Mathématiques universitaires — Licence 2 · Bachelor Year 2

23Fonctions génératrices des probabilités

Les séries entières du Chapitre 11 reviennent avec une mission probabiliste : à une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ on associe la série entière de coefficients $\P(X = n)$ . Cette fonction génératrice transforme les sommes de variables indépendantes en produits, les moments en dérivées en $1$ , et les identités combinatoires difficiles en multiplications d’une ligne. Le chapitre clôt le livre avec deux pièces maîtresses : l’approximation de Poisson des événements rares, et le critère d’extinction des processus de branchement — un calcul probabiliste véritablement infini résolu entièrement par la géométrie d’une courbe convexe.

23.1 Définition et propriétés de base

Définition 23.1 (Fonction génératrice des probabilités)

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ , $p_n = \P(X = n)$ . La fonction génératrice des probabilités de $X$ est la somme de la série entière

G_X(t) = \E\bigl(t^X\bigr) = \sum_{n=0}^{\infty} p_n\,t^n .

Exemple 23.2 (Premiers réflexes)

Une variable constante $X = c$ a $G_X(t) = t^c$ ; un décalage obéit à $G_{X+c}(t) = t^c\,G_X(t)$ ; et l’évaluation en des points particuliers révèle de l’information sans aucun développement : $G_X(0) = \P(X = 0)$ , $G_X(1) = 1$ , et $G_X(-1) = \P(X\text{ pair}) - \P(X\text{ impair})$ , l’équilibre de parité exploité dans l’ Exercice 23.10. Ces formules d’une ligne sont utilisées silencieusement partout dans la suite — et l’évaluation $G_X(0)$ est exactement la façon dont les probabilités d’extinction seront extraites des fonctions génératrices itérées à la fin du chapitre.

Proposition 23.3 (Rayon et premières propriétés)

La série définissant $G_X$ a un rayon de convergence $\geq 1$ ; $G_X$ est définie et continue sur $\intcc{-1}{1}$ , $\mathcal{C}^\infty$ sur $\intoo{-1}{1}$ , avec $G_X(1) = 1$ et $\abs{G_X(t)} \leq 1$ sur cet intervalle. De plus $G_X$ détermine la loi de $X$ :

p_n = \frac{G_X^{(n)}(0)}{n!} .

Démonstration. Puisque $\sum p_n = 1$ converge, les termes $p_n\,1^n$ sont bornés, donc le rayon est $\geq 1$ (lemme d’Abel, Chapitre 11) ; en $t = \pm1$ la série converge absolument ( $\sum p_n = 1$ domine) ; mieux, sur l’intervalle entier $\intcc{-1}1$ ,

\sup_{\abs t\leq1}\,\abs{p_nt^n} = p_n \quad\text{avec}\quad \sum_np_n < \infty :

la série converge normalement sur $\intcc{-1}1$ , donc sa somme y est continue (Théorèmes 10.16 et 10.4). La régularité $\mathcal C^\infty$ à l’intérieur et la formule des coefficients relèvent de la théorie générale des séries entières ; les coefficients étant récupérables, deux variables ayant la même fonction génératrice ont la même loi. ∎

Exemple 23.4 (Les lois classiques)

Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ : $G(t) = 1 - p + pt$ .
Binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ : $G(t) = \sum_k \binom nk (pt)^k(1-p)^{n-k} = (1 - p + pt)^n$ (formule du binôme).
Géométrique $\mathcal{G}(p)$ : $G(t) = \sum_{k\geq1}(1-p)^{k-1}p\,t^k = \dfrac{pt}{1 - (1-p)t}$ (rayon $\frac{1}{1-p} > 1$ ).
Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ : $G(t) = \sum_k e^{-\lambda}\frac{(\lambda t)^k}{k!} = e^{\lambda(t - 1)}$ (rayon $\infty$ ).

Exemple 23.5 (Intégrer la fonction génératrice)

Les dérivées de $G_X$ en $1$ donnent les moments positifs ; l’intégrale en donne un négatif. À partir de $\int_0^1t^k\dd t = \frac1{k+1}$ et de l’intégration terme à terme (convergence normale sur $\intcc01$ ) :

\int_0^1G_X(t)\,\dd t = \sum_{k\geq0}\frac{\P(X = k)}{k+1} = \E\Bigl(\frac1{1+X}\Bigr).

Pour $X \sim \mathcal P(\lambda)$ :

\E\Bigl(\frac1{1+X}\Bigr) = \int_0^1\eu^{\lambda(t-1)}\,\dd t = \frac{1 - \eu^{-\lambda}}{\lambda},

retrouvant en une ligne le calcul de séries de l’ Exemple 22.10. La fonction génératrice est un instrument à double sens : dériver en $1$ pour les moments $\E(X)$ , $\E(X(X-1))$ , intégrer sur $\intcc01$ pour $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$ — un seul objet analytique, interrogé dans le sens dont le problème a besoin.

Exemple 23.6 (Une loi de rayon exactement un)

Soit $\P(X = k) = \dfrac{6}{\pi^2k^2}$ pour $k \geq 1$ — une loi de probabilité par l’identité de Bâle (Exemple 14.12). Sa fonction génératrice $G(t) = \frac6{\pi^2}\sum_{k\geq1}\frac{t^k}{k^2}$ a un rayon de convergence exactement égal à $1$ : la borne générale « rayon $\geq 1$ » de la Proposition 23.3 ne peut être améliorée. Et la moyenne est

\sum_{k\geq1}k\,\P(X = k) = \frac6{\pi^2}\sum_{k\geq1}\frac1k = \infty :

$G$ est continue sur $\intcc{-1}1$ , $\mathcal C^\infty$ à l’intérieur, mais sa dérivée explose en $1^-$ — le graphe arrive au point $(1, 1)$ avec une tangente verticale. Les queues lourdes sont visibles géométriquement sur la fonction génératrice, au seul point $t = 1$ ; le théorème des moments ci-dessous rend cette correspondance exacte.

Théorème 23.7 (Moments par la fonction génératrice)

$X$ admet une espérance si et seulement si $G_X$ est dérivable en $1^-$ (dérivée à gauche, finie), et alors $\E(X) = G_X'(1)$ . De même $X$ admet un moment d’ordre deux si et seulement si $G_X$ est deux fois dérivable en $1^-$ , et alors

\E\bigl(X(X - 1)\bigr) = G_X''(1), \qquad V(X) = G_X''(1) + G_X'(1) - G_X'(1)^2 .

Démonstration. Pour $t \in \intoo{0}{1}$ , la dérivation terme à terme à l’intérieur du disque donne $G_X'(t) = \sum_{n\geq1} np_n t^{n-1}$ , une série à coefficients positifs : $t \mapsto G_X'(t)$ est croissante sur $\intoo{0}{1}$ , et par convergence monotone des sommes partielles (ou théorème d’Abel pour les coefficients positifs, Chapitre 11),

\lim_{t \to 1^-} G_X'(t) = \sum_{n\geq1} n\,p_n \in \intcc{0}{+\infty} ,

chaque membre étant fini exactement quand l’autre l’est. Lorsqu’ils sont finis, le théorème des accroissements finis encadre les taux d’accroissement $\frac{G_X(1) - G_X(t)}{1 - t}$ entre des valeurs de $G_X'$ , donc $G_X$ est dérivable en $1^-$ avec $G_X'(1) = \sum np_n = \E(X)$ (par transfert). L’énoncé d’ordre deux répète l’argument un cran plus haut : $G''_X(t) = \sum_{n\geq2}n(n-1)p_nt^{n-2}$ est croissante sur $\intoo01$ de limite monotone $\sum_nn(n-1)p_n = \E(X(X-1))$ , finie exactement quand $X$ admet un moment d’ordre deux. La formule de la variance découle alors de König–Huygens :

V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2 = \E\bigl(X(X-1)\bigr) + \E(X) - \E(X)^2 = G''_X(1) + G'_X(1) - G'_X(1)^2 .

∎

Exemple 23.8

Poisson : $G'(t) = \lambda e^{\lambda(t-1)}$ , donc $\E(X) = \lambda$ ; $G''(1) = \lambda^2$ , donc $V(X) = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda$ — les calculs du Chapitre 22 en une ligne chacun.

Exemple 23.9 (Le mode d’une loi de Poisson)

Où $\P(X = k)$ est-il le plus grand pour $X \sim \mathcal P(\lambda)$ ? Les poids consécutifs se comparent par le rapport

\frac{\P(X = k+1)}{\P(X = k)} = \frac{\lambda}{k + 1} ,

qui dépasse $1$ tant que $k < \lambda - 1$ et passe sous $1$ dès que $k > \lambda - 1$ : les poids montent puis descendent, avec pour mode $\floor\lambda$ (et une égalité entre $\lambda - 1$ et $\lambda$ lorsque $\lambda$ est entier : pour $\lambda = 3$ , $\P(X = 2) = \P(X = 3) = \frac92\eu^{-3} \approx 0.224$ ). Les tests de rapport sur les coefficients sont souvent le chemin le plus rapide vers les faits qualitatifs d’une loi discrète — aucune fonction génératrice nécessaire, mais les coefficients sont la fonction génératrice, lue terme par terme.

23.2 Sommes de variables indépendantes

Théorème 23.10 (Multiplicativité)

Si $X$ et $Y$ sont des variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\N$ , alors

G_{X + Y}(t) = G_X(t)\,G_Y(t) \qquad (\abs t \leq 1),

et par récurrence $G_{X_1 + \dots + X_n} = \prod_i G_{X_i}$ pour des $X_1, \dots, X_n$ indépendantes.

Démonstration. Deux preuves, toutes deux instructives. Par les espérances : $t^X$ et $t^Y$ sont des variables bornées indépendantes, donc (Théorème 22.11)

G_{X+Y}(t) = \E\bigl(t^{X+Y}\bigr) = \E\bigl(t^X t^Y\bigr) = \E\bigl(t^X\bigr)\E\bigl(t^Y\bigr) .

Par les produits de Cauchy : la loi de $X + Y$ est la convolution $\P(X + Y = n) = \sum_{k=0}^n \P(X = k)\P(Y = n - k)$ , et le théorème du produit de Cauchy pour les séries absolument convergentes (Chapitre 7) multiplie les deux séries entières exactement le long de cette convolution. ∎

Exemple 23.11 (Stabilité des lois classiques)

Les binomiales indépendantes de même $p$ s’ajoutent : $(1 - p + pt)^m(1 - p + pt)^n = (1 - p + pt)^{m+n}$ , donc $\mathcal{B}(m, p) + \mathcal{B}(n, p) = \mathcal{B}(m + n, p)$ — en particulier une somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes est binomiale, redémontrant la loi du nombre de succès. Les lois de Poisson indépendantes s’ajoutent : $e^{\lambda(t-1)}e^{\mu(t-1)} = e^{(\lambda + \mu)(t-1)}$ , donc $\mathcal{P}(\lambda) + \mathcal{P}(\mu) = \mathcal{P}(\lambda + \mu)$ — le calcul de convolution de l’ Exercice 22.2, maintenant sans calcul.

