Mathématiques du lycée · कक्षा 10–12

20Suites

Une suite est une liste de nombres réels indexés par les entiers naturels. Les suites modélisent des évolutions discrètes — populations comptées année par année, soldes d’un compte bancaire, approximations successives d’un nombre — et leurs limites sont la première rencontre sérieuse avec l’infini. Ce chapitre met en place le vocabulaire, le principe de récurrence, et les théorèmes fondamentaux de convergence.

20.1 Raisonnement par récurrence

Théorème 20.1 (Principe de récurrence)

Soit $P(n)$ un énoncé dépendant d’un entier $n$ , et soit $n_0 \in \N$ . Si

(initialisation) $P(n_0)$ est vrai, et
(hérédité) pour tout $n \geq n_0$ , $P(n)$ implique $P(n+1)$ ,

alors $P(n)$ est vrai pour tout $n \geq n_0$ .

Démonstration. Supposons, par l’absurde, que l’ensemble $A$ des entiers $n \geq n_0$ pour lesquels $P(n)$ est faux est non vide. Alors $A$ a un plus petit élément $m$ .¹ Comme $P(n_0)$ est vrai, $m > n_0$ , donc $m - 1 \geq n_0$ et $m-1 \notin A$ , c’est-à-dire $P(m-1)$ est vrai. L’hérédité appliquée à $n = m-1$ montre alors que $P(m)$ est vrai, contredisant $m \in A$ . ∎

Exemple 20.2

Prouvons l’inégalité de Bernoulli : pour tout réel $a > 0$ et tout $n \in \N$ ,

(1+a)^n \geq 1 + na.

Initialisation. Pour $n = 0$ , les deux membres valent $1$ . Hérédité. Supposons $(1+a)^n \geq 1+na$ pour un certain $n \in \N$ . Comme $1 + a > 0$ , multiplier les deux membres par $1+a$ préserve l’inégalité :

(1+a)^{n+1} \geq (1+na)(1+a) = 1 + (n+1)a + na^2 \geq 1 + (n+1)a .

Par récurrence, l’inégalité vaut pour tout $n \in \N$ .

Méthode 20.3 (Rédiger une démonstration par récurrence)

Toujours rendre l’énoncé $P(n)$ explicite avant de commencer. Une démonstration complète a trois parties visibles : l’initialisation, l’hérédité (« supposons $P(n)$ ; prouvons $P(n+1)$ »), et la conclusion invoquant le principe de récurrence. L’erreur la plus courante est de prouver l’hérédité sans jamais utiliser l’hypothèse $P(n)$ : si cela arrive, soit la preuve est fausse, soit la récurrence n’était pas nécessaire.

20.2 Vocabulaire des suites

Définition 20.4 (Suite)

Une suite est une fonction $u \colon \N \to \R$ (ou de $\{n \in \N : n \geq n_0\}$ vers $\R$ ). L’image de $n$ s’écrit $u_n$ , et la suite elle-même $(u_n)_{n\in\N}$ ou simplement $(u_n)$ .

Une suite peut être définie explicitement, par une formule $u_n = f(n)$ , ou par récurrence, par son premier terme et une relation $u_{n+1} = f(u_n)$ .

Définition 20.5 (Monotonie)

Une suite $(u_n)$ est croissante si $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$ , décroissante si $u_{n+1} \leq u_n$ pour tout $n$ , et monotone si elle est croissante ou décroissante. Elle est strictement croissante (resp. décroissante) lorsque les inégalités sont strictes.

Méthode 20.6 (Étudier la monotonie d’une suite)

Trois techniques standard :

étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ ;
si tous les termes sont positifs, comparer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ ;
si $u_n = f(n)$ avec $f$ définie sur $\intco{0}{+\infty}$ , utiliser les variations de $f$ .

Définition 20.7 (Suite bornée)

Une suite $(u_n)$ est majorée s’il existe $M \in \R$ avec $u_n \leq M$ pour tout $n$ ; minorée s’il existe $m \in \R$ avec $u_n \geq m$ pour tout $n$ ; et bornée si les deux valent.

20.2.1 Suites arithmétiques et géométriques

Définition 20.8 (Suites arithmétiques et géométriques)

Une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ si $u_{n+1} = u_n + r$ pour tout $n$ , et géométrique de raison $q$ si $u_{n+1} = q\,u_n$ pour tout $n$ .

Proposition 20.9 (Forme explicite et sommes)

Soit $n \in \N$ .

Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ , alors $u_n = u_0 + nr$ et

$u_0 + u_1 + \dots + u_n = (n+1)\,\frac{u_0 + u_n}{2}.$
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q \neq 1$ , alors $u_n = u_0\, q^n$ et

$u_0 + u_1 + \dots + u_n = u_0\,\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.$

Démonstration. Les formes explicites suivent par des récurrences immédiates. Pour la somme arithmétique, écrire $S = u_0 + \dots + u_n$ et ajouter la même somme écrite à l’envers : chacune des $n+1$ sommes de colonnes égale $u_0 + u_n$ , donc $2S = (n+1)(u_0+u_n)$ . Pour la somme géométrique, calculer $S - qS$ : tous les termes s’annulent par paires sauf le premier et le dernier, donc $(1-q)S = u_0(1 - q^{n+1})$ . ∎

20.3 Limite d’une suite

Définition 20.10 (Suite convergente)

Une suite $(u_n)$ converge vers le nombre réel $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes $u_n$ à partir d’un certain rang. On écrit alors $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = \ell$ .

