Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

63Fractions et puissances

Fractions et puissances sont les outils quotidiens du calcul : partager des quantités, comparer des proportions, écrire des nombres très grands ou très petits. Ce chapitre consolide les règles pour calculer avec elles — avec chaque étape intermédiaire écrite — et introduit la notation scientifique.

63.1 Calculer avec des fractions

Définition 63.1 (Fraction)

Une fraction $\dfrac ab$ (avec $b \neq 0$ ) est le quotient de $a$ par $b$ . Deux fractions sont égales lorsque l’une s’obtient de l’autre en multipliant (ou divisant) numérateur et dénominateur par le même nombre non nul :

\frac ab = \frac{a \times k}{b \times k} \qquad (k \neq 0).

Exemple 63.2

Simplifier $\dfrac{42}{56}$ étape par étape :

\frac{42}{56} = \frac{42 \div 2}{56 \div 2} = \frac{21}{28} = \frac{21 \div 7}{28 \div 7} = \frac34 .

(Au Chapitre 64 le plus grand commun diviseur fera cela en une seule étape.)

Méthode 63.3 (Additionner et soustraire des fractions)

Mettre les deux fractions sur un dénominateur commun (un multiple commun des deux dénominateurs) ;
additionner ou soustraire les numérateurs, en gardant le dénominateur ;
simplifier le résultat si possible.

Exemple 63.4

Calculer $\dfrac56 + \dfrac34$ . Un dénominateur commun de $6$ et $4$ est $12$ :

\frac56 + \frac34 = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} + \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{10}{12} + \frac{9}{12} = \frac{19}{12}.

Calculer $2 - \dfrac37$ . Écrire $2$ comme fraction sur $7$ :

2 - \frac37 = \frac{14}{7} - \frac37 = \frac{11}{7}.

Pourquoi un dénominateur commun : découper les deux entiers en 12 cases égales rend les fractions comparables et additionnables — ensemble, 10 + 9 = 19 douzièmes. — Pourquoi un dénominateur commun : découper les deux entiers en $12$ cases égales rend les fractions comparables et additionnables — ensemble, $10 + 9 = 19$ douzièmes.

Méthode 63.5 (Multiplier et diviser des fractions)

Pour multiplier, multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : $\dfrac ab \times \dfrac cd = \dfrac{ac}{bd}$ (simplifier avant de multiplier dès que possible) ;
pour diviser, multiplier par l’inverse du diviseur : $\dfrac ab \div \dfrac cd = \dfrac ab \times \dfrac dc$ .

Exemple 63.6

\frac{7}{15} \times \frac{25}{14} = \frac{7 \times 25}{15 \times 14} = \frac{7 \times 25}{15 \times 2 \times 7} = \frac{25}{30} = \frac56,

où l’on a simplifié par le facteur commun $7$ , puis par $5$ . Et une division :

\frac{3}{4} \div \frac{9}{8} = \frac34 \times \frac89 = \frac{3 \times 8}{4 \times 9} = \frac{24}{36} = \frac23 .

63.2 Puissances

Définition 63.7 (Puissance)

Pour un nombre réel $a$ et un entier positif $n$ , la puissance $a^n$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$ :

a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs}} .

Par convention $a^0 = 1$ (pour $a \neq 0$ ), et les exposants négatifs désignent les inverses :

a^{-n} = \frac{1}{a^n}.

Exemple 63.8

$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ ; $(-3)^2 = 9$ mais $-3^2 = -(3^2) = -9$ (l’exposant lie avant le signe moins) ; $10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0.001$ ; $5^1 = 5$ et $5^0 = 1$ .

Théorème 63.9 (Règles des exposants)

Pour tous $a$ , $b$ non nuls et tous entiers $m$ , $n$ :

a^m \times a^n = a^{m+n}, \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \qquad \left(a^m\right)^n = a^{mn}, \qquad (ab)^n = a^n b^n .

Démonstration. Pour les exposants positifs, compter les facteurs. Pour la première règle : $a^m \times a^n$ est $m$ facteurs $a$ suivis de $n$ facteurs $a$ , au total $m + n$ facteurs. Pour la troisième : $\left(a^m\right)^n$ répète $n$ fois un bloc de $m$ facteurs, donnant $mn$ facteurs. Les deux autres règles sont analogues ; l’extension aux exposants nuls et négatifs se vérifie à partir de $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (et rend la convention $a^0 = 1$ le seul choix cohérent, puisque $a^n \times a^0$ doit valoir $a^{n+0} = a^n$ ). ∎

Exemple 63.10

Simplifier étape par étape :

\frac{3^7 \times 3^{-2}}{3^4} = \frac{3^{7 + (-2)}}{3^4} = \frac{3^5}{3^4} = 3^{5-4} = 3^1 = 3 .