Exemple 23.12 (Deux dés, un polynôme au carré)

Pour un dé équilibré, $G(t) = \frac{t + t^2 + \dots + t^6}{6}$ ; pour la somme de deux,

G(t)^2 = \frac{1}{36}\bigl(t^2 + 2t^3 + 3t^4 + 4t^5 + 5t^6 + 6t^7 + 5t^8 + 4t^9 + 3t^{10} + 2t^{11} + t^{12}\bigr) :

la loi triangulaire des sommes de dés ( $7$ est le mode, de probabilité $\frac6{36} = \frac16$ ), lue sur un carré de polynôme que l’on développe une fois dans sa vie. La formule de convolution aurait exigé onze arguments de dénombrement distincts ; la fonction génératrice les fait tous simultanément, car multiplier des polynômes revient à convoler des coefficients. Cette traduction mécanique — lois vers coefficients, sommes vers produits — est tout le modèle économique du chapitre, et l’ Exercice 23.11 la pousse jusqu’aux surprenants dés de Sicherman.

Exemple 23.13 (Trois dés et une extraction de coefficient)

Pour la somme $S$ de trois dés équilibrés, $\P(S = 10)$ est le coefficient de $t^{10}$ dans $\bigl(\frac{t + \dots + t^6}6\bigr)^3$ . Factorisons et développons avec les séries du binôme et géométrique :

\Bigl(\frac{t(1 - t^6)}{6(1 - t)}\Bigr)^{\!3} = \frac{t^3}{216}\,\bigl(1 - 3t^6 + 3t^{12} - t^{18}\bigr)\sum_{j\geq0}\binom{j+2}2t^j .

Le coefficient de $t^{10}$ requiert $t^7$ dans le produit : $j = 7$ avec le terme $1$ , et $j = 1$ avec le terme $-3t^6$ :

\P(S = 10) = \frac{1}{216}\Bigl(\binom92 - 3\binom32\Bigr) = \frac{36 - 9}{216} = \frac{27}{216} = \frac18 .

L’énumération directe des $27$ triplets est source d’erreurs ; l’algèbre est mécanique et s’étend à un nombre quelconque de dés — l’inclusion–exclusion visible dans $(1 - t^6)^3$ effectue l’analyse de cas automatiquement.

Exemple 23.14 (Lire une loi sur sa fonction génératrice)

Quelle loi a $G(t) = \dfrac1{2 - t}$ ? Développons en série entière :

\frac{1}{2 - t} = \frac12\cdot\frac1{1 - t/2} = \sum_{k\geq0}\frac{t^k}{2^{k+1}} :

des coefficients positifs de somme $G(1) = 1$ , donc c’est bien une loi, $\P(X = k) = 2^{-(k+1)}$ sur $\N$ — une loi géométrique démarrant en $0$ . Par unicité (Proposition 23.3), aucune autre loi ne partage ce $G$ . Reconnaître les lois à partir de leurs fonctions génératrices est un savoir-faire qui mérite d’être travaillé : c’est ainsi que l’itérée de branchement critique $G_n(t) = \frac{n - (n-1)t}{n+1 - nt}$ du problème du week-end est démasquée comme une loi géométrique conditionnée à la survie.

Remarque 23.15

La stabilité ne va que dans un sens : les sommes de lois de Poisson indépendantes sont de Poisson, mais pas les différences — $X - Y$ prend des valeurs négatives, donc n’a aucune fonction génératrice, et sa loi (la loi de Skellam) échappe à la boîte à outils de ce chapitre. De même $\mathcal B(m, p) + \mathcal B(n, p')$ avec $p \neq p'$ n’est pas binomiale : le produit $(1 - p + pt)^m(1 - p' + p't)^n$ a deux emplacements de racines distincts, tandis que toute fonction génératrice binomiale a une unique racine multiple. Lire la stabilité sur les configurations de racines est un petit avant-goût de la quantité de structure que le polynôme encode.

Remarque 23.16 (Le filtre des racines de l’unité)

Évaluer en $-1$ sépare les pairs des impairs ; évaluer en toutes les racines $m$ -ièmes de l’unité sépare chaque classe résiduelle : avec $\omega = \eu^{2\iu\pi/m}$ ,

\P(X \equiv r \bmod m) = \frac1m\sum_{j=0}^{m-1}\omega^{-jr}\,G_X(\omega^j),

car moyenner $\omega^{j(k-r)}$ sur $j$ donne $1$ si $k \equiv r$ et $0$ sinon. Dividende d’exemple : pour la somme $S$ de deux dés équilibrés, chaque $G(\omega^j) = \frac16\sum_{k=1}^6 \omega^{jk} = -\frac16$ pour $j \neq 0$ (les sept racines septièmes de l’unité somment à zéro), donc

\P(7 \mid S) = \frac17\Bigl(1 + 6\cdot\frac1{36}\Bigr) = \frac16 ,

confirmant le compte de l’ Exemple 23.12 — et la méthode s’étend à des questions où le dénombrement direct échoue.

Théorème 23.17 (Sommes aléatoires : identité de Wald pour les fonctions génératrices)

Soient $(X_k)_{k\geq1}$ des variables indépendantes à valeurs dans $\N$ , de même loi et de fonction génératrice $G_X$ , et soit $N$ une variable à valeurs dans $\N$ indépendante des $X_k$ , de fonction génératrice $G_N$ . Alors la somme aléatoire $S = X_1 + \dots + X_N$ (avec $S = 0$ lorsque $N = 0$ ) a pour fonction génératrice

G_S = G_N \circ G_X .

En particulier, si $N$ et $X_1$ admettent des espérances, $\E(S) = \E(N)\,\E(X_1)$ .

Démonstration. Conditionnons par $N$ (probabilités totales, Théorème 21.14) : pour $\abs t \leq 1$ ,

G_S(t) = \sum_{n=0}^\infty \P(N = n)\, \E\bigl(t^{X_1 + \dots + X_n}\bigr) = \sum_{n=0}^\infty \P(N = n)\,G_X(t)^n = G_N\bigl(G_X(t)\bigr),

en utilisant la multiplicativité pour chaque $n$ fixé et la sommabilité de toute la famille double ( $\abs{G_X(t)} \leq 1$ ). L’échange des sommations est Fubini pour les familles sommables (Chapitre 7). En dérivant en $1^-$ par la règle de la chaîne et le Théorème 23.7 : $\E(S) = G_N'(G_X(1))\,G_X'(1) = G_N'(1)G_X'(1) = \E(N)\E(X_1)$ . ∎

Exemple 23.18 (Poisson composée : pertes annuelles d’assurance)

Un assureur reçoit $N \sim \mathcal P(\lambda)$ sinistres dans une année, chaque sinistre coûtant $X_k$ (unités entières, i.i.d., fonction génératrice $G_X$ , moyenne $\mu$ , indépendantes de $N$ ). D’après le Théorème 23.17, la perte totale $S$ vérifie

G_S(t) = \eu^{\lambda(G_X(t) - 1)}, \qquad \E(S) = \lambda\mu ,

et en dérivant deux fois en $1^-$ :

V(S) = \lambda\,G_X''(1) + \lambda^2\mu^2 + \lambda\mu - (\lambda\mu)^2 = \lambda\,\E(X^2) .

La variance fait intervenir le second moment d’un sinistre isolé, non sa variance : une somme de Poisson composée ressent le sinistre occasionnel de grande taille deux fois — une fois par le nombre, une fois par la taille. Pour $\lambda = 10$ sinistres de loi géométrique de moyenne $2$ ( $\E X^2 = 6$ ) : $\E S = 20$ , $V(S) = 60$ , et Tchebychev (Chapitre 22) fournit déjà des marges de solvabilité utilisables. Ce schéma de « somme arrêtée aléatoirement » est le même que celui qui gouvernera la récurrence de branchement de la Proposition 23.23 : la composition des fonctions génératrices est l’algèbre des populations aléatoires.

Remarque 23.19

L’indépendance de $N$ vis-à-vis des sommands n’est pas décorative. Prenons $X_k \in \{0, 2\}$ avec probabilités égales et posons $N = X_1$ (manifestement dépendant) : alors $S = X_1 + \dots + X_N$ vaut $0$ quand $X_1 = 0$ , et $2 + X_2$ quand $X_1 = 2$ , donc $\E(S) = \frac12(2 + 1) = \frac32$ , tandis que $\E(N)\E(X_1) = 1\cdot1 = 1$ : l’identité de Wald échoue. Lorsque le nombre de termes est autorisé à réagir aux termes eux-mêmes, la structure produit propre s’effondre — la théorie complète de telles règles d’« arrêt » est le chapitre des martingales du volume de troisième année.

23.3 Approximation de Poisson

Théorème 23.20 (Loi des événements rares)

Soit $X_n \sim \mathcal{B}(n, p_n)$ avec $n\,p_n \to \lambda > 0$ . Alors pour tout $k \in \N$ :

\P(X_n = k) \xrightarrow[n\to\infty]{} e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} :

la loi binomiale de nombreux événements rares indépendants converge vers la loi de Poisson de paramètre $\lambda$ .

Démonstration. Calcul direct avec $p_n = \frac{\lambda_n}{n}$ , $\lambda_n \to \lambda$ :

\P(X_n = k) = \binom nk p_n^k(1 - p_n)^{n-k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}\cdot \frac{\lambda_n^k}{k!}\, \bigl(1 - \tfrac{\lambda_n}{n}\bigr)^{n-k} .