De façon équivalente : pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe $N \in \N$ tel que pour tout $n \geq N$ , $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon$ .

Convergence de u_n = 2 + (-1)n/n vers = 2 : pour > 0 donné, tous les termes à partir de l’indice N sont dans la bande [ - , + ]. — Convergence de $u_n = 2 + \frac{(-1)^n}{n}$ vers $\ell = 2$ : pour $\varepsilon > 0$ donné, tous les termes à partir de l’indice $N$ sont dans la bande $\intcc{\ell-\varepsilon}{\ell+\varepsilon}$ .

Définition 20.11 (Divergence vers l’infini)

La suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ si pour tout $A \in \R$ , il existe $N \in \N$ tel que $u_n \geq A$ pour tout $n \geq N$ . On écrit $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = +\infty$ ; la définition de $\lim u_n = -\infty$ est analogue. Une suite qui ne converge pas est dite divergente.

Remarque 20.12

Une suite peut diverger sans tendre vers $\pm\infty$ : la suite $u_n = (-1)^n$ ne prend que les valeurs $1$ et $-1$ et n’a pas de limite.

Proposition 20.13 (Unicité de la limite)

Si $(u_n)$ converge, sa limite est unique.

Démonstration. Supposons $u_n \to \ell$ et $u_n \to \ell'$ avec $\ell \neq \ell'$ , disons $\ell < \ell'$ . Poser $\varepsilon = \frac{\ell' - \ell}{3} > 0$ . À partir d’un certain rang, $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon$ et $\abs{u_n - \ell'} \leq \varepsilon$ , d’où

\ell' - \ell \leq \abs{\ell' - u_n} + \abs{u_n - \ell} \leq 2\varepsilon = \tfrac{2}{3}(\ell' - \ell) < \ell' - \ell,

une contradiction. ∎

Proposition 20.14 (Opérations sur les limites)

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ des suites de limites $\ell$ et $\ell'$ (finies ou infinies). Alors, chaque fois que le second membre n’est pas une forme indéterminée,

\lim (u_n + v_n) = \ell + \ell', \qquad \lim (u_n v_n) = \ell\,\ell', \qquad \lim \frac{u_n}{v_n} = \frac{\ell}{\ell'}.

Les formes indéterminées sont $(+\infty) + (-\infty)$ , $0 \times \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ et $\frac{0}{0}$ .

Démonstration. On prouve la règle de la somme pour des limites finies ; les autres cas sont analogues et laissés en exercice. Soit $\varepsilon > 0$ . Il existe $N_1, N_2$ tels que $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon/2$ pour $n \geq N_1$ et $\abs{v_n - \ell'} \leq \varepsilon/2$ pour $n \geq N_2$ . Pour $n \geq \max(N_1, N_2)$ , l’inégalité triangulaire donne

\abs{(u_n + v_n) - (\ell + \ell')} \leq \abs{u_n - \ell} + \abs{v_n - \ell'} \leq \varepsilon. \qedhere

∎

Méthode 20.15 (Lever une forme indéterminée)

Face à une forme indéterminée, factoriser le terme dominant. Par exemple

n^2 - n = n^2\left(1 - \tfrac{1}{n}\right) \xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty, \qquad \frac{2n^2+1}{n^2 - n} = \frac{2 + 1/n^2}{1 - 1/n} \xrightarrow[n\to+\infty]{} 2 .

20.4 Théorèmes de convergence

Théorème 20.16 (Comparaison et théorème des gendarmes)

Soient $(u_n)$ , $(v_n)$ , $(w_n)$ des suites.

Si $u_n \leq v_n$ à partir d’un certain rang et $u_n \to +\infty$ , alors $v_n \to +\infty$ .
(Théorème des gendarmes) Si $u_n \leq v_n \leq w_n$ à partir d’un certain rang et $(u_n)$ et $(w_n)$ convergent toutes deux vers la même limite $\ell$ , alors $(v_n)$ converge vers $\ell$ .

Démonstration. 1. Soit $A \in \R$ . Comme $u_n \to +\infty$ , il existe $N$ avec $u_n \geq A$ pour $n \geq N$ ; en élargissant $N$ si besoin, $v_n \geq u_n \geq A$ pour $n \geq N$ .

2. Soit $\varepsilon > 0$ . À partir d’un certain rang, à la fois $\ell - \varepsilon \leq u_n$ et $w_n \leq \ell + \varepsilon$ valent, d’où $\ell - \varepsilon \leq u_n \leq v_n \leq w_n \leq \ell + \varepsilon$ , c’est-à-dire $\abs{v_n - \ell} \leq \varepsilon$ . ∎

Exemple 20.17

Pour tout $n \geq 1$ , $-\frac{1}{n} \leq \frac{(-1)^n}{n} \leq \frac{1}{n}$ , et les deux bornes tendent vers $0$ ; d’où $\frac{(-1)^n}{n} \to 0$ .

