Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

54Multiplier des nombres relatifs

L’année 7 a additionné et soustrait des nombres relatifs (Chapitre 46) ; il reste à les multiplier et les diviser. Une question domine le chapitre : pourquoi « moins fois moins » doit-il être plus ? On donne une raison, pas seulement une règle.

54.1 Les règles de signes

Théorème 54.1 (Signe d’un produit)

Le produit de deux nombres relatifs a pour distance à zéro le produit des distances, et son signe est donné par :

$\times$	$+$	$-$
$+$	$+$	$-$
$-$	$-$	$+$

Mêmes signes : produit positif. Signes contraires : produit négatif. Le même tableau régit les quotients.

Pourquoi $(-1) \times (-1) = +1$ . D’abord, $3 \times (-4)$ signifie $(-4) + (-4) + (-4) = -12$ : un positif fois un négatif est négatif. Observer maintenant le motif :

3 \times (-4) = -12, \quad 2 \times (-4) = -8, \quad 1 \times (-4) = -4, \quad 0 \times (-4) = 0 .

À chaque étape, le premier facteur baisse de $1$ et le résultat monte de $4$ . En poursuivant le motif d’un pas :

(-1) \times (-4) = 0 + 4 = +4 .

Tout autre choix casserait la régularité de l’arithmétique (distributivité). Donc moins fois moins doit être plus. ∎

L’argument du motif en image : les points (k,\ k × (-4)) s’alignent, et prolonger la droite au-delà de k = 0 force (-1)×(-4) = +4 et (-2)×(-4) = +8. — L’argument du motif en image : les points $(k,\ k \times (-4))$ s’alignent, et prolonger la droite au-delà de $k = 0$ force $(-1)\times(-4) = +4$ et $(-2)\times(-4) = +8$ .

Exemple 54.2

\begin{align*} (-7) \times (+6) &= -42 && \text{(signes contraires)} \\ (-5) \times (-8) &= +40 && \text{(mêmes signes)} \\ (+2.5) \times (-4) &= -10 \\ (-36) \div (-9) &= +4 \\ (+15) \div (-2) &= -7.5 . \end{align*}

54.2 Produits de plusieurs facteurs

Proposition 54.3 (Signe d’un long produit)

Le signe d’un produit de plusieurs facteurs non nuls ne dépend que du nombre de facteurs négatifs :

un nombre pair de facteurs négatifs donne un produit positif ;
un nombre impair donne un produit négatif.

Démonstration. Les facteurs négatifs se regroupent par paires, et chaque paire contribue un signe positif (Théorème 54.1) ; un décompte impair laisse un facteur négatif non apparié, qui rend le produit entier négatif. ∎

Exemple 54.4

$(-2) \times (+3) \times (-5) \times (-1)$ : trois facteurs négatifs (impair), donc le produit est négatif ; distances : $2 \times 3 \times 5 \times 1 = 30$ . Résultat : $-30$ . Décider le signe d’abord, puis multiplier les distances — deux tâches faciles au lieu d’une sujette aux erreurs.

Exemple 54.5 (Puissances de négatifs)

$(-2)^2 = (-2) \times (-2) = +4$ , et $(-2)^3 = (-2)^2 \times (-2) = -8$ : les exposants pairs donnent des valeurs positives, les exposants impairs gardent le signe. Attention à la notation : $(-3)^2 = 9$ mais $-3^2 = -(3 \times 3) = -9$ .

54.3 Calculer avec les quatre opérations

Méthode 54.6 (Calcul sûr avec des nombres relatifs)

Respecter les priorités du Chapitre 45 : parenthèses, puis $\times$ et $\div$ , puis $+$ et $-$ ;
à chaque multiplication ou division, trouver le signe d’abord, puis la distance ;
réécrire une étape par ligne.

Exemple 54.7

\begin{align*} 5 - 3 \times (-4) &= 5 - (-12) && \text{(produit d'abord~: signes contraires)}\\ &= 5 + 12 = 17 . \end{align*}

\begin{align*} \frac{(-6) \times (-10)}{-4} &= \frac{+60}{-4} && \text{(numérateur~: mêmes signes)}\\ &= -15 && \text{(quotient~: signes contraires).} \end{align*}

Exemple 54.8 (Substituer des valeurs négatives)

Évaluer $E = 3x^2 - 2x$ pour $x = -5$ , parenthèses autour de la valeur :

E = 3 \times (-5)^2 - 2 \times (-5) = 3 \times 25 - (-10) = 75 + 10 = 85 .