Lorsque $n \to \infty$ à $k$ fixé : le premier facteur tend vers $1$ (produit de $k$ facteurs $\to 1$ ) ; $\lambda_n^k \to \lambda^k$ ; et $\bigl(1 - \frac{\lambda_n}{n}\bigr)^{n-k} = \exp\bigl((n-k)\ln(1 - \frac{\lambda_n}{n})\bigr) \to e^{-\lambda}$ puisque $(n - k)\ln\bigl(1 - \frac{\lambda_n}{n}\bigr) \sim -\lambda_n \to -\lambda$ (Chapitre 6). Autrement, au niveau des fonctions génératrices : $G_{X_n}(t) = \bigl(1 + \frac{\lambda_n(t-1)}{n}\bigr)^n \to e^{\lambda(t - 1)} = G_{\mathcal{P}(\lambda)}(t)$ pour chaque $t \in [0, 1]$ fixé — convergence des fonctions génératrices, qui (pour les variables à valeurs dans $\N$ ) équivaut à la convergence de chaque $\P(X_n = k)$ ; voir l’ Exercice 23.9. ∎

Remarque 23.21

C’est pourquoi les lois de Poisson modélisent les décomptes d’événements rares — coquilles par page, désintégrations radioactives par seconde, accidents par jour à un carrefour : chaque occasion est presque négligeable, les occasions sont nombreuses, et seul le taux moyen $\lambda$ survit à la limite.

Exemple 23.22 (Observer la limite de Poisson converger)

Fixons $\lambda = 2$ et posons $X_n \sim \mathcal B(n, 2/n)$ . La probabilité d’aucun événement vaut exactement $\P(X_n = 0) = (1 - 2/n)^n$ :

n = 10:\ 0.107, \qquad n = 20:\ 0.122, \qquad n = 50:\ 0.130, \qquad n = 100:\ 0.133,

à comparer à la limite $\eu^{-2} \approx 0.135$ . La convergence est monotone et de vitesse $O(1/n)$ — en développant, $(1 - 2/n)^n = \eu^{-2}\bigl(1 - \tfrac2n + O(n^{-2})\bigr)$ — de sorte que pour $n$ de l’ordre de la centaine le modèle de Poisson est déjà exact à la troisième décimale. C’est le contenu pratique de la loi des événements rares : le modélisateur ne connaît jamais $n$ et $p$ séparément (combien de micro-occasions de coquille une page recèle-t-elle ?), mais seulement leur produit $\lambda$ , et la loi limite ne dépend heureusement de rien d’autre.

23.4 Processus de branchement

Considérons une population issue d’un unique ancêtre ; chaque individu, indépendamment, a un nombre aléatoire d’enfants de loi $(p_k)_{k \in \N}$ et de fonction génératrice $G$ (la loi de reproduction). Soit $Z_n$ la taille de la génération $n$ ( $Z_0 = 1$ ), et soit $m = G'(1) = \E(Z_1)$ le nombre moyen d’enfants.

Proposition 23.23

La fonction génératrice de $Z_n$ est la $n$ -ième itérée $G_{Z_n} = G \circ G \circ \dots \circ G$ ( $n$ fois), et les probabilités d’extinction $q_n = \P(Z_n = 0)$ vérifient

q_0 = 0, \qquad q_{n+1} = G(q_n),

et croissent vers la probabilité $q$ d’extinction finale, qui est un point fixe de $G$ .

Démonstration. La génération $n + 1$ est la somme aléatoire des descendances des $Z_n$ membres de la génération $n$ , les décomptes étant indépendants entre eux et de $Z_n$ : le Théorème 23.17 donne $G_{Z_{n+1}} = G_{Z_n} \circ G$ , et la récurrence à partir de $G_{Z_0}(t) = t$ fournit l’itérée $n$ -uple — qui, par associativité de la composition, se lit tout aussi bien $G_{Z_{n+1}} = G \circ G_{Z_n}$ . En évaluant cette seconde forme en $0$ : $q_{n+1} = G_{Z_{n+1}}(0) = G\bigl(G_{Z_n}(0)\bigr) = G(q_n)$ . Les événements $\{Z_n = 0\}$ croissent (les populations éteintes le restent), donc $q_n \uparrow q = \P\bigl(\bigcup_n\{Z_n = 0\}\bigr)$ par continuité monotone (Théorème 21.6), et la continuité de $G$ sur $[0, 1]$ transforme $q_{n+1} = G(q_n)$ en $q = G(q)$ à la limite. ∎

Exemple 23.24 (Observer l’extinction converger)

Pour la loi de reproduction $(p_0, p_1, p_2) = (\tfrac14, \tfrac14, \tfrac12)$ de l’ Exemple 23.27, $G(t) = \tfrac14 + \tfrac14t + \tfrac12t^2$ et l’itération $q_{n+1} = G(q_n)$ donne

q_1 = 0.25, \quad q_2 = 0.34375, \quad q_3 \approx 0.39502, \quad q_4 \approx 0.42678, \quad q_5 \approx 0.44776,

grimpant vers la probabilité d’extinction $q = \tfrac12$ . Les écarts $q - q_n$ valent $0.25$ , $0.156$ , $0.105$ , $0.073$ , $0.052$ : chacun vaut environ $\tfrac34$ du précédent, et de fait le théorème des accroissements finis donne $q - q_{n+1} = G'(c_n)(q - q_n)$ avec $G'(q) = \tfrac14 + q = \tfrac34$ . Deux morales : une lignée encore vivante à la génération $n$ a, inscrite dans le même calcul, une probabilité $q - q_n$ d’être condamnée plus tard ; et la vitesse de convergence de l’escalier de la figure ci-dessous est la dérivée au point fixe — le problème du week-end transforme ces deux observations en théorèmes.

Théorème 23.25 (Critère d’extinction)

Supposons $p_1 \neq 1$ . La probabilité d’extinction $q$ est le plus petit point fixe de $G$ dans $\intcc{0}{1}$ , et :

si $m \leq 1$ (sous-critique ou critique), $q = 1$ : l’extinction est certaine ;
si $m > 1$ (surcritique), $q < 1$ : la population survit indéfiniment avec probabilité positive $1 - q$ .

Démonstration. $G$ est convexe sur $\intcc{0}{1}$ (série entière à coefficients positifs : $G'' \geq 0$ ), croissante, avec $G(1) = 1$ .

Plus petit point fixe : soit $r \in \intcc{0}{1}$ un point fixe quelconque. Alors $q_0 = 0 \leq r$ , et par récurrence $q_{n+1} = G(q_n) \leq G(r) = r$ (monotonie) : donc $q = \lim q_n \leq r$ .

Cas $m \leq 1$ : supposons que $r < 1$ soit un point fixe. Par le théorème des accroissements finis sur $[r, 1]$ , il existe $c \in \intoo{r}{1}$ avec $G'(c) = \frac{G(1) - G(r)}{1 - r} = \frac{1 - r}{1 - r} = 1$ . Mais $G'$ est croissante (convexité) avec $\lim_{t\to1^-}G'(t) = m \leq 1$ , donc $G' \leq 1$ sur $\intoo{0}{1}$ ; l’égalité $G'(c) = 1$ force alors $G'$ à être constante égale à $1$ sur $\intco{c}{1}$ , d’où $G'' = \sum n(n-1)p_nt^{n-2} \equiv 0$ sur cet intervalle. Une série entière à coefficients positifs qui s’annule sur un intervalle a tous ces coefficients nuls : $p_n = 0$ pour $n \geq 2$ , donc $G(t) = p_0 + p_1t$ et $1 = G'(c) = p_1$ — ce qui contredit l’hypothèse $p_1 \neq 1$ . Donc $1$ est l’unique point fixe : $q = 1$ .

Cas $m > 1$ : près de $1$ , $G(t) - t$ a pour dérivée $G'(t) - 1 \to m - 1 > 0$ quand $t \to 1^-$ , donc $G(t) - t < G(1) - 1 = 0$ sur un intervalle $\intoo{1 - \delta}{1}$ : la fonction continue $G(t) - t$ est $\geq 0$ en $t = 0$ ( $G(0) = p_0 \geq 0$ ) et $< 0$ juste en dessous de $1$ , donc elle s’annule en un certain $r < 1$ (théorème des valeurs intermédiaires). Le plus petit point fixe vérifie alors $q \leq r < 1$ . ∎

Probabilités d’extinction comme itération de point fixe q_n+1 = G(q_n) partant de q_0 = 0 (escalier rouge). À gauche : une loi de reproduction sous-critique — la courbe convexe reste au-dessus de la diagonale, l’itération grimpe vers l’unique point fixe 1. À droite : une loi surcritique — la courbe croise la diagonale en q < 1, où l’itération s’arrête : la survie a probabilité 1 - q > 0. — **Figure 23.1.** Probabilités d’extinction comme itération de point fixe $q_{n+1} = G(q_n)$ partant de $q_0 = 0$ (escalier rouge). À gauche : une loi de reproduction sous-critique — la courbe convexe reste au-dessus de la diagonale, l’itération grimpe vers l’unique point fixe $1$ . À droite : une loi surcritique — la courbe croise la diagonale en $q < 1$ , où l’itération s’arrête : la survie a probabilité $1 - q > 0$ .

Remarque 23.26 (Comment lire l’escalier)

Sur la figure, un déplacement vertical applique $G$ (de $(q_n, q_n)$ jusqu’à $(q_n, G(q_n))$ ), un déplacement horizontal vers la diagonale convertit la sortie en entrée : l’escalier est la récurrence $q_{n+1} = G(q_n)$ . La convexité de $G$ et $G(1) = 1$ ne laissent que deux géométries. Soit la courbe reste au-dessus de la diagonale sur $\intco01$ (moyenne $m \leq 1$ ) : l’escalier n’a nulle part où s’arrêter avant $1$ . Soit la courbe croise en un certain $q < 1$ ( $m > 1$ ) : l’escalier est piégé sous le croisement et converge vers lui, à la vitesse géométrique $G'(q) < 1$ quantifiée dans l’ Exemple 23.24. Toute l’analyse du théorème d’extinction est visible sur cette seule image — raison pour laquelle il vaut la peine de la dessiner avant de calculer.

Exemple 23.27

Loi de reproduction : aucun enfant, un enfant, deux enfants avec probabilités $\frac14, \frac14, \frac12$ . Alors $m = \frac14 + 1 = \frac54 > 1$ et $G(t) = \frac14 + \frac14 t + \frac12 t^2$ . Points fixes : $\frac12 t^2 - \frac34 t + \frac14 = 0$ , c’est-à-dire $2t^2 - 3t + 1 = (2t - 1)(t - 1) = 0$ : $q = \frac12$ . La lignée s’éteint avec probabilité $\frac12$ — et avec probabilité $\frac12$ elle vit indéfiniment.