Théorème 20.18 (Théorème de la convergence monotone)

Une suite croissante majorée converge. Une suite décroissante minorée converge. Une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$ .

Démonstration partielle. On prouve le troisième énoncé. Soit $(u_n)$ croissante et non majorée, et soit $A \in \R$ . Comme $A$ n’est pas un majorant, il existe $N$ avec $u_N \geq A$ ; par monotonie, $u_n \geq u_N \geq A$ pour tout $n \geq N$ . D’où $u_n \to +\infty$ .

Les deux énoncés de convergence s’appuient sur la propriété de la borne supérieure de $\R$ ; ils sont admis à ce niveau (et prouvés en première année d’université). ∎

Remarque 20.19

Le théorème garantit l’existence de la limite mais n’en donne pas la valeur. Une suite croissante majorée par $M$ converge vers un certain $\ell \leq M$ , pas nécessairement vers $M$ .

Théorème 20.20 (Limite des suites géométriques)

Soit $q \in \R$ .

Si $q > 1$ , alors $q^n \to +\infty$ .
Si $q = 1$ , alors $q^n \to 1$ .
Si $\abs{q} < 1$ , alors $q^n \to 0$ .
Si $q \leq -1$ , alors $(q^n)$ diverge et n’a pas de limite.

Démonstration. 1. Écrire $q = 1 + a$ avec $a > 0$ . L’inégalité de Bernoulli (Exemple 20.2) donne $q^n \geq 1 + na \to +\infty$ , et on conclut par comparaison (Théorème 20.16).

2. Immédiat.

3. Si $q = 0$ l’assertion est claire. Sinon $\abs{q} < 1$ donne $1/\abs{q} > 1$ , donc $(1/\abs{q})^n \to +\infty$ par le point 1, d’où $\abs{q}^n \to 0$ , et $-\abs{q}^n \leq q^n \leq \abs{q}^n$ permet de conclure par le théorème des gendarmes.

4. Pour $q \leq -1$ , $(q^{2n})$ prend des valeurs $\geq 1$ tandis que $(q^{2n+1})$ prend des valeurs $\leq -1$ : aucune limite unique ne peut attirer les deux sous-suites. ∎

Les trois comportements de (qn) : divergence vers +∈fty pour q > 1 (rouge), convergence vers 0 pour q < 1 (bleu), et oscillation amortie — encore convergence vers 0 — pour -1 < q < 0 (orange). — Les trois comportements de $(q^n)$ : divergence vers $+\infty$ pour $q > 1$ (rouge), convergence vers $0$ pour $\abs q < 1$ (bleu), et oscillation amortie — encore convergence vers $0$ — pour $-1 < q < 0$ (orange).

Méthode 20.21 (Suites récurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$ )

Pour étudier une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ :

prouver par récurrence que $(u_n)$ reste dans un intervalle $I$ sur lequel $f$ se comporte bien (et, souvent, que $(u_n)$ est monotone) ;
déduire la convergence du théorème de la convergence monotone ;
passer à la limite dans la relation $u_{n+1} = f(u_n)$ : si $f$ est continue et $u_n \to \ell \in I$ , alors $\ell$ satisfait $f(\ell) = \ell$ (voir le Chapitre 21) ; résoudre cette équation et sélectionner la bonne racine.

Construction en escalier pour u_n+1 = √u_n + 2, u_0 = 0 () : chaque marche verticale lit f(u_n) sur la courbe, chaque marche horizontale la ramène par y = x. La suite monte vers le point fixe = 2, où la courbe rencontre la droite. — Construction en escalier pour $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ , $u_0 = 0$ (Exercice 20.6) : chaque marche verticale lit $f(u_n)$ sur la courbe, chaque marche horizontale la ramène par $y = x$ . La suite monte vers le point fixe $\ell = 2$ , où la courbe rencontre la droite.

Exemple 20.22

Soit $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right)$ . On vérifie par récurrence que $u_n \geq \sqrt{2}$ pour tout $n$ (l’inégalité $\frac{1}{2}(x + 2/x) \geq \sqrt{2}$ pour $x>0$ équivaut à $(x - \sqrt2)^2 \geq 0$ ), puis que $(u_n)$ est décroissante, car

u_{n+1}-u_n=\frac{2-u_n^2}{2u_n}\leq 0 .

Décroissante et minorée, $(u_n)$ converge vers un certain $\ell \geq \sqrt{2}$ , qui doit satisfaire $\ell = \frac{1}{2}(\ell + 2/\ell)$ , c’est-à-dire $\ell^2 = 2$ . D’où $u_n \to \sqrt{2}$ . C’est l’algorithme d’Héron, déjà utilisé par les Babyloniens ; sa convergence est extrêmement rapide ( $u_3$ donne déjà $\sqrt 2$ à huit décimales).

20.5 Exercices

Exercice 20.1 ★

Prouver par récurrence que pour tout $n \in \N$ ,

1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

Solution

Solution de Exercice 20.1.

Soit $P(n)$ l’énoncé $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ . Initialisation : pour $n = 0$ les deux membres valent $0$ (somme vide). Hérédité : supposons $P(n)$ . Alors

\sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = \frac{(n+1)\bigl(n(2n+1) + 6(n+1)\bigr)}{6} = \frac{(n+1)(2n^2 + 7n + 6)}{6}.

