Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

54Multiplier des nombres relatifs

L’année 7 a additionné et soustrait des nombres relatifs (Chapitre 46) ; il reste à les multiplier et les diviser. Une question domine le chapitre : pourquoi « moins fois moins » doit-il être plus ? On donne une raison, pas seulement une règle.

54.1 Les règles de signes

Théorème 54.1 (Signe d’un produit)

Le produit de deux nombres relatifs a pour distance à zéro le produit des distances, et son signe est donné par :

$\times$	$+$	$-$
$+$	$+$	$-$
$-$	$-$	$+$

Mêmes signes : produit positif. Signes contraires : produit négatif. Le même tableau régit les quotients.

Pourquoi $(-1) \times (-1) = +1$ . D’abord, $3 \times (-4)$ signifie $(-4) + (-4) + (-4) = -12$ : un positif fois un négatif est négatif. Observer maintenant le motif :

3 \times (-4) = -12, \quad 2 \times (-4) = -8, \quad 1 \times (-4) = -4, \quad 0 \times (-4) = 0 .

À chaque étape, le premier facteur baisse de $1$ et le résultat monte de $4$ . En poursuivant le motif d’un pas :

(-1) \times (-4) = 0 + 4 = +4 .

Tout autre choix casserait la régularité de l’arithmétique (distributivité). Donc moins fois moins doit être plus. ∎

L’argument du motif en image : les points (k,\ k × (-4)) s’alignent, et prolonger la droite au-delà de k = 0 force (-1)×(-4) = +4 et (-2)×(-4) = +8. — L’argument du motif en image : les points $(k,\ k \times (-4))$ s’alignent, et prolonger la droite au-delà de $k = 0$ force $(-1)\times(-4) = +4$ et $(-2)\times(-4) = +8$ .

Exemple 54.2

\begin{align*} (-7) \times (+6) &= -42 && \text{(signes contraires)} \\ (-5) \times (-8) &= +40 && \text{(mêmes signes)} \\ (+2.5) \times (-4) &= -10 \\ (-36) \div (-9) &= +4 \\ (+15) \div (-2) &= -7.5 . \end{align*}

54.2 Produits de plusieurs facteurs

Proposition 54.3 (Signe d’un long produit)

Le signe d’un produit de plusieurs facteurs non nuls ne dépend que du nombre de facteurs négatifs :

un nombre pair de facteurs négatifs donne un produit positif ;
un nombre impair donne un produit négatif.

Démonstration. Les facteurs négatifs se regroupent par paires, et chaque paire contribue un signe positif (Théorème 54.1) ; un décompte impair laisse un facteur négatif non apparié, qui rend le produit entier négatif. ∎

Exemple 54.4

$(-2) \times (+3) \times (-5) \times (-1)$ : trois facteurs négatifs (impair), donc le produit est négatif ; distances : $2 \times 3 \times 5 \times 1 = 30$ . Résultat : $-30$ . Décider le signe d’abord, puis multiplier les distances — deux tâches faciles au lieu d’une sujette aux erreurs.

Exemple 54.5 (Puissances de négatifs)

$(-2)^2 = (-2) \times (-2) = +4$ , et $(-2)^3 = (-2)^2 \times (-2) = -8$ : les exposants pairs donnent des valeurs positives, les exposants impairs gardent le signe. Attention à la notation : $(-3)^2 = 9$ mais $-3^2 = -(3 \times 3) = -9$ .

54.3 Calculer avec les quatre opérations

Méthode 54.6 (Calcul sûr avec des nombres relatifs)

Respecter les priorités du Chapitre 45 : parenthèses, puis $\times$ et $\div$ , puis $+$ et $-$ ;
à chaque multiplication ou division, trouver le signe d’abord, puis la distance ;
réécrire une étape par ligne.

Exemple 54.7

\begin{align*} 5 - 3 \times (-4) &= 5 - (-12) && \text{(produit d'abord~: signes contraires)}\\ &= 5 + 12 = 17 . \end{align*}

\begin{align*} \frac{(-6) \times (-10)}{-4} &= \frac{+60}{-4} && \text{(numérateur~: mêmes signes)}\\ &= -15 && \text{(quotient~: signes contraires).} \end{align*}

Exemple 54.8 (Substituer des valeurs négatives)

Évaluer $E = 3x^2 - 2x$ pour $x = -5$ , parenthèses autour de la valeur :

E = 3 \times (-5)^2 - 2 \times (-5) = 3 \times 25 - (-10) = 75 + 10 = 85 .

Les parenthèses de $(-5)^2$ sont essentielles : sans elles le carré ne s’appliquerait qu’à $5$ .

54.4 Exercices

Exercice 54.1 ★

Calculer :

(-8) \times (+7), \qquad (-9) \times (-6), \qquad (+12) \times (-0.5), \qquad (-1) \times (-1) \times (-1).

Solution

Solution de Exercice 54.1.

$(-8) \times (+7) = -56$ ; $(-9) \times (-6) = +54$ ; $(+12) \times (-0.5) = -6$ ; $(-1) \times (-1) \times (-1) = -1$ (trois facteurs négatifs : impair).

Exercice 54.2 ★

Calculer :

(-63) \div (+9), \qquad (-8) \div (-16), \qquad \frac{45}{-5}, \qquad \frac{-7.2}{-8} .

Solution

Solution de Exercice 54.2.

$(-63) \div (+9) = -7$ ; $(-8) \div (-16) = +0.5$ ; $\dfrac{45}{-5} = -9$ ; $\dfrac{-7.2}{-8} = +0.9$ .