Remarque 23.28 (Perspectives au sein de ce volume)

Le chapitre est le carrefour du livre, et chaque ingrédient est venu d’un lieu nommé : l’algèbre des séries du Chapitre 7 et du Chapitre 11, la probabilité du Chapitre 21 (la continuité monotone démontre $q_n \uparrow q$ ) et du Chapitre 22 ( $G_X = \E(t^X)$ est une espérance, la multiplicativité est le théorème du produit), la convexité du Chapitre 8 jusqu’au Chapitre 17. Même les pathologies à queue lourde se rattachent : la variable de Saint-Pétersbourg du chapitre précédent a $G(t) = \sum_k2^{-k}t^{2^k}$ , une série parfaitement convergente sur $\intcc01$ dont la dérivée en $1^-$ diverge — espérance infinie, visible d’un coup d’œil. Un seul objet, tous les outils de l’année : un dernier chapitre à propos.

Remarque 23.29 (Pièges classiques)

(i) Les fonctions génératrices ne s’appliquent qu’aux variables à valeurs dans $\N$ : pour les variables signées ou non entières l’objet $\E(t^X)$ perd sa structure de série entière (la troisième année le remplace par des transformées adaptées à $\R$ ). (ii) Le premier contrôle de bon sens de tout $G$ calculé est $G(1) = 1$ ; le second est que les coefficients soient positifs — un coefficient négatif signale une erreur de calcul, non une nouvelle loi. (iii) Dans les sommes aléatoires, l’ordre de composition importe : $G_S = G_N \circ G_X$ , la fonction extérieure comptant les termes ; composer de l’autre côté n’a pas de sens ( $G_X \circ G_N$ compterait des objets d’objets). (iv) La multiplicativité requiert l’indépendance et des sources d’aléa distinctes : $G_{2X}(t) = G_X(t^2)$ , non $G_X(t)^2$ . (v) Dériver en $1$ est une opération au bord : lorsque le rayon vaut exactement $1$ , comme dans l’ Exemple 23.6, $G'(1^-)$ peut être infini, et la formulation par limite monotone du théorème des moments n’est pas une subtilité pédante mais l’énoncé honnête.

Clôture du volume

La fonction génératrice est un objet final à propos pour ce livre : elle est simultanément une série entière (Chapitre 11), un outil des familles sommables (Chapitre 7), une espérance (Chapitre 22), une fonction convexe dont la géométrie décide de l’extinction (Chapitre 8), et une itération de point fixe (Chapitre 4). Les mathématiques de la deuxième année forment un seul sujet. Le volume de troisième année ouvrira les portes délibérément laissées closes ici : l’intégration de Lebesgue (acquittant le théorème de convergence dominée du Chapitre 9), la probabilité au sens de la mesure sur des espaces non dénombrables, et la démonstration complète du théorème d’inversion locale (Chapitre 15) dans le cadre de la géométrie différentielle.

23.5 Exercices

Exercice 23.1 ★

Calculer la fonction génératrice de la loi uniforme sur $\{1, 2, \dots, 6\}$ (un dé équilibré). Montrer que la somme de deux dés équilibrés ne peut être uniforme sur $\{2, \dots, 12\}$ : factoriser $G_{X+Y}$ et compter les racines. (Une somme uniforme forcerait $G_X(t)G_Y(t) = \frac{t^2}{11}\sum_{k=0}^{10}t^k$ , dont les racines non nulles sont les racines $11$ -ièmes de l’unité autres que $1$ — aucune réelle — tandis que $G_X/t$ et $G_Y/t$ sont des polynômes réels de degré $5$ , possédant chacun au moins une racine réelle.)

Solution

Solution de Exercice 23.1.

Dé équilibré : $G(t) = \frac16(t + t^2 + \dots + t^6) = \frac t6(1 + t + \dots + t^5)$ . Si la somme de deux dés équilibrés était uniforme sur $\{2, \dots, 12\}$ , alors

G(t)^2 = \frac{t^2}{36}\,h(t)^2 = \frac{t^2}{11}\sum_{k=0}^{10}t^k , \qquad h(t) = 1 + t + \dots + t^5 .

Or $h$ est un polynôme réel de degré impair $5$ , donc il a une racine réelle (théorème des valeurs intermédiaires ; concrètement $h(-1) = 0$ ), d’où $h^2$ a une racine réelle. Mais $\sum_{k=0}^{10}t^k$ n’en a aucune : il est positif pour $t \geq 0$ , et pour $t < 0$ il vaut $\frac{t^{11} - 1}{t - 1}$ , quotient de deux nombres négatifs. Contradiction — la somme de deux dés équilibrés n’est jamais uniforme (comme le confirme la loi triangulaire familière des sommes de dés).

Exercice 23.2 ★

À l’aide des fonctions génératrices, retrouver $\E$ et $V$ pour les lois binomiale et géométrique (Théorème 23.7).

Solution

Solution de Exercice 23.2.

Binomiale : $G(t) = (1 - p + pt)^n$ , $G'(t) = np(1 - p + pt)^{n-1}$ , $G''(t) = n(n-1)p^2(1 - p + pt)^{n-2}$ , donc

\E(X) = G'(1) = np, \qquad V(X) = G''(1) + G'(1) - G'(1)^2 = n(n-1)p^2 + np - n^2p^2 = np(1-p).

Géométrique ( $q = 1 - p$ ) : $G(t) = \frac{pt}{1 - qt}$ , donc $G'(t) = \frac{p}{(1 - qt)^2}$ et $G''(t) = \frac{2pq}{(1 - qt)^3}$ ; en $t = 1$ (en utilisant $1 - q = p$ ) :

\E(X) = \frac{p}{p^2} = \frac1p, \qquad V(X) = \frac{2q}{p^2} + \frac1p - \frac{1}{p^2} = \frac{2q + p - 1}{p^2} = \frac{q}{p^2} ,

en accord avec l’ Exercice 22.1 avec moins de travail.

Exercice 23.3 ★

Deux dés pipés : est-il possible de piper deux dés (indépendamment, de manière identique ou non) pour que leur somme soit uniforme sur $\{2, \dots, 12\}$ ? (Même obstruction de factorisation que dans l’ Exercice 23.1 : la réponse est non même avec des pipages différents, car chaque facteur $G_X(t)/t$ est de degré impair $5$ , donc a une racine réelle, tandis que la cible n’en a aucune.)

Solution

Solution de Exercice 23.3.

Non, même avec des pipages différents. Supposons que $X, Y$ soient des lois sur $\{1, \dots, 6\}$ de somme uniforme. Alors $G_X(t) = t\,a(t)$ et $G_Y(t) = t\,b(t)$ avec $a, b$ des polynômes réels de degré au plus $5$ — et leurs degrés doivent sommer à $10$ (la somme atteint $12$ avec probabilité positive), donc $\deg a = \deg b = 5$ , tous deux impairs. Comme dans l’ Exercice 23.1,

a(t)\,b(t) = \frac{1}{11}\sum_{k=0}^{10}t^k

forcerait une racine réelle à gauche (tout polynôme réel de degré impair en a une) et aucune à droite. Donc aucun pipage de deux dés indépendants — identique ou non — ne produit une somme uniforme.

Exercice 23.4 ★★

Soient $X_1, X_2, \dots$ des variables de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ indépendantes et $N \sim \mathcal{P}(\lambda)$ indépendante d’elles. Montrer, via le Théorème 23.17, que $S = X_1 + \dots + X_N \sim \mathcal{P}(\lambda p)$ : un nombre de Poisson d’objets, chacun conservé avec probabilité $p$ , laisse un nombre de Poisson — amincissement. Calculer aussi la loi du nombre rejeté et admirer : elle est $\mathcal{P}(\lambda(1-p))$ , et l’on peut montrer qu’elle est indépendante de $S$ .

Solution

Solution de Exercice 23.4.

D’après le Théorème 23.17 avec $G_N(s) = e^{\lambda(s-1)}$ et $G_X(t) = 1 - p + pt$ :

G_S(t) = e^{\lambda(1 - p + pt - 1)} = e^{\lambda p(t - 1)} :

$S \sim \mathcal{P}(\lambda p)$ . Le nombre rejeté $D = N - S$ compte les mêmes objets conservés avec probabilité $1 - p$ , donc par le même calcul $D \sim \mathcal{P}(\lambda(1 - p))$ . Indépendance, directement : pour $j, k \in \N$ ,

\begin{align*} \P(S = j,\ D = k) &= \P(N = j + k)\,\binom{j+k}{j}p^jq^k = e^{-\lambda}\frac{\lambda^{j+k}}{(j+k)!}\, \frac{(j+k)!}{j!\,k!}\,p^jq^k\\ &= \Bigl(e^{-\lambda p}\frac{(\lambda p)^j}{j!}\Bigr) \Bigl(e^{-\lambda q}\frac{(\lambda q)^k}{k!}\Bigr) \end{align*}

avec $q = 1 - p$ : la loi jointe se factorise en $\mathcal{P}(\lambda p) \otimes \mathcal{P}(\lambda q)$ . Un flux de Poisson scindé au hasard donne des flux de Poisson indépendants — un petit miracle constamment utilisé en théorie des files d’attente.

Exercice 23.5 ★★

(Loi binomiale négative) Soit $T_r$ le nombre de lancers pour obtenir $r$ faces (probabilité de face $p$ ). Écrire $T_r$ comme somme de $r$ variables géométriques indépendantes, en déduire

G_{T_r}(t) = \Bigl(\frac{pt}{1 - (1-p)t}\Bigr)^{r}, \qquad \E(T_r) = \frac rp, \qquad V(T_r) = \frac{r(1-p)}{p^2},

et développer $G_{T_r}$ pour trouver $\P(T_r = n) = \binom{n-1}{r-1} p^r(1-p)^{n-r}$ .

Solution

Solution de Exercice 23.5.

Les temps d’attente entre faces consécutives sont des variables géométriques $\mathcal{G}(p)$ indépendantes (absence de mémoire : après chaque face le jeu recommence), donc $T_r = W_1 + \dots + W_r$ et la multiplicativité (Théorème 23.10) donne

G_{T_r}(t) = \Bigl(\frac{pt}{1 - qt}\Bigr)^{r}, \qquad \E(T_r) = r\,\E(W_1) = \frac rp, \qquad V(T_r) = r\,V(W_1) = \frac{rq}{p^2}

( $q = 1 - p$ ; les variances s’ajoutent par indépendance). Développement : par la série du binôme généralisée (Chapitre 11), $(1 - qt)^{-r} = \sum_{m\geq0} \binom{m + r - 1}{r - 1}q^mt^m$ , donc le coefficient de $t^n$ dans $p^rt^r(1 - qt)^{-r}$ est (avec $m = n - r$ )

\P(T_r = n) = \binom{n-1}{r-1}p^r(1-p)^{n-r}, \qquad n \geq r ,

la loi binomiale négative — combinatoirement : la $r$ -ième face tombe au lancer $n$ si et seulement si les $r - 1$ faces précédentes choisissent leurs places parmi les $n - 1$ premiers lancers.