Comme $2n^2 + 7n + 6 = (n+2)(2n+3)$ , c’est $\frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}$ , qui est $P(n+1)$ . Par récurrence, $P(n)$ vaut pour tout $n$ .

Exercice 20.2 ★

Étudier la monotonie des suites définies pour $n \geq 1$ par

a_n = \frac{n+1}{n}, \qquad b_n = \frac{2^n}{n}, \qquad c_n = n^2 - 10n .

Solution

Solution de Exercice 20.2.

$a_{n+1} - a_n = \frac{n+2}{n+1} - \frac{n+1}{n} = \frac{n(n+2) - (n+1)^2}{n(n+1)} = \frac{-1}{n(n+1)} < 0$ : $(a_n)$ est strictement décroissante.

$(b_n)$ a des termes positifs et $\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{2^n} = \frac{2n}{n+1} \geq 1 \iff 2n \geq n+1 \iff n \geq 1$ : $(b_n)$ est croissante (strictement pour $n \geq 2$ ).

$c_{n+1} - c_n = (n+1)^2 - 10(n+1) - n^2 + 10n = 2n - 9$ , qui est négatif pour $n \leq 4$ et positif pour $n \geq 5$ : $(c_n)$ décroît jusqu’à $c_5 = -25$ , son minimum, puis croît. Elle n’est pas monotone.

Exercice 20.3 ★

Calculer les limites des suites de termes généraux

u_n = \frac{3n^2 - n + 1}{2n^2 + 5}, \qquad v_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}, \qquad w_n = \frac{2^n - 3^n}{3^n + 1}.

Solution

Solution de Exercice 20.3.

Factoriser les termes dominants :

u_n = \frac{n^2(3 - 1/n + 1/n^2)}{n^2(2 + 5/n^2)} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{3}{2}.

Multiplier par le conjugué :

v_n = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0.

Diviser numérateur et dénominateur par $3^n$ :

w_n = \frac{(2/3)^n - 1}{1 + (1/3)^n} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{0-1}{1+0} = -1,

en utilisant $\lim q^n = 0$ pour $\abs{q} < 1$ .

Exercice 20.4 ★

Soit $(u_n)$ la suite arithmétique avec $u_0 = 5$ et raison $r = 3$ , et $(v_n)$ la suite géométrique avec $v_0 = 8$ et raison $q = \frac{1}{2}$ . Calculer $u_n$ , $v_n$ , $\sum_{k=0}^{n} u_k$ et $\sum_{k=0}^{n} v_k$ , et les limites des quatre expressions lorsque $n \to +\infty$ .

Solution

Solution de Exercice 20.4.

$u_n = 5 + 3n \to +\infty$ et $v_n = 8 \cdot (1/2)^n = 2^{3-n} \to 0$ . Les sommes sont

\sum_{k=0}^{n} u_k = (n+1)\,\frac{5 + (5+3n)}{2} = \frac{(n+1)(10+3n)}{2} \xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty,

\sum_{k=0}^{n} v_k = 8\,\frac{1 - (1/2)^{n+1}}{1 - 1/2} = 16\left(1 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right) \xrightarrow[n\to+\infty]{} 16 .

Exercice 20.5 ★★

En utilisant le théorème des gendarmes, calculer

\lim_{n\to+\infty} \frac{n + \cos n}{n + 1} \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty} \frac{n!}{n^n},

où $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$ . Pour la seconde limite, borner $\frac{n!}{n^n}$ par un terme d’une suite géométrique.

Solution

Solution de Exercice 20.5.

Comme $-1 \leq \cos n \leq 1$ ,

\frac{n-1}{n+1} \leq \frac{n + \cos n}{n+1} \leq 1,

et $\frac{n-1}{n+1} \to 1$ , donc la limite est $1$ par le théorème des gendarmes.

Pour la seconde limite, écrire

0 \leq \frac{n!}{n^n} = \frac{1}{n}\cdot\frac{2}{n}\cdots\frac{n}{n} \leq \frac{1}{n},

car chaque facteur $\frac{k}{n}$ avec $2 \leq k \leq n$ est au plus $1$ . Comme $\frac1n \to 0$ , le théorème des gendarmes donne $\frac{n!}{n^n} \to 0$ . (La borne géométrique suggérée fonctionne aussi : chaque facteur avec $k \leq n/2$ est au plus $\frac12$ , donnant la borne plus forte $(1/2)^{\floor{n/2}}$ .)

Exercice 20.6 ★★

Soit $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ pour tout $n \in \N$ .

Prouver par récurrence que $0 \leq u_n \leq 2$ pour tout $n$ .
Montrer que $(u_n)$ est croissante.
En déduire que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.

Solution

Solution de Exercice 20.6.

1. $u_0 = 0 \in \intcc{0}{2}$ . Si $0 \leq u_n \leq 2$ , alors $2 \leq u_n + 2 \leq 4$ , donc $\sqrt{2} \leq u_{n+1} \leq 2$ ; en particulier $0 \leq u_{n+1} \leq 2$ . Par récurrence la propriété vaut pour tout $n$ .

