★

Calculer :

25,(−2)4,−24,4−2,(23)3,70.2^5, \qquad (-2)^4, \qquad -2^4, \qquad 4^{-2}, \qquad \left(\tfrac23\right)^3, \qquad 7^0 .
Solution

Solution de Exercice 63.3.

25=322^5 = 32 ; (−2)4=16(-2)^4 = 16 ; −24=−16-2^4 = -16 ; 4−2=1164^{-2} = \frac{1}{16} ; (23)3=827\left(\frac23\right)^3 = \frac{8}{27} ; 70=17^0 = 1.

Exercice 63.4 ★

Écrire comme une seule puissance :

53×56,7975,(23)4,32×3735,25×4.5^3 \times 5^6, \qquad \frac{7^9}{7^5}, \qquad \left(2^3\right)^4, \qquad \frac{3^2 \times 3^7}{3^5}, \qquad 2^5 \times 4 .
Solution

Solution de Exercice 63.4.

53×56=595^3 \times 5^6 = 5^9 ; 7975=74\dfrac{7^9}{7^5} = 7^4 ; (23)4=212\left(2^3\right)^4 = 2^{12} ; 32×3735=39−5=34\dfrac{3^2 \times 3^7}{3^5} = 3^{9-5} = 3^4 ; 25×4=25×22=272^5 \times 4 = 2^5 \times 2^2 = 2^7.

Exercice 63.5 ★

Écrire en notation scientifique : 45 00045\,000 ; 0.00720.0072 ; 302.5302.5 ; 0.000 000 90.000\,000\,9 ; douze millions.

Solution

Solution de Exercice 63.5.

45 000=4.5×10445\,000 = 4.5 \times 10^4 ; 0.0072=7.2×10−30.0072 = 7.2 \times 10^{-3} ; 302.5=3.025×102302.5 = 3.025 \times 10^2 ; 0.000 000 9=9×10−70.000\,000\,9 = 9 \times 10^{-7} ; douze millions =1.2×107= 1.2 \times 10^7.

Exercice 63.6 ★★

Calculer, en donnant le résultat en notation scientifique :

(2×107)×(4.5×10−3),9×1053×10−2,(5×103)2.(2 \times 10^7) \times (4.5 \times 10^{-3}), \qquad \frac{9 \times 10^5}{3 \times 10^{-2}}, \qquad (5 \times 10^3)^2 .
Solution

Solution de Exercice 63.6.

(2×107)×(4.5×10−3)=9×104(2 \times 10^7) \times (4.5 \times 10^{-3}) = 9 \times 10^{4}.

9×1053×10−2=3×105−(−2)=3×107\dfrac{9 \times 10^5}{3 \times 10^{-2}} = 3 \times 10^{5 - (-2)} = 3 \times 10^7.

(5×103)2=25×106=2.5×107(5 \times 10^3)^2 = 25 \times 10^6 = 2.5 \times 10^7.

Exercice 63.7 ★★

Un réservoir est plein aux 35\frac35. Après avoir ajouté 3030 litres, il est plein aux 34\frac34. Quelle est la capacité du réservoir ? (Exprimer d’abord la fraction ajoutée du réservoir.)

Solution

Solution de Exercice 63.7.

L’eau ajoutée représente 34−35=1520−1220=320\dfrac34 - \dfrac35 = \dfrac{15}{20} - \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{20} du réservoir. Donc 320\frac{3}{20} de la capacité vaut 3030 litres : 120\frac{1}{20} vaut 1010 litres, et la capacité est 200200 litres.

Exercice 63.8 ★★

Alice mange 14\frac14 d’un gâteau, puis Ben mange 13\frac13 de ce qui reste, puis Carla mange 12\frac12 de ce qui reste encore. Quelle fraction du gâteau reste-t-il à la fin ? (Calculer le reste après chaque étape.)

Solution

Solution de Exercice 63.8.

Après Alice : 1−14=341 - \frac14 = \frac34 du gâteau reste. Ben mange 13×34=14\frac13 \times \frac34 = \frac14, laissant 34−14=12\frac34 - \frac14 = \frac12. Carla mange la moitié de cela, 14\frac14, laissant 14\frac14 du gâteau.