Exercice 23.6 ★★

Pour la loi de reproduction $p_0 = \frac18$ , $p_1 = \frac38$ , $p_2 = \frac38$ , $p_3 = \frac18$ : calculer $m$ , décider de la surcriticité, et calculer exactement la probabilité d’extinction $q$ . (Factoriser la racine $t = 1$ de $G(t) - t$ .)

Solution

Solution de Exercice 23.6.

$m = 1\cdot\frac38 + 2\cdot\frac38 + 3\cdot\frac18 = \frac{3 + 6 + 3}{8} = \frac32 > 1$ : surcritique. La fonction génératrice est

G(t) = \frac{1 + 3t + 3t^2 + t^3}{8} = \frac{(1 + t)^3}{8} ,

donc les points fixes vérifient $(1 + t)^3 = 8t$ , c’est-à-dire $t^3 + 3t^2 - 5t + 1 = 0$ . En factorisant la racine garantie $t = 1$ :

t^3 + 3t^2 - 5t + 1 = (t - 1)\bigl(t^2 + 4t - 1\bigr),

et $t^2 + 4t - 1 = 0$ donne $t = -2 \pm \sqrt5$ . La racine dans $\intco{0}{1}$ est $\sqrt5 - 2 \approx 0.236$ : d’après le Théorème 23.25,

q = \sqrt 5 - 2 .

(Une vérification plaisante : la loi de reproduction est celle de $3$ pièces équilibrées indépendantes, $Z_1 \sim \mathcal{B}(3, \frac12)$ .)

Exercice 23.7 ★★★

(Descendance totale) Dans un processus de branchement sous-critique ( $m < 1$ ), soit $Y = \sum_{n\geq0} Z_n$ le nombre total d’individus jamais nés. Montrer $\E(Y) = \sum_n m^n = \frac{1}{1 - m}$ (justifier l’échange des sommations), et démontrer que la fonction génératrice $H = G_Y$ vérifie l’équation fonctionnelle $H(t) = t\,G(H(t))$ . (L’ancêtre, plus les descendances totales de chacun de ses enfants, qui sont des copies indépendantes de $Y$ .)

Solution

Solution de Exercice 23.7.

Espérance. D’abord $\E(Z_n) = m^n$ : d’après le Théorème 23.17, $\E(Z_{n+1}) = \E(Z_n)\,m$ , et $\E(Z_0) = 1$ . La famille $\bigl(Z_n(\omega)\P(\{\omega\}) \bigr)_{n, \omega}$ est positive, donc Fubini pour les familles s’applique sans condition :

\E(Y) = \sum_{n=0}^{\infty}\E(Z_n) = \sum_{n=0}^\infty m^n = \frac{1}{1 - m} < \infty

(en particulier $Y$ est presque sûrement finie : cohérent avec l’extinction certaine dans le cas sous-critique).

Équation fonctionnelle. Décomposons la population selon les enfants de l’ancêtre : si l’ancêtre a $Z_1 = k$ enfants, la descendance totale est $Y = 1 + Y_1 + \dots + Y_k$ , où $Y_i$ est la descendance totale de la lignée du $i$ -ième enfant — et les $Y_i$ sont des copies indépendantes de $Y$ , indépendantes de $Z_1$ (des lignées distinctes utilisent des événements de reproduction disjoints et indépendants). En conditionnant par $Z_1$ comme dans le Théorème 23.17 :

H(t) = \E\bigl(t^Y\bigr) = t\sum_{k=0}^\infty \P(Z_1 = k)\,H(t)^k = t\,G\bigl(H(t)\bigr),

le facteur $t$ rendant compte de l’ancêtre lui-même. (Pour la loi $p_0 = 1 - p$ , $p_2 = p$ du branchement binaire, cette équation quadratique en $H$ se résout explicitement et se développe — les nombres de Catalan du Chapitre 11 comptent les arbres généalogiques.)

Exercice 23.8 ★★★

Soit $X$ de fonction génératrice $G$ de rayon de convergence $> 1$ . Démontrer la borne exponentielle de queue : il existe $C > 0$ et $\rho \in \intoo{0}{1}$ avec $\P(X \geq n) \leq C\rho^n$ . (Markov appliqué à $t^X$ pour un $t > 1$ fixé à l’intérieur du disque.) Réciproquement, montrer que si $\P(X \geq n) \leq C\rho^n$ avec $\rho < 1$ , le rayon de $G$ est $\geq 1/\rho > 1$ .

Solution

Solution de Exercice 23.8.

Soit $R > 1$ le rayon et fixons $t \in \intoo{1}{R}$ . Alors $\E(t^X) = G(t) < \infty$ , et l’inégalité de Markov (Théorème 22.15) appliquée à la variable positive $t^X$ au niveau $t^n$ :

\P(X \geq n) = \P\bigl(t^X \geq t^n\bigr) \leq \frac{G(t)}{t^n} = C\rho^n, \qquad C = G(t),\quad \rho = \frac1t \in \intoo{0}{1}.

Réciproque : si $\P(X \geq n) \leq C\rho^n$ , alors $p_n \leq \P(X \geq n) \leq C\rho^n$ , donc pour $\abs t < \frac1\rho$ la série $\sum p_n\abs t^n$ est dominée par la série géométrique convergente $C\sum(\rho\abs t)^n$ : le rayon est au moins $\frac1\rho > 1$ . Le rayon de la fonction génératrice et la décroissance géométrique de la queue sont deux faces de la même propriété.

Exercice 23.9 ★★★

(Théorème de continuité, cas élémentaire) Soient $X, X_1, X_2, \dots$ à valeurs dans $\N$ avec $G_{X_n}(t) \to G_X(t)$ pour tout $t \in \intco{0}{1}$ . Montrer que $\P(X_n = k) \to \P(X = k)$ pour tout $k$ . (Récurrence sur $k$ : pour $k = 0$ prendre $t \to 0$ — avec soin : fixer $t$ petit, utiliser $\abs{\P(X_n = 0) - G_{X_n}(t)} \leq \frac{t}{1-t}$ , valide puisque la queue $\sum_{j \geq 1}p_jt^j \leq \frac{t}{1 - t}$ ; puis diagonaliser. Pour l’étape de récurrence, considérer $\frac{G(t) - \P(X = 0)}{t}$ , la fonction génératrice d’une loi décalée.)

Solution

Solution de Exercice 23.9.

Écrivons $p_k^{(n)} = \P(X_n = k)$ , $p_k = \P(X = k)$ .

Cas $k = 0$ . Pour $t \in \intoo{0}{1}$ et toute loi $(q_j)$ avec $\sum_j q_j \leq 1$ :

\Bigl|\,q_0 - \sum_j q_jt^j\Bigr| = \sum_{j \geq 1} q_j t^j \leq \sum_{j\geq1}t^j = \frac{t}{1 - t} .

D’où

\abs{p_0^{(n)} - p_0} \leq \frac{2t}{1 - t} + \abs{G_{X_n}(t) - G_X(t)} .

Étant donné $\varepsilon > 0$ , choisir $t$ tel que $\frac{2t}{1-t} < \frac\varepsilon2$ , puis $n_0$ tel que le dernier terme soit $< \frac\varepsilon2$ pour $n \geq n_0$ : donc $p_0^{(n)} \to p_0$ .

Étape de récurrence. Supposons $p_j^{(n)} \to p_j$ pour $j < k$ . Considérons les fonctions décalées

g_n(t) = \frac{G_{X_n}(t) - p^{(n)}_0}{t} = \sum_{j\geq0} p^{(n)}_{j+1}t^j, \qquad g(t) = \frac{G_X(t) - p_0}{t} ,

fonctions génératrices des suites sous-probabilistes $(p^{(n)}_{j+1})_j$ (masse totale $\leq 1$ , ce qui est tout ce que l’argument $k = 0$ utilisait). Pour $t \in \intoo{0}{1}$ fixé, $g_n(t) \to g(t)$ par hypothèse et le cas $k = 0$ . Appliquer l’argument $k = 0$ à $g_n$ donne $p_1^{(n)} \to p_1$ ; itérer le décalage $k$ fois donne $p_k^{(n)} \to p_k$ pour tout $k$ . (C’est l’instance discrète et élémentaire du théorème de continuité de Lévy, dont la forme générale — pour les fonctions caractéristiques — est un jalon de la troisième année.)

Exercice 23.10 ★

(Astuce de parité) Montrer que pour une variable $X$ à valeurs dans $\N$ ,

\P(X \text{ pair}) = \frac{1 + G_X(-1)}{2} ,

et calculer cette probabilité pour $X \sim \mathcal P(\lambda)$ et $X \sim \mathcal B(n, p)$ . Que signifie $G_X(-1) \to 0$ sur le plan probabiliste ?

Solution

Solution de Exercice 23.10.

Ponctuellement, $\frac{1 + (-1)^X}{2}$ vaut $1$ quand $X$ est pair et $0$ quand impair, donc en prenant les espérances (transfert),

\P(X \text{ pair}) = \frac{1 + \E\bigl((-1)^X\bigr)}2 = \frac{1 + G_X(-1)}2 .

Poisson : $\frac{1 + \eu^{-2\lambda}}2 \to \frac12$ quand $\lambda$ croît. Binomiale : $\frac{1 + (1 - 2p)^n}2$ . Dans les deux cas $G_X(-1) \to 0$ dit que la parité de $X$ devient une pièce équilibrée : la loi s’étale sur de nombreux entiers et oublie sa parité.

Exercice 23.11 ★★

(Dés de Sicherman) Vérifier la factorisation de la fonction génératrice du dé équilibré

\frac{t + t^2 + \dots + t^6}{6} = \frac{t\,(1 + t)(1 + t + t^2)(1 - t + t^2)}{6},

et montrer que les deux dés de faces $\{1, 2, 2, 3, 3, 4\}$ et $\{1, 3, 4, 5, 6, 8\}$ ont pour fonctions génératrices $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)}6$ et $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)(1-t+t^2)^2}6$ , dont le produit est celui de deux dés standard : ces dés exotiques produisent chaque total $2, \dots, 12$ avec exactement les probabilités standard.

Solution

Solution de Exercice 23.11.