2. $u_{n+1} - u_n = \sqrt{u_n + 2} - u_n$ . Pour $x \in \intcc{0}{2}$ , $\sqrt{x+2} \geq x \iff x + 2 \geq x^2 \iff (2-x)(x+1) \geq 0$ , ce qui est vrai. D’où $(u_n)$ est croissante.

3. Croissante et majorée par $2$ , $(u_n)$ converge vers un certain $\ell \in \intcc{0}{2}$ . En passant à la limite dans $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ (l’application $x \mapsto \sqrt{x+2}$ est continue) on obtient $\ell = \sqrt{\ell + 2}$ , donc $\ell^2 - \ell - 2 = 0$ , c’est-à-dire $\ell \in \{-1, 2\}$ . Comme $\ell \geq 0$ , $\lim u_n = 2$ .

Exercice 20.7 ★★

Un patient prend une dose de $1$ unité d’un médicament chaque matin. Pendant chaque période de $24$ heures, le corps élimine $40\,\%$ du médicament présent. Soit $u_n$ la quantité de médicament dans le corps juste après la dose du jour $n$ , de sorte que $u_0 = 1$ .

Justifier que $u_{n+1} = 0.6\,u_n + 1$ .
Soit $v_n = u_n - 2.5$ . Montrer que $(v_n)$ est géométrique et en déduire une formule explicite pour $u_n$ .
Déterminer la quantité de médicament à long terme dans le corps.

Solution

Solution de Exercice 20.7.

1. Entre deux doses, $40\,\%$ du médicament est éliminé, donc la quantité $u_n$ devient $0.6\,u_n$ ; la dose suivante ajoute $1$ unité : $u_{n+1} = 0.6\,u_n + 1$ .

2. $v_{n+1} = u_{n+1} - 2.5 = 0.6\,u_n + 1 - 2.5 = 0.6(u_n - 2.5) = 0.6\,v_n$ : $(v_n)$ est géométrique de raison $0.6$ et de premier terme $v_0 = 1 - 2.5 = -1.5$ . D’où $v_n = -1.5 \times 0.6^n$ et

u_n = 2.5 - 1.5 \times 0.6^n .

3. Comme $0.6^n \to 0$ , $u_n \to 2.5$ : la quantité de médicament se stabilise à $2.5$ unités.

Exercice 20.8 ★★

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = \frac{4u_n - 1}{u_n + 2}$ .

Montrer par récurrence que $u_n > 1$ pour tout $n \in \N$ .
Montrer que $v_n = \dfrac{1}{u_n - 1}$ définit une suite arithmétique.
En déduire des formules explicites pour $v_n$ et $u_n$ , et la limite de $(u_n)$ .

Solution

Solution de Exercice 20.8.

1. $u_0 = 3 > 1$ . Si $u_n > 1$ , alors $u_n + 2 > 0$ et

u_{n+1} - 1 = \frac{4u_n - 1 - u_n - 2}{u_n + 2} = \frac{3(u_n - 1)}{u_n + 2} > 0 .

Par récurrence, $u_n > 1$ pour tout $n$ (et en particulier $u_n + 2 \neq 0$ , donc la suite est bien définie).

2. En utilisant l’identité ci-dessus,

v_{n+1} = \frac{1}{u_{n+1} - 1} = \frac{u_n + 2}{3(u_n - 1)} = \frac{(u_n - 1) + 3}{3(u_n - 1)} = \frac{1}{3} + v_n .

Donc $(v_n)$ est arithmétique de raison $\frac13$ et $v_0 = \frac{1}{u_0 - 1} = \frac12$ .

3. $v_n = \frac12 + \frac{n}{3}$ , d’où $u_n = 1 + \frac{1}{v_n} = 1 + \frac{6}{3 + 2n}$ . Comme $v_n \to +\infty$ , $u_n \to 1$ .

Exercice 20.9 ★★★

Pour $n \geq 1$ , soit $H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$ .

Montrer que pour tout $n \geq 1$ , $H_{2n} - H_n \geq \frac{1}{2}$ .
En déduire que $H_{2^k} \geq 1 + \frac{k}{2}$ pour tout $k \in \N$ , et conclure que $H_n \to +\infty$ .

Solution

Solution de Exercice 20.9.

1. $H_{2n} - H_n = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}$ est une somme de $n$ termes, chacun au moins $\frac{1}{2n}$ ; d’où $H_{2n} - H_n \geq n \cdot \frac{1}{2n} = \frac12$ .

2. Par récurrence sur $k$ : $H_{2^0} = H_1 = 1 \geq 1$ . Si $H_{2^k} \geq 1 + \frac{k}{2}$ , alors en appliquant le point 1 avec $n = 2^k$ ,

H_{2^{k+1}} \geq H_{2^k} + \frac12 \geq 1 + \frac{k+1}{2}.

La suite $(H_n)$ est croissante (chaque pas ajoute $\frac{1}{n+1} > 0$ ) et la sous-suite $H_{2^k}$ est non majorée, donc $(H_n)$ n’est pas majorée. Croissante et non majorée, elle tend vers $+\infty$ (Théorème 20.18).

Exercice 20.10 ★★★

(Suites adjacentes.) Deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont adjacentes si $(a_n)$ est croissante, $(b_n)$ est décroissante, et $b_n - a_n \to 0$ .