Exercice 63.9 ★★

La lumière parcourt 3×1083 \times 10^8 mètres par seconde. Le Soleil est à environ 1.5×10111.5 \times 10^{11} m. Combien de temps la lumière du Soleil met-elle à nous atteindre ? Donner la réponse en secondes (notation scientifique non nécessaire), puis en minutes et secondes.

Solution

Solution de Exercice 63.9.

Temps =distancevitesse=1.5×10113×108=0.5×103=500= \dfrac{\text{distance}}{\text{vitesse}} = \dfrac{1.5 \times 10^{11}}{3 \times 10^8} = 0.5 \times 10^3 = 500 secondes, soit 88 minutes et 2020 secondes.

Exercice 63.10 ★★★

Lequel est plus grand, 2302^{30} ou 3203^{20} ? (Indication : écrire les deux comme des puissances d’exposant 1010 en utilisant (am)n=amn\left(a^m\right)^n = a^{mn}, et comparer 232^3 avec 323^2.)

Solution

Solution de Exercice 63.10.

Écrire les deux nombres comme puissances d’exposant 1010 :

230=(23)10=810,320=(32)10=910.2^{30} = \left(2^3\right)^{10} = 8^{10}, \qquad 3^{20} = \left(3^2\right)^{10} = 9^{10}.

Puisque 8<98 < 9, en multipliant dix copies de chacun : 810<9108^{10} < 9^{10}, donc 230<3202^{30} < 3^{20}.

63.5 Problème : le code secret des décimales périodiques

Problème 63.1

Devoir maison — toute fraction a une écriture décimale qui s’arrête ou se répète, tout décimal périodique est une fraction, et 0.999…0.999\ldots vaut exactement 11

Divisons 33 par 1111 : les chiffres se mettent à psalmodier, 0.272727…0.272727\ldots sans fin. Divisons 11 par 44 : les chiffres s’arrêtent net, 0.250.25. Ce problème démontre que ce sont là les deux seuls comportements possibles pour une fraction — puis il inverse la machine : étant donné un décimal périodique quelconque, il reconstitue la fraction qui se cache derrière. En chemin, il règle une fois pour toutes l’égalité la plus discutée des mathématiques scolaires.

Partie I — De la fraction au décimal.

  1. Calculer, en posant la division, les écritures décimales de 14\frac14, 13\frac13, 56\frac56 et 311\frac{3}{11}. Lesquelles s’arrêtent, lesquelles se répètent, et avec quelle période ?
  2. Expliquer pourquoi l’écriture décimale de n’importe quelle fraction ab\frac ab doit soit s’arrêter, soit finir par se répéter. (Dans la division posée par bb, quelles valeurs les restes successifs peuvent-ils prendre ? Que se passe-t-il à l’instant où un reste apparaît pour la seconde fois ?)
  3. Pousser la division de 11 par 77 assez loin pour trouver la période. Quelle est sa longueur, et comment cette longueur se compare-t-elle à la borne promise par la question 2 ?
  4. Certaines fractions s’arrêtent parce que leur dénominateur peut être gonflé jusqu’à une puissance de dix : 14=25100\frac14 = \frac{25}{100}, 38=3751000\frac{3}{8} = \frac{375}{1000}. Expliquer le critère, et pourquoi aucun multiplicateur entier ne pourra jamais transformer 33, 66 ou 1111 en 1010, 100100, 1000,…1000, \dots (par quel chiffre le produit finirait-il ?).
  5. Sans poser de division, ranger 940\frac{9}{40}, 512\frac{5}{12} et 3350\frac{33}{50} en « s’arrête » et « se répète », puis donner l’écriture décimale des deux qui s’arrêtent.

Partie II — Du décimal périodique à la fraction.

  1. L’astuce du décalage. Posons x=0.7777…x = 0.7777\ldots Calculer 10x10x, puis 10x−x10x - x, et en déduire xx sous forme de fraction. Vérifier en posant la division.
  2. Posons x=0.727272…x = 0.727272\ldots Quelle puissance de dix décale xx d’exactement une période ? S’en servir pour écrire xx sous forme de fraction irréductible.
  3. Un cas mixte : x=0.58333…x = 0.58333\ldots (seul le 33 se répète). Calculer 1000x−100x1000x - 100x et en déduire xx sous forme de fraction irréductible.
  4. La célèbre : appliquer l’astuce du décalage à x=0.9999…x = 0.9999\ldots Quelle fraction — quel nombre — trouve-t-on ? Réconcilier le résultat avec son intuition, en se souvenant du voisin fantôme du Problème 38.1 et du reste qui rétrécit du Problème 39.1 : 0.999…0.999\ldots est-il « juste en dessous » de 11, ou bien un autre nom pour 11 ?
  5. Convertir 2.454545…2.454545\ldots et 0.123123123…0.123123123\ldots en fractions irréductibles.