$t + \dots + t^6 = t\,\frac{1 - t^6}{1 - t}$ et $1 - t^6 = (1 - t)(1 + t)(1 + t + t^2)(1 - t + t^2)$ , donnant la factorisation annoncée. Pour le premier dé, $(1 + t)(1 + t + t^2) = 1 + 2t + 2t^2 + t^3$ , donc $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)}6 = \frac{t + 2t^2 + 2t^3 + t^4}6$ : faces $\{1, 2, 2, 3, 3, 4\}$ . Pour le second, en développant

(1 + 2t + 2t^2 + t^3)(1 - t + t^2)^2 = 1 + t^2 + t^3 + t^4 + t^5 + t^7,

donc $\frac{t(1+t)(1+t+t^2)(1-t+t^2)^2}6 = \frac{t + t^3 + t^4 + t^5 + t^6 + t^8}6$ : faces $\{1, 3, 4, 5, 6, 8\}$ . Le produit des deux fonctions génératrices regroupe les six facteurs en $\bigl(\frac{t(1+t)(1+t+t^2)(1-t+t^2)}6 \bigr)^2$ , le carré de la fonction du dé standard : la paire de Sicherman a exactement la loi standard pour le total — les fonctions génératrices classent tous ces regroupements.

Exercice 23.12 ★★★

(Attente de deux faces consécutives) Une pièce de probabilité de face $p$ est lancée jusqu’à l’apparition de deux faces consécutives ; soit $T$ le nombre de lancers (le jeu de l’ Exercice 21.6). En conditionnant sur les premiers lancers, établir un système linéaire pour les fonctions génératrices à partir des états « aucune face en cours » et « une face en cours », et conclure

G_T(t) = \frac{p^2t^2}{1 - qt - pqt^2} \qquad (q = 1 - p)~;

vérifier $G_T(1) = 1$ et $\E(T) = \dfrac{1 + p}{p^2}$ ( $= 6$ pour une pièce équilibrée).

Solution

Solution de Exercice 23.12.

Soient $A$ et $B$ les fonctions génératrices de la durée restante partant de « aucune face en cours » et « une face en cours ». Un lancer est dépensé, puis : depuis l’état $0$ , pile revient à l’état $0$ , face passe à l’état $1$ ; depuis l’état $1$ , face termine le jeu, pile revient à l’état $0$ :

A(t) = t\bigl(q\,A(t) + p\,B(t)\bigr), \qquad B(t) = t\bigl(p + q\,A(t)\bigr).

En substituant : $A(1 - qt) = pt\,B = pt(pt + qtA)$ , donc

G_T(t) = A(t) = \frac{p^2t^2}{1 - qt - pq\,t^2} .

En $t = 1$ le dénominateur vaut $1 - q - pq = p(1 - q) = p^2$ : $G_T(1) = 1$ , le jeu se termine presque sûrement (comme l’ Exercice 21.6 l’a montré par récurrence). Dérivation logarithmique en $1$ : $\E(T) = 2 - \frac{D'(1)}{D(1)}$ avec $D(t) = 1 - qt - pqt^2$ , $D'(1) = -q - 2pq$ :

\E(T) = 2 + \frac{q + 2pq}{p^2} = \frac{2p^2 + q + 2pq}{p^2} = \frac{1 + p}{p^2},

qui vaut $6$ pour $p = \frac12$ .

23.6 Problème : le processus de Galton–Watson, résolu

Problème 23.1

Problème du week-end — taux de croissance, solutions exactes, descendance totale, et estimation critique de Kolmogorov

Le critère d’extinction (Théorème 23.25) répartit les processus de branchement en sous-critiques, critiques et surcritiques — mais il ne dit rien des taux : à quelle vitesse une lignée condamnée s’éteint, à quelle taille une lignée survivante croît. Ce problème les calcule. Nous conservons les notations du chapitre : loi de reproduction $(p_k)$ de fonction génératrice $G$ , moyenne $m = G'(1)$ , tailles de générations $Z_n$ ( $Z_0 = 1$ ), itérées $G_n = G_{Z_n}$ , probabilités d’extinction $q_n = \P(Z_n = 0) \uparrow q$ ; nous supposons toujours $p_1 \neq 1$ et, là où des moments d’ordre deux apparaissent, $G''(1) < \infty$ , et nous écrivons $\sigma^2 = V(Z_1)$ .

Partie I — Moments des générations.

Montrer $\E(Z_n) = m^n$ (règle de la chaîne sur $G_n = G \circ G_{n-1}$ en $1^-$ , en utilisant $G_{n-1}(1) = 1$ et le Théorème 23.7).
Établir la récurrence $G_n''(1) = G''(1)\,m^{2(n-1)} + m\,G_{n-1}''(1)$ et la résoudre : $G_n''(1) = G''(1)\,m^{n-1}\dfrac{m^n - 1}{m - 1}$ pour $m \neq 1$ , et $G_n''(1) = n\,G''(1)$ pour $m = 1$ .
En déduire

$V(Z_n) = \sigma^2m^{n-1}\,\frac{m^n - 1}{m - 1} \quad (m \neq 1), \qquad V(Z_n) = n\,\sigma^2 \quad (m = 1).$
(Taux sous-critique, borne supérieure) Pour $m < 1$ , montrer $\P(Z_n > 0) \leq m^n$ (Markov sur $Z_n$ à valeurs entières) : l’extinction est certaine avec un taux géométrique — un raffinement quantitatif du critère du chapitre.
(Taux sous-critique, borne inférieure) En utilisant Cauchy–Schwarz sur $Z_n\mathbf 1_{Z_n > 0}$ , montrer

$\P(Z_n > 0) \geq \frac{\E(Z_n)^2}{\E(Z_n^2)} \geq c\,m^{n} \quad\text{avec}\quad c = \Bigl(\frac{\sigma^2}{m(1-m)} + 1\Bigr)^{-1} :$

le taux géométrique $m^n$ est exact à constantes près.

Partie II — La famille géométrique, résolue exactement. Soit la loi de reproduction géométrique sur $\N$ : $p_k = qp^k$ ( $k \geq 0$ ), avec $0 < p < 1$ , $q = 1 - p$ .

Calculer $G(t) = \dfrac{q}{1 - pt}$ et $m = \dfrac pq$ ; situer les trois régimes en fonction de $p$ .
Résoudre $G(t) = t$ : montrer que les points fixes sont $1$ et $q/p = 1/m$ , et retrouver la probabilité d’extinction $q_{\mathrm{ext}} = \min(1, 1/m)$ .
Démontrer par récurrence les formes closes

$q_n = \frac{m^n - 1}{m^{n+1} - 1} \quad (m \neq 1), \qquad q_n = \frac{n}{n+1} \quad (m = 1).$
En déduire les taux exacts : $1 - q_n \sim (1 - m)\,m^n$ dans le cas sous-critique, et $q_{\mathrm{ext}} - q_n \sim \dfrac{m - 1}{m^{2}}\cdot m^{-n}$ dans le cas surcritique ; vérifier que le rapport de contraction surcritique est $G'(q_{\mathrm{ext}}) = 1/m$ .
Cas critique ( $p = \tfrac12$ ) : calculer $\sigma^2 = 2$ et remarquer $1 - q_n = \frac1{n+1}$ : la survie décroît comme $\frac1n$ — ni géométrique ni sommable.
Toujours critique : démontrer par récurrence l’itérée complète

$G_n(t) = \frac{n - (n-1)t}{n + 1 - nt},$

et en déduire que, conditionnée à la survie, $Z_n$ est géométrique sur $\N^*$ de paramètre $\frac1{n+1}$ :

$\P(Z_n = k \mid Z_n > 0) = \frac1{n+1} \Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{k-1}, \qquad \E(Z_n \mid Z_n > 0) = n + 1 .$

La lignée moyenne s’éteint, mais les lignées survivantes ont une taille d’ordre $n$ .

Partie III — Descendance totale. Soit $Y = \sum_{n\geq0}Z_n \in \N^* \cup \{\infty\}$ le nombre total d’individus jamais nés, et $H(t) = \sum_{k\geq1}\P(Y = k)t^k$ .

Justifier $\P(Y < \infty) = q_{\mathrm{ext}}$ , et rappeler de l’ Exercice 23.7 l’équation fonctionnelle $H(t) = t\,G(H(t))$ (dont la dérivation n’utilisait pas $m < 1$ ).
(Branchement binaire) Pour $p_0 = p_2 = \frac12$ (critique), résoudre l’équation fonctionnelle :

$H(t) = \frac{1 - \sqrt{1 - t^2}}{t},$

et développer avec l’ Exemple 11.21 pour obtenir

$\P(Y = 2k + 1) = \frac{C_k}{2^{2k+1}}, \qquad C_k = \frac1{k+1}\binom{2k}k ;$

vérifier les valeurs $\P(Y = 1) = \frac12$ et $\P(Y = 3) = \frac18$ par dénombrement direct.
En dérivant l’équation fonctionnelle en $1^-$ , montrer que $\E(Y) = \frac{1}{1-m}$ pour $m < 1$ , tandis que la criticité force $\E(Y) = \infty$ : la descendance totale critique est finie presque sûrement mais d’espérance infinie.
Avec l’asymptotique du coefficient binomial central (Exemple 6.14), montrer

$\P(Y = 2k+1) \sim \frac{1}{2\sqrt\pi\,k^{3/2}},$

une queue lourde en $k^{-3/2}$ , et en déduire $\P(Y > n) \asymp n^{-1/2}$ (des bornes supérieure et inférieure de cet ordre suffisent).
Comparer avec la marche aléatoire équilibrée (le problème du week-end du Chapitre 21) : des temps de retour certains mais d’espérance infinie là-bas, une descendance totale certaine mais d’espérance infinie ici, tous deux avec des lois locales en $n^{-3/2}$ . Un paragraphe sur les raisons pour lesquelles la criticité produit cette signature.

Partie IV — L’estimation de Kolmogorov à la criticité. Supposons $m = 1$ , $0 < \sigma^2 = G''(1) < \infty$ .

Montrer que $G''$ se prolonge continûment à $\intcc01$ (positive croissante de limite finie) et en déduire le développement de Taylor en $1$ :

$G(t) = t + b\,(1-t)^2 + o\bigl((1-t)^2\bigr), \qquad b = \frac{G''(1)}2 = \frac{\sigma^2}2 .$
Pour $t \in \intco01$ , posons $h(t) = \dfrac1{1 - G(t)} - \dfrac1{1 - t}$ . Montrer

$h(t) = \frac{G(t) - t}{(1 - G(t))(1 - t)} \xrightarrow[t\to1^-]{} b .$
Télescoper le long de l’itération $q_{j+1} = G(q_j)$ :

$\frac1{1 - q_n} = 1 + \sum_{j=0}^{n-1}h(q_j),$

et conclure par un argument de Cesàro que

$\P(Z_n > 0) = 1 - q_n \sim \frac{2}{\sigma^2\,n}$

— estimation de Kolmogorov : tout processus critique de branchement s’éteint au taux universel $1/n$ , seule la constante gardant mémoire de la loi de reproduction.
Vérifier l’estimation sur le cas géométrique critique de la question 10.
En déduire $\E(Z_n \mid Z_n > 0) = \dfrac{1}{1 - q_n} \sim \dfrac{\sigma^2 n}{2}$ (noter $\E(Z_n \mathbf 1_{Z_n>0}) = \E(Z_n) = 1$ ), et le vérifier sur la question 11 : conditionnée à la survie, la population croît linéairement — le fil du funambule critique entre mort et explosion.