Montrer que pour tout $n$ , $a_n \leq b_n$ . (Indication : étudier la monotonie de $(b_n - a_n)$ .)
Montrer que des suites adjacentes convergent toutes deux vers la même limite.
Application : montrer que les suites $a_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$ et $b_n = a_n + \frac{1}{n \cdot n!}$ ( $n \geq 1$ ) sont adjacentes. (Leur limite commune est le nombre $\eu$ , étudié dans le Chapitre 23.)

Solution

Solution de Exercice 20.10.

1. La suite $d_n = b_n - a_n$ satisfait $d_{n+1} - d_n = (b_{n+1} - b_n) - (a_{n+1} - a_n) \leq 0$ , donc $(d_n)$ est décroissante ; comme $d_n \to 0$ , on obtient $d_n \geq 0$ pour tout $n$ (une suite décroissante avec un terme négatif resterait en dessous pour toujours, empêchant la limite $0$ ). D’où $a_n \leq b_n$ .

2. De $a_n \leq b_n \leq b_0$ , la suite croissante $(a_n)$ est majorée, donc elle converge vers un certain $\ell$ . De même $(b_n)$ , décroissante et minorée par $a_0$ , converge vers un certain $\ell'$ . Alors $\ell' - \ell = \lim (b_n - a_n) = 0$ , donc $\ell = \ell'$ .

3. $(a_n)$ est (strictement) croissante car $a_{n+1} - a_n = \frac{1}{(n+1)!} > 0$ . Pour $(b_n)$ ,

b_{n+1} - b_n = \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)(n+1)!} - \frac{1}{n\,n!} = \frac{n(n+1) + n - (n+1)^2}{n(n+1)(n+1)!} = \frac{-1}{n(n+1)(n+1)!} < 0 ,

donc $(b_n)$ est décroissante. Enfin $b_n - a_n = \frac{1}{n\,n!} \to 0$ . Les deux suites sont adjacentes, donc convergent vers une limite commune.

20.6 Problème : la suite de Héron, enfin jugée

Problème 20.1

Devoir du week-end — la récurrence certifie, la convergence monotone tranche, et la recette de $\sqrt2$ vieille de deux mille ans obtient enfin sa démonstration (avec, pour dessert, la merveilleuse moyenne de Gauss)

Trois fois déjà cette série a croisé la recette de Héron — moyenner l’estimation avec $2/\text{estimation}$ — et trois fois elle n’a pu qu’observer que la recette fonctionne. Ce chapitre possède enfin les instruments du jugement : la récurrence (Théorème 20.1), le théorème de convergence monotone (Théorème 20.18) et les limites de suites récurrentes. Le verdict, et la vitesse certifiée, occupent le cœur de ce problème ; autour de lui, les pièges classiques de la récurrence, la divergence la plus lente des mathématiques, et la convergence la plus rapide que Gauss ait jamais rencontrée.

Partie I — Échauffements par récurrence.

Démontrer par récurrence que $1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$ (l’escalier des nombres impairs, dessiné dans le volume précédent, à présent certifié).
Démontrer par récurrence que $2^n > n$ pour tout $n \in \N$ .
Démontrer par récurrence l’inégalité de Bernoulli : pour $x \geq 0$ et $n \in \N$ , $(1 + x)^n \geq 1 + nx$ .
Le piège classique : « toutes les billes sont de la même couleur — c’est vrai pour une bille ; et si $n$ billes quelconques sont toujours d’une seule couleur, alors parmi $n + 1$ billes les $n$ premières partagent une couleur, les $n$ dernières aussi, donc les $n + 1$ également ». Tout enfant sait que la conclusion est absurde : trouver l’étape exacte où la récurrence se rompt.
Démontrer par récurrence que $4^n - 1$ est divisible par $3$ pour tout $n \in \N$ .

Partie II — Le procès de Héron. On pose $x_0 = 2$ et $x_{n+1} = \dfrac12\left(x_n + \dfrac{2}{x_n}\right)$ .

Calculer $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ sous forme de fractions exactes (de vieilles connaissances).
Démontrer l’identité clé

$x_{n+1}^2 - 2 = \left(\frac{x_n^2 - 2}{2x_n}\right)^{\!2} \geq 0,$

et en déduire par récurrence que $x_n > 0$ et $x_n^2 > 2$ pour tout $n$ .
Montrer que $(x_n)$ est strictement décroissante (calculer $x_{n+1} - x_n$ et utiliser la question 7).
Invoquer le théorème de convergence monotone : pourquoi $(x_n)$ converge-t-elle vers une limite $L \geq 1$ ?
Identifier la limite : passer la relation de récurrence à la limite (Proposition 20.14) et conclure $L = \sqrt2$ . Énoncer le verdict historique : après deux mille ans de loyaux services, la recette de Héron est démontrée convergente.
La vitesse certifiée : avec $e_n = x_n - \sqrt2$ , démontrer que

$e_{n+1} = \frac{e_n^2}{2 x_n} ,$

et en déduire $e_{n+1} \leq \frac{e_n^2}{2\sqrt2}$ : l’erreur est élevée au carré à chaque pas — le doublement des décimales observé depuis le volume précédent, désormais théorème.
Confirmer numériquement : calculer $e_0, e_1, e_2, e_3$ (à partir de la question 6) et vérifier que chaque $\frac{e_{n+1}}{e_n^2}$ est proche de $\frac{1}{2x_n}$ .

