Qu'est-ce que « Rayon de convergence » ? — Mathématiques

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Définition 11.2 Mathématiques universitaires — Licence 2 · অধ্যায় 11 — Séries entières

Le rayon de convergence de $\sum a_n z^n$ est

R = \sup\{r \geq 0 : (a_n r^n) \text{ bornée}\} \in \intcc{0}{+\infty} .

D’après le Lemme 11.1 : convergence absolue pour $\abs z < R$ (normale sur les sous-disques compacts), divergence — avec des termes non bornés, même — pour $\abs z > R$ . Sur le cercle bord, tout peut arriver (Exercice 11.2). En pratique, $R$ se calcule par la règle de d’Alembert appliquée à $\abs{a_n}\abs z^n$ ou par comparaison.

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Exemple 11.3 (Un rayon sans règle du quotient)

Quel est le rayon de $\sum \sin(n)\,z^n$ ? Le quotient $\abs{\sin(n+1)/\sin n}$ n’a pas de limite, mais la définition fonctionne directement. $R \geq 1$ : $\abs{\sin n} \leq 1$ , donc $(\sin n\cdot r^n)$ est bornée pour tout $r < 1$ — et même pour $r = 1$ . $R \leq 1$ : il suffit que $\sin n \not\to 0$ . Supposons $\sin n \to 0$ ; la formule d’addition

\sin(n+1) = \sin n\cos 1 + \cos n\sin 1

forcerait $\cos n \to 0$ (résoudre en $\cos n$ : $\sin 1 \neq 0$ ), en contradiction avec $\sin^2 n + \cos^2 n = 1$ . Ainsi les termes $\sin(n)\,1^n$ ne tendent pas vers $0$ : la série diverge en $z = 1$ , et $R \leq 1$ . Conclusion : $R = 1$ . Idée à retenir : le rayon est une affirmation sur le caractère borné de $\abs{a_n}r^n$ — aucune limite de quotients n’est jamais requise, et les arguments de bornitude règlent des cas que la règle du quotient ne peut pas toucher (comparer avec les coefficients oscillants de l’Exercice 11.1).

Exemple 11.6 (Multiplier par $\frac{1}{1-x}$ somme les coefficients)

Un produit de Cauchy contre la série géométrique a un sens mémorable : pour toute $\sum a_nx^n$ de rayon $R > 0$ et $\abs x < \min(R, 1)$ ,

\frac{1}{1-x}\sum_{n\geq0}a_nx^n = \sum_{n\geq0}\Bigl(\sum_{k=0}^{n}a_k\Bigr)x^n :

la multiplication par $\frac{1}{1-x}$ remplace les coefficients par leurs sommes partielles (convolution avec la suite constante égale à un). Exemple : $\dfrac{\eu^x}{1-x} = \sum_n s_n x^n$ avec $s_n = \sum_{k\leq n}\frac{1}{k!}$ , les sommes partielles de $\eu$ — comparer avec l’Exercice 11.11, où le même produit avec $\eu^{-x}$ encode les nombres de dérangements. Idée à retenir : les opérations sur les séries entières sont des opérations déguisées sur les suites de coefficients (multiplier par $\frac1{1-x}$ : sommer ; multiplier par $x$ : décaler ; dériver : multiplier par $n$ et décaler) — un dictionnaire que le chapitre sur les fonctions génératrices lira couramment.

Exemple 11.20 (La formule de Binet, menée à bien)

Soient $\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2}$ et $\psi = \frac{1-\sqrt5}{2}$ , les racines de $X^2 = X + 1$ ; comme $\varphi + \psi = 1$ et $\varphi\psi = -1$ ,

1 - x - x^2 = (1 - \varphi x)(1 - \psi x) .

Éléments simples : en cherchant $\frac{x}{(1-\varphi x)(1-\psi x)} = \frac{A}{1 - \varphi x} + \frac{B}{1 - \psi x}$ , le terme constant donne $A + B = 0$ et le coefficient de $x$ donne $-A\psi - B\varphi = 1$ , donc $A(\varphi - \psi) = 1$ : $A = \frac{1}{\sqrt5} = -B$ . Deux séries géométriques plus tard,

F(x) = \frac{1}{\sqrt5}\sum_{n\geq0} \bigl(\varphi^n - \psi^n\bigr)x^n \quad\Longrightarrow\quad F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt5}

par unicité des coefficients (Théorème 11.7). Comme $\abs\psi < 1$ , le terme $\frac{\psi^n}{\sqrt5}$ a une valeur absolue $< \frac12$ : $F_n$ est l’entier le plus proche de $\frac{\varphi^n}{\sqrt5}$ . Idée à retenir : le rayon $\frac1\varphi$ de $F$ est l’inverse de la racine dominante — croissance des coefficients et rayon de convergence sont la même information lue en sens opposés.

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