Partie V — Applications et synthèse.

(Épidémies, réactions en chaîne) Pour une loi de reproduction de Poisson $\mathcal P(\lambda)$ — chaque cas infecte $\mathcal P(\lambda)$ nouveaux cas — écrire l’équation d’extinction $q = \eu^{\lambda(q-1)}$ et la résoudre numériquement pour $\lambda = 1.5$ ( $q \approx 0.417$ ) et $\lambda = 2$ ( $q \approx 0.203$ ) : à partir d’un seul cas, une épidémie majeure n’est pas certaine même lorsque $\lambda > 1$ . Expliquer pourquoi l’itération $q_{n+1} = \eu^{\lambda(q_n - 1)}$ partant de $q_0 = 0$ converge vers la bonne racine.
En partant de $k$ ancêtres au lieu d’un, montrer que la probabilité d’extinction est $q^k$ . Application : avec $\lambda = 1.5$ , combien de cas initiaux rendent une épidémie probable à au moins $99\%$ ?
(Conditionnement d’un processus surcritique à l’extinction) Pour $m > 1$ de probabilité d’extinction $q \in \intoo01$ : démontrer d’abord par convexité que $G'(q) < 1$ au plus petit point fixe, et en déduire $q_{\mathrm{ext}} - q_n = O\bigl(G'(q)^n\bigr)$ (convergence géométrique, comme la question 9 l’a illustré). Puis montrer que $\widehat G(t) = G(qt)/q$ est la fonction génératrice d’une véritable loi de reproduction, de moyenne $\widehat m = G'(q) < 1$ : un processus compagnon sous-critique. Vérifier sur la famille géométrique : conditionner le processus surcritique $(p, q)$ à l’extinction échange $p$ et $q$ . (L’énoncé complet — le processus conditionné est le processus compagnon — est démontré dans le volume de troisième année ; ici vous en avez vérifié l’ombre au niveau des fonctions génératrices.)
Synthèse : dresser le tableau de la trichotomie — pour $m < 1$ , $m = 1$ , $m > 1$ : valeur de $q$ ; taux de $\P(Z_n > 0)$ ou de $q - q_n$ ; $\E(Y)$ ; taille d’une génération survivante. Énoncer en une phrase par outil comment la composition des fonctions génératrices, la convexité, Taylor en $1^-$ , et la moyenne de Cesàro ont porté tout le problème, et ce que le volume de troisième année ajoute (la martingale $Z_n/m^n$ et la loi limite exponentielle de Yaglom).

Solution

Solution de Problème 23.1.

1. Pour $t \in \intoo01$ , la règle de la chaîne sur $G_n = G \circ G_{n-1}$ donne $G_n'(t) = G'\bigl(G_{n-1}(t)\bigr)G_{n-1}'(t)$ . Quand $t \to 1^-$ , $G_{n-1}(t) \uparrow 1$ , et $G'$ est croissante de limite à gauche $m$ en $1$ , donc le premier facteur tend vers $m$ ; par récurrence le second tend vers $m^{n-1}$ . D’après le Théorème 23.7, $\E(Z_n) = G_n'(1^-) = m^n$ .

2. En dérivant une fois de plus,

G_n'' = G''(G_{n-1})\,(G_{n-1}')^2 + G'(G_{n-1})\,G_{n-1}'',

et en faisant $t \to 1^-$ : $a_n = G''(1)m^{2(n-1)} + m\, a_{n-1}$ avec $a_n = G_n''(1)$ , $a_1 = G''(1)$ . Pour $m \neq 1$ on vérifie par récurrence que $a_n = G''(1)\,m^{n-1} \frac{m^n - 1}{m - 1}$ (la récurrence ajoute $G''(1)m^{2n-2}$ à $m\cdot G''(1)m^{n-2}\frac{m^{n-1}-1}{m-1}$ , et $m^{n-1} + \frac{m^{n-1}-1}{m-1} = \frac{m^n - 1}{m-1}$ ) ; pour $m = 1$ , $a_n = a_{n-1} + G''(1) = n\,G''(1)$ .

3. $V(Z_n) = a_n + m^n - m^{2n}$ et $G''(1) = \sigma^2 + m^2 - m$ . Pour $m \neq 1$ , le morceau $(m^2 - m)m^{n-1}\frac{m^n-1}{m-1} = m^n(m^n - 1)$ annule $m^n - m^{2n}$ exactement, laissant $V(Z_n) = \sigma^2m^{n-1}\frac{m^n-1}{m-1}$ . Pour $m = 1$ : $V(Z_n) = nG''(1) = n\sigma^2$ .

4. $Z_n$ est une variable entière positive, donc $\P(Z_n > 0) = \P(Z_n \geq 1) \leq \E(Z_n) = m^n$ par Markov (Théorème 22.15). Pour $m < 1$ ceci décroît géométriquement — et de façon sommable, donc Borel–Cantelli donne même que seul un nombre fini de générations sont non vides, ce qui est de nouveau l’extinction.

5. Cauchy–Schwarz : $\E(Z_n)^2 = \E(Z_n\mathbf 1_{Z_n>0})^2 \leq \E(Z_n^2)\,\P(Z_n > 0)$ . Avec la question 3 et $m < 1$ :

\E(Z_n^2) = V(Z_n) + m^{2n} \leq \frac{\sigma^2m^{n-1}}{1-m} + m^{2n},

donc, en divisant $m^{2n}$ par cette borne et en simplifiant par $m^n$ ,

\P(Z_n > 0) \geq \frac{m^n}{\frac{\sigma^2}{m(1-m)} + m^n} \geq \Bigl(\frac{\sigma^2}{m(1-m)} + 1\Bigr)^{-1}m^n ,

en utilisant $m^n \leq 1$ au dénominateur. Avec la question 4 : $\P(Z_n > 0) \asymp m^n$ .

6. $G(t) = q\sum_k(pt)^k = \frac{q}{1 - pt}$ , et $m = G'(1) = \frac{pq}{(1-p)^2} = \frac pq$ . Sous-critique pour $p < \frac12$ , critique pour $p = \frac12$ , surcritique pour $p > \frac12$ .

7. $G(t) = t$ s’écrit $pt^2 - t + q = 0$ , de racines $\frac{1 \pm \abs{p - q}}{2p}$ , c’est-à-dire $1$ et $\frac qp = \frac1m$ . La probabilité d’extinction est le plus petit point fixe dans $\intcc01$ (Théorème 23.25) : $q_{\mathrm{ext}} = 1$ si $m \leq 1$ , et $\frac1m$ si $m > 1$ .

8. Pour $m \neq 1$ , avec $p = \frac m{m+1}$ , $q = \frac1{m+1}$ : si $q_n = \frac{m^n - 1}{m^{n+1} - 1}$ , alors

1 - p\,q_n = \frac{(m+1)(m^{n+1} - 1) - m(m^n - 1)} {(m+1)(m^{n+1} - 1)} = \frac{m^{n+2} - 1}{(m+1)(m^{n+1} - 1)},

donc $q_{n+1} = \frac{q}{1 - pq_n} = \frac{m^{n+1} - 1}{m^{n+2} - 1}$ ; le cas de base $q_0 = 0$ est vérifié. Pour $m = 1$ : $G(t) = \frac1{2 - t}$ et $q_{n+1} = \frac1{2 - \frac{n}{n+1}} = \frac{n+1}{n+2}$ , avec $q_0 = 0$ .

9. $1 - q_n = \frac{m^n(m - 1)}{m^{n+1} - 1}$ . Pour $m < 1$ le dénominateur tend vers $-1$ : $1 - q_n \sim (1 - m)\,m^n$ . Pour $m > 1$ :

q_{\mathrm{ext}} - q_n = \frac1m - \frac{m^n - 1}{m^{n+1} - 1} = \frac{m - 1}{m\,(m^{n+1} - 1)} \sim \frac{m - 1}{m^{2}}\;m^{-n} .

Et $G'(t) = \frac{pq}{(1 - pt)^2}$ évaluée en $t = \frac qp$ (où $1 - pt = 1 - q = p$ ) donne $G'(q_{\mathrm{ext}}) = \frac qp = \frac1m$ : le rapport observé $m^{-1}$ est exactement la dérivée au point fixe attractif.

10. Pour $p = \frac12$ : $G''(t) = \frac{1/4}{(1 - t/2)^3}$ , donc $G''(1) = 2$ et $\sigma^2 = G''(1) + m - m^2 = 2$ . La forme close donne $1 - q_n = \frac1{n+1}$ : la probabilité de survie décroît comme $1/n$ — trop lentement pour être sommable, contrairement à tout taux sous-critique.

11. Récurrence : $G_1(t) = \frac1{2-t}$ correspond à la formule pour $n = 1$ , et

G(G_n(t)) = \cfrac{1}{2 - \cfrac{n - (n-1)t}{n+1 - nt}} = \frac{n + 1 - nt}{2(n+1) - 2nt - n + (n-1)t} = \frac{n+1 - nt}{n + 2 - (n+1)t} .

Puis

\frac{G_n(t) - q_n}{1 - q_n} = (n+1)\,\Bigl(\frac{n - (n-1)t}{n+1 - nt} - \frac{n}{n+1}\Bigr) = \frac{t}{n + 1 - nt} = \frac{\frac{t}{n+1}}{1 - \frac{n}{n+1}t} ,

la fonction génératrice de la loi géométrique $\mathcal G\bigl(\frac1{n+1} \bigr)$ sur $\N^*$ (Exemple 23.4) : conditionnée à la survie, $\P(Z_n = k \mid Z_n > 0) = \frac1{n+1}\bigl(\frac n{n+1}\bigr)^{k-1}$ , de moyenne conditionnelle $n + 1$ . La moyenne non conditionnelle $1 = \E(Z_n)$ est le produit d’une probabilité de survie tendant vers zéro et d’une taille conditionnelle croissant linéairement.