Les parenthèses de $(-5)^2$ sont essentielles : sans elles le carré ne s’appliquerait qu’à $5$ .

54.4 Exercices

Exercice 54.1 ★

Calculer :

(-8) \times (+7), \qquad (-9) \times (-6), \qquad (+12) \times (-0.5), \qquad (-1) \times (-1) \times (-1).

Solution

Solution de Exercice 54.1.

$(-8) \times (+7) = -56$ ; $(-9) \times (-6) = +54$ ; $(+12) \times (-0.5) = -6$ ; $(-1) \times (-1) \times (-1) = -1$ (trois facteurs négatifs : impair).

Exercice 54.2 ★

Calculer :

(-63) \div (+9), \qquad (-8) \div (-16), \qquad \frac{45}{-5}, \qquad \frac{-7.2}{-8} .

Solution

Solution de Exercice 54.2.

$(-63) \div (+9) = -7$ ; $(-8) \div (-16) = +0.5$ ; $\dfrac{45}{-5} = -9$ ; $\dfrac{-7.2}{-8} = +0.9$ .

Exercice 54.3 ★

Donner seulement le signe de chaque produit, sans le calculer :

(-3) \times (-7) \times (+2) \times (-5); \qquad (-1)^{10}; \qquad (-2)^{7}; \qquad (-4) \times 0 \times (-6).

Solution

Solution de Exercice 54.3.

Trois facteurs négatifs : négatif. $(-1)^{10}$ : dix facteurs négatifs, pair : positif (cela vaut $1$ ). $(-2)^7$ : sept facteurs, impair : négatif. $(-4) \times 0 \times (-6) = 0$ : ni positif ni négatif.

Exercice 54.4 ★

Calculer :

(-2)^4, \qquad -2^4, \qquad (-3)^3, \qquad (-1)^{2026} .

Solution

Solution de Exercice 54.4.

$(-2)^4 = +16$ ; $-2^4 = -16$ (le moins n’est pas élevé au carré) ; $(-3)^3 = -27$ ; $(-1)^{2026} = +1$ (exposant pair).

Exercice 54.5 ★

Calculer étape par étape, en respectant les priorités :

7 + 2 \times (-6), \qquad (-4) \times (5 - 9), \qquad 18 \div (-3) - (-2) .

Solution

Solution de Exercice 54.5.

$7 + 2 \times (-6) = 7 + (-12) = -5$ .

$(-4) \times (5 - 9) = (-4) \times (-4) = +16$ .

$18 \div (-3) - (-2) = -6 + 2 = -4$ .

Exercice 54.6 ★

Calculer :

\frac{(-5) \times (+8)}{-4}, \qquad \frac{(-3) \times (-6)}{(-2) \times (+9)} .

Solution

Solution de Exercice 54.6.

$\dfrac{(-5) \times (+8)}{-4} = \dfrac{-40}{-4} = +10$ .

$\dfrac{(-3) \times (-6)}{(-2) \times (+9)} = \dfrac{+18}{-18} = -1$ .

Exercice 54.7 ★

Évaluer pour $x = -3$ :

5x, \qquad x^2, \qquad -x^2, \qquad 2x^2 + 4x, \qquad (2x)^2 .

Solution

Solution de Exercice 54.7.

Pour $x = -3$ : $5x = -15$ ; $x^2 = (-3)^2 = 9$ ; $-x^2 = -9$ ; $2x^2 + 4x = 18 - 12 = 6$ ; $(2x)^2 = (-6)^2 = 36$ .

Exercice 54.8 ★★

Compléter chaque égalité :

(-6) \times \;?\; = 42, \qquad \;?\; \div (-4) = -2.5, \qquad (-5) \times \;?\; = -1 .

Solution

Solution de Exercice 54.8.