Exercice 54.3 ★

Donner seulement le signe de chaque produit, sans le calculer :

(-3) \times (-7) \times (+2) \times (-5); \qquad (-1)^{10}; \qquad (-2)^{7}; \qquad (-4) \times 0 \times (-6).

Solution

Solution de Exercice 54.3.

Trois facteurs négatifs : négatif. $(-1)^{10}$ : dix facteurs négatifs, pair : positif (cela vaut $1$ ). $(-2)^7$ : sept facteurs, impair : négatif. $(-4) \times 0 \times (-6) = 0$ : ni positif ni négatif.

Exercice 54.4 ★

Calculer :

(-2)^4, \qquad -2^4, \qquad (-3)^3, \qquad (-1)^{2026} .

Solution

Solution de Exercice 54.4.

$(-2)^4 = +16$ ; $-2^4 = -16$ (le moins n’est pas élevé au carré) ; $(-3)^3 = -27$ ; $(-1)^{2026} = +1$ (exposant pair).

Exercice 54.5 ★

Calculer étape par étape, en respectant les priorités :

7 + 2 \times (-6), \qquad (-4) \times (5 - 9), \qquad 18 \div (-3) - (-2) .

Solution

Solution de Exercice 54.5.

$7 + 2 \times (-6) = 7 + (-12) = -5$ .

$(-4) \times (5 - 9) = (-4) \times (-4) = +16$ .

$18 \div (-3) - (-2) = -6 + 2 = -4$ .

Exercice 54.6 ★

Calculer :

\frac{(-5) \times (+8)}{-4}, \qquad \frac{(-3) \times (-6)}{(-2) \times (+9)} .

Solution

Solution de Exercice 54.6.

$\dfrac{(-5) \times (+8)}{-4} = \dfrac{-40}{-4} = +10$ .

$\dfrac{(-3) \times (-6)}{(-2) \times (+9)} = \dfrac{+18}{-18} = -1$ .

Exercice 54.7 ★

Évaluer pour $x = -3$ :

5x, \qquad x^2, \qquad -x^2, \qquad 2x^2 + 4x, \qquad (2x)^2 .

Solution

Solution de Exercice 54.7.

Pour $x = -3$ : $5x = -15$ ; $x^2 = (-3)^2 = 9$ ; $-x^2 = -9$ ; $2x^2 + 4x = 18 - 12 = 6$ ; $(2x)^2 = (-6)^2 = 36$ .

Exercice 54.8 ★★

Compléter chaque égalité :

(-6) \times \;?\; = 42, \qquad \;?\; \div (-4) = -2.5, \qquad (-5) \times \;?\; = -1 .

Solution

Solution de Exercice 54.8.

$(-6) \times (-7) = 42$ ; $10 \div (-4) = -2.5$ ; $(-5) \times \frac15 = -1$ , donc le nombre manquant est $+\frac15 = 0.2$ .

Exercice 54.9 ★★

Vrai ou faux ? Justifier ou donner un contre-exemple.

Le produit de deux nombres relatifs est toujours au moins aussi grand que leur somme.
Le carré d’un nombre relatif n’est jamais négatif.
Si un produit de trois facteurs est positif, les trois facteurs sont positifs.

Solution

Solution de Exercice 54.9.

1. Faux : $0.5 \times 0.5 = 0.25$ est plus petit que $0.5 + 0.5 = 1$ (ou : $2 \times 3 = 6 > 5$ , mais l’affirmation doit valoir toujours).

2. Vrai : un carré est un produit de deux nombres de même signe, donc positif ou nul.

3. Faux : $(-2) \times (-3) \times 4 = +24$ est positif avec deux facteurs négatifs.

Exercice 54.10 ★★

Chaque mauvaise réponse à un quiz compte $-3$ points, chaque bonne réponse $+5$ . Zoé a répondu à $20$ questions et a marqué $36$ points. Combien de réponses étaient justes ? (Essayer des valeurs, ou mettre en place le calcul $5r - 3(20 - r) = 36$ .)

Solution

Solution de Exercice 54.10.

Soit $r$ le nombre de bonnes réponses ; alors $20 - r$ sont fausses, et

5r - 3(20 - r) = 36 \ \Longrightarrow\ 5r - 60 + 3r = 36 \ \Longrightarrow\ 8r = 96 \ \Longrightarrow\ r = 12 .

Douze bonnes réponses (et huit fausses : vérification, $60 - 24 = 36$ ).

Exercice 54.11 ★★★

En utilisant la distributivité (comme dans la preuve de Théorème 54.1), développer et justifier chaque étape de

0 = (-1) \times 0 = (-1) \times \bigl(1 + (-1)\bigr) = (-1) \times 1 + (-1) \times (-1),

et conclure que $(-1) \times (-1)$ doit valoir $+1$ .

Solution

Solution de Exercice 54.11.

Zéro multiplié par quoi que ce soit donne zéro, donc $(-1) \times 0 = 0$ . En écrivant $0 = 1 + (-1)$ et en distribuant :

0 = (-1) \times \bigl(1 + (-1)\bigr) = (-1) \times 1 + (-1) \times (-1) = -1 + (-1) \times (-1).

Le nombre $(-1) \times (-1)$ ajouté à $-1$ donne $0$ : ce doit être l’opposé de $-1$ , c’est-à-dire $+1$ . La distributivité ne laisse pas d’autre choix.