Partie III — Le dictionnaire achevé.

  1. Les questions 6 à 10 suggèrent un dictionnaire : une période de kk chiffres démarrant juste après la virgule vaut cette période sur kk neufs (0.727272…=72990.727272\ldots = \frac{72}{99}). Utiliser le dictionnaire pour prévoir 0.037037…0.037037\ldots sous forme de fraction, simplifier — et s’émerveiller : quelle fraction étonnamment simple psalmodie « 037037 » ? Le vérifier en posant la division.
  2. Combiner le dictionnaire avec un décalage : écrire 0.0272727…0.0272727\ldots sous forme de fraction irréductible.
  3. Le nombre 0.101001000100001…0.101001000100001\ldots (un 11, puis un 00, puis un 11, puis deux 00, puis un 11, puis trois 00, et ainsi de suite) ne s’arrête jamais. Est-ce un décimal périodique ? Que dit alors la partie I à son sujet — peut-il être une fraction ? (On vient de rencontrer son premier nombre démontrablement irrationnel ; le plus célèbre est démasqué au Chapitre 65.)
  4. Combien de chiffres a 2302^{30}, en gros ? Utiliser 210=1 024≈1.024×1032^{10} = 1\,024 \approx 1.024 \times 10^3 et les règles des exposants (Théorème 63.9) pour écrire 2302^{30} en notation scientifique (approchée), et conclure. (Comparer avec Exercice 63.10.)
  5. Bouquet final : écrire 0.20262026…0.20262026\ldots sous forme de fraction, et énoncer la morale à double sens de tout le problème : quelles écritures décimales sont des fractions, et quelles fractions ont quelles écritures décimales ?
Solution

Solution de Problème 63.1.

1. 14=0.25\frac14 = 0.25 (s’arrête) ; 13=0.333…\frac13 = 0.333\ldots (période 33) ; 56=0.8333…\frac56 = 0.8333\ldots (période 33 après le 88) ; 311=0.272727…\frac{3}{11} = 0.272727\ldots (période 2727).

2. À chaque étape de la division par bb, le reste est l’une des bb valeurs 0,1,…,b−10, 1, \dots, b - 1 (Théorème 37.7). Si un reste 00 apparaît, la division s’arrête. Sinon, après au plus bb étapes, un reste doit réapparaître — il y a plus d’étapes que de restes possibles — et à partir de cet instant la division reproduit exactement la suite de chiffres qu’elle avait produite après la première apparition : l’écriture décimale tourne en boucle indéfiniment. S’arrêter ou se répéter : il n’existe pas de troisième comportement.

3. 17=0.142857 142857…\frac17 = 0.142857\,142857\ldots : la période 142857142857 est de longueur 66. La question 2 promettait une répétition en au plus 77 étapes — ici les restes 1,3,2,6,4,51, 3, 2, 6, 4, 5 apparaissent tous avant que le 11 ne revienne : la plus longue mélopée possible pour une division par 77.

4. ab\frac ab s’arrête exactement lorsque l’une des fractions a×kb×k\frac{a \times k}{b \times k} a pour dénominateur 1010, 100100, 1000,…1000, \dots — c’est-à-dire lorsque le dénominateur peut être multiplié jusqu’à une puissance de dix, comme 4×25=1004 \times 25 = 100 ou 8×125=1 0008 \times 125 = 1\,000. Pour 33 et 66, c’est sans espoir : une puissance de dix a pour somme des chiffres 11, alors que tout multiple de 33 a une somme de chiffres multiple de 33 — aucun multiple de 33 (donc aucun de 66) ne vaut jamais 1010, 100100, 1 000,…1\,000, \dots Pour 1111 : diviser 1010, 100100, 1 0001\,000, 10 00010\,000 par 1111 laisse toujours un reste (1010, 11, 1010, 1,…1, \dots), jamais 00. Les dénominateurs qui atteignent une puissance de dix s’arrêtent ; tous les autres se répètent.