12. Si la lignée s’éteint à la génération $n$ , alors $Y = Z_0 + \dots + Z_{n-1}$ est finie ; si elle ne s’éteint jamais, $Y \geq \sum_n 1 = \infty$ . Donc $\{Y < \infty\}$ est l’événement d’extinction et $\P(Y < \infty) = q_{\mathrm{ext}}$ . La dérivation de $H(t) = tG(H(t))$ dans l’ Exercice 23.7 — l’ancêtre contribue le facteur $t$ , ses enfants fondent des copies indépendantes de $Y$ comptées via $G$ — n’a utilisé que le Théorème 23.17, valide dans tout régime.

13. Avec $G(s) = \frac{1 + s^2}2$ l’équation s’écrit $tH^2 - 2H + t = 0$ , donc $H = \frac{1 - \sqrt{1 - t^2}}{t}$ (la racine avec $H(0) = 0$ ). En comparant avec la série de Catalan $C(x) = \frac{1 - \sqrt{1 - 4x}}{2x}$ (Exemple 11.21) : $H(t) = \frac t2\,C\bigl(\frac{t^2}4\bigr) = \sum_{k\geq0}C_k\,\frac{t^{2k+1}}{2^{2k+1}}$ , c’est-à-dire $\P(Y = 2k+1) = C_k2^{-2k-1}$ . Vérifications : $\P(Y = 1) = C_0/2 = \frac12$ (l’ancêtre n’a pas d’enfant) ; $\P(Y = 3) = C_1/8 = \frac18$ (deux enfants, tous deux sans enfant : $\frac12\cdot\frac12\cdot \frac12$ ).

14. En dérivant $H = tG(H)$ sur $\intoo01$ et en faisant $t \to 1^-$ (limites monotones comme dans le Théorème 23.7) : $H'(1)\bigl(1 - G'(H(1))\bigr) = G(H(1))$ . Dans le cas sous-critique $H(1) = 1$ et $\E(Y) = H'(1) = \frac1{1 - m}$ . Dans le cas critique $G'(1) = 1$ annule le facteur de gauche tandis que le membre de droite vaut $1$ : aucun $H'(1)$ fini ne peut exister, donc $\E(Y) = \infty$ — pourtant $\P(Y < \infty) = q = 1$ .

15. $C_k = \frac1{k+1}\binom{2k}k \sim \frac{4^k}{\sqrt\pi\,k^{3/2}}$ d’après l’ Exemple 6.14, donc

\P(Y = 2k+1) = \frac{C_k}{2\cdot4^{k}} \sim \frac1{2\sqrt\pi\,k^{3/2}} .

En sommant la queue (comparaison avec $\int_K^\infty k^{-3/2}\dd k = 2K^{-1/2}$ , par-dessus et par-dessous) : $\P(Y > 2K) \asymp K^{-1/2}$ , c’est-à-dire $\P(Y > n) \asymp n^{-1/2}$ — une queue lourde d’espérance infinie, quantifiant la question 14.

16. Les deux objets critiques — le temps de retour de la marche équilibrée (le problème du week-end du Chapitre 21) et la descendance totale critique — sont presque sûrement finis d’espérance infinie, avec des lois locales d’exposant $-3/2$ et des queues d’exposant $-1/2$ . Ce n’est pas une coïncidence : explorer un arbre généalogique enfant par enfant produit un chemin $\pm1$ (un pas vers le haut par naissance, un pas vers le bas par mort) qui est exactement une marche équilibrée, et $Y$ devient un temps de premier passage. La criticité signifie dérive nulle : le processus est toujours au bord de l’extinction et de l’explosion, et les fluctuations à l’échelle $\sqrt{}$ de l’aléa sans dérive produisent précisément ces exposants.

17. $G''(t) = \sum_{n\geq2}n(n-1)p_nt^{n-2}$ a des termes positifs, donc elle est croissante sur $\intco01$ de limite finie $G''(1) = \sigma^2$ (la criticité fait $\E Z_1(Z_1 - 1) = \sigma^2$ ) ; une fonction croissante de limite égale à la valeur au bord est continue en $1$ . Taylor avec reste intégral au point $1$ :

G(t) = 1 + (t - 1) + \int_1^t(t - s)G''(s)\,\dd s = t + \frac{G''(1)}2(1-t)^2 + o\bigl((1-t)^2\bigr),

puisque $G''(s) = G''(1) + o(1)$ quand $s \to 1^-$ .

18. En réduisant au même dénominateur, $h(t) = \frac{G(t) - t}{(1 - G(t))(1 - t)}$ . Par la question 17 le numérateur est $b(1-t)^2 + o((1-t)^2)$ et $1 - G(t) = (1 - t)\bigl(1 - b(1-t) + o(1-t)\bigr)$ , donc $h(t) \to b$ .

19. Par définition de $h$ en $t = q_j$ et $G(q_j) = q_{j+1}$ : $\frac1{1 - q_{j+1}} - \frac1{1-q_j} = h(q_j)$ ; en sommant à partir de $j = 0$ ( $q_0 = 0$ ) on obtient l’égalité affichée. Puisque le processus critique s’éteint, $q_j \uparrow 1$ , donc $h(q_j) \to b$ et la moyenne de Cesàro $\frac1n\sum_{j<n}h(q_j) \to b$ : $\frac1{1-q_n} \sim bn$ , c’est-à-dire

\P(Z_n > 0) \sim \frac1{bn} = \frac{2}{\sigma^2 n} .

20. Cas géométrique critique : $\sigma^2 = 2$ (question 10), donc Kolmogorov prédit $1 - q_n \sim \frac1n$ — et la valeur exacte est $\frac1{n+1}$ .

21. Puisque $Z_n\mathbf 1_{Z_n > 0} = Z_n$ , $\E(Z_n \mid Z_n > 0) = \frac{\E(Z_n)}{\P(Z_n > 0)} = \frac1{1 - q_n} \sim \frac{\sigma^2n}2$ . Dans le cas géométrique c’est $n + 1$ , correspondant exactement à la question 11 ( $\sigma^2 = 2$ ). Le tableau critique : l’extinction est certaine, la taille moyenne est figée à $1$ , et les rares lignées survivantes ont une taille croissant linéairement — chaque facteur équilibrant l’autre.

22. Pour une reproduction $\mathcal P(\lambda)$ , $G(t) = \eu^{\lambda(t-1)}$ et la probabilité d’extinction est la plus petite racine de $q = \eu^{\lambda(q-1)}$ . Numériquement : $\lambda = 1.5$ donne $q \approx 0.417$ (itérer $q \mapsto \eu^{1.5(q-1)}$ : $0, 0.223, 0.312, 0.356, \dots \to 0.4172$ ) ; $\lambda = 2$ donne $q \approx 0.203$ . Ainsi un unique cas index déclenche une épidémie majeure avec probabilité $58\%$ ( $\lambda = 1.5$ ) ou $80\%$ ( $\lambda = 2$ ) — probable, non certaine. L’itération partant de $q_0 = 0$ converge vers la plus petite racine car $G$ est croissante : par récurrence $q_n \leq r$ pour tout point fixe $r$ , et $(q_n)$ croît (c’est $\P(Z_n = 0)$ ), donc sa limite est un point fixe en dessous de tous les autres.

23. Les $k$ ancêtres fondent des arbres généalogiques indépendants, et l’extinction totale est l’intersection de $k$ événements d’extinction indépendants : probabilité $q^k$ . Pour $\lambda = 1.5$ : la probabilité d’épidémie $1 - q^k \geq 0.99$ requiert $q^k \leq 0.01$ , c’est-à-dire $k \geq \frac{\ln 0.01}{\ln 0.417} \approx 5.3$ : six cas initiaux rendent l’épidémie certaine à $99\%$ .

24. $G'(q) < 1$ : $G - \mathrm{id}$ est convexe et s’annule en $q$ et $1$ , donc elle est $\leq 0$ sur $\intcc q1$ ; si $G'(q) = 1$ , la tangente en $q$ (que la convexité place sous $G$ ) forcerait $G(t) \geq t$ sur $\intcc q1$ , d’où $G \equiv \mathrm{id}$ sur cet intervalle, annulant tous les coefficients $p_n$ ( $n \geq 2$ ) et contredisant $m > 1$ . Convergence géométrique : $q_n < q$ pour tout $n$ (récurrence, $G$ croissante), et le théorème des accroissements finis donne $q - q_{n+1} = G'(c_n)(q - q_n)$ avec $c_n \in \intoo{q_n}q$ , donc $G'(c_n) \leq G'(q) < 1$ et $q - q_n \leq q\,G'(q)^n$ . Processus compagnon : $\widehat G(t) = G(qt)/q = \sum_kp_kq^{k-1}t^k$ a des coefficients positifs et $\widehat G(1) = G(q)/q = 1$ : une fonction génératrice ; sa moyenne est $\widehat G'(1) = G'(q) < 1$ : sous-critique. Famille géométrique : $G(t) = \frac{q}{1-pt}$ , $q_{\mathrm{ext}} = \frac qp$ , et

\widehat G(t) = \frac pq\cdot\frac{q}{1 - p\frac qp t} = \frac{p}{1 - qt} :

la loi de reproduction géométrique avec $p$ et $q$ échangés — le processus surcritique vu sur son événement d’extinction est le processus sous-critique miroir.

25. Le tableau : $m < 1$ : $q = 1$ , $\P(Z_n > 0) \asymp m^n$ (questions 4–5), $\E(Y) = \frac1{1-m}$ , générations survivantes de moyenne conditionnelle bornée. $m = 1$ : $q = 1$ , $\P(Z_n > 0) \sim \frac2{\sigma^2n}$ (Kolmogorov), $\E(Y) = \infty$ avec $\P(Y > n) \asymp n^{-1/2}$ , survivants de taille $\sim \frac{\sigma^2n}2$ . $m > 1$ : $q < 1$ est le plus petit point fixe, $q - q_n = O(G'(q)^n)$ , croissance $\E(Z_n) = m^n$ , et conditionné à mourir le processus est le compagnon sous-critique (question 24). Les outils : la composition des fonctions génératrices a transformé la récurrence de population en itération de fonction ; la convexité a fixé la géométrie des points fixes ; Taylor en $1^-$ a converti les hypothèses de moments en développements locaux ; et la moyenne de Cesàro a extrait le $1/n$ de Kolmogorov d’une somme télescopique. Le volume de troisième année ajoute la martingale $Z_n/m^n$ — dont la limite presque sûre raffine $\E(Z_n) = m^n$ en un taux de croissance trajectoire par trajectoire — et le théorème de Yaglom, la loi limite derrière la géométrie conditionnelle observée à la question 11.