$(-6) \times (-7) = 42$ ; $10 \div (-4) = -2.5$ ; $(-5) \times \frac15 = -1$ , donc le nombre manquant est $+\frac15 = 0.2$ .

Exercice 54.9 ★★

Vrai ou faux ? Justifier ou donner un contre-exemple.

Le produit de deux nombres relatifs est toujours au moins aussi grand que leur somme.
Le carré d’un nombre relatif n’est jamais négatif.
Si un produit de trois facteurs est positif, les trois facteurs sont positifs.

Solution

Solution de Exercice 54.9.

1. Faux : $0.5 \times 0.5 = 0.25$ est plus petit que $0.5 + 0.5 = 1$ (ou : $2 \times 3 = 6 > 5$ , mais l’affirmation doit valoir toujours).

2. Vrai : un carré est un produit de deux nombres de même signe, donc positif ou nul.

3. Faux : $(-2) \times (-3) \times 4 = +24$ est positif avec deux facteurs négatifs.

Exercice 54.10 ★★

Chaque mauvaise réponse à un quiz compte $-3$ points, chaque bonne réponse $+5$ . Zoé a répondu à $20$ questions et a marqué $36$ points. Combien de réponses étaient justes ? (Essayer des valeurs, ou mettre en place le calcul $5r - 3(20 - r) = 36$ .)

Solution

Solution de Exercice 54.10.

Soit $r$ le nombre de bonnes réponses ; alors $20 - r$ sont fausses, et

5r - 3(20 - r) = 36 \ \Longrightarrow\ 5r - 60 + 3r = 36 \ \Longrightarrow\ 8r = 96 \ \Longrightarrow\ r = 12 .

Douze bonnes réponses (et huit fausses : vérification, $60 - 24 = 36$ ).

Exercice 54.11 ★★★

En utilisant la distributivité (comme dans la preuve de Théorème 54.1), développer et justifier chaque étape de

0 = (-1) \times 0 = (-1) \times \bigl(1 + (-1)\bigr) = (-1) \times 1 + (-1) \times (-1),

et conclure que $(-1) \times (-1)$ doit valoir $+1$ .

Solution

Solution de Exercice 54.11.

Zéro multiplié par quoi que ce soit donne zéro, donc $(-1) \times 0 = 0$ . En écrivant $0 = 1 + (-1)$ et en distribuant :

0 = (-1) \times \bigl(1 + (-1)\bigr) = (-1) \times 1 + (-1) \times (-1) = -1 + (-1) \times (-1).

Le nombre $(-1) \times (-1)$ ajouté à $-1$ donne $0$ : ce doit être l’opposé de $-1$ , c’est-à-dire $+1$ . La distributivité ne laisse pas d’autre choix.

54.5 Problème : pourquoi moins par moins donne plus

Problème 54.1

Devoir maison — les règles des signes déduites de la distributivité, et la somme alternée $1 - 2 + 3 - 4 + \dots$

La preuve du Théorème 54.1 a prolongé une régularité et affirmé que « tout autre choix casserait la distributivité ». Ce problème rend l’affirmation exacte : en partant de la seule distributivité (Théorème 45.6), on va démontrer les règles des signes — sans dessin, sans régularité, comme le fait l’algèbre — puis les mettre au travail sur les puissances de $-1$ et sur une somme célèbre aux signes alternés. Partout, $a$ et $b$ désignent des nombres relatifs ; on admet les règles d’addition du Chapitre 46, le fait que $1 \times a = a$ , et qu’un produit se calcule dans n’importe quel ordre (la distributivité s’applique donc des deux côtés d’un produit).

Partie I — Les règles des signes sont des théorèmes.

Démontrer que $0 \times a = 0$ pour tout nombre relatif $a$ . (Écrire $0 = 0 + 0$ , développer $(0 + 0) \times a$ , et se demander quel nombre, ajouté à $0 \times a$ , redonne $0 \times a$ .)
Développer $\bigl(1 + (-1)\bigr) \times a$ pour montrer que $(-1) \times a + a = 0$ , et en déduire que

$(-1) \times a = -a :$

multiplier par $-1$ donne l’opposé. Comparer avec Exercice 54.11, qui est le cas $a = -1$ .
En déduire que $(-a) \times b = -(a \times b)$ : un signe moins sort d’un produit sans changer.
En déduire que $(-a) \times (-b) = a \times b$ : deux signes moins s’annulent.
Tout nombre relatif est sa distance à zéro précédée d’un signe : $a = +d$ ou $a = -d$ . Expliquer comment les questions 3 et 4 démontrent les quatre cas du tableau des signes du Théorème 54.1, distances comprises.

