Wat is Oppervlakte? — Wiskunde

Definitie 43.5 Wiskunde basisschool en onderbouw · Hoofdstuk 43 — Omtrek, oppervlakte, volume

De oppervlakte van een figuur meet het oppervlak dat ze bedekt: hoeveel eenheidsvierkantjes er in passen. Eenheden: cm $^2$ (een vierkantje met zijde $1$ cm), m $^2$ , km $^2$ , … Let op:

1 \text{ m}^2 = 100 \times 100 \text{ cm}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2

— een vierkante meter is een vierkant van $100$ cm bij $100$ cm, dus is elke stap op de maatladder $100$ waard en niet $10$ .

De oppervlakte van een rechthoek: 7 kolommen van elk 4 eenheidsvierkantjes, dus 7 × 4 = 28 vierkantjes in totaal. Daarom is oppervlakte = lengte × breedte. — De oppervlakte van een rechthoek: $7$ kolommen van elk $4$ eenheidsvierkantjes, dus $7 \times 4 = 28$ vierkantjes in totaal. Daarom is oppervlakte $=$ lengte $\times$ breedte.

Voorbeelden

Voorbeeld 43.7 (Samengestelde figuren)

Een L-vormige kamer is een rechthoek van $6$ m $\times$ $4$ m met een vierkante hoek van $2$ m $\times$ $2$ m eruit. Haar oppervlakte, stap voor stap:

de volle rechthoek: $6 \times 4 = 24$ m $^2$ ;
het weggehaalde vierkant: $2 \times 2 = 4$ m $^2$ ;
wat overblijft: $24 - 4 = 20$ m $^2$ .

Haar omtrek is geen $20$ van wat dan ook: als je om de L heen loopt, meet de rand nog steeds $6 + 4 + 6 + 4 = 20$ m — de twee sneden in de hoek vervangen twee even lange stukken muur. Bij toeval hetzelfde getal, maar vierkante meters voor het ene en meters voor het andere!

Lees in het hoofdstuk →

Definitie 19.20 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Hoofdstuk 19 — Oppervlakken

Zij $\sigma \colon U \to \R^3$ een regulier injectief $\mathcal{C}^1$ -oppervlak en $K \subseteq U$ een compact gebied waarop dubbele integralen zin hebben (Hoofdstuk 20). De oppervlakte van het stuk $\sigma(K)$ is

\mathcal{A} = \iint_K \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v = \iint_K \sqrt{EG - F^2}\;\dd u\,\dd v .

Het zadel z = x2 - y2 nabij de oorsprong, met zijn coördinaatkrommen (u-krommen in het blauw, v-krommen in het groen), het raakvlak in M_0 = (0,0,0) (gestreept) en de eenheidsnormaal n. Het oppervlak kruist zijn raakvlak — het tweedimensionale analogon van een buigpunt. — **Figuur 19.1.** Het zadel $z = x^2 - y^2$ nabij de oorsprong, met zijn coördinaatkrommen ( $u$ -krommen in het blauw, $v$ -krommen in het groen), het raakvlak in $M_0 = (0,0,0)$ (gestreept) en de eenheidsnormaal $n$ . Het oppervlak kruist zijn raakvlak — het tweedimensionale analogon van een buigpunt.

Vier van de negen kwadrieken die in de weekendopgave worden geklasseerd, geschetst met hun silhouetten en een niveaukromme (rood): de begrensde ellipsoïde, de dubbel beschreven eenbladige hyperboloïde met haar taille, de kom van de elliptische paraboloïde, en het zadel, waarvan de twee parabolische doorsneden in tegengestelde richtingen buigen.

Voorbeelden

Voorbeeld 19.22 (Twee verschillende grafieken, één oppervlakte)

Vergelijk boven de eenheidsschijf de kom $z = \frac12(x^2 + y^2)$ met het zadel $z = xy$ . Hun oppervlakte-integranden (Oefening 19.5) zijn

\sqrt{1 + x^2 + y^2} \qquad\text{en}\qquad \sqrt{1 + y^2 + x^2} :

identiek. De twee oppervlakken — het ene in alle richtingen dezelfde kant op gekromd, het andere zadelvormig — hebben boven elk gebied precies gelijke oppervlakten, $\frac{2\pi}3(2\sqrt2 - 1)$ boven de eenheidsschijf. Het oppervlakte-element ziet alleen de lengte van de gradiënt, niet de schikking van de buiging; de kom van het zadel onderscheiden vereist gegevens van tweede orde (de tekenstructuur uit Figuur 19.1), die geen enkele oppervlaktemeting opmerkt. De eerste fundamentaalvorm: metrisch, blind voor de vorm; de tweede vorm, die de vorm wél ziet, hoort bij bachelorjaar 3.

Voorbeeld 19.23 (Oppervlakte van de bol)

Voor de bolkaart uit Voorbeeld 19.2:

\sigma_\theta = R(-\sin\theta\cos\varphi,\ \cos\theta\cos\varphi,\ 0), \qquad \sigma_\varphi = R(-\cos\theta\sin\varphi,\ -\sin\theta\sin\varphi,\ \cos\varphi),

dus $E = R^2\cos^2\varphi$ , $F = 0$ , $G = R^2$ en $\sqrt{EG - F^2} = R^2\cos\varphi$ . Bijgevolg is

\mathcal{A} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\!\!\int_0^{2\pi} R^2\cos\varphi\;\dd\theta\,\dd\varphi = 2\pi R^2\,\bigl[\sin\varphi\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \boxed{4\pi R^2} .

Voorbeeld 19.24 (De kegel, getoetst aan de schoolformule)

Voor de kegel $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ boven de ring $a \leq \rho \leq b$ geeft de grafiekformule van Oefening 19.5 dat $1 + f_x^2 + f_y^2 = 2$ (bereken $f_x = x/\rho$ , $f_y = y/\rho$ ), dus

\mathcal A = \sqrt2\,\pi\,(b^2 - a^2) .

Controle met de formule $\pi\rho\ell$ voor de schuine hoogte uit Voorbeeld 19.26: de volledige kegels met grondstralen $b$ en $a$ hebben manteloppervlakten $\pi b\cdot b\sqrt2$ en $\pi a\cdot a\sqrt2$ , waarvan het verschil precies $\sqrt2\pi(b^2 - a^2)$ is. Twee kaarten, twee formules, één oppervlakte — de invariantie bewezen in Oefening 19.8, in het wild waargenomen.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Voorbeelden

Verwante begrippen