Qu'est-ce que « Aire » ? — Mathématiques

Définition 43.5 Mathématiques du primaire et du collège · Chapitre 43 — Périmètre, aire, volume

L’aire d’une figure mesure la surface qu’elle couvre : combien de carreaux unitaires tiennent à l’intérieur. Unités : cm $^2$ (un carré de côté $1$ cm), m $^2$ , km $^2$ , … Attention :

1 \text{ m}^2 = 100 \times 100 \text{ cm}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2

— un mètre carré est un carré de $100$ cm sur $100$ cm, donc chaque pas de l’échelle des unités vaut $100$ , et non $10$ .

L’aire d’un rectangle : 7 colonnes de 4 carreaux unitaires chacune, donc 7 × 4 = 28 carreaux en tout. C’est pourquoi aire = longueur × largeur. — L’aire d’un rectangle : $7$ colonnes de $4$ carreaux unitaires chacune, donc $7 \times 4 = 28$ carreaux en tout. C’est pourquoi aire $=$ longueur $\times$ largeur.

Exemples

Exemple 43.7 (Figures composées)

Une pièce en L est un rectangle $6$ m $\times$ $4$ m avec un coin carré $2$ m $\times$ $2$ m enlevé. Son aire, étape par étape :

rectangle complet : $6 \times 4 = 24$ m $^2$ ;
carré enlevé : $2 \times 2 = 4$ m $^2$ ;
aire restante : $24 - 4 = 20$ m $^2$ .

Son périmètre n’est pas $20$ de quoi que ce soit : en parcourant le L, le bord mesure encore $6 + 4 + 6 + 4 = 20$ m — les deux coupes du coin remplacent deux morceaux de mur égaux. Même nombre par coïncidence, mais mètres carrés pour l’un, mètres pour l’autre !

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Définition 19.20 Mathématiques universitaires — Licence 2 · Chapitre 19 — Surfaces

Soit $\sigma \colon U \to \R^3$ une surface $\mathcal{C}^1$ régulière injective et $K \subseteq U$ un domaine compact sur lequel les intégrales doubles ont un sens (Chapitre 20). L’aire du morceau $\sigma(K)$ est

\mathcal{A} = \iint_K \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v = \iint_K \sqrt{EG - F^2}\;\dd u\,\dd v .

La selle z = x2 - y2 près de l’origine, avec ses courbes coordonnées (u-courbes en bleu, v-courbes en vert), le plan tangent en M_0 = (0,0,0) (en pointillés) et la normale unitaire n. La surface traverse son plan tangent — l’analogue en dimension deux d’un point d’inflexion. — **Figure 19.1.** La selle $z = x^2 - y^2$ près de l’origine, avec ses courbes coordonnées ( $u$ -courbes en bleu, $v$ -courbes en vert), le plan tangent en $M_0 = (0,0,0)$ (en pointillés) et la normale unitaire $n$ . La surface traverse son plan tangent — l’analogue en dimension deux d’un point d’inflexion.

Quatre des neuf surfaces quadriques classées dans le problème du week-end, esquissées par leurs silhouettes et une courbe de niveau (en rouge) : l’ellipsoïde borné, l’hyperboloïde à une nappe doublement réglé avec son col, le bol du paraboloïde elliptique, et la selle, dont les deux sections paraboliques se courbent en sens opposés.

Exemples

Exemple 19.22 (Deux graphes différents, une même aire)

Sur le disque unité, comparons le bol $z = \frac12(x^2 + y^2)$ et la selle $z = xy$ . Leurs intégrandes d’aire (Exercice 19.5) sont

\sqrt{1 + x^2 + y^2} \qquad\text{et}\qquad \sqrt{1 + y^2 + x^2} :

identiques. Les deux surfaces — l’une se courbant de la même façon dans toutes les directions, l’autre en forme de selle — ont des aires exactement égales sur tout domaine, $\frac{2\pi}3(2\sqrt2 - 1)$ sur le disque unité. L’élément d’aire ne voit que la longueur du gradient, pas la disposition de la courbure ; distinguer le bol de la selle exige des données du second ordre (la structure de signe exhibée dans la Figure 19.1), qu’aucune mesure d’aire ne détecte. Première forme fondamentale : métrique, aveugle à la forme ; la seconde forme, qui voit la forme, appartient à la troisième année.

Exemple 19.23 (Aire de la sphère)

Pour la carte sphérique de l’Exemple 19.2 :

\sigma_\theta = R(-\sin\theta\cos\varphi,\ \cos\theta\cos\varphi,\ 0), \qquad \sigma_\varphi = R(-\cos\theta\sin\varphi,\ -\sin\theta\sin\varphi,\ \cos\varphi),

donc $E = R^2\cos^2\varphi$ , $F = 0$ , $G = R^2$ et $\sqrt{EG - F^2} = R^2\cos\varphi$ . D’où

\mathcal{A} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\!\!\int_0^{2\pi} R^2\cos\varphi\;\dd\theta\,\dd\varphi = 2\pi R^2\,\bigl[\sin\varphi\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \boxed{4\pi R^2} .

Exemple 19.24 (Le cône, confronté à la formule du secondaire)

Pour le cône $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ au-dessus de l’anneau $a \leq \rho \leq b$ , la formule du graphe de l’Exercice 19.5 donne $1 + f_x^2 + f_y^2 = 2$ (calculer $f_x = x/\rho$ , $f_y = y/\rho$ ), donc

\mathcal A = \sqrt2\,\pi\,(b^2 - a^2) .

Vérification de cohérence avec la formule de l’aire latérale $\pi\rho\ell$ de l’Exemple 19.26 : les cônes pleins de rayons de base $b$ et $a$ ont des aires latérales $\pi b\cdot b\sqrt2$ et $\pi a\cdot a\sqrt2$ , dont la différence est exactement $\sqrt2\pi(b^2 - a^2)$ . Deux cartes, deux formules, une même aire — l’invariance prouvée dans l’Exercice 19.8, vue en action.

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Exemples

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