Partie III — La divergence la plus lente.

L’Exercice 20.9 a démontré $H_{2^k} \geq 1 + \frac k2$ pour les sommes harmoniques. Combien de termes garantissent $H_n > 10$ ? (Une puissance de deux fera l’affaire ; s’émerveiller de sa taille.)
Par contraste, les sommes géométriques $1 + \frac12 + \frac14 + \dots + \frac{1}{2^n} = 2 - \frac{1}{2^n}$ convergent vers $2$ (Théorème 20.20) : l’intuition de la tablette de chocolat du volume précédent, enfin devenue un énoncé sur les limites. En écrire la démonstration en deux lignes.
Entre les deux : montrer que les sommes $S_n = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{n^2}$ convergent, en majorant $\frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$ (pour $k \geq 2$ ), en télescopant, puis en appliquant la convergence monotone. (La limite, $\frac{\pi^2}{6}$ , est l’un des miracles d’Euler, démontré dans les volumes universitaires.)
Énoncer en deux phrases la morale des questions 13 à 15 : que décide « les termes tendent vers $0$ » quant à la convergence des sommes — et que ne décide-t-elle pas ?

Partie IV — La moyenne arithmético-géométrique de Gauss. On pose $a_0 = 1$ , $b_0 = 2$ , et

a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}, \qquad b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2} .

Calculer $a_1, b_1, a_2, b_2$ (cinq décimales). Que remarque-t-on sur la vitesse ?
Montrer que $a_n \leq b_n$ pour tout $n$ (l’inégalité arithmético-géométrique, croisée tout au long de cette série), que $(a_n)$ est croissante et $(b_n)$ décroissante.
Montrer que $b_{n+1} - a_{n+1} \leq \frac{b_n - a_n}{2}$ (factoriser $b_{n+1} - a_{n+1} = \frac{(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})^2}{2}$ puis comparer), et conclure avec l’Exercice 20.10 que les deux suites sont adjacentes : elles partagent une limite commune $M(1, 2)$ , la moyenne arithmético-géométrique.
Calculer $M(1, 2)$ à six décimales (combien d’itérations a-t-il fallu ?). Le 30 mai 1799, Gauss calcula $M(1, \sqrt2)$ à onze décimales, reconnut $\frac{\pi}{M(1,\sqrt2)}$ dans une intégrale connue, et écrivit qu’un « nouveau champ de l’analyse » venait de s’ouvrir — c’était le cas : les intégrales elliptiques, racontées dans les volumes universitaires. Terminer par le classement des vitesses de convergence observées dans ce problème, de la plus lente à la plus rapide.

Solution

Solution de Problème 20.1.

1. Vrai pour $n = 1$ ( $1 = 1^2$ ). Si $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$ , alors en ajoutant l’impair suivant : $n^2 + (2n + 1) = (n + 1)^2$ : hérédité. Par récurrence, c’est vrai pour tout $n \geq 1$ .

2. $2^0 = 1 > 0$ . Si $2^n > n$ , alors $2^{n+1} = 2 \cdot 2^n > 2n \geq n + 1$ pour $n \geq 1$ (et le cas $n = 0$ se vérifie directement) : hérédité, c’est fait.

3. $n = 0$ : $1 \geq 1$ . Si $(1 + x)^n \geq 1 + nx$ , multiplions par $1 + x \geq 1 > 0$ : $(1 + x)^{n+1} \geq (1 + nx)(1 + x) = 1 + (n + 1)x + nx^2 \geq 1 + (n + 1)x$ .

4. C’est le passage de $n = 1$ à $n = 2$ : parmi deux billes, « les $n$ premières » et « les $n$ dernières » sont deux billes uniques disjointes — aucune bille commune ne fait le pont entre les deux groupes, donc rien n’oblige leurs couleurs à coïncider. L’argument d’hérédité exige en silence que les deux groupes se chevauchent, ce qui n’est vrai qu’à partir de $n \geq 2$ ; avec l’initialisation en $n = 1$ , la chaîne ne démarre jamais.

5. $4^0 - 1 = 0 = 3 \times 0$ . Si $4^n - 1 = 3k$ , alors $4^{n+1} - 1 = 4(4^n - 1) + 3 = 3(4k + 1)$ : hérédité.

6. $x_1 = \frac32$ , $x_2 = \frac{17}{12}$ , $x_3 = \frac{577}{408}$ .

7. $x_{n+1}^2 - 2 = \frac{(x_n^2 + 2)^2 - 8x_n^2} {4x_n^2} = \frac{(x_n^2 - 2)^2}{4 x_n^2}$ : un carré divisé par un nombre positif, donc $\geq 0$ , et même $> 0$ dès que $x_n^2 \neq 2$ . Récurrence : $x_0 = 2 > 0$ avec $x_0^2 = 4 > 2$ ; si $x_n > 0$ et $x_n^2 > 2$ , alors $x_{n+1}$ (moyenne de nombres positifs) est positif et $x_{n+1}^2 - 2 > 0$ .