5. 940\frac{9}{40} : 40×25=1 00040 \times 25 = 1\,000, s’arrête : 2251000=0.225\frac{225}{1000} = 0.225. 3350\frac{33}{50} : 50×2=10050 \times 2 = 100, s’arrête : 66100=0.66\frac{66}{100} = 0.66. 512\frac{5}{12} : 1212 est un multiple de 33, se répète (0.41666…0.41666\ldots).

6. 10x=7.777…10x = 7.777\ldots, donc 10x−x=710x - x = 7 (les queues se compensent parfaitement), 9x=79x = 7 et x=79x = \frac79. Vérification par la division : 7÷9=0.777…7 \div 9 = 0.777\ldots

7. La période a deux chiffres : on décale donc de 100100 : 100x−x=72.7272…−0.7272…=72100x - x = 72.7272\ldots - 0.7272\ldots = 72, d’où 99x=7299x = 72 et x=7299=811x = \frac{72}{99} = \frac{8}{11}.

8. 1000x=583.333…1000x = 583.333\ldots et 100x=58.333…100x = 58.333\ldots ; en soustrayant, 900x=525900x = 525, donc x=525900=712x = \frac{525}{900} = \frac{7}{12} (diviser par 7575). On a bien 712=0.58333…\frac{7}{12} = 0.58333\ldots

9. 10x−x=9.999…−0.999…=910x - x = 9.999\ldots - 0.999\ldots = 9, donc 9x=99x = 9 et x=1x = 1. Ce n’est pas « juste en dessous » de 11 : 0.999…0.999\ldots est le nombre 11, écrit dans un second costume. Tout nombre strictement inférieur à 11 laisse un écart, et Problème 38.1 a montré qu’un écart contient toujours d’autres nombres — alors que rien ne tient entre 0.999…0.999\ldots et 11. Les neufs sans fin sont le reste de chocolat du Problème 39.1 rétréci en dessous de toute quantité positive : il ne reste rien.

10. 2.4545…=2+4599=2+511=27112.4545\ldots = 2 + \frac{45}{99} = 2 + \frac{5}{11} = \frac{27}{11}. Et 0.123123…=123999=413330.123123\ldots = \frac{123}{999} = \frac{41}{333} (diviser par 33).

11. Dictionnaire : 0.037037…=379990.037037\ldots = \frac{37}{999}. Comme 999=27×37999 = 27 \times 37, cela se simplifie en 127\frac{1}{27} : c’est la fraction 127\frac{1}{27} qui psalmodie « 037037 ». Vérification par la division : 1÷27=0.037037…1 \div 27 = 0.037037\ldots

12. 0.0272727…=110×0.272727…=110×2799=27990=31100.0272727\ldots = \frac{1}{10} \times 0.272727\ldots = \frac{1}{10} \times \frac{27}{99} = \frac{27}{990} = \frac{3}{110} (diviser par 99).

13. Les blocs de zéros s’allongent sans fin : aucune période fixe ne peut donc se répéter indéfiniment. Ce n’est pas un décimal périodique (et il ne s’arrête jamais). D’après la partie I, toute fraction s’arrête ou se répète — ce nombre n’est donc pas une fraction du tout : il est irrationnel, fabriqué sur mesure. La vedette de l’irrationalité, 2\sqrt2, est démasquée au Chapitre 65.

14. 230=(210)3≈(1.024)3×109≈1.07×1092^{30} = \left(2^{10}\right)^3 \approx (1.024)^3 \times 10^9 \approx 1.07 \times 10^9 : un nombre légèrement supérieur à 10910^9, il a donc 1010 chiffres. (Exactement : 230=1 073 741 8242^{30} = 1\,073\,741\,824.)

15. 0.20262026…=202699990.20262026\ldots = \frac{2026}{9999}, déjà irréductible (9999=3×3×11×1019999 = 3 \times 3 \times 11 \times 101 ne partage aucun facteur avec 2026=2×10132026 = 2 \times 1013). Le dictionnaire achevé : les fractions sont exactement les décimaux qui s’arrêtent ou se répètent — les dénominateurs amis des puissances de dix s’arrêtent, tous les autres psalmodient une période ; et réciproquement, toute mélopée, même celle d’un millésime, est une fraction déguisée.

Termes définis dans ce chapitre

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