Et avec deux lettres : $(2a^3)^2 \times a = 4 a^6 \times a = 4a^7$ .

63.3 Puissances de dix et notation scientifique

Proposition 63.11 (Puissances de dix)

Pour un entier positif $n$ : $10^n$ s’écrit « $1$ suivi de $n$ zéros », et $10^{-n} = 0.0\dots01$ avec le $1$ à la $n$ -ième place décimale. Multiplier un nombre décimal par $10^n$ (resp. $10^{-n}$ ) décale sa virgule de $n$ places vers la droite (resp. la gauche).

Définition 63.12 (Notation scientifique)

La notation scientifique d’un nombre décimal positif est la façon unique de l’écrire sous la forme

a \times 10^n, \qquad\text{avec } 1 \leq a < 10 \text{ et } n \text{ un entier.}

Exemple 63.13

La distance Terre–Soleil est d’environ $149\,600\,000$ km $= 1.496 \times 10^8$ km. La taille d’une molécule d’eau est d’environ $0.000\,000\,000\,28$ m $= 2.8 \times 10^{-10}$ m. Pour calculer avec de tels nombres, regrouper les parties décimales et les puissances de dix :

(3 \times 10^5) \times (2.5 \times 10^{-2}) = (3 \times 2.5) \times 10^{5 + (-2)} = 7.5 \times 10^{3}.

Méthode 63.14 (Mettre un nombre en notation scientifique)

Déplacer la virgule juste après le premier chiffre non nul ; cela donne le facteur $a$ avec $1 \leq a < 10$ ;
compter le nombre de places dont la virgule a bougé : ce décompte est $n$ , positif si le nombre d’origine était $\geq 10$ , négatif s’il était $< 1$ ;
vérifier : $a \times 10^n$ doit reproduire le nombre d’origine.

63.4 Exercices

Exercice 63.1 ★

Calculer et donner le résultat sous forme de fraction entièrement simplifiée :

\frac13 + \frac15, \qquad \frac72 - \frac53, \qquad \frac{5}{12} + \frac38, \qquad 3 - \frac45 .

Solution

Solution de Exercice 63.1.

$\dfrac13 + \dfrac15 = \dfrac{5}{15} + \dfrac{3}{15} = \dfrac{8}{15}$ .

$\dfrac72 - \dfrac53 = \dfrac{21}{6} - \dfrac{10}{6} = \dfrac{11}{6}$ .

$\dfrac{5}{12} + \dfrac38 = \dfrac{10}{24} + \dfrac{9}{24} = \dfrac{19}{24}$ .

$3 - \dfrac45 = \dfrac{15}{5} - \dfrac45 = \dfrac{11}{5}$ .

Exercice 63.2 ★

Calculer et simplifier :

\frac59 \times \frac{27}{35}, \qquad \frac{8}{15} \div \frac{4}{5}, \qquad \frac23 \times \frac34 \times \frac45 .

Solution

Solution de Exercice 63.2.

$\dfrac59 \times \dfrac{27}{35} = \dfrac{5 \times 27}{9 \times 35} = \dfrac{27}{9} \times \dfrac{5}{35} = 3 \times \dfrac17 = \dfrac37$ (simplifier par $9$ et par $5$ ).

$\dfrac{8}{15} \div \dfrac45 = \dfrac{8}{15} \times \dfrac54 = \dfrac{8 \times 5}{15 \times 4} = \dfrac{40}{60} = \dfrac23$ .

$\dfrac23 \times \dfrac34 \times \dfrac45 = \dfrac{2 \times 3 \times 4} {3 \times 4 \times 5} = \dfrac25$ (les $3$ et les $4$ s’annulent).

Exercice 63.3 ★

Calculer :

2^5, \qquad (-2)^4, \qquad -2^4, \qquad 4^{-2}, \qquad \left(\tfrac23\right)^3, \qquad 7^0 .

Solution

Solution de Exercice 63.3.

$2^5 = 32$ ; $(-2)^4 = 16$ ; $-2^4 = -16$ ; $4^{-2} = \frac{1}{16}$ ; $\left(\frac23\right)^3 = \frac{8}{27}$ ; $7^0 = 1$ .