8. $x_{n+1} - x_n = \frac{2 - x_n^2}{2x_n} < 0$ d’après la question 7 : la suite est strictement décroissante.

9. Décroissante et minorée (par $1$ , puisque $x_n^2 > 2 > 1$ et $x_n > 0$ ) : par le théorème de convergence monotone, $(x_n)$ converge vers une limite $L \geq 1$ .

10. Les limites respectent l’algèbre : de $x_{n+1} = \frac12\left(x_n + \frac{2}{x_n}\right)$ et $x_n \to L \geq 1 > 0$ on tire $L = \frac12\left(L + \frac2L\right)$ , donc $L^2 = 2$ et, $L$ étant positif, $L = \sqrt2$ . Verdict : convergence démontrée, limite identifiée — Héron est acquitté avec les honneurs.

11. $x_{n+1} - \sqrt2 = \frac{x_n^2 - 2\sqrt2\,x_n + 2}{2x_n} = \frac{(x_n - \sqrt2)^2}{2x_n}$ : c’est exactement $e_{n+1} = \frac{e_n^2}{2x_n}$ , et $x_n > \sqrt2$ donne $e_{n+1} \leq \frac{e_n^2}{2\sqrt2}$ . Erreur élevée au carré : chaque pas double le nombre de décimales exactes, comme on l’observait déjà dans le volume précédent.

12. $e_0 \approx 0.5858$ , $e_1 \approx 0.0858$ , $e_2 \approx 0.00245$ , $e_3 \approx 2.1 \times 10^{-6}$ . Rapports : $\frac{e_1}{e_0^2} \approx 0.25 = \frac{1}{2x_0}$ ; $\frac{e_2}{e_1^2} \approx 0.333 = \frac{1}{2x_1}$ ; $\frac{e_3}{e_2^2} \approx 0.353 \approx \frac{1}{2x_2}$ : le théorème à l’œuvre.

13. $H_{2^{18}} \geq 1 + 9 = 10$ : il faut environ $260\,000$ termes ( $2^{18} = 262\,144$ ) rien que pour dépasser $10$ — une divergence au pas de tortue (et $H_n > 100$ demanderait plus de termes qu’il n’y a d’atomes dans une bibliothèque).

14. $S_n = 2 - \frac{1}{2^n}$ (somme géométrique), et $\frac{1}{2^n} \to 0$ (Théorème 20.20), donc $S_n \to 2$ : la tablette de chocolat indéfiniment croquée tend vers le tout sans jamais l’atteindre — dans la langue officielle des limites, cette fois.

15. Pour $k \geq 2$ : $\frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac1k$ , donc $S_n \leq 1 + \left(1 - \frac1n\right) < 2$ : la suite est croissante et majorée, donc convergente (convergence monotone). Euler a plus tard nommé la limite : $\frac{\pi^2}{6}$ .

16. Que les termes tendent vers $0$ est nécessaire pour que les sommes se stabilisent, mais ne décide de rien : les termes harmoniques $\frac1n \to 0$ et pourtant les sommes explosent ; les termes $\frac{1}{n^2} \to 0$ et les sommes convergent. Toute la question est de savoir à quelle vitesse les termes meurent — c’est la théorie des séries, construite dans les volumes universitaires.

17. $a_1 = \sqrt2 \approx 1.41421$ , $b_1 = 1.5$ ; $a_2 \approx 1.45648$ , $b_2 \approx 1.45711$ : deux itérations suffisent déjà à faire coïncider trois décimales — une vitesse sidérante.

18. $b_{n+1} - a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2} - \sqrt{a_n b_n} = \frac{(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})^2}{2} \geq 0$ : les moyennes restent ordonnées. $(a_n)$ est croissante : $a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n} \geq \sqrt{a_n \cdot a_n} = a_n$ ; et $(b_n)$ est décroissante par un argument symétrique.

19. $\frac{b_{n+1} - a_{n+1}}{b_n - a_n} = \frac{(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})^2} {2(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})(\sqrt{b_n} + \sqrt{a_n})} = \frac{\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n}}{2(\sqrt{b_n} + \sqrt{a_n})} \leq \frac12$ : l’écart est au moins divisé par deux, donc $b_n - a_n \to 0$ ; avec la question 18, les suites sont adjacentes et partagent une limite $M(1, 2)$ .

20. La troisième itération donne $a_3 \approx b_3 \approx 1.456791$ : $M(1, 2) \approx 1.456791$ en trois tours de manivelle (l’écart est à peu près élevé au carré, comme chez Héron). Classement des vitesses rencontrées dans ce problème, de la plus lente à la plus rapide : les sommes harmoniques (divergence glaciale), les sommes géométriques (erreur divisée par deux à chaque pas), Héron et la moyenne arithmético-géométrique (erreur élevée au carré à chaque pas) — et c’est la vitesse surnaturelle de cette dernière qui a dit à Gauss qu’il venait de tomber sur un nouveau filon d’analyse.

Toute partie non vide de $\N$ a un plus petit élément ; cette propriété de $\N$ est prise comme axiome. ↩

Termes définis dans ce chapitre

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