Partie II — Les puissances de $-1$ .

Calculer $(-1)^2$ , $(-1)^3$ , $(-1)^4$ , $(-1)^5$ , puis donner, en le justifiant par Proposition 54.3, la valeur de $(-1)^n$ pour tout entier $n \geq 1$ .
Donner (sans calculer aucune distance) le signe de

$(-1) \times (-2) \times (-3) \times \dots \times (-10),$

et écrire la distance à zéro de ce produit sous la forme d’un produit d’entiers, sans l’effectuer.
Montrer que $(-a)^2 = a^2$ et que $(-a)^3 = -a^3$ . Pour quels exposants le signe moins survit-il ?
Utiliser les règles des signes pour montrer que le carré d’un nombre relatif n’est jamais négatif, et en déduire qu’aucun nombre relatif $x$ ne vérifie $x^2 = -4$ .
Zoé affirme : « $(-1)^{2026} + (-1)^{2027} = 0$ , et plus généralement deux puissances consécutives de $-1$ s’annulent toujours. » A-t-elle raison ? Justifier.

Partie III — La somme alternée. Les règles des signes une fois assurées, on peut calculer des sommes mêlant les deux signes. Pour un entier $n \geq 1$ , notons

A_n = 1 - 2 + 3 - 4 + \dots

la somme des entiers de $1$ à $n$ affectés de signes alternés : le dernier terme vaut $+n$ lorsque $n$ est impair, et $-n$ lorsque $n$ est pair. Ainsi $A_1 = 1$ et $A_2 = 1 - 2 = -1$ .

Calculer $A_3$ , $A_4$ , $A_5$ , $A_6$ et $A_7$ . Que conjecture-t-on ?
Supposons $n$ pair. Regrouper les termes deux par deux, $(1 - 2) + (3 - 4) + \dots$ , compter les paires, et démontrer que $A_n = -\frac{n}{2}$ .
Supposons $n$ impair. Expliquer pourquoi $A_n = A_{n-1} + n$ , et déduire de la question précédente que $A_n = \frac{n + 1}{2}$ .
Calculer $A_{100}$ , $A_{101}$ et $A_{2026}$ .
Alma a calculé $A_{101} - A_{100} = 51 - (-50) = 101$ et a été surprise de trouver exactement $101$ . Aurait-elle dû l’être ? Expliquer en une phrase, et donner la valeur de $A_{2027} - A_{2026}$ sans aucun calcul supplémentaire.

Solution

Solution de Problème 54.1.

1. Puisque $0 = 0 + 0$ , la distributivité (Théorème 45.6) donne

0 \times a = (0 + 0) \times a = 0 \times a + 0 \times a .

Ajouter $0 \times a$ à lui-même ne change donc rien — et le seul nombre que l’on puisse ajouter sans rien changer est $0$ . (Directement : retrancher $0 \times a$ des deux côtés.) D’où $0 \times a = 0$ .

2. En développant, puis en utilisant $1 + (-1) = 0$ et la question 1 :

a + (-1) \times a = 1 \times a + (-1) \times a = \bigl(1 + (-1)\bigr) \times a = 0 \times a = 0 .

Ainsi $(-1) \times a$ est le nombre qui, ajouté à $a$ , donne $0$ : c’est exactement l’opposé de $a$ , et $(-1) \times a = -a$ . Exercice 54.11 est le cas particulier $a = -1$ : on y trouve $(-1) \times (-1) = -(-1) = +1$ .

3. Écrivons $-a = (-1) \times a$ (question 2) et regroupons les facteurs :

(-a) \times b = \bigl((-1) \times a\bigr) \times b = (-1) \times (a \times b) = -(a \times b) .