Exercice 63.4 ★

Écrire comme une seule puissance :

5^3 \times 5^6, \qquad \frac{7^9}{7^5}, \qquad \left(2^3\right)^4, \qquad \frac{3^2 \times 3^7}{3^5}, \qquad 2^5 \times 4 .

Solution

Solution de Exercice 63.4.

$5^3 \times 5^6 = 5^9$ ; $\dfrac{7^9}{7^5} = 7^4$ ; $\left(2^3\right)^4 = 2^{12}$ ; $\dfrac{3^2 \times 3^7}{3^5} = 3^{9-5} = 3^4$ ; $2^5 \times 4 = 2^5 \times 2^2 = 2^7$ .

Exercice 63.5 ★

Écrire en notation scientifique : $45\,000$ ; $0.0072$ ; $302.5$ ; $0.000\,000\,9$ ; douze millions.

Solution

Solution de Exercice 63.5.

$45\,000 = 4.5 \times 10^4$ ; $0.0072 = 7.2 \times 10^{-3}$ ; $302.5 = 3.025 \times 10^2$ ; $0.000\,000\,9 = 9 \times 10^{-7}$ ; douze millions $= 1.2 \times 10^7$ .

Exercice 63.6 ★★

Calculer, en donnant le résultat en notation scientifique :

(2 \times 10^7) \times (4.5 \times 10^{-3}), \qquad \frac{9 \times 10^5}{3 \times 10^{-2}}, \qquad (5 \times 10^3)^2 .

Solution

Solution de Exercice 63.6.

$(2 \times 10^7) \times (4.5 \times 10^{-3}) = 9 \times 10^{4}$ .

$\dfrac{9 \times 10^5}{3 \times 10^{-2}} = 3 \times 10^{5 - (-2)} = 3 \times 10^7$ .

$(5 \times 10^3)^2 = 25 \times 10^6 = 2.5 \times 10^7$ .

Exercice 63.7 ★★

Un réservoir est plein aux $\frac35$ . Après avoir ajouté $30$ litres, il est plein aux $\frac34$ . Quelle est la capacité du réservoir ? (Exprimer d’abord la fraction ajoutée du réservoir.)

Solution

Solution de Exercice 63.7.

L’eau ajoutée représente $\dfrac34 - \dfrac35 = \dfrac{15}{20} - \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{20}$ du réservoir. Donc $\frac{3}{20}$ de la capacité vaut $30$ litres : $\frac{1}{20}$ vaut $10$ litres, et la capacité est $200$ litres.

Exercice 63.8 ★★

Alice mange $\frac14$ d’un gâteau, puis Ben mange $\frac13$ de ce qui reste, puis Carla mange $\frac12$ de ce qui reste encore. Quelle fraction du gâteau reste-t-il à la fin ? (Calculer le reste après chaque étape.)

Solution

Solution de Exercice 63.8.

Après Alice : $1 - \frac14 = \frac34$ du gâteau reste. Ben mange $\frac13 \times \frac34 = \frac14$ , laissant $\frac34 - \frac14 = \frac12$ . Carla mange la moitié de cela, $\frac14$ , laissant $\frac14$ du gâteau.

Exercice 63.9 ★★

La lumière parcourt $3 \times 10^8$ mètres par seconde. Le Soleil est à environ $1.5 \times 10^{11}$ m. Combien de temps la lumière du Soleil met-elle à nous atteindre ? Donner la réponse en secondes (notation scientifique non nécessaire), puis en minutes et secondes.

Solution

Solution de Exercice 63.9.

Temps $= \dfrac{\text{distance}}{\text{vitesse}} = \dfrac{1.5 \times 10^{11}}{3 \times 10^8} = 0.5 \times 10^3 = 500$ secondes, soit $8$ minutes et $20$ secondes.

Exercice 63.10 ★★★

Lequel est plus grand, $2^{30}$ ou $3^{20}$ ? (Indication : écrire les deux comme des puissances d’exposant $10$ en utilisant $\left(a^m\right)^n = a^{mn}$ , et comparer $2^3$ avec $3^2$ .)

Solution

Solution de Exercice 63.10.

Écrire les deux nombres comme puissances d’exposant $10$ :

2^{30} = \left(2^3\right)^{10} = 8^{10}, \qquad 3^{20} = \left(3^2\right)^{10} = 9^{10}.

Puisque $8 < 9$ , en multipliant dix copies de chacun : $8^{10} < 9^{10}$ , donc $2^{30} < 3^{20}$ .