आनत समष्टि क्या है? — गणित

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परिभाषा 17.1 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · অধ্যায় 17 — आनत समष्टियाँ

किसी वास्तविक सदिश समष्टि $E$ से दिशित आनत समष्टि कोई अरिक्त समुच्चय $\mathcal{E}$ है जिस पर ऐसा प्रतिचित्रण $(A, B) \mapsto \vect{AB} \in E$ हो कि

\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC} \quad \text{(शाल)}, \qquad \text{प्रत्येक } A,\ B \mapsto \vect{AB} \text{ के लिए एकैकी आच्छादक } \mathcal{E} \to E .

और $\vect{AB} = u$ वाले अद्वितीय बिंदु को $B = A + u$ लिखा जाता है। $\mathcal{E}$ की विमा $\dim E$ है। हर सदिश समष्टि अपने ऊपर आनत समष्टि है ( $\vect{AB} = B - A$ ); और मूल बिंदु $O \in \mathcal{E}$ का हर चुनाव $M \mapsto \vect{OM}$ के द्वारा $\mathcal{E}$ को $E$ से पहचान देता है।

উদাহরণ

उदाहरण 17.2 (बिना स्वाभाविक मूल बिंदु की एक आनत समष्टि)

हल-समतल $\mathcal E = \{(x, y, z) \in \R^3 : x + y + z = 1\}$ सदिश उपसमष्टि नहीं है ( $0 \notin \mathcal E$ ), परंतु वह $E = \{x + y + z = 0\}$ से दिशित आनत समष्टि है: $A, B \in \mathcal E$ के लिए अंतर $\vect{AB} = B - A$ $E$ में उतरता है (योग कट जाते हैं), शाल $\R^3$ से विरासत में मिलती है, और $B \mapsto \vect{AB}$ $E$ पर एकैकी आच्छादक है। $\mathcal E$ का कोई बिंदु विशिष्ट नहीं है — “मूल बिंदु” का कोई भी चुनाव $O \in \mathcal E$ उतना ही अच्छा है, और सारी पहचानें $M \mapsto \vect{OM}$ स्थानांतरणों से भिन्न होती हैं। यही विशिष्ट स्थिति है: असमांगी रैखिक समस्याओं (रैखिक निकाय, अध्याय 16 में रैखिक अवकल समीकरण) के हल-समुच्चय आनत होते हैं, रैखिक कभी नहीं; और नारा “विशिष्ट हल जमा केंद्रक” ठीक अगली परिभाषा का कथन $\mathcal F = A + F$ है।

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উদাহরণ

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