4. Appliquons deux fois la question 3 (une fois sur chaque facteur) :

(-a) \times (-b) = -\bigl(a \times (-b)\bigr) = -\bigl(-(a \times b)\bigr) = a \times b ,

puisque l’opposé de l’opposé d’un nombre est ce nombre lui-même.

5. Écrivons $a = +d$ ou $a = -d$ et $b = +e$ ou $b = -e$ , où $d$ et $e$ sont les distances à zéro. Les quatre cas :

(+d) \times (+e) = de, \quad (+d) \times (-e) = -de, \quad (-d) \times (+e) = -de, \quad (-d) \times (-e) = +de,

les deux du milieu par la question 3, le dernier par la question 4. Dans tous les cas, la distance à zéro du résultat vaut $d \times e$ , le produit des distances, et le signe est celui qu’annonce le tableau du Théorème 54.1 : mêmes signes, résultat positif ; signes contraires, résultat négatif.

6. $(-1)^2 = +1$ , $(-1)^3 = -1$ , $(-1)^4 = +1$ , $(-1)^5 = -1$ . En général, $(-1)^n$ est un produit de $n$ facteurs négatifs, chacun de distance $1$ : d’après Proposition 54.3, il vaut $+1$ lorsque $n$ est pair et $-1$ lorsque $n$ est impair.

7. Il y a dix facteurs négatifs — un nombre pair — donc le produit est positif (Proposition 54.3). Sa distance à zéro vaut $1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 10$ .

8. Par la question 4, $(-a)^2 = (-a) \times (-a) = a \times a = a^2$ . Puis, par la question 3,

(-a)^3 = (-a)^2 \times (-a) = a^2 \times (-a) = -(a^2 \times a) = -a^3 .

Le signe moins disparaît pour les exposants pairs et survit pour les exposants impairs, conformément à l’Exemple 54.5.

9. Si $a = 0$ , alors $a^2 = 0$ . Sinon, $a$ et $a$ ont le même signe, donc $a^2 = a \times a$ est positif (Théorème 54.1). Un carré n’est donc jamais négatif ; comme $-4$ est négatif, aucun nombre relatif $x$ ne vérifie $x^2 = -4$ .

10. Zoé a raison. Les exposants $2026$ et $2027$ sont de parités contraires, donc $(-1)^{2026} = +1$ et $(-1)^{2027} = -1$ , dont la somme vaut $0$ . En général, de deux exposants consécutifs l’un est pair et l’autre impair : les deux puissances valent donc $+1$ et $-1$ dans un ordre ou dans l’autre — deux nombres opposés, dont la somme est toujours $0$ .

11. $A_3 = 1 - 2 + 3 = 2$ , puis $A_4 = A_3 - 4 = -2$ , $A_5 = A_4 + 5 = 3$ , $A_6 = A_5 - 6 = -3$ , $A_7 = A_6 + 7 = 4$ . Conjecture : $A_n = -\frac{n}{2}$ pour $n$ pair, et $A_n = \frac{n+1}{2}$ pour $n$ impair.

12. Pour $n$ pair, les termes s’apparient complètement :

A_n = (1 - 2) + (3 - 4) + \dots + \bigl((n-1) - n\bigr),

et chaque paire vaut $-1$ . Il y a $\frac{n}{2}$ paires (deux termes par paire, $n$ termes en tout), donc $A_n = \frac{n}{2} \times (-1) = -\frac{n}{2}$ .

13. Pour $n$ impair, la somme $A_n$ est la somme $A_{n-1}$ des $n - 1$ premiers termes, augmentée du dernier terme, qui vaut $+n$ puisque $n$ est impair. Comme $n - 1$ est pair, la question 12 donne

A_n = A_{n-1} + n = -\frac{n-1}{2} + n = \frac{-(n-1) + 2n}{2} = \frac{n+1}{2} .

14. $A_{100} = -\frac{100}{2} = -50$ , $A_{101} = \frac{102}{2} = 51$ , $A_{2026} = -\frac{2026}{2} = -1013$ .

15. Aucune surprise : passer de $A_{100}$ à $A_{101}$ ajoute exactement un terme, à savoir $+101$ ; la différence devait donc valoir $101$ . Pour la même raison, $A_{2027} - A_{2026} = +2027$ — sans calculer $A_{2027}$ du tout.